Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 12 - Trường THPT Hà Huy Tập

Xác định số phần tử của S. Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để số được chọn là số chẵn. Cho hình chóp. Cho hình chóp tứ giác đều. c) Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SA [r]

TRƯỜNG THPT HÀ HUY TẬP

ĐỀ THI HSG LỚP 12 MÔN TOÁN





  C và đường thẳng d x:   y 1 0 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

 C biết tiếp tuyến đó song song với d

2 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD , có AB a SA, a 3 Gọi O là giao điểm của AC và BD , gọi

G là trọng tâm tam giác SCD

a) Tính thể tích khối chóp OGCS

b) Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SBC)

c) Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SA và BG

Câu 5 (2,0 điểm)

1 Cho hàm số 2 3

2

x y x





  C và đường thẳng d x:   y 1 0 Viết phương trình tiếp tuyến của

đồ thị  C biết tiếp tuyến đó song song với d

2 3

;1

11

k x

1

11

x



0 0

02

x x





  

 + Thử lại:

1

x m y

Xét hàm số 3  

f t  t t t Khi đó ta có '  2

3 3 0,

f t  t    t Do đó f t ( ) là hàm đồng biến trên Nên phương trình  1 trở thành f x 2 f y        1 x 2 y 1 y x 1 Thay y   x 1 vào phương trình thứ hai ta được:

2 3 x 2x 2 3  x x 1

2

11

22

1

x x

x x

1 Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được chọn từ các số 0 ; 1 ; 2 ;

3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 Xác định số phần tử của S Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất

48

5

a a

Trường hợp 2: Nếu AB là đoạn thẳng Ta thay y 9 x x  0;3  vào hệ 2

x

x a

2 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD , có AB a SA, a 3 Gọi O là giao điểm của AC và

BD , gọi G là trọng tâm tam giác SCD

23

c) Gọi I là giao của BD và AM , I là trọng tâm tam giác ADC

Suy ra IG/ /SA nên góc giữa hai đường thẳng SA BG, bằng góc giữa hai đường thẳng IG BG,

21

1

t x

Những điểm M a b thoả (1) thì nằm bên trong hoặc biên đường tròn tâm  ; I 0; 2 và bán kính bằng 3

Những điểm N a b thoả mãn (2) và (3) là những điểm thuộc phần không chứa gốc tạo độ của  ;các đường thẳng 2 2 0

Những phần đó theo hình vẽ là không có điểm chung, vì vậy ta có mâu thuẫn

Ta có điều phải chứng minh: Nếu đa thức đã cho có nghiệm thì 2 2

a b  b  Chú ý: Bài có thể giải nhanh như sau:

2 ĐỀ SỐ 2

Câu 1 Cho hàm số 2 1

1

x y x

Câu 3 Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 5 2

1 x x n , biết n là số tự nhiên thỏa mãn

Câu 5 : Một quả bóng cao su được thả rơi từ độ cao h18m Sau mỗi lần chạm đất, quả bóng lại nảy

lên cao bằng 3

4 độ cao của lần rơi ngay trước đó Giả sử quả bóng khi rơi và nảy đều theo phương thẳng đứng Tính tổng độ dài quãng đường quả bóng đã di chuyển từ lúc được thả đến lúc không nảy nữa

Câu 6 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn tâm I có phương trình   2 2

Câu 7 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , chiều cao h không đổi Gọi

,

M N lần lượt là hai điểm di động trên hai cạnh BC CD, sao cho góc MAN 45 Đặt

BM x Tìm x theo a sao cho thể tích khối chóp S AMN đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 8 Cho a b c, , là các số thực tùy ý thỏa mãn điều kiện a  b c 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1 Cho hàm số 2 1

1

x y x

( luôn đúng với mọi mR)

Suy ra  m R thì d luôn cắt  H tại hai điểm phân biệt

Khi đó x x là hai nghiệm phân biệt của (2) 1, 2

Với t0, ta có x23x   0 x 0;x3

Bảng biến thiên của hàm số g x :  

Dựa vào bảng biến thiên, ta có phương trình (2) có không quá hai nghiệm thuộc khoảng 1;

g  g  nên x0,x1 là tất cả các nghiệm của phương trình (2)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x0,x1

Câu 3 Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 5 2

1 x x n , biết n là số tự nhiên thỏa mãn hệ

thức C20n C22n C22n n 512

32

2

ABC a

S a a

sin cos 1 sin cos 1 0

Vậy tam giác ABC đều

Câu 5 : Một quả bóng cao su được thả rơi từ độ cao h18m Sau mỗi lần chạm đất, quả bóng lại nảy lên cao bằng 3

4 độ cao của lần rơi ngay trước đó Giả sử quả bóng khi rơi và nảy đều theo phương thẳng đứng Tính tổng độ dài quãng đường quả bóng đã di chuyển từ lúc được thả đến lúc không nảy nữa

Lời giải

Sau lần chạm đất đầu tiên, quả bóng nảy lên độ cao 1 3

4

h  h Tiếp theo quả bóng rơi xuống trên quãng

đường đúng bằng h1 Lần chạm đất thứ hai quả bóng nảy lên 2 3 1

4

h  h và cũng rơi xuống trên quảng

đường đúng bằng h2 Cứ như thế đến lần chạm đất thứ n thì quả bóng nảy lên đến độ cao 3 1

4

n n

h  h và cũng rơi xuống trên quãng đường đúng bằng h n

Ta thấy dãy h h h, ,1 2, ,h n là một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội 3

4

q Tổng quãng đường quả bóng đi được là:

 1 2 n  1 2 n

s h h   h h  h   h h 1

h h

Lời giải

Ta có I1; 1  Tọa độ giao điểm của đường phân giác trong góc A và  I là nghiệm của hệ phương trình   2 2

M N lần lượt là hai điểm di động trên hai cạnh BC CD, sao cho góc MAN 45 Đặt

BM x Tìm x theo a sao cho thể tích khối chóp S AMN đạt giá trị nhỏ nhất

Lời giải

Câu 8 Cho a b c, , là các số thực tùy ý thỏa mãn điều kiện a  b c 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Do đó 1 2 5

2

11

M

c a

a c

Vậy Mmin  f  1 4 khi t 1   a b c

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số   un biết u1 2 và un1 2 un 5,   n *.

b) Cho dãy số   vn thỏa mãn 1 1

, 2018

1 2018

n n

n

v v

Bài 4 (5,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có AB  AC và hai đường cao BE CF , cắt nhau tại H

Các đường tròn   O1 ,   O2 cùng đi qua A và theo thứ tự tiếp xúc với BC tại B C , Gọi D là giao điểm thứ hai của   O1 và   O2 .

a) Chứng minh đường thẳng AD đi qua trung điểm của cạnh BC ;

b) Chứng minh ba đường thẳng EF , BC , HD đồng quy

t t P

x t y

  Xét hàm số

2 2

1( )

f t

t t

0,5

0,5 0,25

y Suy ra x0 không thỏa mãn (1)

Nếu x y, cùng âm thì (1) vô lí Do đó x y, cùng dương

0,25

0,5

Ta có

2 2

Do đó I là trung điểm của BC Hay đường thẳng AD đi qua trung điểm I của BC

0,25 0,75 0,25 0,25

Chứng minh được BHCBDC Suy ra tứ giác BHDC nội tiếp

Chứng minh AFHD nội tiếp Chứng minh EF BC HD, , đồng qui

1,0

1,0 1,5

Bài 3 (5 điểm)

Cho tam giác ABC có AB  AC và nội tiếp đường tròn   O Phân giác trong góc BAC cắt

  O tại điểm D khác A, lấy E đối xứng B qua AD, đường thẳng BE cắt   O tại F khác B Lấy điểm G di chuyển trên cạnh AC (G khác A C , ), đường thẳng BG cắt   O tại H khác B Đường thẳng qua C song song AH cắt FD tại I Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCG cắt EI tại hai điểm phân biệt K L , Chứng minh rằng đường trung trực đoạn thẳng KL luôn đi qua một điểm cố định

Bài 4 (5 điểm)

Cho 2018 tập hợp mà mỗi tập chứa đúng 45 phần tử Biết rằng hai tập tùy ý trong các tập này đều

có đúng một phần tử chung Chứng minh rằng tồn tại phần tử thuộc tất cả 2018 tập hợp đã cho

