Luận văn thạc sĩ quá trình rã higgs trong mô hình seesaw

Lý do chọn đề tàiTrong vật lý hạt cơ bản, cùng với sự phát triển của thực nghiệmdựa trên năng lượng hoạt động ngày càng lớn của các máy gia tốchiện tại LHC và tương lai, việc dự đoán và

VIỆN VẬT LÝ

NGUYỄN THỊ XUÂN

QUÁ TRÌNH RÃ HIGGS

TRONG MÔ HÌNH SEESAW

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

Mã số: 60 44 01 03Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ THỌ HUỆ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HÀ NỘI—2017

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Thọ Huệ, ngườithầy trực tiếp hướng dẫn tôi trong quá trình hoàn thành luận văn này.

Em xin cảm ơn các thầy cô tại Viện Vật Lý - Viện Khoa Học vàCông Nghệ Việt Nam, các thầy cô trong khoa Vật Lý - Trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2 đã tận tình chỉ dạy, trang bị những nền tảng kiếnthức quý báu cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu

Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Ban lãnh đạo, phòng sau đại học trườngĐại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện tốt nhất để chúng tôi họctập

Lời cảm ơn cuối cùng tôi xin dành cho gia đình và người thân vì

đã luôn ủng hộ, động viên và sát cánh bên tôi

Hà Nội, tháng 06 - 2017Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Xuân

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận vănnày là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xincam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã đượccảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồngốc.

Hà Nội, tháng 6 năm 2017

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Xuân

Lời cảm ơn 2

1.1 Mô hình chuẩn 9

1.2 Mô hình seesaw 11

1.2.1 Mô hình 11

1.2.2 Đỉnh tương tác 13

1.2.3 Ma trận trộn khối lượng và ma trận trộn neutrino 15 1.3 Mô hình inverse seesaw 17

2 Biểu thức giải tích cho biên độ LFVHD 21 2.1 Bề rộng và tỉ lệ rã nhánh 21

2.2 Chuẩn ’t Hooft Feynman 22

2.2.1 Giản đồ Feynman và biểu thức tính biên độ 22

2.2.2 Kiểm tra khử phân kỳ 24

2.3 Chuẩn unitary 25

2.3.1 Giản đồ Feynman và biểu thức tính biên độ 25

2.3.2 Kiểm tra khử phân kỳ 28

2.4 Đồng nhất biên độ tính theo hai chuẩn 29

3.2 Mô hình inverse seesaw 343.3 Kết quả tính số và thảo luận 37

B Tính biên độ theo chuẩn t’ Hooft Feynman 51

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tàiTrong vật lý hạt cơ bản, cùng với sự phát triển của thực nghiệmdựa trên năng lượng hoạt động ngày càng lớn của các máy gia tốchiện tại (LHC) và tương lai, việc dự đoán và xác định các đặc tínhmới của hạt vật lý trong các mô hình lý thuyết đã và đang đónggóp nhiều vai trò quan trọng Trong số đó việc nghiên cứu và tìmhiểu các đặc điểm của hạt Higgs boson mới được thực nghiệm LHCtìm thấy gần đây đang rất được quan tâm Kể từ khi được pháthiện năm 2012, các đặc điểm tương tác quan trọng của Higgs bosonnày với các hạt trong mô hình chuẩn (the Standard Model-SM) đãđược thực nghiệm nghiên cứu và so sánh với các kết quả lý thuyếtđược dự đoán trong lý thuyết SM Cho đến thời điểm hiện tại, cácphép đo thực nghiệm vẫn khẳng sự phù hợp cao với các dự đoán từSM

Ta đã biết SM là một mô hình vật lý hạt thành công nhất khi

dự đoán khá chính xác được hầu hết các kết quả thực nghiệm Tuynhiên nó vẫn có một số hạn chế nhất định Trong mô hình chuẩn, cáclepton được phân làm ba thế hệ, mỗi thế hệ bao gồm một trong cáclepton mang điện e, µ, τ và một neutrino phân cực trái tương ứng

Các neutrino đều có khối lượng bằng không và không có sự chuyểnhóa lẫn nhau giữa các thế hệ lepton (sự dao động neutrino) Nhưngthực nghiệm đã chỉ ra rằng neutrino có khối lượng khác không dùrất nhỏ và có sự chuyển hóa lẫn nhau giữa các neutrino khác thế hệ.

Sự chuyển hóa lẫn nhau của các lepton trung hòa khác thế hệ chính

là bằng chứng cho sự vi phạm số lepton thế hệ trong thế giới hạt cơbản Điều này vượt ngoài dự đoán của mô hình chuẩn Chính vì vậyngười ta phải nghiên cứu cơ chế và nguồn gốc sinh khối lượng vàdao động neutrino trong các mô hình mở rộng của mô hình chuẩn(BSM-beyond the SM) Mô hình đơn giản nhất giải quyết được cácvấn đề về neutrino là các mô hình seesaw và cụ thể cơ chế seesaw

có thể giải quyết được vấn đề này Mô hình seesaw mở rộng từ SMbằng cách thêm vào các đơn tuyến neutrion phân cực phải, dẫn đến

sự xuất hiện của số hạng tương tác Yukawa mới và số hạng khốilượng vi phạm số lepton, chính là nguồn gốc sinh khối lượng cho tất

cả các neutrino trong mô hình Cơ chế seesaw giúp giải thích hợp lýtại sao neutrino hoạt động (active neutrino) có khối lượng nhỏ như

đã được thực nghiệm phát hiện, đồng thời các neutrino mới có khốilượng lớn, thoát khỏi tầm phát hiện của các thiết bị dò hiện nay Sựxuất hiện của các neutrino mới dẫn đến sự xuất hiện các đỉnh tươngtác mới, vi phạm số lepton, làm xuất hiện các đóng góp bậc cao vàoquá trình rã vi phạm số lepton của Higgs boson ra các lepton mangđiện (LFVHD) h → eµ, eτ, µτ Theo đó, tuy ở trong Lagrangiankhông xuất hiện đỉnh tương tác h¯µτ + h.c nhưng bổ đính bậc mộtvòng cho số hạng hiệu dụng h¯µ (∆LPL + ∆RPR) τ + h.c Số hạngnày dự đoán quá trình rã nhánh mới h → µ±τ∓ không có trong giớihạn dự đoán của SM Các tính toán và nghiên cứu cho quá trình rãnày trong hai mô hình seesaw tối thiểu (minimal seesaw-MSS) và

inverse seesaw (ISS) đã được nghiên cứu trong nhiều công bố, kể cảcác công bố gần đây với các hướng tính toán khác nhau Tuy nhiên

sự so sánh chi tiết giữa hai mô hình vẫn chưa được tìm hiểu Chính

vì vậy trong luận văn này tôi chọn đề tài:

QUÁ TRÌNH RÃ HIGGS TRONG MÔ HÌNH SEESAW

2 Mục đích nghiên cứu

• Tính tỉ số rã nhánh (Br-branching ratio) cho quá trình rãLFVHD h → µτ trong hai mô hình MSS và ISS, so sánh vàgiải thích sự khác nhau về độ lớn của tỉ lệ rã nhánh dự đoán từhai mô hình

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Tìm hiểu về mô hình seesaw và inverse seesaw

• Tính biên độ và kiểm tra sự khử phân kỳ trong biên độ của quátrình rã h → µτ theo các chuẩn ’t Hooft Feynman và unitary

• Khảo sát số để so sánh các đặc điểm giống và khác nhau của tỉ

lệ rã nhánh dự đoán bởi hai mô hình

4 Đối tượng nghiên cứu

• Quá trình rã h → µτ trong hai mô hình seesaw MSS và ISS

5 Phương pháp nghiên cứu

• Quy tắc Feynman

• Lý thuyết trường lượng tử

• Ứng dụng phần mềm Mathematica trong giải số

• Phổ hạt trong SM

Để sinh khối lượng cho các gauge boson và các lepton, trong SMcần đưa thêm vào một lưỡng tuyến Higgs

