Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 12 - Trường THPT Thạch Thành 2

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. Biết các em đó có số thứ tự trong danh sách lập thành một cấp số cộng. Các em ngồi ngẫu nhiên vào hai dãy bàn đối diện nhau, m[r]

Câu I:(4 điểm)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

2

32

223

4

2

2

4 2

2

R y x x

x y

xy

y x y

x xy

y x

Câu III:(4 điểm)

1 Cho tập A0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 Có bao nhiêu cách chọn một bộ 3 số phân biệt của A (không tính

thứ tự) để hiệu của 2 số bất kỳ trong 3 số đó có giá trị tuyệt đối không nhỏ hơn 2

2 Một anh sinh viên nhập học đại học vào tháng 8 năm 2014 Bắt đầu từ tháng 9 năm 2014 , cứ vào

ngày mồng một hàng tháng anh vay ngân hàng 3 triệu đồng với lãi suất cố định 0,8%/tháng Lãi tháng trước được cộng vào số nợ để tiếp tục tính lãi cho tháng tiếp theo (lãi kép) Vào ngày mồng một hàng tháng kể từ tháng 9 / 2016 về sau anh không vay ngân hàng nữa và anh còn trả được cho ngân hàng 2

triệu đồng do việc làm thêm Hỏi ngay sau khi kết thức ngày anh ra trường 30 / 6 / 2018 anh còn nợ 

ngân hàng bao nhiêu tiền

Câu IV (6 điểm)

1 Cho khối lăng trụ Khoảng cách từ đến đường thẳng bằng , khoảng cách từ đến các đường thẳng và lần lượt bằng và , hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng

là trung điểm của và Thể tích của khối lăng trụ đã cho

2 Xét một hộp bóng bàn có dạng hình hộp chữ nhật Biết rằng hộp chứa vừa khít ba quả bóng bàn được

xếp theo chiều dọc, các quả bóng bàn có kích thước như nhau Phần không gian còn trống trong hộp chiếm bao nhiêu của chiếc hộp

3 Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , , , vuông góc với mặt phẳng đáy và Điểm là trọng tâm tam giác Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và

SC BG

Câu V (2,0 điểm)

Xét các số thực dương a b, thỏa mãn log21 ab 2ab a b 3

a b

 Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của 2

P a b

ĐÁP ÁN

I.1  TX Đ : D=R\ 2

 Sự biến thiên

- Chiều biến thiên:

y‟ =

1

0 2



Hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 2 ,  2; 

- Cực trị: Hàm số không có cực trị

- Giới hạn :

lim x 2 3 2 2 x x    ; xlim 2 3 2 x x    đồ thị hàm số nhận đường thẳng y2 làm tiệm cận ngang 2 lim x 2 3 2 x x     ; lim2 x 2 3 2 x x      nên đường thẳng x=-2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số - Bảng biến thiên x - -2 

y‟ + +

y  2

2 

 Đồ thị

Đồ thị cắt trục Oy tại (0;3

2), đồ thị cắt trục Ox tại 3;0

2

2,0

y

y x mx m m có bảy điểm cực trị khi và chỉ khi đồ thị hàm

số y x4 2mx2 2m2 m 12 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt

t m x

x

t m x

Và tương ứng này là tương ứng 1-1 do:

+ Với mỗi bộ a a a1; 2; 3 cho tương ứng một bộ b b b1; ;2 3 bởi công thức

Đầu tháng 9 / 2016 : còn nợ A m 79, 662 2 77, 662 triệu Cuối tháng 9 / 2016 : tiền nợ có lãi đến cuối tháng:T1 77, 662r1

Đầu tháng 10 / 2016sau khi trả nợ m thì còn nợ 77, 662r 1 m

2.0

S

IV.1

Gọi , lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên và ,

là hình chiếu vuông góc của lên

Gọi là trung điểm khi đó ta có Gọi là trung điểm , xét tam giác vuông ta có:

2

 NAF 60 AN AM  5 AN AM// ANAM

1.2

2

AJK ABC

Bán kính của mỗi quả bóng là Thể tích của hình hộp chữ nhật là

Thể tích của phần không gian còn trống trong hộp là:

IV.3

Gọi AM là đường trung tuyến của Kẻ đường thẳng qua G song song với SC, cắt

AC, SA tại E và F Khi đó nên

Mặt khác: , suy ra hai tam giác và đồng dạng (c.g.c)

