Đường tròn đường kính AH cắt AB, AC lần lượt tại E, F.. Bài 4 3 điểm Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R và M là một điểm thay đổi trên nửa đường tròn khác A và B.. Tìm giá trị
Trang 1SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
TỈNH BÀ RỊA - VŨNG TÀU NĂM HỌC 2008 – 2009
- -
Ngày thi: 04 tháng 3 năm 2009
ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút
Bài 1 (6 điểm)
1) Giải phương trình: x− +1 2x− =1 5
2) Tìm x, y để biểu thức F đạt giá trị nhỏ nhất:
F=5x2+2y2−2xy−4x+2y+3
Bài 2 (4 điểm)
Tìm số tự nhiên có 3 chữ số abc thỏa:
2 2
1 ( 2)
abc n cba n
= −
(n N n∈ ; >2)
Bài 3 (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (H thuộc BC) Đường tròn đường kính
AH cắt AB, AC lần lượt tại E, F Chứng minh rằng: 3
EF =EB BC CF
Bài 4 (3 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R và M là một điểm thay đổi trên nửa đường tròn (khác A và B) Tiếp tuyến của (O) tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) tại các điểm C và D Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACM và BDM
Bài 5 ( 3 điểm)
Cho 100 số tự nhiên a a1, , ,2 a100 thỏa mãn điều kiện:
a + a + + a =
Chứng minh rằng trong 100 số tự nhiên đó, tồn tại hai số bằng nhau
- HẾT
-Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2:
SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
Trang 2TỈNH BÀ RỊA VŨNG – TÀU NĂM HỌC 2008 – 2009
- -
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC
(Hướng dẫn này gồm có 02 trang) Bài 1 (6 điểm)
Câu 1 (3 điểm):
3 2 2 ( 1)(2 1) 25 2 2 3 1 27 3
x x
≥
5
x
Cách 2: +/ Nếu x>5: VT = x− +1 2x− >1 5 1− + 2.5 1 5− = =VP
+/ Nếu 1 ≤ <x 5: Tương tự VT < VP
+/ Khi x = 5 thì VT = VP, nên x = 5 là nghiệm của pt
Câu 2 (3 điểm)
F = (x2+y2+2 ) (4xy + x2+y2+ −12 4xy−4x+2 ) 2y + = (x y+ )2+(2x y− −1)2+2
Ta thấy với mọi x, y thì F≥2 Nên min
1
2
3
x
x y F
x y
y
=
+ =
− − =
Bài 2 (4 điểm)
Ta có: abc=100a+10b c n+ = 2−1 (1)
cba=100c+10b a n+ = 2−4n+4 (2)
Từ (1) và (2) ta có 99(a-c)=4n – 5 ⇒4n−5 99 (3)M
Mặt khác: 100≤n2− ≤1 999⇔101≤n2 ≤1000⇔ ≤ ≤11 n 31
⇔39 4≤ n− ≤5 119 (4) Từ (3) và (4) suy ra n = 26.
Vậy abc=675
Bài 3 (4 điểm)
Trong tam giác vuông ABC ta có: AB.AC = AH.BC và 2
AH =BH HC (1) Trong tam giác vuông ABH ta có: 2
(2)
BH =BE BA
Trong tam giác vuông ACH ta có: 2
(3)
CH =CF CA
Từ (2) và (3) ta có: ( )2
BH CH =BE BA CF CA
Kết hợp (1) và (4) ta được: 4
AH =EB BC CF AH
Tứ giác AEHF là hình chữ nhật nên AH = EF nên suy ra 3
EF =EB BC CF Bài 4 (3 điểm)
2
ABDC
AC BD AB CD AB AB
AMB
S = AB MH ≤ MO AB R= (2)
Từ (1) và (2) suy ra: S ACM +S BDM =S ABDC−S AMB ≥2R2−R2 =R2
Trang 3Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACM và BDM là R2, đạt được khi M
là điểm chính giữa của cung AB
Bài 5 (3 điểm)
Ta có kết qủa quen thuộc sau đây: 1 1 1 2 2
n
k = k < k k = − −
A< − + − + + n− n− = n− = n− (*)
Gỉa sử trong 100 số tự nhiện đã cho không có hai số nào bằng nhau Không mất tính tổng quát, giả sử: a1<a2< < a100⇒ ≥a1 1,a2 ≥2, a n ≥100
Thế thì:
a + a + + a ≤ + + + <2 100 1 19− = (áp dụng (*))
Kết qủa này trái với giả thiết Vậy tồn tại bằng nhau trong 100 số đã cho
LƯU Ý:
- Trên đây là hướng dẫn tóm tắt cách giải Tổ chấm cần thống nhất thang điểm chi tiết đến 0,25 hoặc 0,5
- Các cách giải khác đúng (trong phạm vi chương trình THCS) vẫn cho điểm