Luận án tiến sĩ cấu trúc pha của ngưng tụ bose einstein trong khí bose ở nhiệt độ cực thấp

Do đó, nghiên cứu các tính chất vật lý của BEC tạo nên từ khí Bose và khí Fermi ở nhiệt độ cực thấp đã trở thành một trong những lĩnh vực hấp dẫn nhất của vật lý hiện đại.BEC là vật chất

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

CẤU TRÚC PHA CỦA NGƯNG TỤ BOSE EINSTEIN TRONG KHÍ BOSE Ở NHIỆT ĐỘ CỰC

-THẤP

Nghiên cứu sinh: Đặng Thị Minh Huệ

Chuyên ngành Vật lý lý thuyết và Vật lý toán, Mã số: 62 44 01 03

Đơn vị đào tạo: Trung tâm Đào tạo hạt nhân,

Viện Năng Lượng Nguyên tử Việt Nam

Người hướng dẫn: GS.TSKH Trần Hữu Phát,

Viện Năng lượng Nguyên tử Việt Nam;PGS TS Lê Viết Hòa,

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

HÀ NỘI, 2016

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn khoa học củaGS.TSKH Trần Hữu Phát và PGS.TS Lê Viết Hoà Các kết quả nghiên cứu nêu trongluận án là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Hà Nội, tháng 7 năm 2016Tác giả luận ánĐặng Thị Minh Huệ

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình nghiên cứu để hoàn thành luận án, bên cạnh sự cố gắng của bản thân,tôi đã nhận được sự hướng dẫn tận tình của các Thầy hướng dẫn và sự giúp đỡ nhiệt tìnhcủa cơ quan chủ quản cũng như đơn vị đào tạo

Lời đầu tiên tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS TSKH Trần Hữu Phát

đã tận tình hướng dẫn tôi nghiên cứu khoa học để hoàn thành luận án Đối với tôi, Thầycòn hơn một người cha với tất cả sự kính trọng và ngưỡng mộ sâu sắc Tôi thực sự vinh

dự và tự hào được làm học trò của Thầy Tôi cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn chânthành đến PGS TS Lê Viết Hoà và PGS TS Nguyễn Tuấn Anh đã hết lòng hướng dẫn,động viên tôi trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận án này

Tôi xin trân trọng cảm ơn Trường Đại Học Thuỷ Lợi; Trung tâm Đào tạo hạt nhân,Viện Năng lượng Nguyên tử Việt Nam đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trìnhhọc tập, nghiên cứu Hơn nữa, tôi xin dành tất cả tình cảm và sự biết ơn sâu nặng đếngia đình, người thân và đồng nghiệp đã luôn động viên, ủng hộ tôi trong mọi công việc.Cuối cùng, tôi muốn khẳng định rằng luận án này được hoàn thành bằng sự nỗ lực củabản thân dưới sự hướng dẫn tận tình của các Thầy và sự giúp đỡ nhiệt tình của gia đình,người thân, cơ quan công tác cũng như đơn vị đào tạo

Tác giả luận án

Mục lục

Danh sách hình vẽ v

MỞ ĐẦU 1

I TỔNG QUAN 5

I.1 Giới thiệu về chuyển pha 5

I.2 Ngưng tụ Bose - Einstein 11

I.3 Sự phá vỡ đối xứng tự phát Định lý Goldstone 16

I.4 Tác dụng hiệu dụng Cornwall - Jackiw - Tombolis 19

I.5 Kết luận của chương I 24

II CẤU TRÚC PHA CỦA NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN TRONG KHÍ BOSE MỘT THÀNH PHẦN Ở NHIỆT ĐỘ CỰC THẤP 25

II.1 Thế hiệu dụng trong gần đúng bong bóng kép 26

II.1.1 Phương trình khe 28

II.1.2 Phương trình SD đối với hàm truyền 28

II.1.3 Phương trình khe mới 29

II.1.4 Phương trình SD mới 30

II.2 Các phương trình trạng thái 31

II.2.1 Ở nhiệt độ cao, nhiệt độ tới hạn 32

II.2.2 Ở nhiệt độ cực thấp 32

II.3 Cấu trúc pha của ngưng tụ Bose - Einstein trong khí Bose một thành phần ở nhiệt độ cực thấp 33

II.3.1 Giản đồ pha 34

II.3.2 Chuyển pha nhiệt 34

II.3.3 Chuyển pha lượng tử 35

II.4 Kết luận của chương II 37

III CẤU TRÚC PHA CỦA NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEINS TRONG KHÍ BOSE HAI THÀNH PHẦN Ở NHIỆT ĐỘ CỰC THẤP 39

III.1 Thế hiệu dụng trong gần đúng bong bóng kép 40

III.1.1 Các phương trình khe 43

III.1.2 Các phương trình SD cho các hàm truyền 44

III.1.3 Các phương trình khe mới 46

III.1.4 Các phương trình SD mới 47

III.2 Các phương trình trạng thái 48

III.2.1 Ở nhiệt độ cao, nhiệt độ tới hạn 49

III.2.2 Ở nhiệt độ cực thấp 50

III.3 Cấu trúc pha của ngưng tụ Bose - Einstein trong khí bose hai thành phần ở nhiệt độ cực thấp 51

III.3.1 Đối với hệ khí Bose hai thành phần hoà tan 52

III.3.2 Đối với hệ khí Bose hai thành phần không hoà tan 63

III.4 Kết luận của chương III 73

KẾT LUẬN 75

Danh sách các công trình đã công bố 77

Tài liệu tham khảo 78

PHỤ LỤC 87

A ĐỐI VỚI KHÍ BOSE MỘT THÀNH PHẦN 88

A.1 Lagrangian của hệ khí Bose một thành phần 88

A.2 Khai triển ở nhiệt độ cao 89

A.3 Khai triển ở nhiệt độ cực thấp 89

B ĐỐI VỚI KHÍ BOSE HAI THÀNH PHẦN 91

B.1 Lagrangian của hệ khí Bose hai thành phần 91

B.2 Các biểu thức tích phân và năng lượng riêng 93

B.3 Khai triển ở nhiệt độ cao 94

B.4 Khai triển ở nhiệt độ cực thấp 96

Danh sách hình vẽ

I.1 Năng lượng tự do gián đoạn tại điểm tới hạn, tương ứng với chuyển pha

xảy ra là loại một 8I.2 Sự phụ thuộc nhiệt độ T của tham số trật tự Φ: (a) đối xứng bị phá vỡ tại

T = 0 và được phục hồi tại T = Tc > 0 được gọi là kịch bản pha ứng vớihiện tượng SR; (b) đối xứng bị phá vỡ tại T = 0 nhưng không được đượcphục hồi khi T tăng được gọi là kịch bản pha ứng với hiện tượng SNR; (c)đối xứng bị phá vỡ tại T = Tc > 0 được gọi là kịch bản pha ứng với hiệntượng ISB 9I.3 Hình ảnh thực nghiệm thu được BEC của Rubidium do nhóm Carl Wieman,

Eric Cornell và Wolfgang Ketterle - Mỹ thực hiện bằng kỹ thuật làm lạnh,bẫy từ trường và bay hơi lạnh [5, 99] 13II.1 Các đỉnh tương tác ba đường (a); Các đỉnh tương tác bốn đường (b) 26II.2 Giản đồ loop của gần đúng bong bóng kép 26II.3 Giản đồ pha trên mặt phẳng (T, µ) 34II.4 a Sự phụ thuộc của tham số trật tự φ0 vào nhiệt độ ứng với một vài giá trị

của µ tại λ = 10−11eV−2 ; b Sự phụ thuộc của thế hoá hiệu dụng M vàonhiệt độ ứng với vài giá trị của µ tại λ = 10−11eV−2 35II.5 Sự phụ thuộc nhiệt độ của tham số trật tự φ0 (a); Sự phụ thuộc nhiệt độ của

M (b) tại µ = 10−11eV ; λ = 10−11eV−2; Sự phụ thuộc của thế hiệu dụngvào tham số trật tự φ0 quanh nhiệt độ tới hạn Tc= 303nK (c) 36II.6 Sự phụ thuộc của tham số trật tự φ0 vào thế hoá (a); Sự phụ thuộc của M

vào µ (b) tại λ = 10−11eV−2 ứng với một số giá trị xác định của nhiệt độ T 37

II.7 Sự phụ thuộc của thế hiệu dụng vào tham số trật tự φ0 xung quanh giá trị

tới hạn của thế hoá µc= 0.66 × 10−11eV tại λ = 10−11eV−2 và T = 232nK 37III.1 Giản đồ pha tồn tại ba pha và một sa mạc TCP là điểm tới hạn bốn 53III.2 Sự phụ thuộc vào nhiệt độ của các tham số trật tự (a); Sự phụ thuộc vào

nhiệt độ của M1; M2 (b); Sự phụ thuộc vào nhiệt độ của các mật độ ngưng

tụ và mật độ hạt (c) tại µ2 = 1.5 × 10−12eV 54III.3 Sự phụ thuộc của thế hiệu dụng vào tham số trật tự φ0 xung quanh giá trị

Tcφ = 163 nK (a) và tham số trật tự ψ0 xung quanh Tcψ = 1975 nK (b) 55III.4 Sự phụ thuộc vào nhiệt độ của các tham số trật tự (a); Sự phụ thuộc vào

nhiệt độ của M1, M2 (b); Sự phụ thuộc vào nhiệt độ của các mật độ hạt vàmật độ ngưng tụ (c) tại giá trị µ2 = 0.8 × 10−12eV 56III.5 Sự phụ thuộc nhiệt độ T của các tham số trật tự (a); Sự phụ thuộc vào

nhiệt độ của M1, M2 (b); Sự phụ thuộc của các mật độ hạt vào nhiệt độ (c)tại giá trị µ2 = 2.3 × 10−12eV 57III.6 Sự phụ thuộc của nhiệt dung đẳng tích vào nhiệt độ tại gái trị µ2 = 0.8 ×

10−12eV (a) và µ2 = 2.3 × 10−12eV (b) 58III.7 Sự phụ thuộc vào µ2 của các tham số trật tự (a); Sự phụ thuộc vào µ2 của

M1, M2 (b) và của các mật độ hạt (c) tại T = 5 nK 59III.8 Sự phụ thuộc của thế hiệu dụng vào tham số trật tự φ0 quanh giá trị

µ2φ = 2.01 × 10−12eV (a) và ψ0 quanh giá trị µ2ψ = 0.93 × 10−12eV (b) ở

T = 5 nK 60III.9 Sự phụ thuộc vào µ2 của nhiệt dung đẳng tích tại T = 5 nK 60III.10 Sự phụ thuộc vào µ2 của các tham số trật tự (a); Sự phụ thuộc vào µ2 của

M1, M2 (b) và của các mật độ hạt (c) tại T = 500 nK 61III.11 Sự phụ thuộc của nhiệt dung đẳng tích vào µ2 với T = 500 nK 62III.12 Giản đồ pha ứng với ba pha (φ0 6= 0, ψ0 = 0), (φ0 6= 0, ψ0 6= 0), (φ0 =

0, ψ0 6= 0) và một sa mạc (φ0 = 0, ψ0 = 0) TCP là điểm tới hạn bốn 64

III.13 Sự phụ thuộc vào nhiệt độ của các tham số trật tự φ0, ψ0 (a) và thế hoá

hiệu dụng M1, M2 (b) với µ2 = 1.5 × 10−12eV , Tcφ = 589nK là nhiệt độ tớihạn của thành phần thứ nhất; Tcψ = 162nK là nhiệt độ tới hạn của thànhphần ngưng tụ thứ hai 65III.14 Sự phụ thuộc của thế hiệu dụng vào các tham số trật tự φ0, ψ0 xung quanh

nhiệt độ tới hạn Tcφ = 589nK và Tcψ = 162nK ứng với giá trị xác địnhcủa µ2 = 1.5 × 10−12eV 66III.15 Sự phụ thuộc vào nhiệt độ của nhiệt dung đẳng tích tương ứng với mô hình

các tham số của hình III.13 66III.16 Sự phụ thuộc vào nhiệt độ của hai tham số trật tự và của M1, M2 ứng với

µ2 = 0.8 × 10−12eV 67III.17 Sự phụ thuộc vào nhiệt độ của nhiệt dung đẳng tích tương ứng với mô hình

các tham số của hình III.16 67III.18 Sự phụ thuộc của hai tham số trật tự và M1; M2 vào nhiệt độ T ứng với

µ2 = 2.3 × 10−12eV 68III.19 Sự phụ thuộc vào nhiệt độ của nhiệt dung đẳng tích tương ứng với bộ tham

số của hình III.18 69III.20 Sự phụ thuộc của các tham số trật tự φ0; ψ0 và thế hiệu dụng hiệu dụng

M1; M2 vào µ2 tại nhiệt độ T = 5nK 70III.21 Sự phụ thuộc của thế hiệu dụng vào hai tham số trật tự xung quanh giá trị

tới hạn µ2φ và µ2φ tại T = 5nK 70III.22 Sự phụ thuộc của Cv vào µ2 với T = 5nK 71III.23 Sự phụ thuộc của các tham số trật tự và M1; M2 vào µ2 ở T = 650nK 72III.24 Sự phụ thuộc vào nhiệt độ của nhiệt dung đẳng tích vào µ2 ở nhiệt độ

T = 650nK 72

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

BEC Bose - Einstein Condensate Ngưng tụ Bose - Einstein

SNR Symmetry Non - Restoration Không phục hồi đối xứng

ISB Inverse Symmetry Breaking Phá vỡ đối xứng nghịch đảo

CJT Cornwall-Jackiw-Tombolis

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài và mục đích nghiên cứu

Sự tồn tại ngưng tụ Bose – Eintein (BEC) của khí Bose ở nhiệt độ cực thấp (cỡ vài nK)

đã được Einstein tiên đoán từ năm 1925 [27] nhưng mãi đến năm 1995 mới thực sự đượckiểm chứng bằng thực nghiệm Đó là các thí nghiệm về BEC của nguyên tử87Rb và 23N a

ở trạng thái hơi [5, 24] Sau phát minh thực nghiệm này, một loạt các thí nghiệm liên quanđến BEC của hệ gồm hai loại nguyên tử khác biệt cho thấy rằng BEC nhiều thành phầnkhông đơn giản là sự mở rộng của BEC một thành phần [20, 40, 62, 63, 64, 65, 69, 70].Một đặc trưng hấp dẫn nhất của tất cả các thí nghiệm phát hiện về BEC của khí Boseloãng ở nhiệt độ cực thấp là hầu hết tất cả các tham số vật lý như độ dài tán xạ, thếhóa học v.v đều có thể điều khiển theo ý muốn nhờ các phương pháp thực nghiệm hếtsức tinh vi như cộng hưởng Fesbach (Fesbach Resonance) và mạng quang học (OpticalLattices) [15, 29, 32, 60, 62, 69, 77, 99, 107, 110] Do đó có rất nhiều hiện tượng lạ, lôicuốn như là đường hầm lượng tử, sự tách pha [18, 68, 74, 76, 77, 86, 91, 96, 98], cấu hìnhxoáy [26, 33, 62, 63], Đặc biệt có thể tồn tại nhiều loại chuyển pha được tạo ra trongthực nghiệm bằng cách đơn giản là điều chỉnh các tham số [3, 8, 20, 52, 65, 80, 82] Sựkiện này đánh dấu một bước phát triển rất nhanh trong nghiên cứu về khí lượng tử Do

đó, nghiên cứu các tính chất vật lý của BEC tạo nên từ khí Bose và khí Fermi ở nhiệt

độ cực thấp đã trở thành một trong những lĩnh vực hấp dẫn nhất của vật lý hiện đại.BEC là vật chất lượng tử, sóng vật chất lượng tử có đặc tính rất quan trọng của sónglaser, đó là tính kết hợp Nghiên cứu sóng vật chất dựa trên BEC đóng vai trò chủ yếukhi xác lập nguyên lý làm việc của máy tính lượng tử Để phát hiện các hiệu ứng lượng

tử có liên quan trực tiếp đến tin học lượng tử người ta đã tiến hành nhiều nghiên cứu vềthực nghiệm và lý thuyết các tính chất vật lý của cả BEC một thành phần và BEC hai

thành phần Hơn nữa, các nghiên cứu này đã cung cấp nhiều kết quả quan trọng đối vớitoàn bộ ngành vật lý, đặc biệt là công nghệ lượng tử được hình thành từ ba thành phầnchính sau:

1 Thông tin lượng tử

2 Máy tính lượng tử

3 Vật chất lượng tử

Song song với các nỗ lực thực nghiệm, đã có nhiều thành quả về mặt lý thuyết nhằm

mô tả các hiện tượng khác nhau đã quan sát được, đồng thời tiên đoán các hiệu ứnglượng tử mới [23, 25, 40, 45, 46, 55, 78, 88, 92, 97, 100, 101, 103, 104, 105] Việc nghiêncứu cấu trúc pha của BEC ở nhiệt độ cực thấp đóng một vai trò quan trọng vì cấu trúcpha cho ta thông tin đầy đủ về các tính chất vật lý, các trạng thái của vật chất lượng tửứng với các miền khác nhau của các tham số vật lý như hằng số tương tác, nhiệt độ vàthế hoá học Bức tranh chung về cấu trúc pha và các tính chất vật lý của BEC đã đượcnghiên cứu và công bố ở các công trình khoa học [6, 7, 8, 14, 16, 17, 18, 28, 31, 33, 36,

41, 42, 43, 53, 66, 67, 74, 78, 82, 92, 93, 102, 103, 104], trong đó các đặc điểm chính củatách pha trong BEC đã hoàn toàn quan sát được bằng thực nghiệm đối với hệ ngưng tụhai thành phần gồm 85Rb−87Rb [76] và87Rb−133Cs [65] Tuy nhiên, cho đến nay chưa cónghiên cứu khoa học nào khẳng định sự tồn tại của hiện tượng phá vỡ đối xứng nghịchđảo (ISB) và vai trò của tính ổn định động lực (DS) đối với sự hình thành các pha trongBEC

Vì vậy, trong luận án này chúng tôi tập trung vào nghiên cứu cấu trúc pha của BECđược tạo ra từ khí Bose một thành phần và hai thành phần ở nhiệt độ cực thấp nhằmmục đích tìm ra các hiện tượng mới với các miền khác nhau của các tham số vật lý Mụctiêu chính của luận án là xét vai trò của tính ổn định động lực đối với sự hình thành cácpha trong BEC và nghiên cứu xem có thể xảy ra quá trình ISB trong BEC hay không?

2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận án là sự hình thành các pha khác nhau của BEC trongkhí Bose một thành phần, hai thành phần ở nhiệt độ cực thấp và vai trò của tính ổn định

động lực đối với sự hình thành các pha đó.

Phạm vi nghiên cứu của luận án là xét hệ khí Bose ở nhiệt độ cực thấp trong gần đúngbong bóng kép Cụ thể là tìm hiểu cấu trúc pha, sự hình thành và tồn tại các pha củaBEC trong khí Bose dựa trên giản đồ pha vẽ trên mặt phẳng (T, µ) đối với khí Bose mộtthành phần hoặc (T, µ2) đối với khí Bose hai thành phần

3 Phương pháp nghiên cứu

Để đạt được mục đích nghiên cứu, chúng tôi sử dụng lý thuyết Gross - Pitaevskii, lýthuyết chuyển pha nhiệt (Thermal phase transition) và chuyển pha lượng tử (Quantumphase transition) nhằm xác định các tính chất chuyển pha của vật chất lượng tử khi nhiệt

độ thay đổi (chuyển pha nhiệt) hoặc khi thế hoá thay đổi ở nhiệt độ xác định (chuyển phalượng tử) Bản chất vật lý của việc tạo nên các pha sẽ được làm sáng tỏ khi nghiên cứu

sự phá vỡ đối xứng tự phát cuả hệ, trong đó định lý Goldstone đóng vai trò quan trọng.Đồng thời nghiên cứu vai trò của tính bất ổn định động lực (Dynamical Instability) đốivới sự phá vỡ tính siêu lưu (Superfluidity) của vật chất lượng tử Công cụ toán học đượcchúng tôi sử dụng để tiến hành các nghiên cứu trên là phương pháp tác dụng hiệu dụngCornwall - Jackiw - Tombolis (CJT) [21] Đây là phương pháp hiện đại, có độ tin cậy cao,gần đây thường được sử dụng để nghiên cứu chuyển pha trong lý thuyết trường lượng tử.Phương pháp này có nhiều ưu thế vì nó tự động cho hai kết quả quan trọng dùng để xácđịnh nghiệm vật lý của hệ (đó là phương trình khe và phương trình Schwinger - Dyson)

Do đó chúng tôi chọn phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT ở gần đúng bong bóng kép

là gần đúng cho kết quả tương tự như phép gần đúng Hatree - Fork [58] để nghiên cứu

về cấu trúc pha của ngưng tụ Bose - Einstein trong khí Bose ở nhiệt độ cực thấp

4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án

Luận án đã phát hiện ra hai hiện tượng mới trong cấu trúc pha của khí Bose ở nhiệt độcực thấp khi có BEC Đó là quá trình phá vỡ đối xứng nghịch đảo (ISB) và vai trò củatính ổn định động lực (DS) đối với sự hình thành các pha Ngoài ra luận án đã chứng tỏquá trình ngưng tụ Bose - Einstein là một chuyển pha loại hai và đề xuất cách thức thực

nghiệm để quan sát được hiện tượng ISB cũng như cách thức xác định trạng thái chânkhông của boson j - là trạng thái tại đó tổng số hạt boson j bằng không, ρj = 0.

5 Cấu trúc của luận án

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Phụ lục, luận án gồm có ba chương:

Chương I: Tổng quan Trong chương này chúng tôi giới thiệu về pha và lý thuyếtchuyển pha; Ngưng tụ Bose - Einstein; Phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT và các kháiniệm, định lý liên quan

Chương II: Cấu trúc pha của ngưng tụ Bose - Einstein trong khí Bose một thành phần

ở nhiệt độ cực thấp Trong chương này, bắt đầu từ mật độ Lagrangian của hệ thoả mãnphương trình Gross - Pitaevskii (GP), chúng tôi tiến hành tính thế hiệu dụng CJT tronggần đúng bong bóng kép Từ đó rút ra các phương trình khe; phương trình Schwinger -Dyson (SD) và các phương trình trạng thái là các phương trình chi phối mọi quá trìnhnhiệt động trong hệ Các khai triển ở nhiệt độ cao và nhiệt độ cực thấp Các phươngtrình trên được sử dụng để nghiên cứu số với mục đích khảo sát cấu trúc pha của hệ khíBose một thành phần có khối lượng m = 80GeV , dựa trên giản đồ pha vẽ trên mặt phẳng(T, µ)

Chương III: Cấu trúc pha của ngưng tụ Bose - Einstein trong khí Bose hai thành phần

ở nhiệt độ cực thấp Chương này trình bày các nghiên cứu về BEC cho hệ khí Bose haithành phần có khối lượng rút gọn m = 80GeV trong đó thế hoá của một thành phầnkhông đổi (kí hiệu là µ1) dựa trên giản đồ pha vẽ trên mặt phẳng (T, µ2)

Phần Kết luận là phần tổng kết các kết quả thu được, ý nghĩa khoa học và đóng gópcủa luận án Tiếp theo là Các công trình liên quan đến luận án, Tài liệu tham khảo cuảluận án và cuối cùng là Phụ lục

Chương I

TỔNG QUAN

I.1 Giới thiệu về chuyển pha

Thông thường, trong vật lý ta dùng khái niệm pha để chỉ các trạng thái rắn, lỏng hoặckhí của hệ nhiệt động Trong vật lý thống kê, pha được hiểu là một trạng thái của hệ vĩ

mô có các đặc trưng khác về chất so với các trạng thái khác của chính hệ đó và các tínhchất vật lý cơ bản của hệ được xác định qua cấu trúc pha của hệ đó Mỗi trạng thái vĩ môcủa hệ được xác định bởi các thông số trạng thái như nhiệt độ (T ), áp suất (P ), thể tích(V ), mật độ hạt (n), entropy (S) mà chúng được xác định qua các hàm nhiệt động (làhàm của trạng thái) như năng lượng tự do E, thế nhiệt động (Ω) Khi hệ ở trạng tháicân bằng nhiệt, các thông số trạng thái không độc lập mà liên hệ với nhau bởi phươngtrình trạng thái Do đó trạng thái cân bằng của hệ đồng chất được xác định bằng hai đạilượng nhiệt động bất kỳ cho trước, ví dụ như thể tích V và năng lượng E Tuy nhiên,không thể khẳng định rằng khi cho trước một cặp bất kỳ các giá trị của E và V thì chínhtrạng thái đồng chất đó của vật chất sẽ tương ứng với một trạng thái cân bằng nhiệt Cóthể xảy ra trường hợp trong trạng thái cân bằng nhiệt, hệ không phải là đồng chất màtách ra thành hai phần đồng chất tiếp giáp nhau và ở trong những trạng thái khác nhau.Các trạng thái khác nhau của vật chất có thể đồng thời tồn tại, cân bằng với nhau vàtiếp giáp nhau gọi là những pha khác nhau của vật chất Hai pha cân bằng với nhau làhai pha phải có nhiệt độ bằng nhau, áp suất bằng nhau và thế hoá cũng phải bằng nhau,tức là

Nếu đặt áp suất và nhiệt độ trên các trục tọa độ thì tập hợp những điểm ở đó có cân bằngpha sẽ thuộc một đường cong nào đó gọi là đường cong cân bằng pha Khi đó, nhữngđiểm nằm hai bên đường cong sẽ là những trạng thái đồng chất của hệ, tức là thuộc mộtpha xác định Khi trạng thái của hệ biến đổi dọc theo một đường cắt đường cong cânbằng sẽ có sự chuyển từ pha này sang pha khác tại giao điểm của của đường cong [66].Nếu biểu diễn sự cân bằng pha đối với một lượng chất xác định bằng cách vẽ giản đồtrong mặt phẳng (T, V ) thì các trạng thái trong đó đồng thời có hai pha sẽ chiếm cả mộtmiền mặt phẳng Tương tự như các điều kiện cân bằng của hai pha, sự cân bằng của bapha cũng được xác định bằng ba đẳng thức:

T1 = T2 = T3; P1 = P2 = P3; µ1 = µ2 = µ3 (I.2)

Theo lý thuyết Landau, trạng thái của hệ được gọi là cân bằng nếu các bất đẳng thứcnhiệt động sau đây được thoả mãn: nhiệt dung đẳng tích luôn dương (CV > 0), nhiệtdung đẳng áp luôn lớn hơn nhiệt dung đẳng tích (CP > CV) và đạo hàm của áp suất theothể tích khi nhiệt độ không đổi luôn âm (∂P∂V|T =const < 0) Do đó, các trạng thái của hệnhiệt động có nhiệt dung đẳng tích âm hay đạo hàm của áp suất theo thể tích khi nhiệt

độ không đổi dương được gọi là các pha trạng thái không bền và không thể tồn tại Giátrị dương của nhiệt dung đẳng tích và đẳng áp (CV, Cp) chứng tỏ rằng năng lượng là mộthàm tăng đơn điệu theo nhiệt độ khi thể tích không đổi Entropi thì tăng đơn điệu theonhiệt độ ngay cả khi thể tích không đổi hoặc áp suất không đổi [57] Lưu ý rằng nhữngtrạng thái mà entropi giảm đi khi có thăng giáng xung quanh trạng thái đó nhưng sau đó

hệ quay trở lại trạng thái ban đầu được gọi là trạng thái cân bằng bền Còn trạng tháikhi có độ lệch hữu hạn nào đó thì entropi tăng so với trạng thái ban đầu và sau đó hệkhông thể trở về trạng thái ban đầu được gọi là trạng thái nửa bền (giả bền) Trạng tháibền tương ứng với cực đại lớn nhất trong tất cả các cực đại khả dĩ của entropi

Chuyển pha là một hiện tượng vật lý phổ biến trong tự nhiên, từ chuyển pha khí lỏng quen thuộc cho đến chuyển pha trong các hệ lượng tử như chuyển pha chiral trong

-vũ trụ và chuyển pha hadron - quark trong các phản ứng ion nặng Nghiên cứu về chuyểnpha đã được thực hiện khá lâu Từ thế kỷ 19 Andrew [4] đã phát hiện một điểm khác

thường trên mặt phẳng P − T của CO2, tại đó các tính chất của trạng thái lỏng và khítrở nên không phân biệt và hệ ở trong trạng thái tới hạn, có mầu trắng sữa Đó là quansát đầu tiên về điểm tới hạn (điểm chuyển pha) Điểm tới hạn là điểm dừng của đườngcong cân bằng pha trên mặt phẳng (P, T ) Tại điểm đó, nhiệt độ và áp suất tương ứnggọi là nhiệt độ và áp suất tới hạn (Tc, Pc) Tức là khi nhiệt độ T > Tc và áp suất P > Pc

sẽ không còn có các pha khác nhau của vật chất, hệ trở nên đồng chất Một điểm chuyểnpha thông thường không phải là một kỳ dị toán học của các đại lượng nhiệt động của hệ

Để cho mỗi pha có thể tồn tại dưới điểm chuyển pha thì các bất đẳng thức nhiệt độngphải không bị vi phạm tại điểm chuyển pha Ba mươi năm sau, P Curie [22] đã phát hiện

sự chuyển pha sắt từ (ferromagnetic) trong sắt và nhận thấy sự giống nhau giữa hai hiệntượng này Tuy nhiên lý thuyết chuyển pha chỉ thực sự ra đời từ công trình [58], trong đóLandau lần đầu tiên đề xuất một mô hình tổng quát cho phép giải thích một cách thốngnhất các hiện tượng chuyển pha trong các chất lỏng và từ Tuy nhiên, lời giải thích chínhxác của Onsager cho mô hình Ising hai chiều [75] và các kết quả của Guggenhein [38] vềđường cong đồng tồn tại của các chất lỏng đơn đã chỉ ra rằng lý thuyết Landau khôngcho các kết quả định lượng đúng Do đó, để hiểu đầy đủ về lý thuyết chuyển pha ngoài

lý thuyết Landau cần bổ sung thêm các hệ thức Scaling cho các chỉ số tới hạn, phươngtrình trạng thái cũng như kết hợp lý thuyết về chuyển pha hiện đại của Kadanoff và củanhà vật lý lý thuyết Mỹ K Wilson [49, 108] Xét về nguyên nhân có thể chia chuyển phathành hai loại: chuyển pha nhiệt và chuyển pha lượng tử Sau đây là tóm lược những nétchính của hai loại chuyển pha này

Chuyển pha nhiệt

Chuyển pha nhiệt là sự thay đổi về chất trạng thái của hệ tại điểm chuyển pha khi nhiệt

độ thay đổi đạt đến giá trị tới hạn Chuyển pha nhiệt xảy ra khi thăng giáng nhiệt1 củacác đại lượng vật lý, đặc biệt là của mật độ hạt, trở nên rất lớn tại điểm chuyển pha vàkhi đó độ dài tương quan trở nên lớn vô hạn [57, 59]

Cho đến nay, có hai quan điểm về chuyển pha nhiệt, đó là chuyển pha theo lý thuyết

1

Thăng giáng nhiệt của một đại lượng vật lý là sự thay đổi xung quanh giá trị trung bình của đại lượng đó do nhiệt độ thay đổi.

Ehrenfest và theo lý thuyết của Landau.

1 Theo Ehrenfest, chuyển pha nhiệt của hệ xảy ra tại điểm tới hạn ứng với sự khôngliên tục của đạo hàm năng lượng tự do theo nhiệt độ Sự chuyển pha này còn được gọi làchuyển pha cổ điển Nếu đạo hàm bậc nhất của năng lượng tự do E theo nhiệt độ khôngliên tục tại điểm chuyển pha thì gọi là chuyển pha loại một (hình I.1), nếu đạo hàm bậchai của năng lượng tự do theo nhiệt độ không liên tục tại điểm tới hạn thì gọi là chuyểnpha loại hai [71]

Pa-sự chuyển pha loại hai Chú ý rằng, có thể xảy ra hai trường hợp: thứ nhất, khi xuất hiệntham số trật tự nhưng không có sự thay đổi đối xứng tinh thể thì không thể có chuyểnpha loại hai nhưng có thể xảy ra chuyển pha loại một; thứ hai, xảy ra sự chuyển tinh thể

từ trật tự thành không trật tự một cách liên tục nhưng lại không thể có bước nhảy củanhiệt dung thì cũng không xảy ra chuyển pha loại hai Sự thay đổi đối xứng của hệ trongchuyển pha loại hai có một tính chất tổng quát rất quan trọng là đối xứng của một phacao hơn đối xứng của pha kia (pha nào có nhiệt độ cao hơn sẽ có đối xứng cao hơn) Điềukiện không có bước nhảy trạng thái tại điểm chuyển pha loại hai dẫn đến kết quả: cáchàm trạng thái nhiệt động của hệ (entropi, năng lượng, thể tích ) vẫn giữ liên tục khi

đi qua điểm chuyển pha Do đó điểm chuyển pha loại hai đặc biệt khác điểm chuyển phaloại một ở chỗ nó xảy ra không kèm theo sự tỏa nhiệt hay hấp thụ nhiệt nhưng đạo hàmbậc nhất của các đại lượng nhiệt động (theo áp suất; thể tích) sẽ thay đổi có bước nhảy

ở điểm chuyển pha loại hai

Như vậy, theo lý thuyết của Landau:

- Chuyển pha loại một: Tham số trật tự có bước nhảy tại T = Tc Chuyển pha loạimột không gắn liền với các đối xứng của hệ

- Chuyển pha loại hai: Tham số trật tự là hàm đơn điệu của nhiệt độ và tiến tới khôngkhi nhiệt độ T tiến tới Tc Điểm đặc biệt trong lý thuyết Landau là gắn sự chuyển phaloại hai với tính đối xứng của hệ đối với các phép biến đổi của tham số trật tự Khi xảy rachuyển pha loại hai, tham số trật tự Φ(T ) của hệ giảm liên tục về không theo một trong

ba cách như ở hình I.2a; I.2b ; I.2c và nhiệt dung có sự kỳ dị tại điểm chuyển pha

Ví dụ: Chuyển pha từ trạng thái kim loại thường sang siêu dẫn (xảy ra ở nhiệt độtới hạn là nhiệt độ thấp): ở trạng thái thông thường, kim loại có tính đối xứng U(1).Khi nhiệt độ hạ xuống đến T = Tc thì nhóm đối xứng U(1) bị phá vỡ: tham số trật tựΦ(T ) 6= 0 ở trạng thái siêu dẫn là khác không, tương ứng với nhóm đối xứng U(1) bị phá

vỡ, trong khi ở trạng thái thông thường tham số trật tự bằng không Tức là pha siêu dẫn

là pha có trật tự còn pha thông thường là pha không có trật tự tương ứng với hiện tượng

SR Lưu ý rằng, kịch bản pha SR đã được chứng minh tồn tại trong cả lý thuyết và thựcnghiệm [17, 43, 100, 101] Kịch bản pha SNR và ISB được cho là rất hiếm xảy ra trong

tự nhiên nhưng hoàn toàn tồn tại trong rất nhiều hệ [9, 11, 89], đặc biệt đã tìm thấy hiệntượng ISB đối với muối Rochelle [90]

Chuyển pha lượng tử

Trong lý thuyết lượng tử, khi hệ ở cùng một pha vật chất nhưng vẫn có thể ở các trạngthái lượng tử khác nhau, ta gọi các trạng thái lượng tử đó là pha lượng tử Chuyển phalượng tử xảy ra do thăng giáng lượng tử của các đại lượng vật lý ở nhiệt độ xác định,trong đó có mật độ số hạt, trở nên rất lớn khi tiến tới điểm chuyển pha [17, 30, 37, 71, 87].Thăng giáng lượng tử xảy ra do nguyên lý bất định Heisenberg Do đó khảo sát thănggiáng của các tham số như hằng số tương tác; thế hoá học; mật độ hạt của hệ lượng tử

ở nhiệt độ xác định cho ta thông tin về chuyển pha lượng tử Ví dụ khi thế hoá thay đổiđến giá trị tới hạn µcthì thăng giáng lượng tử của mật độ hạt trở nên vô cùng lớn, tại đóxảy ra chuyển pha lượng tử, khi đó hệ chuyển từ trạng thái lượng tử này sang trạng tháilượng tử khác ở nhiệt độ không đổi hay khoảng cách giữa các nguyên tử, phân tử khôngđổi

Tóm lại, chuyển pha nhiệt là hệ chuyển từ trạng thái nhiệt động này sang trạng tháinhiệt động khác khi đi qua T = Tc còn chuyển pha lượng tử là hệ chuyển từ trạng tháilượng tử này sang trạng thái lượng tử khác khi đi qua điểm chuyển pha (ứng với giá trịtới hạn của một tham số vật lý) ở nhiệt độ cực thấp cố định Trên thực tế, có các kịchbản pha ứng với các hiện tượng sau đây: SR là kịch bản pha ứng với đối xứng bị phá

vỡ ở nhiệt độ không và được phục hồi ở nhiệt độ cao hơn; SNR là kịch bản pha ứng với

đối xứng bị phá vỡ ở nhiệt độ không nhưng không được phục hồi ở nhiệt độ cao hơn vàtrường hợp cuối cùng là kịch bản pha ISB - là kịch bản pha xảy ra sự phá vỡ đối xứng ởnhiệt độ lớn hơn 0K.

I.2 Ngưng tụ Bose - Einstein

Boson là hạt có spin nguyên và tuân theo thống kê Bose - Einstein Hệ Bose có thể gồmcác hạt boson hoặc gồm các cặp hạt Fermi liên kết Hệ Bose tương tác yếu được gọi là khíBose, có thể là khí Bose một thành phần hoặc là hỗn hợp nhiều thành phần Khí Bosekhông tương tác (g = 0 hay λ = 0), gọi là khí Bose lý tưởng [57, 79] Trạng thái của hệBose được mô tả bằng các hàm sóng đối xứng, số lấp đầy không bị hạn chế bởi nguyên

lý Pauli mà có thể nhận giá trị bất kỳ Thế nhiệt động Ω của hệ này là [57]:

Như vậy, ở một trạng thái lượng tử, hệ Bose có thể có một số tùy ý các hạt

Từ những năm đầu thập niên 20 của thế kỷ 20 (1924 -1925), Einstein tiên đoán vềmặt lý thuyết rằng ở nhiệt độ T = 0K, các hạt trong hệ không có chuyển động nhiệt nênkhông có động lượng và hàm sóng ψ(k) mô tả hệ các hạt trở thành ψ(0) [27] Do đó, nănglượng của hệ các hạt Bose ở trạng thái lượng tử ứng với T = 0K là thấp nhất, gọi là trạngthái cơ bản Vì các Boson không bị chi phối bởi nguyên lý Pauli nên ở trạng thái lượng

tử này, có thể tồn tại một số tuỳ ý các hạt không có chuyển động nhiệt trong một thểtích xác định Đây là trạng thái rất đặc biệt với mật độ hạt rất lớn, có thể hình dung nhưmột đám mây lạnh đậm đặc chứa vô số hạt trong một thể tích nhỏ, xác định Hiện tượng

này được gọi là ngưng tụ Bose – Einstein (BEC) Như vậy, BEC là trạng thái mới của vậtchất xảy ra khi nhiệt độ được hạ xuống đến nhiệt độ tới hạn gần 0K Khi ngưng tụ xảy

ra, mật độ hạt ngưng tụ tăng đột biến Năm 1948, Bogoliubov (Nga) đã đưa ra mô hìnhLagangian cho khí Bose một thành phần và đến năm 1963, Gross – Pitaevskii đã đưa ra

mô hình Lagangian cho khí Bose hai thành phần [79] Từ đó cho đến nay, trong nghiêncứu lý thuyết đã hình thành một số cách tiếp cận BEC ở nhiệt độ hữu hạn như cách tiếpcận dựa trên phép gần đúng Thomas - Fermi của nhóm nghiên cứu Ho và Shenoy năm

1996 [43], cách tiếp cận dựa trên thế hiệu dụng CJT và phép gần đúng Hatree - Fork củanhóm nghiên cứu của GS.TSKH Trần Hữu Phát và cộng sự [100, 101]

Tuy nhiên, trước năm 1995 thực nghiệm chưa chứng minh được sự tồn tại của BEC[12] do chưa hạ được nhiệt độ xuống đến gần 0K, dưới 10−6K Phải đến năm 1995, saukhi tìm ra kỹ thuật làm lạnh mới, lần đầu tiên các nhà nghiên cứu mới thực hiện đượcBEC đối với khí Bose loãng, tương tác yếu một thành phần như 87Rb và 23N a, 7Li ởnhiệt độ cực thấp bằng cách sử dụng laser lạnh Thành tựu nghiên cứu của nhóm StevenChu, Claude Cohen – Tannoudji (lý thuyết) và William Phillips đối với kỹ thuật bẫy vàlàm lạnh tia laser đã đạt giải Nobel năm 1997 [15] Thành tựu này ngay sau đó đã đượcứng dụng để thực hiện thí nghiệm phát hiện BEC Cụ thể, quá trình thí nghiệm về BECtrải qua các bước sau đây: làm lạnh tia Laser; bẫy từ trường và cuối cùng là làm bay hơilạnh các nguyên tử kiềm Trong thí nghiệm về BEC hai thành phần, người ta đã dùnghiệu ứng Zeeman tách khí một thành phần thành hai thành phần Công trình nghiên cứu

về BEC hai thành phần này của nhóm Carl Wieman, Eric Cornell và Wolfgang Ketterlethuộc Đại học bang Colorado - Mỹ đã thực hiện thành công thực nghiệm quan sát đượcBEC hai thành phần, xảy ra ở nhiệt độ 170nK, công trình này đã được giải Nobel năm

2001 [99] Đặc biệt, các thí nghiệm phát hiện BEC của khí Bose loãng ở nhiệt độ cựcthấp đã chứng tỏ rằng có thể điều khiển theo ý muốn các tham số vật lý như độ dài tán

xạ, thế hóa học để tạo ra nhiều loại chuyển pha Các kết quả đạt được đã chứng minh

sự đúng đắn tiên đoán của Einstein về BEC Nhưng, cho đến nay thực nghiệm mới chỉchứng tỏ tồn tại hiện tượng phục hồi đối xứng (SR) trong BEC và sự chuyển pha trongBEC là loại một, trong khi một số nghiên cứu lý thuyết đã chứng tỏ rằng chuyển pha

trong BEC có thể là loại hai và có thể tồn tại hiện tượng không phục hồi đối xứng (SNR)trong BEC [43, 76, 99, 100, 101] Tuy nhiên, chưa có công trình khoa học nào công bố sựtồn tại của hiện tượng ISB cũng như vai trò của tính ổn định động lực đối với sự tồn tạingưng tụ trong BEC.

Như vậy, cần có những nghiên cứu sâu hơn về cấu trúc pha của BEC cũng như giải thíchcác hiện tượng, hiệu ứng mới về BEC Hơn nữa, ứng dụng của BEC trong thực tế đã mở

ra ngành vật lý mới là công nghệ lượng tử trong đó vật chất lượng tử chính là BEC Do

đó, nghiên cứu về các tính chất của BEC vẫn đang là đề tài nghiên cứu thú vị của vật lý

cả về lý thuyết lẫn thực nghiệm

Hình I.3: Hình ảnh thực nghiệm thu được BEC của Rubidium do nhóm Carl Wieman, EricCornell và Wolfgang Ketterle - Mỹ thực hiện bằng kỹ thuật làm lạnh, bẫy từ trường và bay hơilạnh [5, 99]

Tính chất của ngưng tụ Bose - Einstein

Đối với hệ các hạt Bose đồng nhất, bước sóng de Broglie phụ thuộc nhiệt độ (liên quanđến khoảng cách trung bình giữa các hạt) cho bởi công thức [1, 69, 79]:

λT =

r2π~2

trong đó m là khối lượng của một hạt, k là hằng số Boltzmann, T là nhiệt độ Do đótrong BEC, các hạt Bose có cùng một bước sóng de Broglie Như vậy, BEC là vật chất

lượng tử có tính chất kết hợp, xảy ra khi nhiệt độ được hạ xuống đến giá trị tới hạn.Nhiệt độ tới hạn được xác định bởi biểu thức [34, 69, 79]:

Tc = 2π~2

mk

nζ(3/2)

2/3

trong đó n là mật độ hạt của hệ, ζ(3/2) = 2, 612 là hàm zeta Riemann Từ biểu thức củanhiệt độ này ta thấy, nhiệt độ tới hạn được dự đoán theo lý thuyết là thấp hơn 10−6K.Khí Bose được làm lạnh (hạ nhiệt độ xuống nhiệt độ cực thấp) sẽ chuyển sang pha lỏng,lúc này hệ khí Bose trở thành chất lỏng lượng tử được mô tả bởi phương trình Gross -Pitaevskii Hàm sóng mô tả trạng thái của hệ khí Bose là hàm có tính đối xứng tươngứng với các thông số trạng thái là áp suất, nhiệt độ, năng lượng, mật độ hạt Hơn nữa,

ở nhiệt độ cực thấp, xung lượng k << 1, khi có BEC thì phổ năng lượng của các hạtBose mang tính siêu lưu [106]: E = vsk, trong đó vs là tốc độ âm thanh trong BEC Nếu

vs < 0 thì hệ các hạt Bose ở trạng thái bất ổn định Landau [57] Nếu vs là số phức thì hệ

ở trạng thái bất ổn định động lực (Dynamical Instability) Như vậy, BEC có tính chất cơbản là tính kết hợp và tính siêu lưu khi xung lượng của các hạt rất nhỏ

Ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần hoà tan, không hoà tan

Kể từ thí nghiệm phát hiện đầu tiên về ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần đối vớihai trạng thái spin khác nhau của 87Rb, đã có nhiều công trình lý thuyết cũng như thựcnghiệm nghiên cứu về vấn đề này, chẳng hạn như công trình của Pu năm 1998 [82] về kếtquả tính số đối với hỗn hợp23N a và87Rb Sự chồng chập của các ngưng tụ lần đầu đượctạo ra khi làm lạnh một thành phần ngưng tụ và cho tiếp xúc với hơi lạnh của thànhphần ngưng tụ khác [69] Lúc này hệ hai thành phần ngưng tụ có thể là hỗn hợp hoà tan(trộn lẫn, không có vách ngăn) hoặc tồn tại tách biệt với nhau (không hoà tan, có váchngăn) Câu hỏi đặt ra là với điều kiện nào thì có sự hoà tan của hai thành phần? Chìakhoá để giải đáp vấn đề này là căn cứ vào khoảng cách tương tác của các thành phần, cómặt ở hằng số liên kết λii trong phương trình Gross - Pitaevskii Để tạo thành hỗn hợpngưng tụ thì hằng số liên kết phải luôn dương Ta có:

với aiilà độ dài tán xạ, i = 1, 2 và λ12= λ21 Theo [8], ở nhiệt độ cực thấp, bỏ qua chuyểnđộng nhiệt ta có:

µ1 = λ11|φ1|2+ λ12|φ2|2, µ2 = λ22|φ2|2+ λ12|φ1|2 (I.9)

Nếu các thành phần của hệ ngưng tụ trộn lẫn được với nhau (hoà tan) thì mật độ ngưng

tụ được viết là: ρi = |φi|2 = Ni/V , trong đó V là thể tích của hệ ngưng tụ Khi đó phươngtrình (I.9) trở thành

V + λ22

N2 2

V + 2λ12

N1N2V



Khi hệ hai thành phần ở nhiệt độ cực thấp, λ12 rất nhỏ và dương, trạng thái tương ứngcủa hệ là trạng thái bền hay hệ ở trạng thái cơ bản Trạng thái hai pha tách biệt, khônghoà tan của hệ hai thành phần xảy ra ở vùng có năng lượng toàn phần thấp hơn Thậtvậy, xét sự không hoà tan đối với hai thành phần ngưng tụ xảy ra ở vùng mà các thànhphần ngưng tụ tồn tại ở các vị trí khác nhau trong không gian ứng với tương tác giữa haithành phần là tương tác đẩy, λ12 > 0 Do đó, biểu thức của năng lượng toàn phần trongtrường hợp này gọi là năng lượng tách pha:

V1 + λ22

N2 2

Như vậy, để cho ∆E > 0 thì λ12>√

λ11λ22 Tức là để có sự tách pha xảy ra trong hệ haithành phần ngưng tụ không hoà tan thì tương tác giữa hai thành phần phải thoả mãnđiều kiện:

I.3 Sự phá vỡ đối xứng tự phát Định lý Goldstone

Hầu hết các lý thuyết vật lý được xây dựng dựa trên các nguyên lý đối xứng Thực tế,

có những đối xứng bị "phá vỡ tự phát" với ý nghĩa là Lagrangian vẫn bất biến đối vớicác phép biến đổi của nhóm đối xứng nhưng trạng thái chân không của hệ không còn bấtbiến dưới sự biến đổi của phép đối xứng đó [2] (chân không là trạng thái năng lượng cựctiểu của một cấu trúc, chân không không phải là một không gian trống rỗng mà chứa các

vi hạt xuất hiện rồi lại biến mất một cách bí ẩn) Ví dụ, đối với các phép biến đổi điệntích thuộc nhóm đối xứng U(1): khi trường φ(x) ứng với hạt có điện tích q biến đổi theoquy luật sau đây:

φ0(x) = eiωQφ(x)e−iωQ= e−iωqφ(x) (I.20)

Ta thấy, Lagrangian của trường φ(x) bất biến đối với phép biến đổi (I.20) nhưng chânkhông lại không bất biến, tức là eiωQ|Oi 6= |Oi, dẫn đến Q|Oi 6= 0 Do đó, nếu chân không

|Oi bất biến tương ứng với Q|Oi = 0 thì tất cả các trường mang điện phải có trung bình

chân không bằng không Thật vậy, lấy trung bình chân không cả hai vế của (I.20) ta có:

hO|φ(x)|Oi = e−iωqφ(x)hO|φ(x)|Oi

Từ đó suy ra hO|φ(x)|Oi = 0 khi q 6= 0 Như vậy, tính không bất biến chân không củatrường mang điện φ(x) cho phép tồn tại trường mang điện có chân không khác không:

V (φ) có cực tiểu khi φ+φ = −α

2β Tức là, φ = b, φ+ = b∗, |b|2 = −α

2β Lưu ý rằng,trường lượng tử mô tả bởi Lagrangian (I.22) chưa thể xem là trường vật lý vì có trungbình chân không khác không Tuy nhiên, trường vô hướng phức F (x) xác định bởi hệthức

có thể xem như trường vật lý mới với hO|F (x)|Oi = 0 Do đó ta đặt:

Lagrangian (I.27) cho thấy rằng ψ(x) là trường vô hướng không có khối lượng, σ(x) làtrường vô hướng có khối lượng m2 = −2α > 0.

Như vậy, tương ứng với vi tử Q của nhóm đối xứng U(1) bị phá vỡ tự phát có mộthạt vô hướng trung tính không khối lượng được sinh ra, được gọi là hạt Boson Golstone.Tiếp theo, ta xét ví dụ về nhóm đối xứng SU(2) bị phá vỡ tự phát Cụ thể, ta xét mộtlưỡng tuyến đồng vị trường vô hướng phức

Ta có thể chọn các thông số ωa sao cho

|b|



Như vậy, đến đây có thể xem F là trường vật lý Vì F (x) là lưỡng tuyến các trường phứcnên tương đương với bốn trường vô hướng thực Do đó có thể đặt dưới dạng:

Từ đó, ta thu được Lagrangian biểu diễn qua các trường σ(x) và ψa(x) :

Rõ ràng Lagrangian (I.32) cho thấy rằng các trường vô hướng ψakhông khối lượng, trường

vô hướng σ(x) có khối lượng m2 = −2α > 0 Tức là, tương ứng với ba vi tử Ta của nhómSU(2) bị phá vỡ tự phát sẽ có ba Boson Goldstone được sinh ra Tóm lại, nếu đối xứngcủa hệ bị phá vỡ tự phát đối với nhóm đối xứng có số vi tử là n thì phải có n BosonGoldstone được sinh ra Số hạt boson Goldstone được sinh ra tuân theo định lý Goldstone[35, 56, 72]

Định lý Goldstone

"Một hệ tương đối tính trong đó nhóm đối xứng liên tục G(n) bị phá vỡ tự phát: G(n) →H(m < n), H là nhóm con của G, sẽ xuất hiện các boson với hệ thức tán sắc Ei = αi· k.Trong gần đúng k → 0, số các boson này gọi là boson Goldstone với số lượng bằng(n − m).”

I.4 Tác dụng hiệu dụng Cornwall - Jackiw - Tombolis

Trong lý thuyết trường lượng tử, phương pháp khai triển nhiễu loạn đã tỏ ra rất hữu íchkhi mô tả các quá trình tương tác và giải các phương trình động lực học Phương phápnhiễu loạn đã rất thành công trong điện động lực học lượng tử, sắc động học lượng tử

và một số bài toán cụ thể khác Nhưng, có nhiều hiện tượng vật lý quan trọng không dễdàng thấy được trong chuỗi nhiễu loạn như sự vi phạm đối xứng tự phát, các trạng tháiliên kết, sự chuyển pha và các hiệu ứng tập thể Điều đó đòi hỏi một phương pháp mớikhông dựa vào khai triển nhiễu loạn, vừa bao gồm tất cả các bậc khai triển ứng với lýthuyết nhiễu loạn, vừa giữ được những tính chất phi tuyến của lý thuyết trường đối vớicác hiệu ứng tập thể

Trong những nghiên cứu lý thuyết lượng tử về ngưng tụ Bose - Einstein (BEC) củakhí Bose, các tác giả, các nhóm nghiên cứu đã sử dụng các phép gần đúng như phươngpháp trường tự hợp Hatree - Fork (để giải phương trình Schodinger tìm ra hàm sóng mô

tả hệ và năng lượng tương ứng) và phương pháp thống kê Fecmi - Dirac để giải bài toán

hệ có số hạt lớn hoặc phương pháp gần đúng Popov cho các hệ khí trộn lẫn [1, 79] Tuynhiên, cần lưu ý rằng, khi nghiên cứu lý thuyết về các tính chất của BEC, chúng ta cầnđến một phương pháp đảm bảo không làm mất đi tính phi tuyến của các hiệu ứng tập thể

và liên kết của hệ ngưng tụ Phương pháp tác dụng hiệu dụng do J.Golstone, A.Salam

và S.Weinberge đưa ra năm 1962 dựa trên tích phân phiếm hàm là phương pháp khôngnhiễu loạn và đáp ứng được các điều kiện trên, đặc biệt trong việc khảo sát các hiệu ứngtập thể Tiếp tục phát triển phương pháp này, Cornwall – Jackiw – Tombolis đã mở rộngtác dụng hiệu dụng cho các toán tử đa hợp gọi tắt là phương pháp tác dụng hiệu dụngCJT [21] Phương pháp này thực sự rất ưu việt khi giải quyết các vấn đề của lý thuyếttrường lượng tử, đặc biệt trong nghiên cứu về các tính chất của hệ lượng tử trong đó cóquá trình chuyển pha Kí hiệu tác dụng hiệu dụng CJT là Γ[ ¯φ, G] Tác dụng hiệu dụngCJT không chỉ phụ thuộc vào ¯φ(x) - giá trị trung bình của trường lượng tử φ(x) mà cònphụ thuộc vào hàm truyền G(x, y) - giá trị trung bình của tích chuẩn hai trường lượng tửtương ứng T ( ¯φ(x) ¯φ(y))

Tác dụng hiệu dụng lượng tử CJT

Trong mọi quá trình vật lý, chúng ta có thể coi trạng thái của hệ tại thời điểm ban đầu

t → −∞ và trạng thái của hệ tại thời điểm cuối cùng t → ∞ như những trạng thái ứngvới năng lượng thấp nhất, tương ứng là các chân không |O−i và h+O| Khi đó biên độ xácsuất để hệ chuyển từ chân không |O−i đến chân không h+O| khi có các nguồn ngoài J, K

Zφ(x)K(x, y)φ(y)d4xd4y,

là các tích chấm được thực hiện trên tất cả quá trình bên trong và không thời gian, N làthừa số chuẩn hoá; S[φ] là tác dụng thông thường Tích phân phiếm hàm được lấy trên

toàn bộ các cấu hình trường của hệ vật lý Sự đóng góp của mỗi đường vào tích phân lấy

từ tác dụng thông thường đặc trưng cho các quá trình vật lý của hệ

Phiếm hàm sinh Z[J, K] cho ở trên sinh ra các hàm Green tổng quát bao gồm tất cảcác giản đồ liên kết và không liên kết Một phiếm hàm khác W [J, K] chỉ bao gồm các giản

đồ liên kết, không tính đến sự khác nhau do giao hoán các đỉnh sẽ đóng góp vào Z[J, K]theo công thức:

với định nghĩa

¯φ.J =

Z

¯φ(x)J (x)d4x,

¯φ.K ¯φ =

Z

¯φ(x)K(x, y) ¯φ(y)d4xd4y;

Γ[ ¯φ, G] còn được gọi là tác dụng hiệu dụng lượng tử

Ở những trạng thái vật lý, khi tất cả các nguồn ngoài bằng không, cặp phương trình(I.36) và (I.37) ứng với trạng thái cơ bản của hệ là một hệ đầy đủ gồm phương trình khe

mô tả chuyển động của trường và phương trình SD của G mà chúng tương ứng có dạng:

δΓ[ ¯φ, G]

δ ¯φ

J =K=0

Như vậy, khi có thêm nguồn ngoài K đặc trưng cho tính Composite, ta xét tác dụng hiệudụng Γ[ ¯φ, G], tác dụng này không chỉ phụ thuộc vào trị trung bình của trường lượng tử

mà còn phụ thuộc vào hàm truyền G - là trị trung bình của T - tích các toán tử trường.

Do đó, để xác định tất cả các tính chất nhiệt động của hệ, ta cần tìm được tác dụng hiệudụng CJT Γ[ ¯φ, G] Rõ ràng điều đó rất thuận lợi cho việc nghiên cứu sự vi phạm đối xứng

vì ngay cả khi (I.36) cho nghiệm đối xứng thì (I.37) vẫn cho nghiệm làm phá vỡ đối xứng.Tuy nhiên, việc xác định đầy đủ Γ[ ¯φ, G] nói chung là không thể mà phải dùng phép gầnđúng nhất định Khai triển loop của Γ[ ¯φ, G] cho phép ta giải quyết vấn đề này Đối vớitrường Boson, khai triển hai loop (bất khả quy hai hạt) có dạng:

Trong trường hợp bất biến tịnh tiến, trường cổ điển ¯φ(x) là một hằng số Lúc này ta

có thể biểu diễn tác dụng hiệu dụng Γ[ ¯φ, G] dưới dạng

trong đó U ( ¯φ) là thế cổ điển và V2( ¯φ, G) là tổng của tất cả các giản đồ chân không bấtkhả quy hai hạt của lý thuyết với các đỉnh và hàm truyền G(p) Các đỉnh vẫn phụ thuộcvào ¯φ nhưng bây giờ chỉ còn là một tham số hằng số, được cho bởi Sint( ¯φ; φ) Điều kiệndừng mô tả trạng thái cơ bản trở thành

∂Vef f( ¯φ, G)

∂ ¯φ = 0,

Tóm lại, hình thức luận tác dụng hiệu dụng có hai kết quả quan trọng.

Thứ nhất, các nghiệm vật lý phải thoả mãn hai phương trình:

δΓ[ ¯φ, G]

δΓ[ ¯φ, G]

Phương trình (I.45) là phương trình chuyển động, xác định sự biến đổi của trường lượng

tử, phương trình (I.46) là phương trình SD cho hàm truyền G Kết quả này đặc biệtthuận lợi trong việc nghiên cứu sự phá vỡ đối xứng vì ngay cả khi phương trình (I.45)cho nghiệm đối xứng, ¯φ(x) = 0 thì phương trình (I.46) vẫn có thể cho nghiệm làm phá vỡđối xứng

Thứ hai, khai triển loop của tác dụng hiệu dụng CJT Γ[ ¯φ, G] bao gồm tổng các giản

đồ với một số cố định các loop Do đó việc xác định bậc loop khai triển và tìm điều kiệndừng với sự triệt tiêu của nguồn ngoài đối với (I.38) và (I.39) là rất quan trọng Khi hệ(I.45) và (I.46) cho nghiệm ¯φ(x) 6= 0 có nghĩa là có sự phá vỡ đối xứng Tức là cơ chế phá

vỡ đối xứng đã tự động sinh ra ngay trong hình thức luận tác dụng hiệu dụng CJT Hơnnữa, khi khai triển tác dụng hiệu dụng CJT quanh nghiệm dừng, các hiện tượng vật lý ởtrạng thái cơ bản cũng tự động xuất hiện trong các nghiệm không nhiễu loạn tương ứngvới sự phá vỡ đối xứng [38, 19, 41, 48, 109]

Nhiều thông tin đều được rút ra từ tác dụng hiệu dụng CJT vì tác dụng hiệu dụngCJT có ý nghĩa rất đặc biệt: xác định giá trị trung bình của Hamilton trong trạng tháichuẩn hoá Trong trường hợp bất biến tính tiến, thế hiệu dụng xác định giá trị mật độnăng lượng của hệ Vì vậy, những năm gần đây, phương pháp tác dụng hiệu dụng CJTcho các toán tử composite rất phát triển và là một công cụ toán học tốt, đáng tin cậytrong trường lượng tử [4, 22, 58, 75, 13, 39, 60, 54, 72, 73]

Như vậy, cặp phương trình (I.36) và (I.37) ứng với điều kiện dừng của hệ khi các nguồnngoài triệt tiêu rất hữu ích khi xét sự vi phạm đối xứng Do đó, khai triển thế hiệu dụngcho thấy rằng đạo hàm bậc hai của thế hiệu dụng là tổng của tất cả các giản đồ liên kếtbất khả quy một hạt trong không gian xung lượng và nếu đối xứng bị phá vỡ thì phải cócác boson Goldstone được sinh ra.

I.5 Kết luận của chương I

Tóm lại, chương I đã giới thiệu những kiến thức cơ bản về lý thuyết chuyển pha, ngưng tụBose - Einstein và các khái niệm liên quan Chương I cũng giới thiệu hình thức luận tácdụng hiệu dụng CJT và ý nghĩa vật lý của tác dụng hiệu dụng, thế hiệu dụng ở trạng thái

cơ bản Sử dụng phương pháp này để nghiên cứu các hiện tượng vật lý, các hiệu ứng tậpthể và sự chuyển pha sẽ cho kết quả đáng tin cậy Trong luận án này, chúng tôi cũng sửdụng phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT để nghiên cứu cấu trúc pha của BEC trongkhí Bose ở nhiệt độ cực thấp cho hệ một thành phần ở chương II và hai thành phần ởchương III

Chương II

CẤU TRÚC PHA CỦA NGƯNG

TỤ BOSE-EINSTEIN TRONG KHÍ BOSE MỘT THÀNH PHẦN Ở

NHIỆT ĐỘ CỰC THẤP

Chương này dành cho nghiên cứu về cấu trúc pha của ngưng tụ Bose - Einstein một thànhphần ở nhiệt độ cực thấp bắt đầu từ mô hình Lagrangian của khí Bose thoả mãn phươngtrình Gross - Pitaevskii:

trong đó µ là thế hóa học, m là khối lượng của nguyên tử Bose, λ là hằng số liên kết được

mô tả qua độ dài tán xạ a:

λ = 4π~2a

Ở nhiệt độ cực thấp, độ dài tán xạ giữa các hạt trong hệ khí Bose lớn hơn khoảng cáchtrung bình giữa các hạt, tương tác giữa các hạt boson là tương tác đẩy yếu nên hằng sốliên kết phải dương, λ > 0 Các tham số điều khiển tương ứng với Lagrangian (II.1) là µ,

λ và nhiệt độ T Xét thấy Lagrangian (II.1) không thay đổi khi thay hàm sóng φ bằng

eiαφ, tức là bất biến đối với phép biến đổi pha của nhóm đối xứng Unita U (1) Như vậy,nếu Lagrangian bị phá vỡ đối xứng tự phát đối với nhóm U (1) thì phải có một BosonGoldstone được sinh ra theo định lý Golstone áp dụng cho ngưng tụ Bose - Einstein [95].Dựa trên [21, 100], trước tiên chúng tôi xây dựng thế hiệu dụng Cornwall - Jackiw -Tomboulis (CJT) đối với hệ có Lagrangian (II.1) trong gần đúng bong bóng kép và dựa

vào nó sẽ rút ra phương trình trạng thái Bước tiếp theo là thực hiện nghiên cứu số đểkhảo sát các kịch bản chuyển pha nhiệt và chuyển pha lượng tử Phần cuối cùng là nêu

ra những kết luận quan trọng

Để tìm thế hiệu dụng CJT trong gần đúng bong bóng kép, trước tiên ta viết toán tửtrường dưới dạng:

Hình II.1: Các đỉnh tương tác ba đường (a); Các đỉnh tương tác bốn đường (b)

Hình II.2: Giản đồ loop của gần đúng bong bóng kép

Từ Lagrangian và (II.3), chúng ta thu được trong không gian xung lượng:

!

là hệ thức tán sắc Bogoliubov đối với ngưng tụ Bose – Einstein của khí Bose ở nhiệt độcực thấp [79] Khi xung lượng nhỏ, (II.11) trở thành

E ∼

r

λφ2 0

Hệ thức này diễn tả sự xuất hiện boson Goldstone không khối lượng do sự phá vỡ đốixứng của nhóm U(1) như đã nói ở trên

Tiếp theo, sử dụng công thức (I.43), chúng ta sẽ tính thế hiệu dụng CJT [22, 21, 101],

Vβ(φ0, D) ở nhiệt độ hữu hạn trong gần đúng bong bóng kép

Từ đây chúng ta thu được các phương trình chuyển động:

II.1.1 Phương trình khe

δVCJ T β

β

D11(k)+λ

2Z

β

D22(k)+λ

2Z

β

D11(k)

D11(k) +λ

2Z

β

D22(k)

2Z

β

D11(k) + 3λ

2Z

Từ (II.22) chúng ta thu được

II.1.3 Phương trình khe mới

−µ + λφ2

Hệ thức này chứng tỏ định lý Goldstone đã được nghiệm đúng.

Như vậy, thế hiệu dụng (II.22) đã khôi phục lại định lý Goldstone trong pha đối xứng bịphá vỡ và không làm thay đổi các phương trình đối với các giá trị trung bình của trườngtrong gần đúng bong bóng kép cũng như không làm thay đổi các kết quả trong pha đốixứng được phục hồi

Cùng với sự phục hồi định lý Goldstone, chúng ta hãy xét điều kiện tiêu chuẩn Landauđối với tính siêu lỏng của BEC, tức là giá trị cực tiểu của vận tốc để có thể tồn tại cáckích thích trong BEC là

vc= min(E(k)

k ),

TỤ BOSE- EINSTEIN TRONG KHÍ BOSE MỘT THÀNH PHẦN Ở< /h3>

NHIỆT ĐỘ CỰC THẤP

Chương dành cho nghiên cứu cấu trúc pha ngưng tụ Bose - Einstein thànhphần nhiệt độ cực thấp mơ... hiệu ứng tậpthể chuyển pha cho kết đáng tin cậy Trong luận án này, sửdụng phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT để nghiên cứu cấu trúc pha BEC trongkhí Bose nhiệt độ cực thấp cho hệ thành phần chương... class="page_container" data-page="38">

là hệ thức tán sắc Bogoliubov ngưng tụ Bose – Einstein khí Bose nhiệt đ? ?cực thấp [79] Khi xung lượng nhỏ, (II.11) trở thành

E ∼

r

λφ2