3 1

d d V

V Điều kiện: ab1

1log ab 2ab a b 3 log 2 1 ab 2 1 ab log a b a b *

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số  1 khi m 2

2 Hàm số  1 có đồ thị là đường cong  C Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hai điểm cực trị

của  C và hai giao điểm của  C với trục hoành tạo thành bốn đỉnh của một hình chữ nhật

Câu III (4,0 điểm)

1 Cho một bảng gồm 9 ô vuông đơn vị như hình bên Một em bé cầm 4 hạt đậu đặt ngẫu nhiên vào 4 ô vuông đơn vị trong bảng Tính xác suất để bất kì hàng nào và cột nào của bảng cũng có hạt đậu

2 Một người tham gia chương trình bảo hiểm An sinh xã hội của công ty Bảo Việt với thể lệ như sau: Cứ đến tháng 9 hàng năm người đó đóng vào công ty là 12 triệu đồng với lãi suất hàng năm không đổi là 6%/ năm Hỏi sau đúng 18 năm kể từ ngày đóng, người đó thu về được tất cả bao nhiêu tiền? (Kết quả làm tròn đến hai chữ số phần thập phân)

Tính thể tích của khối lăng trụ ABC A B C    theo a

2 Cho hình chóp S ABC , tam giác ABC vuông tại đỉnh A và có AB1, AC 3 Tam giác SAB,

SAC lần lượt vuông tại B và C Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng SAB bằng  3

2 Tính diện

tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

3 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a tâm O Hai điểm E F, lần lượt là

trung điểm SA và BC Biết góc giữa EF và mặt phẳng ABCD bằng 60  Gọi  là góc tạo bởi đường thẳng EF và mặt phẳng (SBD) Tính sin

Câu V (2,0 điểm)

Cho x , y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz  x z y Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

y  x  x

00

2

x y

1,0

3 Đồ thị Giao điểm của đồ thị với trục tung:  0; 2 Giao điểm của đồ thị với trục hoành: 1 3;0,  1;0 , 1 3;0

0,25

Điểm uốn U 1;0

Đồ thị nhận điểm uốn U 1;0 làm tâm đối xứng

0,25

I.2

Hàm số  1 có đồ thị là đường cong  C Tìm tất cả các giá trị thực của tham

số m để hai điểm cực trị của  C và hai giao điểm của  C với trục hoành tạo thành bốn đỉnh của một hình chữ nhật

Điểm uốn: y6x6, y0  x 1  y 0 Vậy điểm uốn U 1; 0

Ta có, hai điểm cực trị luôn nhận điểm uốn U là trung điểm

12

Điều kiện xác định: cosx0

Với điều kiện cosx0, phương trình đã cho tương đương với:

12

III.1 Cho một bảng gồm 9 ô vuông đơn vị như hình bên Một em bé cầm 4 hạt đậu

đặt ngẫu nhiên vào 4 ô vuông đơn vị trong bảng Tính xác suất để bất kì hàng nào và cột nào của bảng cũng có hạt đậu

2,0

Thực hiện phép thử đặt ngẫu nhiên 4 hạt đậu vào 4 ô vuông đơn vị trong bảng

3 3 ô vuông đơn vị: Khi thực hiện phép thử chỉ có nhiều nhất một cột không có hạt, và nhiều nhất một hàng không có hạt

Số phần tử không gian mẫu là   4

9

C

n  

0,5

Biến cố A: “Bất kì hàng nào cột nào của bảng cũng có hạt đậu”

Biến cố đối A: “Có hàng hoặc cột không có hạt đậu”

Trường hợp 1: Có cột không có hạt đậu

III.2 Một người tham gia chương trình bảo hiểm An sinh xã hội của công ty Bảo

Việt với thể lệ như sau: Cứ đến tháng 9 hàng năm người đó đóng vào công ty

là 12 triệu đồng với lãi suất hàng năm không đổi là 6% / năm Hỏi sau đúng

2,0

18 năm kể từ ngày đóng, người đó thu về được tất cả bao nhiêu tiền? Kết quả

làm tròn đến hai chữ số phần thập phân

Gọi số tiền đóng hàng năm là A12 (triệu đồng), lãi suất là r6%0, 06 Sau 1 năm, nếu người đó đi rút tiền thì sẽ nhận được số tiền là A1 A1r (nhưng người đó không rút mà lại đóng thêm A triệu đồng nữa, nên số tiền gốc để tính lãi năm sau là A1A)

IV.1 Cho lăng trụ ABC A B C    có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông

góc của điểm A lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC 

Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC bằng 3

4

a

Tính thể tích của khối lăng trụ ABC A B C    theo a

2,0

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC và I là trung điểmBC Ta có .

Gọi I là trung điểm của SA IAIBICIS I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

Gọi E H, lần lượt là trung điểm của BC AB,

IV.3 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a tâm O Hai

điểm E F, lần lượt là trung điểm SA và BC Biết góc giữa EF và mặt phẳng

ABCD bằng 60  Gọi  là góc tạo bởi đường thẳng EF và mặt phẳng

A

C I

 suy ra FH là hình chiếu của EF trên

ABCD  EFH chính là góc giữa đường thẳng EF với ABCD 

O

F B

E

A

C S

D

xz Q

22

z x x z z

 

f t

29

Câu IV (6 điểm)

1 Cho hình chóp S ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M là trung điểm của BC và H

là trung điểm của AM Biết HB  HC  a, HBC  300; góc giữa mặt phẳng  SHC  và mặt phẳng

 HBC  bằng 600 Tính theo a thể tích khối chóp S HBC và tính cosin của góc giữa đường thẳng

BC và mặt phẳng  SHC 

2 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A‟B‟C‟, đáy ABC vuông tại A Khoảng cách từ AA‟ đến mặt phẳng BCC‟B‟ là a, mặt phẳng (ABC‟) cách C một khoảng bằng b và hợp với đáy một góc bằng 

a) Tính thể tích của khối lăng trụ

b) Cho a = b không đổi, còn  thay đổi Định  để thể tích khối lăng trụ nhỏ nhất

3 Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích của khối cầu nội

tiếp và nội tiếp hình nón đã cho Tính 1

ĐÁP ÁN

I.2 Xét hàm số y f x 1 1

1

1 11

x x x x

x y

Dựa vào BBT của hàm số y f x 1 1suy ra BBT của hàm số

 1 1

y f x  Vậy hàm số y f x 1 1 có 11 cực trị

2.0

III.2 + Tính tổng số tiền mà Hùng nợ sau 4 năm học:

Sau 1 năm số tiền Hùng nợ là: +

2.0

3 3r 3 1 r  

Sau 2 năm số tiền Hùng nợ là:

Tương tự: Sau 4 năm số tiền Hùng nợ là:

+ Tính số tiền mà Hùng phải trả trong 1 tháng:

Sau 2 tháng số tiền còn nợ là:

Tương tự sau tháng số tiền còn nợ là:

A r  r  r T r T Hùng trả hết nợ khi và chỉ khi

60 60

60 60

r T

Gọi B’ là hình chiếu của B trên (SHC), suy ra góc giữa BC và (SHC) là BCB '

Gọi I là hình chiếu của A trên SK AI (SHC)

Ta có AA‟ || ( BCC‟B‟), kẻ AH BC (H  BC)  AH ( BCC‟B‟)

_ b _ K

_ A

_ C

_

B '

_ H

Thay các kết quả vào (1) ta có :

2 2 2 3

2 2 2 3

2sinαcosα b a sin α

ab

V = sin2α b a sin α

V =

2sinα.cos αsin2α 1 sin α

2  2 3 (bđt Côsi)

M I

A

S

Giả sử cạnh của tam giác đều SAB bằng 1 Gọi thiết diện qua trục hình nón là tam giác đều SAB

Gọi I là trọng tâm tam giác đều SAB , khi đó I là tâm mặt cầu nội tiếp hình nón cũng là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón là

Suy ra f a( ) nghịch biến trên đoạn  0;1 Do đó f a( ) f(1) 2013 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b c 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2013 khi a  b c 1

0.5

4 ĐỀ SỐ 4

Câu I (4,0 điểm) Cho hàm số 1 4 14 2

y x  x có đồ thị  C

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2 Tìm tọa độ điểm thuộc sao cho tiếp tuyến của tại cắt tại hai điểm phân biệt

Câu III (4,0 điểm)

1 Trong kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh có 105 em dự thi, có 10 em tham gia buổi gặp mặt trước kỳ

thi Biết các em đó có số thứ tự trong danh sách lập thành một cấp số cộng Các em ngồi ngẫu nhiên vào hai dãy bàn đối diện nhau, mỗi dãy có 5 ghế và mỗi ghế chỉ ngồi được 1 học sinh Tính xác suất để tổng các số thứ tự của hai em ngồi đối diện nhau là bằng nhau

2 Một cái thùng đầy nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh của

một hình nón bởi một mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón Miệng thùng

là đường tròn có bán kính bằng ba lần bán kính mặt đáy của thùng Người ta thả

vào đó một khối cầu có đường kính bằng 3

2 chiều cao của thùng nước và đo

được thể tích của nước tràn ra ngoài là 54 3 Biết rằng khối cầu tiếp xúc với

mặt trong của thùng và đúng một nửa khối cầu đã chìm trong nước (hình vẽ)

Tính thể tích nước còn lại trong thùng

Câu IV (6,0 điểm)

1 Cho hình hộp có vuông góc với mặt phẳng đáy , góc giữa

và bằng Khoảng cách từ đến các đường thẳng và bằng Góc giữa mặt

và mặt phẳng bằng Tính thể tích khối hộp đã cho.

2 Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng 9 , khối chóp có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu?

3 Cho hình chóp với là hình thang vuông tại vuông góc ;

Điểm thuộc cạnh sao cho , là điểm thỏa mãn là trọng tâm tam giác Tính khoảng cách giữa và

Câu V (2,0 điểm) Cho các số a , b , c1 thỏa mãn loga b2logb c3logc a8 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P2loga c3logc b12logb a.

3 Đồ thị: Đồ thị đi qua các điểm ,

và đối xứng qua trục tung

0,5

I.2

(2 điểm)

Gọi là tọa độ tiếp điểm

Đối chiếu điều kiện: Vậy có điểm thỏa đề bài 0,25

a a

1sin

y y

t

t t

Thay vào (3) ta được:

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

III.1

(2 điểm)

Giả sử số thứ tự trong danh sách là , , ,.,

Số phần tử của không gian mẫu là Gọi là biến cố “Tổng các số thứ tự của hai em ngồi đối diện nhau là bằng nhau” Để biến cố này xảy ra ta thực hiện liên tiếp các bước sau:

Bước 1: xếp thứ tự cặp học sinh có các cặp số thứ tự là , , ,

, vào trước cặp ghế đối diện nhau Bước này có cách

Bước 2: xếp từng cặp một ngồi vào cặp ghế đối diện đã ) Chọn ở bước Bước này có cách

Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố là Vậy xác suất của biến cố là

Gọi chiều cao của thùng là

Vì khối cầu chìm đúng một nửa trong thùng nước nên lượng nước tràn ra là thể tích của một nửa khối cầu

Gọi là chiều cao của hình nón chứa thùng nước

h h

Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt nón

IV.2

(2 điểm)

Giả sử khối chóp là khối chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính 9 Gọi là tâm hình vuông thì là trung điểm của , kẻ vuông góc với và cắt tại thì là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp , bán kính của mặt cầu là

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy :

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m 1.

2) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số y f(cos )x nghịch biến trên khoảng ;

Câu III (4 điểm)

1) Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S , tính

xác suất để số được chọn lớn hơn số 6700

2) Ông Nam dự định gửi vào ngân hàng một số tiền với lãi suất 6, 6% / năm Biết rằng nếu không rút tiền khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi được nhập vào vốn ban đầu để tính lãi cho năm tiếp theo

Tính số tiền tối thiểu x triệu đồng ( x ) ông Nam gửi vào ngân hàng để sau 3 năm số tiền lãi đủ mua một chiếc xe gắn máy trị giá 26 triệu đồng

2) Cho mặt cầu  S có bán kính 3 Trong tất cả các khối trụ nội tiếp mặt cầu  S (hai đáy của khối trụ

là những thiết diện của hình cầu cắt bởi hai mặt phẳng song song), khối trụ có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu ?

3) Cho khối tứ diện ABCD có BC3,CD4,ABCBCDADC90 0 Góc giữa hai đường thẳng AD

và BC bằng 60 0 Tính côsin góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACD)

Câu V (2 điểm) Xét các số thực dương x , y thỏa mãn  2

log xlog ylog xy Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P x 3y

ĐÁP ÁN

I.2 Điều kiện: cos x m

m m

II.2 ĐKXĐ : x  0

Xét y 0 thay vào hệ thấy không thỏa mãn

Xét y0, phương trình (1) tương đương với

III.1 Gọi số tự nhiên có bốn chữ số thỏa mãn yêu cầu bài toán là abcd a0

Số phần tử của không gian mẫu là   3

9

n   A  Gọi biến cố A „„Số được chọn lớn hơn số 6700‟‟ :

Để sau 3 năm số tiền lãi của ông Nam mua được chiếc xe máy trị giá 26 triệu đồng khi

S ABCD

V

2 4

4

IV.2 Gọi bán kính mặt cầu là R và chiều cao của khối trụ là

h x Suy ra bán kính đáy trụ là 2 2

r R x Thể tích khối trụ là 2  2 2

 

2

32

11;

12