Các boson chuẩn truyền tương tác: 8 gluon trong nhóm màu

SU (3)C và 4 boson chuẩn cho nhóm tương tác điện yếu SU (2)L ⊗

La = (νaL, eaL)T ∼ (1, 2, −1

2 ) trong đó a = 1, 2, 3 tương ứng với e, µ, τ

+ Lepton phân cực phải biến đổi theo đơn tuyến: eR, µR, τR ∼(1, 1, −1)

Quark

+ Quark phân cực trái: (uL, dL)T, (cL, sL)T, (tL, bL)T ∼ (3, 2, 16).+ Quark phân cực phải: uR, cR, tR ∼ (3, 1,23), và dR, sR, bR ∼(3, 1, −13)

• Lagrangian của SM không kể số hạng động năng hiệp biến củatrường chuẩn là

L = iLiγµDµLi+ ieRiγµDµeRi− YiieLiφeRi+ h.c.
+ iQLiγµDµQLi + iuRiγµDµuRi+ idRiγµDµdRi

− YijuQLiφ u˜ Rj + YijdQLiφ dRj + h.c

+ Dµφ†Dµφ − V (φ),

trong đó thế Higgs có biểu thức sau,

V (φ) = −µ2φ+φ + λ φ+φ
2

Đạo hàm hiệp biến định nghĩa như sau Dµ = ∂µ− igTaWa− ig0Y Bµ.Khi đó tương tác giữa Higgs boson với các boson chuẩn có dạng sau: Cụthể

Trong mô hình chuẩn chỉ có một Higgs vật lý, các trạng thái vô hướngcòn lại bao gồm một Goldstone trung hoà CP lẻ hấp thụ bởi Z boson vàhai Goldstone boson tích điện đơn tương ứng của W± boson Lagrangiannói trên không chứa số hạng sinh khối lượng neutrino, vì thế mô hình

chuẩn dự đoán các neutrio có khối lượng bằng 0 tuyệt đối Trong môhình chuẩn không xuất hiện quá trình rã h → µτ

1.2.1 Mô hình

Phổ hạt của mô hình này khác với mô hình chuẩn (SM) là có thêm

K neutrino phân cực phải NR,I ∼ (1, 1, 0) với I = 1, 2, , K [19] Do đóphần Lagrangian mới thoả mãn điều kiện bất biến nhóm chuẩn SU (2)L⊗

U (1)Y là:

−∆L = Yν,aIψL,aφNe R,I + 1

2(NR,I)

cMN,IJNR,J + h.c., (1.1)trong đó a = 1, 2, 3 là chỉ số thế hệ của fermion trong mô hình chuẩn;

I, J = 1, 2, , K; ψL,a = (νL,a, eL,a)T là các lưỡng tuyến lepton và

(NR,I)c = CNR,IT φ = (φ+, φ0)T = G+W, (h + iGz + v)/√

2
T là lưỡngtuyến Higgs boson SM Để sinh khối lượng cho các quark up, lưỡng tuyếnHiggs còn được viết ở dạng eφ = iσ2φ∗ = (φ0∗, −φ−)T Phổ Higgs trong

SM gồm một Higgs trung hoà CP-chẵn h và ba Goldstone boson của cácboson W± và Z Giá trị trung bình chân không (VEV) của Higgs bosontrung hoà là: hφi = √v

2 = 174 GeV (hoặc v = 246 GeV) Các trạng thái

vị (trạng thái ban đầu) của các neutrino hoạt động được viết theo kýhiệu vector: νL = (νL,1, νL,2, νL,3)T, (νL)c ≡ ((νL,1)c, (νL,2)c, (νL,3)c)T,

và cho các neutrino mới là NR = (NR,1, NR,2, , NR,K)T, (NR)c =((NR,1)c, (NR,2)c, , (NR,K)c)T Từ cơ sở ban đầu của các neutrinophân cực trái và các neutrino phân cực phải νL0 ≡ (νL, (NR)c)T và(νL0)c = ((νL)c, NR)T, Lagrangian (1.1) cho số hạng khối lượng neutrino:

0 MD

MDT MN

!(νL0 )c + h.c., (1.2)

trong đó MN là ma trận bậc (K × K) đối xứng và không kỳ dị, và MD

là ma trận bậc (3 × K) thỏa mãn (MD)aI = Yν,aIhφi Ma trận đối xứng

Mν được chéo hóa bằng một ma trận duy nhất Uν bậc (K + 3) × (K + 3)

và thỏa mãn điều kiện unitary, Uν†Uν = I Trị riêng khối lượng neutrinolúc này được định nghĩa như sau:

UνTMνUν = ˆMν = diag(mn1, mn2, mn3, mn4, , mn(K+3)), (1.3)trong đó mni (i = 1, 2, , K + 3) là các giá trị riêng khối lượng của(K + 3) trạng thái riêng neutrino nL,i hay các trạng thái neutrino vật

lý Ba neutrino hoạt động là nL,a với a = 1, 2, 3 Liên hệ giữa các trạngthái vị và vật lý là

νL0 = Uν∗nL, (νL0)c = Uν(nL)c, (1.4)trong đó nL ≡ (nL,1, nL,2, , nL,(K+3))T

Để thuận tiện cho tính toán ta sử dụng kí hiệu spinor bốn thànhphần (Dirac spinor) là ni (i = 1, 2, , K + 3) cho tất cả các neutrinotrong mô hình Fermion Majorana ni được định nghĩa như sau ni ≡(nL,i, (nL,i)c)T = nci = (ni)c Thành phần phân cực trái nL,i ≡ PLni

và thành phần phân cực phải nR,i ≡ PRni = (nL,i)c, trong đó PL,R =

PLνI+30 = U(I+3)jν∗ nL,j, (νL,a)c = PRνa0 = UaiνnR,i, và NR,I = PRνI+30 =

U(I+3)jν nR,j, trong đó I = 1, 2, 3, , K

Ma trận trộn neutrino Uν sẽ được xác định cụ thể trong từng mô hìnhMSS và ISS Phần tiếp theo sẽ xác định đỉnh tương tác liên quan đến rã

h → µτ

1.2.2 Đỉnh tương tác

Đạo hàm hiệp biến là Dµ = ∂µ − igTaWa − ig0Y Bµ, sẽ cố định dấucác hệ số đỉnh tương tác hG±WW± và eaνaW−, được liệt kê cụ thể trongbảng 1.1 Các đỉnh tương tác của W± boson với các lepton là:

Llepkin = iψL,aγµDµψL,a ⊃ √g

Đỉnh tương tác Yukawa đóng góp vào LFVHD là:

−LlepY = yeaψL,aφeR,a+ Yν,aIψL,aφNe R,I + h.c

⊃ mea

v heaea+

√2mea

ν

ajG+WnL,jeR,a+ Uajν∗G−WeR,anL,j
+ Yν,aI−G−

WeL,aNR,I − G+WNR,IeL,a

v√

2h(MD)aIνL,aNR,I + (MD)∗aINR,IνL,a (1.7)

Sử dụng (MD)aI = Ma(I+3)ν và NR,I = νR,(I+3)0 dòng cuối cùng của biểuthức (1.7) chuyển thành:

đã cho trong [6, 7] Hướng chứng minh có thể dựa trên các tính chất cótrong các phương trình (1.2) và (1.3),

Mabν = 0, M(I+3)(J+3)ν = (mN)IJ, Ma(I+3)ν = (MD)aI, M(I+3)aν = (MDT)Ia,

Yν,aIeL,aNR,IG−W =

√2

Từ các tính toán trên chúng tôi thu được các đỉnh liên quan đến LFVHDđược tổng hợp trong bảng 1.1 Đỉnh hG+WG−W trong bảng 1.1 là phù hợp

cj và p0, p+ và p − là các xung lượng đi vào của h, G+W và G−W tương ứng.

với kết quả có trong [25, 8]

1.2.3 Ma trận trộn khối lượng và ma trận trộn neutrino

Biểu thức tổng quát cho ma trận trộn neutrino Uν là [19],

trong đó R là ma trận bậc (3 × K) có tất cả các phần tử có giá trịtuyệt đối nhỏ hơn 1 Ma trận unitary UPMNS được gọi là ma trận trộnPontecorvo-Maki-Nakagawa-Sakata (PMNS) [30], hoàn toàn xác địnhđược từ thực nghiệm về dao động neutrino

Các ma trận khối lượng của các neutrino được viết như sau:

và cab ≡ cos θab, sab ≡ sin θab Trong trường hợp phân bậc thông thường,các giá trị hợp lý nhất của các tham số dao động neutrino thu được từthực nghiệm là:

∆m221 = 7.50 × 10−5 eV2, ∆m231 = 2.457 × 10−3 eV2,

s212 = 0.304, s223 = 0.452, s213 = 0.0218, (1.15)trong đó ∆m2a1 = m2νa− m2νa (a = 2, 3) Các tham số khác được xác địnhbởi δ = α = β = 0

Điều kiện áp dụng cơ chế seesaw sinh khối lượng các neutrino thế hệ

là |MD|  |MN|, trong đó |MD| và |MN| ký hiệu cho thang giá trị của

MD và MN Các hệ thức liên hệ quan trọng giữa các tham số ban đầucủa mô hình với các tham số khối lượng và ma trận trộn neutrino trong

cho thang khối lượng neutrino nặng đủ lớn Ma trận MD có thể đượctham số hóa theo ma trận ξ (K × 3), chỉ cần thỏa mãn điều kiện duynhất ξTξ = I3 [17, 19, 6] Biểu thức tham số hoá cụ thể là:

MDT = iUN∗ MNd
1/2ξ ( ˆmν)1/2UPMNS† , (1.17)trong đó UN là một ma trận chéo MN, UNTMNUN = MNd

= diag(M1, M2, , MK) Cách tham số hoá này được đưa ra lần đầutrong [17], thường gọi là tham số hoá Casas-Ibarra, rất tiện lợi cho việckhảo sát các mô hình seesaw theo trạng thái và khối lượng vật lý củacác neutrino

Mô hình seesaw được đề cập trong [4, 6] là trường hợp riêng xét ởtrên với K = 3 neutrino phân cực phải, NR,I ∼ (1, 1, 0) với I = 1, 2, 3

Lagrangian tương tác đặc trưng cho ISS có dạng sau:

LISS = −YνaILaφνe RI − MRIJ(νRI)cXJ − 1

2µ

IJ

X XIcXJ + h.c., (1.18)trong đó La và φ được định nghĩa như ở các mục trên, MR là ma trậnkhối lượng (3 × 3) bảo toàn số lepton, µX là ma trận khối lượng (3 × 3) viphạm số lepton nên có thể nhận giá trị nhỏ Các chỉ số I, J = 1, 2, Ktương ứng với 2K neutrino mới Như vậy khác với MSS, mô hình ISStách các đơn tuyến neutrino mới thành 2 loại Thứ nhất là các νRI có

số lepton L(νR) = 1 chỉ xuất hiện trong các số hạng bảo toàn số lepton.Ngược lại XI phân cực phải và có L(X) = −1, cho phép xuất hiện sốhạng khối lượng nhỏ vi phạm số lepton Để so sánh với các kết quả khảosát gần đây[7],trong phần này chúng tôi xét K = 3 Ma trận khối lượngneutrino được thiết lập theo các biến đổi sau

Số hạng khối lượng liên hệ với neutrino hoạt động là:

−YνaILaφνe RI → −YνaI(νaL, eaL)

v

√ 2

2YνaI Số hạng khối lượng còn lại là:

trong đó O là ma trận (3 × 3) với tất cả các phần tử đều bằng 0 Từđịnh nghĩa của ma trận nghịch đảo, MN−1MN = MNMN−1 = I6, ta có

mTD = UM∗ diag(pM1, pM2, pM3)ξ0pmˆνUP M N S† , (1.23)trong đó UM thỏa mãn M = UM∗ diag(M1, M2, M3)UM† và ξ0 là một matrận trực giao phức thỏa mãn ξ0ξ0T = I3 Ma trận trộn Uν có bậc (9 × 9)

Để so sánh và xây dựng liên hệ giữa LFVHD trong các mô hình MSS

và ISS, chúng tôi chỉ xét các trường hợp đơn giản Cụ thể, chúng tôichọn ξ = UN = I3 trong MSS, dẫn đến các biểu thức đơn giản của cácphương trình trong (1.16)

MNd = MN, R = −iUPMNSmˆ1/2ν MNd
−1/2, V = I3, ˆMN = MNd + ˆmν

(1.24)Trong mô hình ISS, từ (1.23) ta thấy rằng mD được tham số hóa theokhá nhiều tham số tự do, do đó chúng tôi có thể chọn µX = µXI3.Đây là tham số quan trọng phân biệt các đặc điểm quan trong củahai mô hình MSS và ISS Ngoài ra chúng tôi cũng chỉ xét trường hợpđơn giản MR = ˆMR = diag(MR1, MR2, MR3) và ξ0 = I3 Với điều kiện

|µX|  |MR| chúng tôi thu được

UM = I3, MNd =

ˆMR 0

0 MˆR

!, V ' √1

2

−iI3 I3

iI3 I3

! (1.25)

Ta có thể thấy rằng hai ma trận khối lượng ˆMR (ISS) và ˆMN (SS) đều

có vai trò là thang khối lượng của neutrino mới Vì vậy, chúng tôi đồngnhất chúng là khối lượng của các neutrino trong cả hai mô hình Sự khácnhau của hai mô hình lúc này là ma trận trộn V trong (1.25) và µX chỉđặc trưng cho ISS Tham số này µX xuất hiện ở ma trận con thứ haicủa ma trận trộn R được cho trong (1.22) Từ đây chúng tôi tìm được

hệ thức liên hệ đơn giản giữa các phần tử lớn nhất của các ma trân Rtrong hai mô hình seesaw đang xét là:

Trong chương tiếp theo chúng tôi thiết lập các biểu thức cụ thể tínhbiên độ quá trình rã LFVHD trong hai chuẩn ’t Hooft Feynman và chuẩnunitary và chỉ ra sự thống nhất giữa hai cách tính này

Γ(h → µτ ) ≡ Γ(h → µ−τ+) + Γ(h → µ+τ−) ' mh

8π |∆L|2 + |∆R|2
,

(2.1)trong đó mh  m2, m3 và m2, m3 là khối lượng của muon và tau tươngứng Các xung lượng ngoài thoả mãn p2a = m2a (a = 2, 3) và p2h ≡(p2 + p3)2 = m2h, mh = 125 GeV Trong luận văn này ∆L,R được tính ởmức một vòng trong hai chuẩn unitary và chuẩn ’t Hooft Feynman

Bề rộng rã nhánh toàn phần trong SM là Γtotal = 4.1.10−3, dẫn đếnbiểu thức tỉ lệ rã nhánh LFVHD là:

Br(h → µτ ) = Γ(h → µτ )

Γtotal . (2.2)

2.2 Chuẩn ’t Hooft Feynman

2.2.1 Giản đồ Feynman và biểu thức tính biên độ

Hình 2.1: Giản đồ Feynman trong chuẩn ’t Hooft Feynman

Đồng nhất k = a, m = b, ni = νi, nj = νj Đóng góp toàn phần vàobiên độ rã LFVHD viết được như sau: ∆L,R = P10

i=1FL,Ri , trong đó FL,Ri

là các đóng góp riêng của giản đồ thứ i trong hình 2.1 Dựa vào cáctính toán đã có trong [13], ta thu được kết quả biểu diễn theo các hàmPassarino-Veltman (PV) được định nghĩa trong phụ lục A Biểu thứccho các đóng góp cụ thể là:

FR(1) = − g

3 mb64π 2 m 3

i

FR(5) = − g

3 mb64π 2 m 3

(m 2

a − m 2

b )

h 2m2niB0(1)− m2ni+ m2a
B1(1)i,

FR(8) = − g

3 mb64π 2 m 3

a − m 2

b ) h

m2ni m2a+ m2b
B(2)0 + m2b m2ni+ m2a
B1(2)i,

(m 2

a − m 2

b )

h 2m2niB0(2)+ m2ni+ m2b
B1(2)i, (2.6)

trong đó Bai = Uaiν∗, Bbj∗ = Ubjν, Cij = P3

c=1UciνUcjν∗, và D = 4 − 2 là

số chiều Các công bố trước đây chưa tính cho trường hợp giản đồ 1 Vìvậy phần tính giản đồ này được cho ở phụ lục

2.2.2 Kiểm tra khử phân kỳ

Theo ký hiệu phân kỳ định nghĩa ở phụ lục A, phân kỳ trong các đónggóp vào ∆L tương ứng với các giản đồ cụ thể viết được như sau:

Div[∆(1)L ] = − g

3ma64π2m3W

= − g

3ma64π2m3W

3ma64π2m3W

m2

a− m2

b

2m2ni∆− (m2n

Div[∆(10)L ] = g

3ma64π2m3W

i∆− m2bm2n

i

∆2



3ma64π2m3W

Ta có

Div[∆(8)L ] + Div[∆(10)L ] = g

3ma64π2m3W

Div[∆(1)L ] + Div[∆(8)L ] + Div[∆(10)L ] = 0 (2.11)Vậy

Tương tự ta chứng minh được: Div[∆R] = 0

2.3.1 Giản đồ Feynman và biểu thức tính biên độ

Xét trong chuẩn unitary, các giản đồ Feynman đóng góp vào quá trình

rã LFVHD được biểu diễn trong hình 2.2

e − a

e − a

(b)

h

n i

e − a

W ±

e + b

(d)

Hình 2.2: Giản đồ Feynman trong chuẩn unitary.

Biểu thức tính biên độ cụ thể được xét chi tiết như sau:



× u ¯aγ µ PL[(−k/ + p/a) + mni] C ij mniPL+ mnjPR
+ Cij∗ mnjPL+ mniPR
 −(k/ + p/ b ) + mnj γ ν PLvb (2.14)

Kết quả cuối cùng là:

iM(b) = i

16π 2 × −g 3

4m 3 W



= −g

3 mb4mW

1 (m 2

 (2.15)

− m 2

n i

m 2 W

B1(1)+2m

2

n i

m 2 W

B0(1)− m 2

a

m 2 W

B(1)1

#) + m2a× uaPRvb

"

(2 − d)B1(1)+A0(mW)

m 2 W

− m 2

n i

m 2 W

B1(1)+2m

2

n i

m 2 W

B0(1)− m 2

a

m 2 W

B(1)1

#)

2mW

 i(−p/ b + m a )

p 2

b − m 2 a



= −g

3 ma4m W

1 (m 2

 (2.16)

+ m

2

n i

m 2 W

B1(2)+2m

2

n i

m 2 W

B0(2)+ m

2 b

m 2 W

B1(2)

#) + mamb× uaPRvb

"

−(2 − d)B(2)1 +A0(mW)

m 2 W

+m

2

n i

m 2 W

B1(2)+2m

2

n i

m 2 W

B0(2)+ m

2 b

m 2 W

B1(2)

#)