Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 6 Trường THCS Cương Sơn

Tính số trang của mỗi quyển vở mỗi loại. Có bao nhiêu góc trong hình vẽ ? Vì sao. b, Vậy với n tia chung gốc. Có bao nhiêu góc trong hình vẽ.. Từ câu a suy ra tổng quát. Qua điểm M kẻ đ[r]

TRƯỜNG THCS CƯƠNG SƠN ĐỀ THI HSG LỚP 6

MÔN: TOÁN

(Thời gian làm bài: 120 phút)

Đề số 1

Bài 1 (3điểm)

a, Cho A = 9999931999 - 5555571997 Chứng minh rằng A chia hết cho 5

b, Chứng tỏ rằng:

41

1

+

42

1

+

43

1

+ …+

79

1

+

80

1

>

12 7

Bài 2 (2,5điểm)

Tổng số trang của 8 quyển vở loại 1 ; 9 quyển vở loại 2 và 5 quyển vở loại 3 là 1980 trang Số trang của một quyển vở loại 2 chỉ bằng

3

2

số trang của 1 quyển vở loại 1 Số trang của 4 quyển vở loại 3 bằng số trang của 3 quyển vở loại 2 Tính số trang của mỗi quyển vở mỗi loại

Bài 3: (2điểm)

Tìm số tự nhiên n và chữ số a biết rằng: 1+ 2+ 3+ …….+ n = aaa

Bài 4 (2,5 điểm)

a, Cho 6 tia chung gốc Có bao nhiêu góc trong hình vẽ ? Vì sao

b, Vậy với n tia chung gốc Có bao nhiêu góc trong hình vẽ

ĐÁP ÁN Bài 1:

a) (1,5đ) Để chứng minh A  5, ta xét chữ số tận cùng của A bằng việc xét chữ số tận cùng của từng số hạng Ta có: 31999 = ( 34)499 33 = 81499 27

Suy ra: 31999 có tận cùng là 7

71997 = ( 74)499 7 = 2041499 7  7 1997 Có tận cùng là 7

Vậy A có tận cùng bằng 0  A  5

b) (1,5điểm) Ta thấy:

41

1

đến

80

1

có 40 phân số

Vậy :

80

1 79

1 78

1

43

1 42

1 41

= (

60

1 59

1

42

1 41

1

+ + +

62

1 61

1

…….+

80

1

791 + ) (1)

Vì  

42

1 41

1

… >

60

1

và

61

1

>

62

1

>…>

80

1

(2)

Ta có : ( + +

60

1 60

1

….+

60

1

601 + ) + (

80

1

+

80

1

+….+

80

1

801 + )

=

12

7 12

3 4 4

1 3

1 80

20 60

Từ (1) , (2), (3) Suy ra:

80

1 79

1 78

1

43

1 42

1

41

1 + + + + + + >

12 7

Bài 2: Vì số trang của mỗi quyển vỡ loại 2 bằng

3

2

số trang của 1 quyển loại 1

Nên số trang của 3 quyển loại 2 bằng số trang của 2 quyển loại 1

Mà số trang của 4 quyển loại 3 bằng 3 quyển loại 2

Nên số trang của 2 quyển loại 1 bằng số trang của 4 quyển loại 3

Do đó số trang của 8 quyển loại 1 bằng : 4 8 : 2 = 16 ( quyển loại 3)

Số trang của 9 quyển loại 2 bằng 9 4 : 3 = 12 (quỷên loại 3)

Vậy 1980 chính là số trang của 16 + 12+ 5 = 33(quyển loại 3)

Suy ra: Số trang 1 quyển vở loại 3 là 1980 : 33 = 60 ( trang)

Số trang 1 quyển vở loại 2 là 80

3

4

60 = (trang)

Số trang 1 quyển vở loại1 là; 120

2

3 80

= ( trang)

Bài 3:

Từ 1; 2; ………; n có n số hạng

Suy ra 1 +2 +…+ n =

2

)

1 (n + n

Mà theo bài ra ta có 1 +2 +3+… +n = aaa

Suy ra

2

)

1 (n + n

= aaa = a 111 = a 3.37

Suy ra: n(n + 1) = 2.3.37.a

Vì tích n(n + 1) Chia hết cho số nguyên tố 37 nên n hoặc n + 1 Chia hết cho 37

Vì số

2

)

1 (n + n

có 3 chữ số Suy ra n+1 < 74  n = 37 hoặc n + 1 = 37

+) Với n = 37 thì 703

2

38 37

= ( loại)

+) Với n + 1 = 37 thì 666

2

37

36 = ( thoả mãn)

Vậy n =36 và a = 6 Ta có: 1+2+3+… + 36 = 666

Bài 4 :

a) (1,5điểm)

Vì mỗi tia với 1 tia còn lại tạo thành 1 góc Xét 1 tia, tia đó cùng với 5 tia còn lại tạo thành 5 góc Làm như vậy với 6 tia ta được 5.6 góc Nhưng mỗi góc đã được tính 2 lần do đó có tất cả là 15

2

6 5

= góc

b) (1điểm) Từ câu a suy ra tổng quát Với n tia chung gốc có n(

2 1

−

n

) (góc)

Đề số 2

Bài 1: (6 điểm) Thực hiện dãy tính

2

:

+

Bài 2: (5 điểm) Tìm 2 số tự nhiêna, b, thoả mãn: a + 2b = 48 và (a, b) + 3[ a, b] = 114

Bài 3 Cho tam giác ABC (CA < CB), trên BC lấy các điểm M và N sao cho BM = MN = NC Qua điểm

M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AN tại I

a) Chứng minh: I là trung điểm của AN

Bài 4: (1,0điểm) So sánh A và B biết:

A =

1 17

1 17

19

18

+

+

, B =

1 17

1 17

18

17

+ +

Bài 5: (2,0điểm) Tím tất cả các số nguyên n để:

a) Phân số

1 2

n n

+

− có giá trị là một số nguyên b) Phân số 3012 +12

+

n

n

là phân số tối giản

ĐÁP ÁN

Bài 1:

2861 102 25

56 : 25

1 18 7 17

2 16 12

5 13 4

1 18 49

7

3 : 200

11 200

83 5

3 : 25

1 18

− +

−











+

=

17 8 7 3 2

15247 102

56

2861 18

7 56 2861 25

102 25 1 8

7 102 25

2861 56 : 25

1

8

7

2

= +

= +

= +

Bài 2: a+2b = 48 và (a,b) + 3 [a,b] = 114

114  3 ; 3[a,b]  3  (a,b)  3 và a + 2b = 48  a  2  a  6

 a  { 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42}

(a,b)+3[a,b] 129 114 360 84 360 114 168

Bài 3:

Từ I kẻ đường thẳng // BC cắt AB tại H Nối MH

Ta có: BHM = IMH vì:

BHM = IMH(so le trong)

BMH = IHM(so le trong)

Cạnh HM chung =>BM = IH = MN

AHI = IMN vì:

IH = MN (kết quả trên)

AHI = IMN ( ABC) =

AIH = INM (đồng vị)

=> AI = IN (đpcm)

Bài 4

Vì A =

1 17

1 17

19

18

+

+

< 1  A=

1 17

1 17

19

18

+

+

<

16 1 17

16 1 17

19

18

+ +

+

+

)

(17 1 17

1 17 17

18

17

+

+ =

1 17

1 17

18

17

+

+

= B

Vậy A < B

Bài 5

a)

1

2

n

n

+

− là số nguyên khi (n+1) (n-2)

Ta có (n+1) = (n −2) 3+ 

Vậy (n+1) (n-2) khi 3(n-2)

(n-2)  Ư(3) = − −3; 1;1;3

=> n  −1;1;3;5

b) Gọi d là ƯC của 12n+1 và 30n+2 (dN*) 12n+ 1 d, 30n+ 2 d



5 ( 12n+ 1 ) − 2 ( 30n+ 2 ) d (60n+5-60n-4) d  1 d mà dN* d = 1

Vậy phân số đã cho tối giản

A

B

H

I

Đề số 3

Bài 1 (3điểm)

a Tính nhanh: A = 1.5.6 2.10.12 4.20.24 9.45.54

1.3.5 2.6.10 4.12.20 9.27.45

b Chứng minh : Với kN* ta luôn có : k k( +1)(k+ − −2) (k 1) (k k+ =1) 3.k k( + 1)

áp dụng tính tổng : S = 1.2 2.3 3.4 + + + +n n.( + 1)

Bài 2 (3điểm)

a.Chứng minh rằng : nếu (ab cd+ +eg) 11 thì : abcdeg 11

b.Cho A = 2+22+23+ + 2 60 Chứng minh : A 3 ; 7 ; 15

Bài 3 (2điểm) Chứng minh : 12 13 14 1

2 +2 +2 + + 2n < 1

Bài 4(2 điểm)

a Cho đoạn thẳng AB = 8cm Điểm C thuộc đường thẳng AB sao cho BC = 4cm Tính độ dài đoạn thẳng

AC

b Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau và không có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm Tính số giao điểm của chúng

ĐÁP ÁN Bài 1

a 1.5.6 2.10.12 4.20.24 9.45.54

1.3.5 2.6.10 4.12.20 9.27.45

1.5.6 1 2.2.2 4.4.4 9.9.9 1.5.6

2 1.3.5 1 2.2.2 4.4.4 9.9.9 1.3.5

b.Biến đổi : k k( +1)(k+2) (− k−1) (k k+ =1) k k( +1) ( k+2) (− k−1)=3k k( +1)

áp dụng tính :

( )

( )

( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

3 1.2 1.2.3 0.1.2

3 2.3 2.3.4 1.2.3

3 3.4 3.4.5 2.3.4

Cộng lại ta có : ( )( ) ( 1)( 2)

3

Bài 2

a) Tách như sau : abcdeg=10000ab+100cd+eg =(9999ab+99cd) (+ ab cd+ +eg)

Do 9999 11 ; 99 11(9999ab+99cd)11

Mà : (ab cd+ +eg) 11 (theo bài ra) nên : abcdeg 11.

b) Biến đổi :

*A =( 2) ( 3 4) ( 3 4) ( 59 60) ( ) 3( ) 59( )

2 2+ + 2 +2 + 2 +2 + + 2 +2 =2 1 2+ +2 1 2+ + + 2 1 2+

3 2+2 + + 2 3

*A = ( 2 3) ( 4 5 6) ( 58 59 60)

2 2+ +2 + 2 +2 +2 + + 2 +2 +2 =

2 1 2 2+ + +2 1 2 2+ + + + 2 1 2 2+ + = ( 4 58)

7 2+2 + + 2 7

*A = ( 2 3 4) ( 5 6 7 8) ( 57 58 59 60)

2 2+ +2 +2 + 2 +2 +2 +2 + + 2 +2 +2 +2 =

15 2+2 + + 2 15

Bài 3 Ta có :

( ) 2

n  n n = n −n

−

2 +2 +2 + + 2n < 1 1 1

n

− 

Bài 4

a) Xét hai trường hợp :

*TH 1: C thuộc tia đối của tia BA

Hai tia BA, BC là hai tia đối nhau  B nằm giữa A và C

 AC = AB + BC = 12 cm

*TH 2 : C thuộc tia BA

C nằm giữa A và B (Vì BA > BC)  AC + BC = AB  AC = AB - BC = 4 cm

b)

- Mỗi đường thẳng cắt 100 đường thẳng còn lại nên tạo ra 100 giao điểm

- Có 101 đường thẳng nên có : 101.100 = 10100 giao diểm

- Do mỗi giao điểm được tính hai lần nên số giao điểm là: 10100:2=5050 giao điểm

Đề số 4

Câu 1 Tính giá trị các biểu thức sau:

a) A = (-1).(-1)2.(-1)3.(-1)4… (-1)2010.(-1)2011

b) B = 70.(

565656

131313

+

727272

131313

+

909090

131313

)

c) C =

b

a

3

2

+

c

b

4

3

+

d

c

5

4

+

a

d

2

5

biết

b

a

3

2

=

c

b

4

3

=

d

c

5

4

=

a

d

2

5

Câu 2 Tìm x là các số tự nhiên, biết:

a)

2

1

+

x

=

1

8 +

x

b) x : (

2

1

9 -

2

3

) =

11

8 9

8 6 , 1

11

2 9

2 4 , 0

− +

− +

Câu 3:

a) Chứng minh rằng: Hai số lẻ liên tiếp bao giờ cũng nguyên tố cùng nhau

b) Tìm x biết: 1 + 5 + 9 + 13 + 16 + + x = 501501

Câu 4: Cho tam giác ABC có BC = 5cm Trên tia đối của tia CB lấy điểm M sao cho CM = 3cm

a) Tính độ dài BM

b) Cho biết BAM = 800, BAC =600 Tính CAM

c) Lấy K thuộc đoạn thẳng BM sao cho CK = 1cm Tính độ dài BK

ĐÁP ÁN Câu 1

a) A = -1.1.(-1).1…(-1).1(-1) = -1

b) B = 70.(

56

13

+

72

13

+

90

13

) = 70.13.(

8 7

1

+

9 8

1

+

10 9

1

)

= 70.13.(

7

1

-

10

1

) = 39

c) Đặt

b

a

3

2

=

c

b

4

3

=

d

c

5

4

=

a

d

2

5

= k

Ta có

b

a

3

2

c

b

4

3

d

c

5

4

a

d

2

5

= k4 => k4 = 1 k = 1

 C =

b

a

3

2

+

c

b

4

3

+

d

c

5

4

+

a

d

2

5

=  4

Câu 2

a)

2

1

+

x

=

1

8 +

x  (x + 1)

2= 16 = (4)2

+) x + 1 = 4 => x = 3

+) x + 1 = - 4 => x = -5 (loại)

Vậy x = 3

b) x : (

2

1

9 -

2

3

) =

11

8 9

8 6 , 1

11

2 9

2 4 , 0

− +

− +

 x :(

2

3 2

19 − ) =











− + 11

2 9

2 4 , 0 4

11

2 9

2 4 , 0



4

1

8x =

=> x = 2

Câu 3

a) Hai số lẻ liên tiếp có dạng 2n + 1 và 2n + 3 (n N)

Gọi d là ước số chung của chúng Ta có: 2n + 1 d và 3n + 3 d

nên (2n + 3) - (2n + 1) d hay 2 d

nhưng d không thể bằng 2 vì d là ước chung của 2 số lẻ

Vậy d = 1 tức là hai số lẻ liên tiếp bao giờ cũng nguyên tố cùng nhau

b) Ta có: 5 = 2 + 3; 9 = 4 + 5; 13 = 6 + 7; 16 =7 + 8

Nên 1 + 5 + 9 + 13 + 16 + + x = 1+2+3+4+5+6+7+ +a+(a+1) = 501501

(a+1)(a+2) = 1003002 = 1001 1002

Suy ra: a = 1000

Do đó: x = 1000 + (1000 + 1) = 2001

Câu 4

a) (2 điểm): Hai điểm M và B thuộc hai tia đối nhau

CM và CB nên điểm C nằm giữa hai điểm B và M

Do đó: BM= BC + CM = 5 + 3 = 8 (cm)

b) (2 điểm): Do C nằm giữa hai điểm B và M

nên tia AC nằm giữa hai tia AB và AM

Do đó CAM =BAM−BAC = 800 - 600 = 200

c) (2 điểm):

+ Nếu K thuộc tia CM thì C nằm giữa B và K (ứng với điểm K1 trong hình vẽ)

Khi đó BK = BC + CK = 5 + 1 = 6 (cm)

+ Nếu K thuộc tia CB thì K nằm giữa B và C (ứng với điểm K2 trong hình vẽ

Khi đó BK = BC - CK = 5 - 1 = 4 (cm)

Đề số 5

Câu 1

a) Cho A = 5 - 52 + 53 - 54 + …- 598 + 599 Tính tổng A

b) Chứng tỏ (2n + 1).( 2n + 2) chia hết cho 3 với mọi n là số tự nhiên

Câu 2

a) Tìm các số nguyên x, y biết rằng : (x - 2)2.(y - 3) = - 4

b) Tìm n ∈ Z để (4n - 3) (3n – 2)

Câu 3

a) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x,y) sao cho 34x5y chia hết cho 36

b) Không quy đồng mẫu số hãy so sánh

2010 2011

2011 2010

10

19 10

9

; 10

19 10

−

A

Câu 4 Cho A =

4

1 +

−

n n

a) Tìm n nguyên để A là một phân số

b) Tìm n nguyên để A là một số nguyên

Câu 5: Cho góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù Biết góc BOC bằng năm lần góc AOB

a) Tính số đo mỗi góc

b) Gọi OD là tia phân giác của góc BOC Tính số đo góc AOD

c) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB,OD, vẽ thêm 2006 tia phân biệt (không trùng với các tia OA;OB;OC;OD đã cho) thì có tất cả bao nhiêu góc?

Đáp án Câu 1

a) A = 5 – 52 + 53 – 54 + …- 598 + 599

5A = 52 – 53 + 54 - …+ 598 – 599 + 5100

Tính và rút gọn được 6A = 5 + 5100

100

5 5 6

=

b) Ta có: 2n (2n +1).( 2n + 2) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3

Mà 2n không chia hết cho 3

nên (2n + 1).( 2n+ 2) 3  n N

Câu 2

Câu a

Ta có : -4 = 12.(-4) = 22.(-1) nên ta có các trường hợp sau:

TH1: ( x - 2)2 = 12 và y - 3 = -4

x - 2 = 1 ; y = -1 hoặc x - 2 = -1; y = -1

x = 3; y = -1 hoặc x = 1; y = -1









TH2: ( x - 2)2 = 22 và y - 3 = -1

x - 2 = 2 ; y = 2 hoặc x - 2 = -2; y = 2

x = 4; y = 2 hoặc x = 0; y = 2

KL: Vậy ta có các cặp (x, y) nguyên thỏa mãn là:

(3; -1); (1; -1); (4; 2); (0; 2)

Câu b

Ta có: 4n – 3 + 3n – 2

Mà 3n + 2 + 3n + 2

→ 3(4n – 3) – 4(3n – 2) + 3n – 2

→ ( 12n - 9 - 12n + 8 ) + 3n – 2

→ - 1 + 3n – 2

→ 3n – 2  Ư(-1)

+) 3n – 2 = 1 suy ra n = 1

+) 3n – 2 = -1 suy ra n = 1/3

Kết hợp điều kiện n nguyên ta được n = 1

Câu 3

a) (1,5 đ)

Ta có 36 = 9.4 Mà ƯC(4,9) =1

Vậy để 34x5y chia hết cho 36 thì 34x5y chia hết cho 4 và 9

34x5y chia hết cho 9 khi 3 + 4 + x + 5 + y 9 => 12 + x + y 9 (1)

34x5y chia hết cho 4 khi 5y4 => y = 2 hoặc y = 6

Với y = 2 thay vào (1) => 14 + x 9 => x = 4

Với y = 6 thay vào (1) => 18 + x 9 => x = 0 hoặc x = 9

Vậy các cặp (x,y) cần tìm là: (4,2); (0,6) và (9,6)

b) (1,5 đ)

Ta có 20109 192011 20109 102011 20119

2011 2010 2011 2010 2010

Ta thấy 102011 102010

=> Vậy A > B

Câu 4

a) (1,0 đ)





A =

4

1 +

−

n

n

là phân số khi n + 4  0 => n  - 4 b) (2,0 đ)

A =

4

1 +

−

n

n

=

4

5 1 4

5 4

+

−

= +

− +

n n

n

Với n nguyên, A nhận giá trị nguyên  5 n + 4 hay n + 4 Ư(5)

Lập luận tìm ra được n = -9, -5, -3, 1

Câu 5

a)Vì góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù nên: AOB + BOC =1800

Mà BOC = 5AOB nên: 6AOB = 1800

Do đó: AOB = 1800 : 6 = 300 ; BOC = 5 300 = 1500

b)Vì OD là tia phân giác của góc BOC nên BOD = DOC =

2

1

BOC = 750

Vì góc AOD và góc DOC là hai góc kề bù nên: AOD + DOC =1800

Do đó AOD =1800 - DOC = 1800- 750 = 1050

c) Tất cả có 2010 tia phân biệt Cứ 1 tia trong 2010 tia đó tạo với 2009 tia còn lại thành 2009 góc Có

2010 tia nên tạo thành 2010.2009góc, nhưng như thế mỗi góc được tính hai lần Vậy có tất cả

2

2009

.

2010

=2 019 045 góc

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội

dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi

về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh

tiếng

I.Luyện Thi Online

dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường

PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên

khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

II.Khoá Học Nâng Cao và HSG

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt

điểm tốt ở các kỳ thi HSG

cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III.Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các

môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu

tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí