- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn [r]
Trang 1CHUYÊN ĐỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC 1.Các kiến thức vận dụng :
* a2 + 2.ab + b2 = ( a + b)2 0 với mọi a,b
* a2 – 2 ab + b2 = ( a – b)2 0 với mọi a,b
*A2n 0 với mọi A, - A2n 0 với mọi A
* A , 0, A − A 0, A
* A+ B +A B,A B, dấu “ = ” xẩy ra khi A.B 0
* A− B −A B,A B, dấu “ = ” xẩy ra khi A,B 0
2 Bài tập vận dụng:
* Dạng vận dụng đẳng thức : a2 + 2.ab + b2 = ( a + b)2 0 với mọi a,b
Và a2 – 2 ab + b2 = ( a – b)2 0 với mọi a,b
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức sau:
a) P(x) = 2x2 – 4x + 2012
b) Q(x) = x2 + 100x – 1000
Hướng dẫn
a) P(x) = 2x2 – 4x + 2012 = 2(x2 – 2.x + 12 ) + 2010 = 2( x – 1)2 + 2010
Do ( x - 1)2 0 với mọi x , nên P(x) 2010 Vậy Min P(x) = 2010
khi ( x - 1)2 = 0 hay x = 1
b) Q(x) = x2 + 100x – 1000 = ( x + 50)2 – 3500 - 3500 với mọi x
Vậy Min Q(x) = -3500
Từ đây ta có bài toán tổng quát : Tìm GTNN của đa thức P(x) = a x2 + bx +c ( a > 0)
Hướng dẫn
P(x) = a x2 + bx +c = a( x2 + 2.x
2
b
a +
2
2
b
a ) + ( c -
2 4
b
a)
= a(
2 4 4
ac b a
−
khi x =
2
b a
−
Bài 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) A = - a2 + 3a + 4
b) B = 2 x – x2
Hướng dẫn
a) A = - a2 + 3a + 4 = ( 2 2 .3 ( ) ) (43 2 9) ( 3)2 25
Do ( 3) 0,
2
− − nên A 25,
Vậy Max A = 25
4 khi a =
3 2
b) B = 2x−x2 = −(x2−2 .1 1 ) 1x + 2 + = − −(x 1)2+1 Do − − (x 1) 0, x B 1, x
Trang 2Vậy Max B = 1 khi x = 1
Bài 3 : Tỡm giỏ trị lớn nhất của cỏc biểu thức sau:
a) P = 2 2012
x + x+
b) Q =
2012 2012
2013 2011
a
a
+ +
* Dạng vận dụng A 2n 0 với mọi A, - A 2n 0 với mọi A
Bài 1 : Tỡm GTNN của biểu thức :
a) P = ( x – 2y)2 + ( y – 2012)2012
b) Q = ( x + y – 3)4 + ( x – 2y)2 + 2012
Hướng dẫn
a) do 2
(x−2 )y 0, x y, và 2012
(y−2012) 0, y suy ra : P 0 với mọi x,y
Min P = 0 khi 2 0 4024
(x+ −y 3) 0 x y, và 2
(x−2 )y 0 x y, suy ra : Q 2012 với mọi x,y
Min Q = 2012 khi
2 2
1 ( 2 ) 0
y
x y
Bài 3 : Tỡm GTLN của R = 4
2
2013 (x−2) + −(x y) +3
Bài 4: Cho phõn số:
5 4
2 3
−
+
=
x
x
C (x Z) a) Tỡm x Z để C đạt giỏ trị lớn nhất, tỡm giỏ trị lớn nhất đú
b) Tỡm x Z để C là số tự nhiờn
Hướng dẫn
C
C lớn nhất khi 23
12x −15 lớn nhất 12 x − nhỏ nhất và 1215 x −15 0 = x 2
Vậy Max C = 3(1 23) 8
4 + 9 =3 khi x = 2
Bài 5 : Tìm số tự nhiên n để phân số
3 2
8 7
−
−
n
n
có giá trị lớn nhất
Hướng dẫn
Ta cú 7 8 7 2(7 8) 7 14 16 7(1 5 )
Trang 3Để
3 2
8 7
−
−
n
n
lớn nhất thì 5
14n −21 lớn nhất 14n−21 0 và 14n – 21 có giá trị nhỏ nhất 21 3
n
và n nhỏ nhất n = 2
* Dạng vận dụng A , 0, A − A 0, A
, ,
A+ B +A B A B dấu “ = ” xẩy ra khi A.B 0
, ,
A− B −A B A B dấu “ = ” xẩy ra khi A,B 0
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a) A = ( x – 2)2 + y− + 3 x
b) B = 2011
2012− −x 2010
Hướng dẫn
a) ta có (x −2)2 0 với mọi x và y− với mọi x,y x 0 A 3 với mọi x,y
Suy ra A nhỏ nhất = 3 khi
2
2 0
y
y x
b) Ta có − −x 2010 với mọi x 0 2012 − −x 2010 2012 với mọi x
B
2012
B
với mọi x, suy ra Min B = 2011
2012 khi x = 2010
Bài 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức
a) A= −x 2011+ −x 2012
b) B= −x 2010 + −x 2011+ −x 2012
c) C = x− + − +1 x 2 + −x 100
HD :
a) Ta có A= −x 2011+ −x 2012 = x−2011+ 2012− −x x 2011 2012+ − = x 1
với mọi x với x Vậy Min A = 1 Khi A 1 (x−2011)(2012−x) 0 2011 x 2012
b) ta có B= −x 2010 + −x 2011+ −x 2012 =(x−2010 + 2012−x)+ −x 2011
Do x−2010 + 2012− −x x 2010 2012+ − = với mọi x (1) x 2
Và x −2011 với mọi x (2) 0
Suy ra B =(x−2010 + 2012−x)+ −x 2011 2 Vậy Min B = 2 khi BĐT (1) và (2) xẩy ra dấu “=”
x x
=
c) Ta có
Trang 41 2 100
x− + − +x + −x = (x− +1 100−x) (+ x− +2 99−x) (+ + x−50+ 56−x)
− + − + − + − + + − + − = 99 + 97 + + 1 = 2500
Suy ra C 2050 với mọi x Vậy Min C = 2500 khi
50 x 56
Trang 5
Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi
về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh
tiếng
dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn
II.Khoá Học Nâng Cao và HSG
THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG
cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu
tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí