Luận văn tốt nghiệp phương pháp toán tử trong cơ học lượng tử

Lưỡng tính sóng hạt được giả định là tính chất cơ bản của vật chất, chính vì thế cơ học lượng tử được coi là cơ bản hơn cơ học Newton vì nó cho phép mô tả chính các và đúng đắn rất nhiều

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên bằng tấm lòng biết ơn sâu sắc, em xin chân thành cảm ơn cô

giáoPGS.TS.Lưu Thị Kim Thanh, người đã hướng dẫn và tận tình chỉ bảo

cho em trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa luận

Em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật lý, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã truyền đạt cho em những kiến thức quý báu trong suốt bốn năm học vừa qua

Cuối cùng em xin gửi lời cảm ơn đến tất cả các bạn bè, những người

đã giúp đỡ động viên em trong suốt quá trình nghiên cứu để hoàn thiện khóa luận này

Hà Nội, tháng 5 năm 2017

Sinh viên

Đinh Thị Ánh Tuyết

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là kết quả của bản thân em qua quá trình học tập và nghiên cứu Bên cạnh đó, em nhận được sự quan tâm tạo điều kiện của các thầy cô giáo trong khoa Vật lý Đặc biệt sự hướng dẫn tận tình của cô giáo

PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh

Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khóa luận này em có tham khảo một số bàidạy của thầy cô trong trường và một số tài liệu ghi trong mục tài liệu tham khảo

Vì vậy, em xin khẳng định kết quả nghiên cứu trong đề tài “ Phương pháp toán tử trong Cơ học lượng tử ” không có sự sao chép, trùng lặp với bất

cứ đề tài nào khác

Hà Nội, tháng 5 năm 2017

Sinh viên

Đinh Thị Ánh Tuyết

MỤC LỤC

PHẦN 1 : MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Cấu trúc khóa luận 2

PHẦN 2 : NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1: CÁC CƠ SỞ CHỦ YẾU CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 3

1.1 Lưỡng tính sóng –hạt của hạt vi mô và Nguyên lý Bất định Heisenberg 3

1.1.1 Lưỡng tính sóng hạt của hạt vi mô 3

1.1.2 Nguyên lí chồng chất các trạng thái 6

1.1.3 Hệ thức bất định Heisenberg 8

1.1.4 Nội dung của Nguyên lý Bất định 9

1.1.5 Ý nghĩa của Nguyên lý Bất định 10

1.2 Hàm sóng của hạt vi mô 10

1.2.1 Định nghĩa hàm sóng 11

1.2.2 Các tính chất của hàm sóng 11

1.2.3 Ví dụ về hàm sóng 11

1.2.4 Hàm sóng của hệ N hạt 12

1.2.5 Trung bình của một đại lượng vật lý 12

1.2.6 Ý nghĩa thống kê của hàm sóng 12

1.3 Phương trình Schrodinger 13

1.3.1 Phương trình Schrodinger dừng 14

1.3.2 Phương trình Schrodinger thời gian 16

1.3.3 Tính chất của phương trình Schrodinger 16

1.4 Vai trò của Cơ học Cổ điển 17

1.4.1 Cơ học Cổ điển là giới hạn của Cơ học Lượng tử 17

1.4.2 Cơ học Cổ điển là cơ sở của Cơ học Lượng tử 17

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 18

CHƯƠNG 2 : PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ 19

2.1 Các đại lượng động lực và các toán tử 19

2.2 Điều kiện để hai đại lượng vật lí đồng thời xác định trong cùng một trạng thái 25

2.3 Phương pháp toán tử 26

2.3.1 Toán tử : là một kí hiệu biểu thị một hoặc một tập hợp tác động toán học, 26

2.3.2 Phương trình trị riêng của toán tử 26

2.3.3 Các loại toán tử 27

2.4 Các tính chất của toán tử 28

2.4.1 Cộng toán tử 28

2.4.2 Nhân toán tử 29

2.4.3 Toán tử đạo hàm theo thời gian 30

2.5 Toán tử Hamilton 31

2.5.1 Định luật bảo toàn năng lượng và tính đồng nhất về thời gian 31

2.5.2 Hàm riêng và trị riêng của toán tử Hamintol trong trạng thái dừng 31

2.6 Toán tử động lượng 32

2.6.1 Định nghĩa 32

2.6.2 Tính chất giao hoán 33

2.6.3 Hàm riêng của toán tử động lượng 33

2.7 Toán tử mô men động lượng 34

2.7.1 Định nghĩa 34

2.7.2 Tính chất giao hoán 34

2.7.3 Toán tử lˆz 36

2.7.4 Các toán tử ˆl 37

2.8 Toán tử chẵn lẻ ˆI 41

2.9 Toán tử spin 41

2.9.1 Các cơ sở thực nghiệm dẫn đến đại lượng spin 41

2.9.2 Định nghĩa và tính chất của spin 43

2.9.3 Hàm sóng và trị riêng của spin 43

2.10 Toán tử mômen động lượng toàn phần 44

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 45

PHẦN 3: KẾT LUẬN 46

TÀI LIỆU THAM KHẢO 47

Cơ học lượng tử là một bộ phận trong cơ học lý thuyết

Vật lý lý thuyết là một bộ môn chuyên đi sâu vào vấn đề xây dựng các thuyết vật lý Dựa trên nền tảng là các mô hình vật lý, các nhà khoa học vật lý xây dựng các thuyết vật lý

Thuyết vật lý là sự hiểu biết tổng quát nhất của con người trong một lĩnh vực, một phạm vi vật lý nhất định Dựa trên một mô hình vật lý tưởng tượng, các nhà vật lý lý thuyết bằng phương pháp suy diễn, phương pháp suy luận toán học đã đề ra một hệ thống qui tắc, các định luật, các nguyên lý vật

lý dùng làm cơ sở để giải thích các hiện tượng, các sự kiện vật lý và để tậo ra khả năng tìm hiểu, khám phá, tác động hiệu quả vào đời sống thực tiễn

Cơ học lượng tử là một trong những lý thuyết cơ bản của vật lý học, nó

mở rộng và bổ sung cho cơ học cổ điển của Newton Cơ học lượng tử nghiên cứu về chuyển động và các đại lượng vật lý liên quan đến chuyển động như năng lượng và xung lượng của các vật có kích thước nhỏ bé, ở đó có sự thể hiện rõ rệt của lưỡng tính sóng hạt Lưỡng tính sóng hạt được giả định là tính chất cơ bản của vật chất, chính vì thế cơ học lượng tử được coi là cơ bản hơn

cơ học Newton vì nó cho phép mô tả chính các và đúng đắn rất nhiều các hiện tượng vật lý mà cơ học Newton không thể giải thích được

Cơ học lượng tử đã đạt được các thành công vang dội trong việc giải thích rất nhiều các đặc điểm của thế giới của chúng ta Rất nhiều các công nghệ hiện đại sử dụng các thiết bị có kích thước mà ở đó hiệu ứng lượng tử

2

rất quan trọng như : laser, transistor, chụp cộng hưởng từ hạt nhân…

Chính vì vậy sự ra đời của cơ học lượng tử giúp chúng ta giải quyết được những khó khăn mà cơ học cổ điển còn ở trong bế tắc Thông qua việc học tập và nghiên cứu cơ học lượng tử mà nhất là các đốitượng của nó là không thể thiếu và cần thiết đối với những ai nghiên cứu vật lý,đặc biệt là với sinh viên khoa Vật lý

Việc học tập là rất cần thiết đối với mỗi sinh viên để hoàn thành tốt chương trình học tập của ngành cũng như của khoa đề ra Với mỗi môn học đều có hệ thống các phương pháp chuyên biệt và cơ học lượng tử cũng vậy

Do đó em xin chọn đề tài “ Phương pháp toán tử trong cơ học lượng tử”

2.Mục đích nghiên cứu

- Hệ thống hóa cơ sở chủ yếu của Cơ học Lượng tử

- Các phương pháp của Cơ học Lượng tử

- Tương tác của electron với trường điện từ

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng : Các phương pháp toán tử thường được sử dụng

- Phạm vi: Chương I: “Nhập môn Cơ học Lượng tử”

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Xây dựng được các phương pháp của Cơ học Lượng tử

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp chủ yếu là phương pháp lý thuyết

6 Cấu trúc khóa luận

Phần1: Mở đầu

Phần 2: Nội dung

+ Chương 1: Các cơ sở chủ yếu của Cơ học Lượng tử

+ Chương 2: Phương pháp toán tử

Phần 3: Kết luận

Tài liệu tham khảo

3

PHẦN 2 : NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CÁC CƠ SỞ CHỦ YẾU CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

1.1 Lưỡng tính sóng –hạt của hạt vi mô và Nguyên lý Bất định Heisenberg

1.1.1 Lưỡng tính sóng hạt của hạt vi mô

Như chúng ta đã biết, hạt vi mô có lưỡng tính sóng-hạt, chẳng hạn hạt phôtôn trong những hiện tượng quang điện, bức xạ nhiệt biểu hiện tính chất hạt, nhưng trong các hiện tượng giao thoa, nhiễu xạ, phân cực lại biểu hiện tính chất của sóng điện từ Nhiều hiện tượng thực nghiệm cũng cho thấy các hạt vi mô khác đều có tính chất sóng Chúng ta xét một số ví dụ đối với hạt electron

1.1.1.1 Chuyển động của electron trong mô hình nguyên tử cổ điển

Electron trong nguyên tử cổ điển được coi như một hạt trong mô hình nguyên tử Bohr Việc coi electron là hạt trong trường hợp này dẫn đến những mâu thuẫn với các lý thuyết cổ điển: electron là hạt mang điện chuyển động xunh quanh hạt nhân tương đương với một dòng điện biến thiên, do đó bức xạ sóng điện từ và mất dần năng lượng, nghĩa là giá trị vận tốc giảm dần, điều này tương đương với sự giảm khoảng cách từ electron đến hạt nhân và cuối cùng electron “rơi” vào hạt nhân, dẫn đến nguyên tử bị phá hủy Từ đó suy ra rằng, không thể coi một cách đơn giản electron chỉ là hạt Như chúng ta sẽ thấy ở dưới, việc coi electron có tính chất sóng sẽ khắc phục được nghịch lý này

1.1.1.2 Hiệu ứng đường ngầm

Xét chuyển động của một hạt có khối lượng bằng m chuyển động từ trái sang phải tới một hàng rào thế có độ cao bằng U ( hình 1.1 )

U  , và E<U; để thỏa mãn hệ thức E= T+U động năng T phải âm (T<0), là điều vô lý Có nghĩa là tại biên của hàng rào thế (giữa miền 1 và miền 2) thì T=0, hạt dừng lại, chuyển động theo chiều ngược lại và không thể đi xuyên vào hàng rào thế Nói tóm lại nếu hạt chuyển động với động năng nhỏ hơn độ cao của hàng rào thế năng T<U0 thì nó không thể đi qua hàng rào thế năng (từ miền 1 qua miền 2 sang miền 3)

Tuy nhiên nhiều hiện tượng thực nghiệm đã xác nhận là trong trường hợp này có thể vượt qua hàng rào thế sang miền 3 Hiện tượng hạt chuyển động với động năng nhỏ hơn độ cao của hàng rào thế năng có thể đi qua hàng

rào thế năng gọi là hiệu ứng đường ngầm

Lý thuyết lượng tử coi hạt có tính chất sóng đã giải thích được hiện tượng thực nghiệm nêu trên Tính toán cho thấy hệ số truyền qua D của hạt từ miền 1 sang miền 3 được xác định bởi công thức:

D exp  2a/  2mU0 E 

Với bề dày hàng rào thế a vào cỡ 10

10 m, hiệu năng lượng (U0 E) vào

cỡ 7 , 5 1019J, áp dụng công thức trên cho electron, hệ số truyền qua xấp xỉ 0,1 Chúng ta thấy khả năng xuyên qua hàng rào thế theo hiệu ứng đường ngầm là không nhỏ

0

U0

E

5

1.1.1.3 Nhiễu xạ electron

Chiếu chùm electron qua một khe hẹp K và hứng trên màn huỳnh quang

M Chúng ta thấy trên màn huỳnh quang hình ảnh phân bố cường độ sáng giống như hình ảnh phân bố cường độ sáng trong hiện tượng nhiễu xạ ánh sáng ( hình 1.2a)

Để khẳng định hình ảnh nhiễu xạ trên không phải do tương tác của electron với biên của khe K, người ta thực hiện thí nghiệm nhiễu xạ electron với 2 khe (hình 1.2b) và trên màn hình M là hình ảnh nhiễu xạ qua hai khe như trong nhiễu xạ ánh sáng

Kết quả trên chỉ có thể giải thích được nếu coi electron có tính chất sóng Với các hạt vi mô khác cũng có kết quả tương tự

De Broglie đã coi hạt vi mô tự do tương ứng với một sóng gọi là sóng

De Broglie Một hạt vi mô có năng lượng E và động lượng p tương ứng với một sóng đơn sắc có tần số f và bước sóng theo các quan hệ sau:

6

1.1.2 Nguyên lí chồng chất các trạng thái

Nguyên lí chồng chất các trạng thái là một luận điểm rất cơ bản của

cơ học lượng tử Nội dung của nguyên lí như sau:

(1) Nếu một hệ lượng tử nào đó có thể ở trong các trạng thái được mô

tả bởi các hàm sóng 1, 2, thì nó cũng có thể ở trong trạng thái được mô

tả bởi tổ hợp tuyến tính bất kì của các hàm sóng đó:

c

 c kC

(2) Hàm  và hàm c (c phức bất kì0)cùng tương ứng với một trạng thái bất kì của hệ

Từ các nội dung của nguyên lí này chúng ta sẽ đưa ra một số nhận xét, các nhận xét này rất quan trọng trong quá trình xây dựng nên môn cơ học lượng tử

Trước hết các trạng thái trong cơ học lượng tử khác một cách cơ bản với sự chồng chất các dao động của cơ học cổ điển, mà trong sự chồng chất

đó sẽ dẫn đến một dao động mới có biên độ lớn hơn hay nhỏ hơn các biên độ của dao động thành phần Ngoài ra, trong cơ học cổ điển có tồn tại các trạng thái nghỉ, tức là các trạng thái ứng với dao động ở khắp mọi nơi biên độ dao động bằng không Còn trong cơ học lượng tử, các hàm sóng không mô tả một sóng thực nào cả, ở nơi nào hàm sóng bằng 0, thì ở nơi đó không có mặt của hạt

Thứ hai, giả sử các hàm 1, 2, là nghiệm của phương trình xác định các trạng thái của một hệ lượng tử, thì để cho nguyên lí chồng chất các trạng thái được thực hiện, bắt buộc phương trình đó phải tuyến tính

Thứ ba, nguyên lí chồng chất các trạng thái phản ánh một tính chất rất quan trọng của các hệ lượng tử mà không có sự tương tự trong vật lí cổ điển

Để thấy rõ hơn, ta xét một trạng thái được biểu diễn bởi các hàm sóng:



c kC chuyển động của các hạt không được đặc trưng bởi giá trị của xung lượng, vì trạng thái này không được biểu diễn bằng một sóng phẳng với giá trị xác định của p Trạng thái mới 





1

k k k

c

 c k C là một trạng thái mà theo một nghĩa nào đó, là trạng thái trung gian giữa các trạng thái ban đầu 1, 2,

Trạng thái này càng gần với tính chất của một trong các trạng thái đầu, nếu

“trọng số tỉ đối” của trạng thái đó càng lớn

Ngoài ra như ta đã thấy ở ví dụ minh họa trên, trong cơ học lượng tử thừa nhận những trạng thái mà trong đó một số đại lượng vật lí có thể không xác định được

Cuối cùng ta lưu ý rằng, nguyên lí chồng chất các trạng thái chỉ áp dụng trong không gian có kích thước dài không nhỏ hơn 13

10 cm Việc áp dụng nguyên lí này cho không gian có kích thước dài nhỏ hơn chưa được khẳng định

Ví dụ: “Bó sóng” là tập hợp các sóng phẳng có các vector sóng k

hướng dọc trục Oz và có các giá trị nằm trong khoảng k0  k đến k0 k:

k k

dk t kz i k A t

 kvàA   k A k0 thì

t dk

d z

k t dk

d z k

A t

,

1.1.3 Hệ thức bất định Heisenberg

Từ hiện tượng nhiễu xạ electron có thể dẫn ra một dạng hệ thức bất đinh Heisenberg như là một biểu hiện của tính chất sóng của electron Khi chưa chú ý hiện tượng nhiễu xạ, electron chuyển động theo phương y, do vậy

v v

sin    ; sin min   /b  /( 2 x)

Trong khi đó k=1 ứng với góc nhiễu xạ cực tiểu: sai số tọa độ theo phương x bằng một nửa độ rộng b của khe (xb/2)

Với các góc nhiễu xạ nhỏ mà ta còn quan sát được ảnh nhiễu xạ, chúng

ta có:

v v v v

tg x/ y x/ sin      

Một cách tương tự bằng cách thay đổi kí hiệu x thành y hoặc z:

2 /   

2 /

Các hệ thức (1.2) là các hệ thức bất định Heisenberg cho tọa độ và động

lượng

Ví dụ: Nghiệm lại hệ thức (1.2a) cho hai trường hợp hạt vĩ mô và hạt vi

mô để thấy hệ thức heisenberg chỉ có ý nghĩa đối với trường hợp hạt vi mô Trường hợp hạt vĩ mô: Một ô tô khối lượng 1000kg trong khi chuyển động thẳng có sai số về tọa độ theo phương x bằng 0,1m : sai số về vận tốc theo phương x bằng 5km/h Nghiệm lại (1.2a)

Trường hộ hạt vi mô: Hạt electron có khối lượng m chuyển động trong nguyên tử hydro có sai số về tọa độ theo phương x bằng x, sai số về vận tốc theo phương x bằng v x Khối lượng electron m 9 , 1 1031kg ; x 0 , 5 1010m ;

s

m

v x  107 /

 Nghiệm lại (1.2a)

Ý nghĩa của hệ thức bất định:Từ các hệ thức (1.2) chúng ta thấy tọa độ

và động lượng không thể đồng thời xác định chính xác

Hệ thức bất định là một biểu hiện của Nguyên lý Bất định

1.1.4 Nội dung của Nguyên lý Bất định

Trong cơ học cổ điển quỹ đạo hoàn toàn xác định trạng thái của hạt ở

1.1.5 Ý nghĩa của Nguyên lý Bất định

Sở dĩ trạng thái của hạt vi mô không thể xác định bằng quĩ đạo chính là

vì hạt có tính chất sóng thể hiện bởi hệ thức Bất định Heisenberg mà chúng ta

đã dẫn ra từ hiện tượng nhiễu xạ electron Điều đó có nghĩa là Nguyên lý Bất định thể hiện rõ rệt tính chất sóng của vi hạt Đó chính là ý nghĩa của Nguyên

lý bất định Heisenberg

Vậy thì khi nào hạt vi mô là sóng và khi nào là hạt? Dễ thấy rằng hạt vi

mô bao giờ cũng vừa có tính chất sóng vừa có tính chất hạt Tuy nhiên việc biểu hiện ra tính chất sóng hay tính chất hạt phụ thuộc vào vật mà hạt vi mô tương tác Ví dụ trong hiện tượng nhiễu xạ electron thì hạt electron biểu hiện tính chất sóng, còn trong việc đo tọa độ của hạt khi hạt qua khe hẹp thì nó lại biểu hiện tính chất hạt Điều đó có nghĩa là dù biết trạng thái của hạt vi hạt ở thời điểm t, chúng ta không thể khẳng định ở thời điểm t’>t hạt sẽ thể hiện

tính chất nào và ở trạng thái nào Tính chất của vi hạt chỉ được biểu hiện ra khi nó tương tác với các vật xung quanh

11

1.2.1 Định nghĩa hàm sóng

Hàm sóngx,y,z,t là nghiệm của phương trình sóng, tức phương trình

vi phân cấp II, sao cho / x,y,z,t/2dVlà xác suất tìm thấy hạt trong dV lân cận điểm (x,y,z) ở thời điểm t

Định nghĩa trên cho thấy hàm sóng mô tả trạng thái của vi hạt là một hàm sóng không chỉ thỏa mãn phương trình sóng mà còn có tính xác suất là tính chất mà các sóng cổ điển không có

 và2(x,y,z,t) cũng mô tả trạng thái của hạt

Hai tính chất trên thể hiện hàm sóng là nghiệm của phương trình sóng

1.2.2.3 Giới nội, đơn trị

1.2.2.4 Điều kiện chuẩn hóa hàm sóng

1 )

, , ,

1.2.2.5 Nếu hàm sóng 1(x,y,z,t)và2(x,y,z,t) mô tả trạng thái của hai phần độc lập của hệ thì hàm sóng  (x,y,z,t)  1(x,y,z,t) 2(x,y,z,t)mô tả trạng thái của hệ gồm hai phần nói trên

Ba tính chất trên thể hiện tính xác xuất của hàm sóng

1.2.3 Ví dụ về hàm sóng

Hàm sóng của một hạt tự do là hàm sóng phẳng đơn sắc gọi là sóng De Broglie

x n

p

E k p

E j p

E i p

E v

Vận tốc pha của sóng: v ph   /k  2 f /k ; k  2  /  trong đó năng lượng

E, động lượng p của hạt tự do quan hệ với các đặc trưng của sóng De Broglie tương ứng theo công thức (1.1)

1.2.4 Hàm sóng của hệ N hạt

Hàm sóng của hệ N hạt có các tính chất như hàm sóng của một hạt, nhưng phụ thuộc vào tọa độ của tất cả N hạt q i  (x i,y i,z i), i=1.2.3…,N:

  q t, q q q1 , 2 , 3 , ,q t N, 

1.2.5 Trung bình của một đại lượng vật lý

Trung bình Fˆ của một đại lượng vật lý F có thể tính theo hàm sóng

là trung bình lượng tử của đại lượng F

1.2.6 Ý nghĩa thống kê của hàm sóng

Năm 1926 M.Born đã đưa ra giả thiết cho ý nghĩa của hàm sóng Theo giả thiết này, cường độ sóng De Broglie tại mỗi điểm của không gian, ở một thời điểm đã cho, tỉ lệ với xác suất tìm thấy hạt tại điểm đã cho của không gian đó

Như vậy, theo M.Born thì đại lượng:

Từ điều kiện chuẩn hóa, ta thấy rằng các hàm chuẩn hóa sai khác nhau một nhân số modul bằng đơn vị, nghĩa là hơn kém nhau một hệ số exp(iα) (α

∈ R) Tuy nhiên các kết quả vật lý luôn tỉ lệ với | ( )| và vì vậy sự bất định này không còn nữa

Trong một số trường hợp, tích phân ∫| ( )| không hội tụ Lúc đó đại lượng ( ) | ( )| sẽ không có ý nghĩa mật độ xác suất Tuy nhiên trong trường hợp này, tỉ số giữa các đại lượng| ( )| ở các điểm khác nhau vẫn xác định xác suất tỉ đối của các điểm tương ứng

z y

là toán tử Laplace và U(x,y,z) là thế năng của hạt trong trường lực

Ví dụ 1: Giải phương trình (1.7) để xác định hàm sóng  và năng lượng

E của một vi hạt tự do có khối lượng m (U(x,y,z)=0):

y x

2 2

2 2 2 2

x y z t, , ,  Aexp i p x x p y y p z z Et /

Thay (1.10) vào (1.9), suy ra năng lượng E  p2/ 2m

A là một hằng số không phụ thuộc vào tọa độ và được xác định từ công thức chuẩn hóa (1.3), chúng ta được A 1 / V , với V là thể tích trong đó có hạt

Ví dụ 2: giải phương trình (1.7) để xác định hàm sóng và năng lượng của một vi hạt chuyển động trong giếng thế năng một chiều vô hạn:

U với xa (miền III)

Phương trình schrodinger (1.7) trong trường hợp này có dạng:

15

I

mU k

16

Cuối cùng : II x  2 /asinnx/a (1.17)

1.3.2 Phương trình Schrodinger thời gian

Phương trình schrodinger thời gian xác định sự phụ thuộc của hàm sóng theo thời gian:

Trong đó q là tập các biến xác định trạng thái của hệ

1.3.3 Tính chất của phương trình Schrodinger

Xuất phát từ dạng chung của phương trình Schrodinger , chúng ta có thể thấy phương trình này có một số dạng chung như sau:

- Nghiệm của phương trình thỏa mãn tất cả các tính chất của hàm sóng

- Năng lượng trung bình bao giờ cũng lớn hơn thế năng cực tiểu trung bình

Vì H=T+U suy ra: <H>=E=<T>+<U>, do đó E  U Umin

-Với U  0trạng thái ứng với E 0là trạng thái ràng buộc

Chúng ta chứng minh bằng phản chứng:

Hạt tự do có U=0 do đó E=<T>>0, do đó hạt với E<0 không thể có U=0, tức hạt không thể là hạt tự do và phải ở trạng thái ràng buộcU  0

17

1.4 Vai trò của Cơ học Cổ điển

1.4.1 Cơ học Cổ điển là giới hạn của Cơ học Lượng tử

Từ hệ thức bất định Heisenberg chúng ta thấy khi cho h=0, xp x  0, có nghĩa là xhoặc p x ( hoặc cả hai) có thể bẳng 0, tọa độ và động lượng có thể đồng thời xác định chính xác, chúng ta nhận được các kết quả phù hợp với Cơ

học Cổ điển Vậy Cơ học Cổ điển có thể coi là giới hạn của Cơ học Lượng tử khi cho h tiến tới 0

1.4.2 Cơ học Cổ điển là cơ sở của Cơ học Lượng tử

Để làm biểu hiện ra tính chất của hạt vi mô, cần cho nó tương tác với một đối tượng nào đó Căn cứ vào sự thay đổi trạng thái của một đối tượng tương tác ta suy ra tính chất của hạt vi mô Để nghiên cứu định lượng các tính

chất của hạt vi mô phải dùng đối tượng tương tác với hạt vi mô là máy đo

Máy đo thực chất là các giác quan của con người, có thể được mở rộng bởi các thiết bị hỗ trợ Kết quả đo thiết bị hiển thị ra mà giác quan con người có thể nhận biết được đều là giá trị trung bình vĩ mô, vì thế bộ phận hiển thị kết quả của thiết bị đo và cơ quan cảm nhận của giác quan con người phải là hệ

cổ điển, hoạt động trên cơ sở của Cơ học Cổ điển Điều đó có nghĩa là nếu không có Cơ học Cổ điển thì chúng ta không thể nào nghiên cứu được hạt vi

mô Vì vậy Cơ học Cổ điển là một trong những cơ sở của Cơ học Lượng tử

18

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Trong chương 1, em đã trình bày về “Các cơ sở chủ yếu của Cơ học lượng tử” với các nội dung chủ yếu là : lưỡng tính sóng-hạt của hạt vi mô và nguyên lí bất định Heisenberg, hàm sóng của hạt vi mô, phương trình Schrodinger, vai trò của Cơ học Cổ điển Chương này là cơ sở để em nghiên cứu các vấn đề tiếp theo của khóa luận

là sự cần thiết phải đưa vào sử dụng các “dụng cụ” hay các “máy đo”; điều đó

có nghĩa là sử dụng các dụng cụ nào dó để tác động vào các đối tuợng vi mô,

mà kết quả là, do sự tương tác của hệ vi mô với máy đo sẽ đưa đến sự thay đổi các trạng thái của cả hệ vi mô lẫn trạng thái của máy đo, phản ánh độ lớn của tương tác

Qua đó người ta nói rằng, đại lượng vật lí cần xác định đã được đo và máy đo cho phép ta xác định được độ lớn của đại lượng vật lí này

Ứng với mỗi trạng thái xác định của hệ lượng tử (trạng thái liên kết hệ lượng tử và máy đo), phép đo cho chúng ta một số đo xác định Ngược lại, có thể đặc trưng cho trạng thái của hệ bằng tập các số đo các đại lượng vật lí khác nhau

Trong cơ học cổ điển, trạng thái của hệ có thể xác định bằng tập các tọa

độ và xung lượng Các đại lượng vật lí này đủ để đặc trưng cho trạng thái của

hệ cơ học và được gọi là các đại lượng động lực của cơ học.Trong cơ học lượng tử, các đại lượng vật lí có vai trò tương tự cũng được gọi là các đại lượng động lực của cơ học lượng tử

2.Trong các phép đo các đại lượng động lực, cần chú ý rằng, do sự tương tác giữa hệ vi mô và hệ máy đo, hệ vi mô cần nghiên cứu cũng sẽ chịu tác dụng của tương tác, kết quả là, ở mỗi phép đo, hệ lượng tử sẽ ở trong một trạng thái liên kết hệ lượng tử - máy đo xác định và phép đo cho chúng ta một giá trị xác định của đại lượng vật lí cần đo Trong phép đo tiếp theo, hệ lượng

tử sẽ chuyển sang trạng thái mới và máy đo cho chúng ta giá trị mới của phép

20

đo Giả sử sau một số lần đo đủ lớn, hệ chuyển sang dãy tương ứng các trạng thái 1, 2, , n Để đơn giản cho lí luận, ta giả thiết các hàm này là độc lập tuyến tính từng đôi, và là tất cả các trạng thái khả dĩ, không có trạng thái nào khác ngoài n trạng thái này Tương ứng với mỗi lần đo ta được một trị số của đại lượng F, và n lần đo đại lượng F, sẽ được dãy các trị số f1,f2, ,f nkhác nhau từng đôi Từ lần thứ n+1 trở đi, các kết quả đo lại lặp lại một trị số của dãy trên và hệ lại rơi vào một trong n trạng thái 1, 2, , nban đầu Như vậy, khi số lần đo đủ lớn, chúng ta đã phải tính đến xác suất để đo F được một giá trị nào đó (trong dãy trị số trên) và tương đương với điều ấy là xác suất để hệ lượng tử nằm ở trạng thái đã cho số đo trên

3.Hơn nữa, trong hàng loạt thí nghiệm khi đo các đại lượng vật lí, người

ta thấy rằng phổ các đại lượng này có thể rời rạc, có thể liên tục hoặc vừa rời rạc vừa liên tục từng khoảng Khi nghiên cứu về các toán tử, người ta cũng thấy phổ cá giá trị riêng của các toán tử cũng có các tính chất tương tự Bởi vậy, người ta đã đối ứng các giá trị các phép đo các đại lượng vật lí với các giá trị riêng của các toán tử, đối ứng các đại lượng vật lí xác định với một toán tử xác định

Để áp dụng được nguyên lí chồng chất các trạng thái, các toán tử phải tuyến tính và để các trạng thái riêng của toán tử là thực thì các toán tử phải Hermite Do đó trong cơ học lượng tử người ta chỉ sử dụng các toán tử tuyến tính – Hermite

Trong quá trình xây dựng cơ học lượng tử người ta thừa nhận tiên đề sau:

“Mỗi đại lượng vật lí F trong cơ học lượng tử được biểu diễn bằng một toán tử tuyến tính, Hermite Fˆ

Trong phép đo đại lượng vật lí F hệ lượng tử nằm ở trạng thái  q, t nào đó ở thời điểm t, để được một số đo xác định, hệ lượng tử sẽ chuyển về