Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp huyện năm 2019-2020 - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc dành cho các bạn học sinh lớp 10 và quý thầy cô tham khảo giúp các bạn học sinh có thêm tài liệu chuẩn bị ôn tập cho kì thi học sinh giỏi sắp tới được tốt hơn cũng như giúp quý thầy cô nâng cao kỹ năng biên soạn đề thi của mình. Mời các thầy cô và các bạn tham khảo.
Trang 1PHÒNG GD-ĐT SÔNG LÔ KÌ THI CHỌN HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2019-2020 MÔN TOÁN LỚP 9
Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi này gồm 01 trang
Ngày thi : 06/11/2019
Câu 1 (2 điểm) Cho biểu thức: 2 9 3 2 1
P
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm các giá trị của x để P 0
Câu 2 (2 điểm) Cho biết 2 2
x x y y Tính giá trị biểu thức 2019 2019
Ax y
Câu 3 (2 điểm) Giải phương trình: 1 1 2
x x x
Câu 4 (2 điểm) Tìm tất cả các số nguyên x y; thỏa mãn:
2
x y y y y
Câu 5 (2 điểm) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 2 3 4
1 p p p p là số tự nhiên
Câu 6 (2 điểm) Các cạnh a b c, , của tam giác ABC thỏa mãn đẳng thức:
p p a p b p c
a b c
Hỏi tam giác ABC là tam giác gì? Vì sao?
Câu 7 (2 điểm) Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn a b c 3
Tìm giá trị nhỏ nhất củaP 12 12 12 2 12 2
Câu 8 (4 điểm) Qua điểm K nằm ngoài đường tròn (O;R), kẻ đường thẳng cắt đường tròn (O)
tại A và B (A nằm giữa K và B, AB < 2R) Gọi d là đường trung trực của KB, H là hình chiếu của O trên d Gọi I là trung điểm của OK, N là trung điểm của AB, M là giao điểm của d và
KB
a) Chứng minh tứ giác OHMN là hình chữ nhật và AK = 2OH
b) Tính IH theo R
Câu 9 (1 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A Gọi M là trung điểm của AC Đường thẳng qua A vuông góc với BMcắt BCtại D Chứng minh DB 2DC
Câu 10 (1 điểm) Trên đường tròn cho 6 điểm phân biệt Hai điểm bất kì trong 6 điểm này đều được nối với nhau bằng một đoạn thẳng màu xanh hoặc màu đỏ Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có ba cạnh cùng màu
==== HẾT ====
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ tên thí sinh SBD: Phòng thi
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2PHÒNG GD&ĐT SÔNG LÔ HDC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học: 2019 – 2020 Môn Toán – Lớp 9
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
1
Điều kiện để P xác định là : x 0;x 4;x 9
P
3
x
0,25
0,25 0,5
Với x 0;x 4;x 9, ta có 0 1 0 3 0 9
3
x
x
Kết luận: 0 x 9 và x 4 thì P 0
0,5
0,5
2
Ta có: x 2019 x2 2019 x2 xy 2019 y2 2019 2019 x2 x
2 2
Tương tự ta có: x 2019 x2 2019 y2 y (2)
Từ (1) và (2) suy ra x y 0 x y
0
A
0,5
0,5 0,5
0,5
3
4
x
2
2
1 1
2 0
4 2
x
(vì 1 1 2 0
4 2
x )
2 2
x
(tmđk)
0,5
0,5
0,5 0,5
4
Phương trình đã cho tương đương 2 2 2
x y y y y
3
t t t t t t t t t
2
t x t ( vô lí)
y y y y y
Vì yZ nên y 3; 2; 1;0
Suy ra x y; 2019;0 , 2019; 1 , 2019; 2 2019; 3
0,5
0,5
0,5
0,5
Trang 3Suy ra: 2 2 2
2p p 2n 2p p 2
2p p 2n 2p p 2 2n 2p p 1
4 4 p 4p 4p 4p 2p p 1
2
p p p ( dop là số nguyên tố p 0)
1 p p p p 1 3 3 3 3 11 (tm)
Vậyp 3
0,5
0,5
0,5
6
p p c p a p b
p c p p b p a
p p c p a p b
2 p c a b
p p c p a p b
a b c a b c a b b c a a ba c b
2 2 2 2
2a 1 4a 2
2b a b a b 2ab c c b a
Suy ra tam giác ABC vuông tại A
0,5
0,5
0,5
0,5
7
Ta có:
a
a b c abbcca bc a b c ab bc ca
P
ab bc ca
Áp dụng AM-GM ta
27 3
27
ab bc ca
3
ta b c
P
t
Dấu “=” khi t 3 a b c 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 10
3 khi và chỉ khia b c 1
0,5
0,5
0,5
0,5
8a
Trang 4d I
A
O K
B M
N C
H
Chứng minh OHMN là hình chữ nhật,
0,5
0,5
8b
2
K
KC Do đó OH =KC
HOI= CKI( c-g-c)
Suy ra IH = IC (1)
R
Từ (1) và (2) Suy ra
2
R
IH
0,5
0,5
9
A
D
H
K M
Kẻ CK vuông góc AD, KAD
Gọi H là giao điểm AD với BM
Vì BH//CK nên DC CK (1)
DB BH
Mặt khác DC CK 2HM (2)
DB BH BH
Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao ta có:
2 2
AM HM BM HM AM ,thay vào (2) ta được
0,5
0,5
Trang 510
Giả sử 6 điểm A, B, C, D, M, N trên cùng 1 đường tròn
Từ 1 điểm vẽ đến 5 điểm còn lại được 5 đoạn thẳng thì có ít nhất 3 đoạn thẳng cùng màu Giả sử 3 đoạn thẳng AB, AC, AD cùng màu đỏ( nếu cùng màu xanh thì lập luận tương tự)
Xét tam giác BCD nếu có 1 cạnh, chẳng hạn BC màu đỏ thì tam giác ABC có 3 cạnh màu đỏ Trái lại thì tam giác ABC có ba cạnh màu xanh
0,5
0,5