Cho tam giác ABC có AB  AC và nội tiếp đường tròn   O Phân giác trong góc BAC

cắt   O tại điểm D khác A, lấy E đối xứng B qua AD, đường thẳng BE cắt   O tại F

khác B Lấy điểm G di chuyển trên cạnh AC (G khác A C , ), đường thẳng BG cắt   O

tại H khác B Đường thẳng qua C song song AH cắt FD tại I Đường tròn ngoại tiếp tam

giác BCG cắt EI tại hai điểm phân biệt K L , Chứng minh rằng đường trung trực đoạn

thẳng KL luôn đi qua một điểm cố định

Gọi giao điểm của đường thẳng EI và BC là J 0,5

CEJ  ECI  HAC  HBC nên tứ giác BGEJ nội tiếp 1,5

Phép nghịch đảo NC k CE CG CJ CB .  . biến đường tròn ( BCG ) thành đường thẳng EJ nên biến

Cho 2018 tập hợp mà mỗi tập chứa đúng 45 phần tử Biết rằng hai tập tùy ý trong các tập này

đều có đúng một phần tử chung Chứng minh rằng tồn tại phần tử thuộc tất cả 2018 tập hợp đã

cho

Lấy tập A tùy ý, trong A sẽ có phần tử a thuộc ít nhất 45 tập hợp khác Nếu không, số tập hợp

5 ĐỀ SỐ 5

Bài 1 (4 điểm)

1 Cho hàm số 4   2 2

yx  m x m  m , với m là tham số Tìm các giá trị của m để đồ

thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác đều

2 Một hộ gia đình cần xây dựng một bể chứa nước, dạng hình hộp chữ nhật có thể tích  3

2ac Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân

2 Có hai chuồng nhốt thỏ, chuồng thứ nhất nhốt 19 con thỏ lông màu đen và 1 con thỏ

lông màu trắng Chuồng thứ hai nhốt 13 con thỏ lông màu đen và 2 con thỏ lông màu trắng Bắt ngẫu nhiên mỗi chuồng đúng 1 con thỏ Tính xác suất để bắt được hai con thỏ có màu lông khác nhau

Bài 3 (3 điểm) Cho x y, là các số thực dương Giải hệ phương trình sau

11x2y 5 0, điểm B có hoành độ là số nguyên

Bài 5 (4 điểm) Cho lăng trụ ABC A B C    có đáy là tam giác vuông tại A AB, a BC, 2 a Mặt bên

BCC B  là hình thoi và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đáy Góc giữa hai mặt phẳng BCC B  và ABB A  bằng , với tan 5 2,

4

 hãy tính theo :a

a) Thể tích khối lăng trụ ABC A B C   

b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng A C  và B C

Bài 6 (2 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

ĐÁP ÁN Bài 1 (4 điểm)

 Tam giác ABC cân tại đỉnh A với   m 1

Do đó để tam giác ABC đều thì AB BC  4  

m   thì đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác đều

2 Gọi chiều cao, chiều rộng, chiều dài của bể lần lượt là h , x , y  m (Điều kiện: h x y, , 0)

Theo đề bài ta có 4

24

h x xyh

y x

Vậy khi chiều dài của bể bẳng 8

3 m thì ta xây bể tốn ít nguyên vật liệu nhất

      2 cosa Bc 4 sin cosR A B2 sinR C

2.sin cosA B sinC

  sinA B sinA B sinC

Chuồng thứ hai bắt ra 1 con thỏ có 15 cách

Số cách bắt ra mỗi chuồng 1 con thỏ là: n  15.20300Gọi A là biến cố: "bắt được hai con thỏ cùng màu"

+ TH1: Hai con thỏ cùng màu đen có 13 19 = 247 (cách) + TH2: Hai con thỏ cùng màu trắng có 1 2 = 2 (cách)

n A    (cách)

 

( ) 249( )

x y x y

(thỏa mãn điều kiện x y, 0)

Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm S     1;7 ; 3;3 

Bài 4 (3 điểm)

Gọi P là trung điểm của AB , J là giao điểm của PM và BD

Ta có P, M là trung điểm của AB và DC nên AP PM MD AD  

APMD

 là hình vuông

Xét hai tam giác vuông MNP và DJM có DM DM

5:

a a

t

t

t t

122

55

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí