Kinh tê quản lí. chương 2: Kỹ thuật tối ưu hóa

2.1/ Tổng chi phí, chi phí trung bình và chi phí cận biên:• Tổng chi phí TC: Là tổng các khoản chi phí cố định và biến đổi ngắn hạn phát sinh khi doanh nghiệp sản xuất một lượng sản lượn

NHÓM 8

Bộ môn: Kinh Tế Quản Lí

cận biên Phân tích tối ưu hóa

Phép vi phân Khái niệm đạo hàm

Qui tắc vi phân

Tối ưu hóa bằng phép toán

Tối ưu hóa nhiều biến

Tối ưu hóa ràng buộc

I Các phương pháp biểu diễn các

mối quan hệ kinh tế

Mối quan hệ đơn giản Sử dụng bảng hoặc

đồ thị

Mối quan hệ phức tạp Sử dung phương trình

- Là phương pháp hữu ích

- Sử dụng các kĩ thuật của phép toán vi

phân trong việc xác định giải pháp tối ưu của

một vấn đề

VD: giả sử rằng mối quan hệ giữa tổng doanh thu (TR) của một doanh nghiệp và khối lượng (Q) hàng hoá,dịch vụ mà doanh nghiệp đó bán ra trong một thời gian nhất định(ví dụ 1 năm) là:

TR = 100Q – 10

 Mối quan hệ giữa tổng doanh thu của doanh nghiệp và lượng bán của nó có  thể được biểu diễn dưới dạng phương trình, bảng hay đồ thị.

2.1/ Tổng chi phí, chi phí trung bình và chi phí cận biên:

• Tổng chi phí (TC): Là tổng các khoản chi phí cố định và biến đổi ngắn hạn phát sinh khi doanh nghiệp sản xuất một lượng sản lượng nhất định

II Quan hệ trung bình, tổng cộng, cận biên

• Chi phí trung bình(AC): là chi phí cho mỗi đơn vị sản xuất trong quá trình sản xuất Chi phí trung bình (AC) bằng tổng chi phí chia cho sản lượng

• Ví dụ, bộ phận sản xuất của ABC International đã hoàn thành sản xuất 10.000 widget Chi phí cố định của đợt sản xuất là 30.000 đô la, cộng thêm 2 đô la cho chi phí biến đổi cho mỗi đơn vị sản xuất Tính toán kết quả là:

($ 30,000 chi phí cố định + $ 20,000 Chi phí biến đổi) / 10,000 Đơn

vị = chi phí trung bình 5 Đô la

AC=TC/Q

TC: Tổng chi phí Q: Sản lượng

• Chi phí bình quân (ATC): là chi phí tính trên mỗi đơn vị sản lượng,

bao gồm tất cả các chi phí đầu vào của sản xuất.

ATC = TC/Q

Q : Sản lượng

TC : Tổng chi phí của tất cả các loại đầu vài được sử dung để sản xuất ra sản lượng

ATC = AFC +

AVC

AFC: Chi phí cố định bình quân

AVC: Chi phí biến đổi bình quân

* Chi phí cận biên (MC): là mức tăng chi phí (∆C) khi sản lượng tăng

thêm một đơn vị (∆Y) MC cùng với doanh thu cận biên (MR) quyết định mức sản lượng cho phép doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa

Chi phí cận biên (MC) bằng thay đổi trong tổng chi phí trên mỗi đơn

vị thay đổi của sản lượng

2.2/Sự hình thành về mặt hình học của các đường chi phí trung

bình và chi phí cận biên:

- Đường AC và MC trong hình 2.2 có thể

được xây dựng một cách hình học từ đường TC

- Hình 2.2 chỉ ra một mối quan hệ quan

trọng giữa đường AC và MC Đó là: khi

MC nằm dưới AC thì AC giảm và khi MC nằm trên AC thì AC tăng Khi AC không tăng cũng không giảm thì MC cắt AC từ phía dưới

- Doanh thu cận biên và lợi nhuận cận biên

là thay đổi trong tổng doanh thu và tổng lợi nhuận trên mỗi đơn vị thay đổi trong doanh số hay sản lượng

Phân tích tối

III PHÂN TÍCH TỐI ƯU HÓA

 Xem xét quá trình một doanh nghiệp xác định mức sản lượng mà tại đó tối đa hóa tổng lợi nhuận

 Sử dụng các đường tổng doanh thu và tổng chi phí để đặt ra cơ sở cho việc phân tích cận biên

 Doanh nghiệp hòa vốn

Tối ưu hóa bằng phân tích cận biên

Phân tích cận biên ?

