Đề thi HSG môn Toán 10 năm 2019 có đáp án - Sở GD & ĐT Hải Dương

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh , nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2018 - 2019

MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi: 03/4/2019 (Đề thi gồm 01 trang)

Câu I (2,0 điểm)

1) Cho hàm số yx24x3 có đồ thị ( )P Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng (d m) :y x m cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x1, 2 thỏa mãn

2

x  x  2) Cho hàm số y(m1)x22mx m 2 (mlà tham số) Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng (;2)

Câu II (3,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình    2 2   2 2

2 12 0







2) Giải phương trình (x3) 1 x x 4 x 2x26x3

3) Giải bất phương trình x3(3x24x4) x 1 0

Câu III (3,0 điểm)

1) Cho tam giác ABC có trọng tâm G và điểm N thỏa mãn NB 3NC 0 Gọi P là giao điểm của AC và GN, tính tỉ số PA

PC

2) Cho tam giác nhọn ABC, gọi H E K, , lần lượt là chân đường cao kẻ từ các đỉnh A B C, , Gọi diện tích các tam giác ABC và HEK lần lượt là SABC và SHEK Biết rằng

4

ABC HEK

4

3) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ABC cân tại A Đường thẳng AB có phương trình

3 0

x  y , đường thẳng AC có phương trình x7y 5 0 Biết điểm M(1;10) thuộc cạnh BC, tìm tọa độ các đỉnh A B C, ,

Câu IV (1,0 điểm)

ĐỀ CHÍNH THỨC

một kilôgam sản phẩm loại I lãi 300000 đồng, một kilôgam sản phẩm loại II lãi 400000 đồng và máy

chuyên dụng làm việc không quá 120 giờ Hỏi xưởng cần sản xuất bao nhiêu kilôgam sản phẩm mỗi loại

để tiền lãi lớn nhất?

Câu V (1,0 điểm) Cho các số thực dương x y z, , thỏa mãn xyyzxz3

Chứng minh bất đẳng thức

Hết

ĐÁP ÁN

m Câu

I.1

1,0đ

Cho hàm số yx24x3 có đồ thị ( )P Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng (d m) :y x m cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x1, 2 thỏa mãn

2

x  x 

Đường thẳng (d m) cắt đồ thị ( )P tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có

4

Ta có 1 2

1 2

5 3



1 2

2

m

Câu

I.2

1,0 đ

Cho hàm số y(m1)x2 2mx m 2,(mlà tham số) Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng (;2)

Với m1 Hàm số nghịch biến trên khoảng (;2) khi và chỉ khi

1 0

2 1

m m m

 





 



0,25

CâuII.

1

1,0 đ

 







0,25

Thế y x 2 vào phương trình (2) ta có

2

(x 3)(x 2x 4) 0 x 3 y 1

1

x y





 

CâuII.

2

1,0 đ

Giải phương trình (x3) 1 x x 4 x 2x26x3(1)

Điều kiện 1 x4 Phương trình (1)(x3)( 1  x 1) x( 4  x 1) 2x26x

0,25

3

( 3) 0

2 (2)

x x

x x



 







0,25

x x   x x (Thỏa mãn điều kiện)

0,25 Với điều kiên 1 x4 ta có

1

1

2

x

x



  



Dấu " " không xảy

ra nên phương trình (2) vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x0 và x3

0,25

CâuII.

3

1,0 đ

Giải bất phương trình x3(3x24x4) x 1 0 (1)

Điều kiện x 1

3

0,25

Xét x 1, thay vào (2) thỏa mãn

Xét x  1 x 1 0 Chia hai vế của (2) cho  3

1

x ta được bất phương trình

0,25

Đặt

1

x t

x



 , ta có bất phương trình

2 2

1

2

x

x



   

Kết hợp x 1là nghiệm, ta có tập nghiệm của bất phương trình 1 5

1;

2



0,25

Câu

III.1

1,0 đ

Cho tam giác ABC có trọng tâm G và điểm N thỏa mãn NB 3NC 0 Gọi P là giao điểm của AC và GN, tính tỉ số PA

PC

Gọi M là trung điểm của cạnh BC Đặt APk AC

1 3

GP APAG k AC ABAC

0,25

GN GMMN  AMBC  ABAC ACAB AC AB

0,25

Ba điểm G P N, , thẳng hàng nên hai vectơ GP GN, cùng phương Do đó



0,25

4

4 5

PA

PC

0,25

Câu

III.2

1,0 đ

Cho tam giác nhọn ABC, gọi H E K, , lần lượt là chân đường cao kẻ từ các đỉnh A B C, , Gọi diện tích các tam giác ABC và HEK lần lượt là SABC và SHEK Biết rằng

4

ABC HEK

4

P G

M A

Đặt S S ABC thì từ giả thiết suy ra

3 4 3 4

EAK KBH HCE

HCE EAK KBH

S

0,25

2

1 sin

1 sin 2

EAK

2

1 sin

1 sin 2

KBH

2

1 sin

1 sin 2

HCE

0,25

HCE EAK KBH S

0,25

Câu

III.3

1,0 đ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ABC cân tại A Đường thẳng AB có phương trình

x  y , đường thẳng AC có phương trình x7y 5 0 Biết điểm M(1;10) thuộc cạnh BC, tìm tọa độ các đỉnh A B C, ,

Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình 3 0 2



Phương trình các đường phân giác của góc A là 3 7 5

x y  x y

1 2

( )

( )

d

d

x y



   



0,25

H

K E A

Do tam giác ABC cân tại A nên đường phân giác trong kẻ từ A cũng là đường cao

Xét trường hợp d là đường cao của tam giác 1 ABC kẻ từ A Phương trình đường thẳng BClà 3x  y 7 0

Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình 3 0 1 ( 1; 4)

B

Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình

11

;

5

x

C

x y

y

  





MB   MC   MC MBM

này không thỏa mãn

0,25

Nếu d là đường cao của tam giác 2 ABC kẻ từ A Phương trình đường thẳng BC là x3y31 0 Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình 3 0 11 ( 11;14)

B

Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình

101

;

5

x

C

y

 





MB  MC  MC  MBM

 

0,25

Câu

IV 1,0

đ

Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm loại I và loại II từ 200kg nguyên liệu và một máy chuyên dụng Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và máy làm việc trong 3 giờ Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu

và máy làm việc trong 1,5 giờ Biết một kilôgam sản phẩm loại I lãi 300000 đồng, một kilôgam sản phẩm loại II lãi 400000 đồng và máy chuyên dụng làm việc không quá 120

giờ Hỏi xưởng cần sản xuất bao nhiêu kilôgam sản phẩm mỗi loại để tiền lãi lớn nhất?

Giả sử sản xuất x kg( ) sản phẩm loại I và y kg( ) sản phẩm loại II

Điều kiện x0,y0và 2x4y200 x 2y100 Tổng số giờ máy làm việc: 3x1,5y

Ta có 3x1,5y120

Số tiền lãi thu được là T 300000x400000y (đồng)

0,25

Ta cần tìm x y, thoả mãn:

0, 0

2 100

3 1,5 120



  





(I)

sao cho T 300000x400000y đạt giá trị lớn nhất

0,25

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ các đường thẳng d1:x2y100; d2: 3x1,5y120 Đường thẳng d1 cắt trục hoành tại điểm A(100;0), cắt trục tung tại điểm B(0;50) Đường thẳng d2 cắt trục hoành tại điểm C(40;0), cắt trục tung tại điểm D0;80 Đường thẳng d1 và d2 cắt nhau tại điểm E20;40

Biểu diễn hình học tập nghiệm của

hệ bất phương trình (I) là miền đa giác OBEC

0,25

0

0 0

x

T y





 

 

0

20000000 50

x

T y





 

 

20

22000000 40

x

T y





 

 

40

12000000 0

x

T y





 

 



Vậy để thu được tổng số tiền lãi nhiều nhất thì xưởng cần sản xuất 20kg sản phẩm loại I và 40kg sản phẩm loại II

0,25

Câu V

1,0 đ

Cho các số thực dương x y z, , thỏa mãn xy yzxz3 Chứng minh bất đẳng thức

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

2 3

2 6 8

x x x

 



E

C

D B

A O

x y

Chứng minh bổ đề: Cho x y, 0 và a b,  ta có: 2 2  2  

*

a b





Ta có







Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b

x  y

Áp dụng bổ đề ta có

2

x y

2

x y z

 



0,25

Đến đây, ta chỉ cần chứng minh:

 

2

1 3

x y z

Do x2 y2z2   (x y z) 18

2

2

12 0

3 2(x y z) x y z    (x y z) 18  x2 y2z2   x y z 6 (4)

0,25

Mặt khác, do x y z, , là các số dương nên ta có:

3

Nên bất đẳng thức (4) đúng

Từ (1), (2), (3) và (4), ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y z 1

0,25

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sƣ phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh

Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dƣỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành

cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng

đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí