Chương này giới thiệu các định lý về phổ cho toán tử tự liên hợp, cho toán tử compact tổng quát, định lý phổ tổng quát, phổ và giải thức trong một đại số Banach và cuối cùng là định lý p[r]
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐỖ VĂN HƯNG
VỀ PHỔ CỦA TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - 2014
Trang 2ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐỖ VĂN HƯNG
VỀ PHỔ CỦA TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 60.46.15
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS TS Phan Viết Thư
Hà Nội - 2014
Trang 3Mục lục
Lời cảm ơn 3
Lời nói đầu 4
Chương 1 Các khái niệm cơ sở của giải tích hàm 9
1.1 Các không gian vectơ và họ tôpô 9
1.1.1 Các định nghĩa cơ bản 9
1.1.2 Các không gian con và các không gian thương 12
1.1.3 Các tính chất cơ bản của không gian Hillbert 14
1.2 Toán tử tuyến tính và các phiếm hàm 20
1.2.1 Định lý Hahn - Banach 21
1.2.2 Tính đối ngẫu 22
1.3 Các định lý cơ bản 27
1.3.1 Định lý ánh xạ mở 27
1.3.2 Nguyên lý bị chặn đều 29
1.3.3 Định lý miền giá trị đóng 31
1.4 Tôpô yếu và tôpô yếu∗ 32
1.4.1 Tôpô yếu 32
1.4.2 Tôpô yếu∗ 35
Chương 2 Một số dạng định lý phổ cho một số lớp toán tử quan trọng 39
2.1 Toán tử Hilbert - Schmidt 39
2.2 Toán tử compact 41
2.3 Định lý phổ của toán tử compact tự liên hợp 44
Trang 42.4 Phổ của một toán tử compact tổng quát 48
2.5 Giới thiệu về định lý phổ tổng quát 52
2.5.1 Phổ và giải thức trong một đại số Banach 52
2.5.2 Định lý về phổ của toán tử tự liên hợp bị chặn trong không gian Hilbert 56 Chương 3 Độ đo phổ ngẫu nhiên tổng quát 60
3.1 Giới thiệu 60
3.2 Độ đo phổ ngẫu nhiên 61
3.3 Toán tử chiếu ngẫu nhiên 65
3.4 Độ đo phổ ngẫu nhiên tổng quát 70
Chương 4 Khái niệm vết của toán tử và không gian Lp cho lớp toán tử compact 75
4.1 Định nghĩa vết 76
4.2 Lớp toán tử vết và lớp toán tử Hilbert-Schmidt 77
4.3 Một dạng cụ thể của lớp toán tử Hilbert - Schmidt 82
4.4 Không gian Lp của lớp toán tử compact 86
Kết luận 87
Tài liệu tham khảo 88
Trang 5LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành luận văn này, tác giả tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc của mình tới Thầy: PGS.TS Phan Viết Thư, người đã tận tình hướng dẫn và đóng góp nhiều ý kiến quý báu Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn tập thể các Thầy cô giáo, các nhà khoa học của trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên – ĐHQG Hà Nội đã giúp đỡ tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành cuốn luận văn này
Trong quá trình viết luận văn, mặc dù dưới sự chỉ đạo ân cần chu đáo của các Thầy cô giáo và bản thân cũng hết sức cố gắng, song bản luận văn này không tránh khỏi những hạn chế thiếu sót Vì vậy, tác giả rất mong được sự góp ý, giúp đỡ của các Thầy cô, các bạn để bản luận văn này được hoàn chỉnh hơn Tác giả xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 19 tháng 08 năm 2014
Học viên
Đỗ Văn Hưng
Trang 6LỜI NÓI ĐẦU
Mục đích của lý thuyết phổ là phân lớp các toán tử tuyến tính giữa các không gian Banach mà ta hạn chế xét trên không gian Hilbert do chúng là một đại diện đặc biệt của các không gian Banach Chúng có liên hệ gần gũi với hình học Euclide
Ta có thể nghĩ đến nhiều cách khác nhau để phân loại các toán tử tuyến tính Đại số tuyến tính (hữu hạn chiều) gợi ý rằng hai toán tử tuyến tính
T1, T2 : H1 → H2 liên hệ bởi công thức
với các toán tử khả nghịch Ui : Hi → Hi thì T1, T2 có chung nhiều tính chất như nhau Ta có thể coi chúng cùng một lớp Trong trường hợp hữu hạn chiều,
Ui tương ứng với đổi cơ sở trong Hi, chúng không làm thay đổi bản chất bên trong của các toán tử Cách giải thích này nói chung không còn đúng trong trường hợp vô hạn chiều bởi ở đó không có khái niệm tốt về cơ sở, nhưng cách định nghĩa trên vẫn có ý nghĩa đáng quan tâm và ta có thể thử mô tả tất cả các toán tử từ H1 vào H2 bởi các quan hệ như trên Để làm đơn giản ý tưởng,
ta sẽ chọn H1 = H2 = H và coi hai toán tử T1, T2 : H → H ở cùng một lớp nếu tồn tại một toán tử khả nghịch U : H → H sao cho
T2◦ U = U ◦ T1 tức là T2 = U T1U−1 (2) Trong đại số tuyến tính, bài toán phân lớp được giải thành công bởi lý thuyết giá trị riêng, không gian riêng, đa thức đặc trưng và tối thiểu (minimal) dẫn đến “dạng chính tắc” Cho các toán tử tuyến tính từ Cn → Cn với n ≥ 1 Khi
H có số chiều vô hạn, ta không có một định lý tổng quát Nhưng xuất hiện khả năng là nhiều toán tử rất quan trọng mà ta sử dụng có tính chất mà trong trường hợp số chiều hữu hạn có sự mô tả thậm chí đơn giản hơn Chúng thuộc một trong các lớp đặc biệt các toán tử trên không gian Hilbert như: toán tử lấy liên hợp T → T∗, toán tử chuẩn, toán tử tự liên hợp, toán tử dương, toán tử Unita Đối với các lớp này, nếu dim H = n thì luôn có một cơ sở trực chuẩn (e1, , en) của các vectơ riêng của T với giá trị riêng λ1, , λn và trong cơ sở
Trang 7này ta có thể viết
T (X
i
αiei) = X
i
(Tương ứng với biểu diễn ma trận đường chéo) Trong trường hợp vô hạn chiều, nói chung ta không thể viết như thế một cách rõ ràng Tuy nhiên có một cách giải thích của biểu diễn này là cho nó tuân theo sự tổng quát Xét ánh xạ tuyến tính
U : H → Cn
ei 7−→ (0, , 0, 1, 0, , 0) với 1 ở vị trí thứ i Ánh xạ này là một song ánh đẳng cự, do định nghĩa của một cơ sở trực chuẩn, nếu Cn là một tích trong tiêu chuẩn và ta định nghĩa
T1 : Cn → Cn
αi 7−→ (αiλi)
Thì (3) trở thành
Rõ ràng là khi ta giải nghĩa điều đó theo cách (nó cho ta một cách nhìn hơi khác bài toán phân lớp): Với mọi không gian Hilbert hữu hạn chiều H và toán
tử chuẩn T ta nhận được không gian và toán tử “mẫu” (Cn, T1) sao cho (H, T ) tương đương với (Cn, T1) (Thực ra là unitary tương đương do U là đẳng cự) Định lý phổ mà chúng tôi trình bày trong luận văn này là sự tổng quát hóa của loại đưa về “dạng chính tắc” này Điều này rất thành công vì các không gian và các toán tử “mẫu” hoàn toàn đơn giản: chúng là loại L2(X, µ) với không gian
có độ đo (X, µ) nào đó (Trường hợp Cn tương ứng với X = {1, 2, , n} với độ
đo đếm) Và toán tử “mẫu” là toán tử nhân (phép nhân): Tg : f 7−→ gf với một hàm g : X → C thích hợp Toán tử nhân cho ta một “mẫu” cho mọi toán tử (chuẩn) trên không gian Hilbert Giả sử (X, µ) là một không gian có độ đo hữu hạn (tức là µ(X) < +∞) Giả sử g ∈ L∞(X, µ) là một hàm bị chặn thì ta có một ánh xạ tuyến tính liên tục:
Mg : L2(X, µ) → L2(X, µ)
f 7−→ gf
Trang 8Z
X
|g(x)f (x)|2dµ(x) ≤ kgk2∞· kf k2,
nên Mg được định nghĩa tốt và liên tục với chuẩn kMgk ≤ kgk∞ Chú ý thêm rằng
< Mg(f1), f2 > =
Z
X
g(x)f1(x)f2(x)dµ(x)
=< f1, Mg(f2) >
với mọi f1, f2 ∈ L2(X, µ) Do đó toán tử liên hợp của Mg được cho bởi Mg = Mg, dẫn đến Mg là tự liên hợp khi và chỉ khi g là tự liên hợp (hầu khắp nơi) Với g1, g2 ∈ L∞(X, µ), ta có
Mg1(Mg2(f )) = g1(g2(f )) = g2(g1(f )) = Mg2(Mg1(f ))
Do đó mọi toán tử Mg với g ∈ L∞(X, µ) giao hoán Suy ra chúng đều là chuẩn tắc Nếu X ⊂ C là một tập đo được đối với độ đo Lebesgue µ thì trường hợp g(x) = x là đặc biệt quan trọng Bổ đề sau cho biết ta không thể xây dựng nhiều hơn toán tử nhân bị chặn so với sử dụng hàm bị chặn
Bổ đề Giả sử (X, µ) là một không gian có độ đo hữu hạn và giả sử g là một hàm đo được X → C Nếu ϕ 7−→ gϕ ánh xạ L2(X, µ) vào L2(X, µ) không nhất thiết liên tục, thì g ∈ L∞(X, µ)
Trở lại câu hỏi động cơ thúc đẩy đến định lý phổ, tại sao ta muốn phân lớp các toán tử trên không gian Hilbert ? Động cơ căn bản đến từ nguồn chung giống như của giải tích hàm: Trong ứng dụng ta thường cần (hoặc muốn) giải các phương trình tuyến tính T (v) = w giữa các không gian Banach, đặc biệt
là các không gian Hilbert Vì mục đích này có một sự phân lớp cụ thể (dạng hiện) với mô hình mẫu đơn giản sẽ rất có ích Nếu ta có quan hệ như (1) thì
ta có T1(v) = w ⇔ T2(v1) = w1 với v1 = U1(v), w1 = U2(w) Như vậy nếu ta hiểu toán tử “mẫu” T2 và các ánh xạ khả nghịch U1, U2, ta có thể chuyển lời giải của các phương trình tuyến tính liên quan đến T1 thành lời giải tương ứng liên quan tới T2 Tương tự đối với (2) hay (4)
Bây giờ ta nhận thấy là với mẫu toán tử nhân T2 = Mg trên L2(X, µ), lời giải của phương trình Mg(f ) = h thỏa mãn được trực tiếp (ít nhất là về mặt
Trang 9hình thức) là f = g
h Điều này tương ứng một cách trực giác đến chéo hóa hệ các phương trình tuyến tính, và tất nhiên đòi hỏi nhiều sự thận trọng hơn vì hàm g có thể có nghiệm và tỷ số h/g có thể không thuộc L2(X, µ)
Trường hợp đặc biệt, tuy còn là hình thức, chú ý rằng làm thế nào biến đổi Fourier cùng với (6) gợi ý mạnh mẽ chúng ta hãy thử giải các phương trình liên quan đến toán tử Laplace ∆f = g bằng cách “chuyển sang thế giới của Fourier” Thực tế đây là ý tưởng rất hiệu quả, nhưng tất nhiên đòi hỏi nhiều sự thận trọng hơn vì các toán tử liên quan không liên tục
Hiểu được ý nghĩa và khả năng ứng dụng to lớn của lý thuyết phổ toán tử, tác giả đã chọn đề tài luận văn của mình là “ Về phổ của toán tử tuyến tính”
Để tiếp tục tìm hiểu sâu về vấn đề này:
Luận văn được chia làm bốn chương:
Chương 1 Các khái niệm cơ sở của giải tích hàm và toán tử tuyến tính
Chương này giới thiệu các khái niệm cơ bản về không gian Banach, không gian Hilbert và về khái niệm toán tử tuyến tính trên các không gian này cùng các tính chất cơ bản nhất của chúng
Chương 2 Một số dạng định lý phổ cho một số lớp toán tử quan trọng
Chương này giới thiệu các định lý về phổ cho toán tử tự liên hợp, cho toán
tử compact tổng quát, định lý phổ tổng quát, phổ và giải thức trong một đại
số Banach và cuối cùng là định lý phổ của toán tử tự liên hợp bị chặn trong không gian Hilbert
Chương 3 Độ đo phổ ngẫu nhiên tổng quát
Chương này giới thiệu về độ đo phổ ngẫu nhiên, độ đo phổ ngẫu nhiên tổng quát; Định lý hội tụ bị chặn cho độ đo phổ ngẫu nhiên và độ đo phổ ngẫu nhiên tổng quát; Định lý về bổ sung của một độ đo phổ ngẫu nhiên tổng quát
Chương 4 Khái niệm vết của toán tử và không gian Lp cho lớp toán tử compact
Chương này giới thiệu khái niệm vết của toán tử và cách sử dụng chúng với vai trò tích phân của các hàm toán tử để xây dựng các không gian Lp cho đại
số toán tử, ký hiệu là Bf(H), chẳng hạn B1(H) với chuẩn kT k1 = tr (H) là lớp toán tử vết có vai trò như là không gian các hàm khả tích B2(H) là lớp toán
Trang 10tử Hilbert-Schmidt có dạng như trong L2 là một không gian Hilbert
Hà Nội, ngày 19 tháng 08 năm 2014
Học viên
Đỗ Văn Hưng
Trang 11Chương 1
Các khái niệm cơ sở của
giải tích hàm
(1) Một chuẩn xác định một tôpô Hausdorff trên một không gian vectơ mà các phép toán đại số là liên tục, kết quả là được một không gian tuyến tính chuẩn Nếu nó là đầy đủ thì được gọi là không gian Banach
(2) Tích trong (tích vô hướng) và nửa tích trong: Trong tập số thực một tích trong là một dạng song tuyến tính xác định dương từ X × X → R Trong tập
số phức, nó là dạng nửa song tuyến tính: X × X → C xác định dương, đối xứng Hermitian Một (nửa) tích trong sinh ra một (nửa) chuẩn Do vậy một không gian tích trong (không gian Unita) là một trường hợp đặc biệt của không gian tuyến tính chuẩn Một không gian tích trong đầy đủ (không gian Unita đầy đủ)
là một không gian Hillbert, một trường hợp đặc biệt của không gian Banach
Sự phân cực đơn vị biểu diễn chuẩn của một không gian có tích trong theo tích trong Đối với một không gian tích trong thực, đó là:
(x, y) = 1
4(||x + y||
2− ||x − y||2)
Trang 12TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tài liệu tham khảo Tiếng Việt
[1] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2001), Cơ sở lý thuyết hàm và giải tích hàm, Tập II, NXB Giáo Dục
[2] Trịnh Minh Nam (2007), Toán tử đo được, Luận văn thạc sỹ khoa học – ĐH KHTN
[3] Nguyễn Duy Tiến, Nguyễn Viết Phú ( 2006), Cơ sở lý thuyết xác suất, NXB ĐHQG HN
[4] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực và giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội
[5] Đặng Hùng Thắng (2007), Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên, Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội
[6] Phạm Thị Phương Thúy (2007), Phiếm hàm tuyến tính và độ đo, Luận văn thạc sỹ khoa học – ĐH KHTN
Tài liệu tham khảo Tiếng Anh
[7] Edward Nelson (1974), Notes on Non – commutative integration, Journal of functional anylysic
[8] Dang Hung Thang, Nguyen Thinh and Tran Xuan Quy (2014), General-ized Random Spectral Measures, Journal of Theoretical Probability, Volum 27, Number 2, Springer – Verlag New York Inc
[9] R.V.Kadison, J.R.Ringrose ( 1986), Fundamentals of the theory of operator algebras, Volum I, II
[10] Pederson (1989), Anlysis now, Springer – Verlag New York Inc