 Là quá trình tính toán ước lượng các lợi ích tăng

thêm hay không khi công ty đầu tư thêm một khoản tiền vào trong quá trình sản xuất.

 Chi phí cận biên(MC): là thay đổi trong tổng chi

phí trên đơn vị sản lượng thay đổi được chỉ ra bởi độ dốc của đường TC.

 Doanh thu cận biên( MR): là thay đổi trong tổng

doanh thu trên đơn vị sản lượng hay doanh số thay đổi và được chỉ ra bơi độ dốc của đường TR

Hàm lợi nhuận quay bề lõm xuống dưới tối đa hóa lợi nhuận.

1

2

Phép vi phân khái niệm đạo hàm

Phân tích tối ưu có thể được áp dụng một cách thiết thực hơn, hiệu quả hơn khi được gắn với phép vi phân Dựa trên khái niệm đạo hàm mà được liên hệ chặt chẽ với khái niệm cận biên

Doanh thu cận biên là thay đổi trong tổng doanh thu trên mỗi đơn vị sản lượng thay

Đây là độ dốc của dây BC trên đường tổng doanh thu Tuy nhiên, khi lượng có thể phân chia vô

cùng nhỏ( có nghĩa là nhỏ hơn 1 và càng nhỏ đến mức ta muốn, thậm chí tiền đến 0 trong giới

hạn) MR là tốc độ của các dây càng nhỏ và tiến đến độ dốc của TR tại 1 điểm trong giới hạn.

Độ dốc này thay đổi ở mọi điểm trên tổng  doanh thu

Độ dốc này thay đổi ở mọi điểm trên tổng  doanh thu

Chú ý: nếu thay đổi X càng nhỏ thì giá trị của đạo hàm càng gần với độ dốc của đường đó tại 1 điểm

VD: Trong hình 2.4, với giữa 2 và 4, bình quân ( độ dốc của dây BD) Đối với càng nhỏ giữa 2 và 3, bình quân = 50( độ dốc của dây BC) sát với độ dốc của đường đó tại điểm B ( = 60)

V CÁC QUY TẮC VI PHÂN

1 KHÁI NIỆM

Vi phân là quá trình xác định đạo hàm của một hàm số Tức là tìm thay đổi của Y ứng với thay đổi của X khi thay đổi của X tiếp đến 0.

2 CÁC QUY TẮC VI PHÂN

Quy tắc hằng số Quy tắc hàm số mũ ở biến Quy tắc đạo hàm của tổng các hàm số

Quy tắc đạo hàm của 1 tích

Quy tắc đạo hàm của hàm Quy tắc đạo hàm của 1 thương

b.Quy tắc hàm số mũ ở biến:

•Đạo hàm của hàm số Y=a,a và b là các hằng

số ,bằng b nhân với a lần biến X mũ b-1.

• Y=adY/dX=b.a.

•  

c.Quy tắc đạo hàm của tổng các hàm số :

• Đạo hàm của 1 tổng bằng tổng đạo hàm của các hàm riêng lẻ.

• U=g(X) và V=h(X)

• Y=U+V

•

•  

d Quy tắc đạo hàm của 1 tích :

• Đạo hàm của tích 2 biểu thức bằng biểu thức thứ nhất nhân với đạo hàm của biểu thức thứ 2 sau đó cộng với tích của biểu thức thứ 2 với đạo hàm của biểu thức thứ nhất

• Y=U.V

• U=g(X) và V=h(X)

•

•  

e Quy tắc đạo hàm của 1 thương :

• Đạo hàm 1 thương của 2 biểu thức bằng mẫu số nhân với đạo hàm của tử số trừ đi tích của tử số với đạo hàm của mẫu số chia cho mẫu số bình phương.

• Y=U/V

• U=g(X) và V=h(X)

•

•  

f Quy tắc đạo hàm của hàm :

•Nếu Y=f(U) và U=g(X).Đạo hàm của Y theo X bằng đạo hàm của Y theo U nhân đạo hàm của U theo X.

• Y=f(U) và U=g(X)

•

•  

VI TỐI ƯU HÓA BẰNG PHÉP TOÁN

6.1 Xác định cực đại cựu tiểu bằng phép toán

- Đòi hỏi tìm giá trị cựu đại cực tiểu của một hàm

VD: Một doanh nghiệp muốn tối đa hóa doanh thu , tối đa hóa lợi nhuận sẽ tính được thông qua hàm công thức theo phép toán

- Giả sử : có hàm doanh thu TR=100Q-10

6.2 Phân biệt giữa cực đại và cực tiểu : Đạo hàm bậc 2

- Để phân biệt giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu ta sử dụng hàm bậc 2

VD : - Ta có hàm tổng quát : Y=f(X)= và đạo hàm bậc 2 viết là : Y/ d

- Một số ứng dụng cho hàm tổng doanh thu sau : TR = 45Q- 0,5 và d(/ dQ = 45-Q

- Đặt đạo hàm bậc nhất bằng0, ta thấy TR có độ dốc bằng 0 tại Q=45.Vì / d = -1 nên hàm TR này có cực đại tại Q=45

- Có hàm chi phí cận biên sau :

VII, Tối ưu hóa bị ràng buộc

7.1 Đạo hàm riêng.

- Hầu hết các mối quan hệ kinh tế đều nhiều hơn 2 biến

Ví dụ : Doanh thu có thể là một hàm hay phụ thuộc vào cả sản lượng và việc quảng cáo.

- Cần phải xác định ảnh hưởng cận biên đến biến phụ thuộc Những ảnh

hưởng cận biên được đo lường bằng đạo hàm riêng được kí hiệu là

7.2 Tối ưu hóa một hàm nhiều biến

Để tối đa hóa hoặc tối thiểu hóa một hàm nhiều biến, chúng ta phải đặt

từng đạo hàm riêng bằng 0 và giải hệ các phương trình để tìm giá tối ưu của

VIII)Tối ưu hóa bị ràng buộc

8.1, Tối ưu hóa ràng buộc bằng phương pháp thế

 Để giải bài toán, trước hết ta giải phương trình ràng buộc để tìm ra 1 biến quyết

định sau đó thế vào hàm mục tiêu mà doanh nghiệp cần tối đa hay tối thiểu hóa.

VD: một doanh nghiệp tối đa hóa hàm lợi nhuận như ở phần trước

Nhưng có ràng buộc X+Y=12

Ta giải hàm rang buộc đối với biến X rồi thế X vào hàm lợi nhuận

Để tối đa hóa hàm lợi nhuận không bị ràng buộc trên ta tìm đạo hàm của theo Y, đặt nó bằng 0 và giải ra Y

d/dY= -8+56=0

 Y= 7, thay Y=7 vào hàm ràng buộc X=5

 Doanh nghiệp tối đa hóa lợi nhuận kh sản xuất 5 đơn

vị hàng hóa X và 7 đơn vị hàng hóa Y

 = 868Đ

Để tối đa hóa hàm lợi nhuận không bị ràng buộc trên ta tìm đạo hàm của theo Y, đặt nó bằng 0 và giải ra Y

d/dY= -8+56=0

 Y= 7, thay Y=7 vào hàm ràng buộc X=5

 Doanh nghiệp tối đa hóa lợi nhuận kh sản xuất 5 đơn

vị hàng hóa X và 7 đơn vị hàng hóa Y

 = 868Đ

8.2 Tối ưu hóa bị ràng buộc bằng phương pháp nhân tử lagrange

Để minh họa, ta xét bài toán ở phần trước :