Các dạng bài tập Đại số và Giải tích 11 học kì 1 Lư Sĩ Pháp

Câu 59: Một Công ty trách nhiệm hữu hạn thực hiên việc trả lương cho các kĩ sư theo phương thức sau: Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho Công ty là 4,5 triệu đồng/quý và kề từ quý [r]

TOÁN 11

CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

CHƯƠNG II

TỔ HỢP – XÁC SUẤT

CHƯƠNG III

DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

Giáo Viên Trường THPT Tuy Phong

TẬP 1

Quý đọc giả, quý thầy cô và các em học sinh thân mến!

Nhằm giúp các em học sinh có tài liệu tự học môn Toán, tôi biên soạn cuốn giải toán trọng tâm của lớp 11

Nội dung của cuốn tài liệu bám sát chương trình chuẩn và chương trình nâng cao về môn Toán đã được Bộ Giáo dục

và Đào tạo quy định

Nội dung gồm 3 phần

Phần 1 Kiến thức cần nắm

Phần 2 Dạng bài tập có hướng dẫn giải và bài tập đề nghị Phần 3 Phần trắc nghiệm có đáp án

Cuốn tài liệu được xây dựng sẽ còn có những khiếm

khuyết Rất mong nhận được sự góp ý, đóng góp của quý

Gv_Trường THPT Tuy Phong

LỜI NÓI ĐẦU

CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

ÔN TẬP CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Trang 1

§1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Trang 3

§2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Trang 11

§3 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN THƯỜNG GẶP Trang 18

TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG I Trang 44

CHƯƠNG II TỔ HỢP – XÁC SUẤT

§1 HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN Trang 60

§2 HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP Trang 66

§4 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ - XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Trang 83

§5 CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT Trang 86

TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG II Trang 103

Chương III DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

§1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Trang 118

TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG III Trang 155

CHƯƠNG I

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC & PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

-0O0 -

ÔN TẬP CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1 Hằng đẳng thức lượng giác cơ bản

sin2α+cos2α =1
tan sin ; ,

 cos(α β± )=cos cosα β ∓sin sinα β

 sin(α β± )=sin cosα β±cos sinα β

 tan( ) tan tan

∓ , với mọi α β, làm cho các biểu thức có nghĩa

2.2 Công thức nhân đôi

 sin 2α =2sin cosα α

 cos2α =cos2α−sin2α =2 cos2α− = −1 1 2sin2α

α

−

=+ , với α làm cho biểu thức có nghĩa

2.6 Công thức biến đổi tổng thành tích

 cos cos 2 cos cos

, với mọi α β, làm cho các biểu thức có nghĩa

2.7 Công thức biến đổi tích thành tổng

+ = , với α làm cho biểu thức có nghĩa

3 Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặt biệt

3.1 Hai góc đối nhau ( cung đối) (α làm cho các biểu thức có nghĩa)

cos(− =α) cosα
sin(− = −α) sinα

3.2 Hai góc bù nhau( cung bù)(α làm cho các biểu thức có nghĩa)

sin(π α− ) sin= α
cos(π α− )= −cosα

tan(π α− )= −tanα
cot(π α− )= −cotα

3.3 Hai góc phụ nhau ( cung phụ)(α làm cho các biểu thức có nghĩa)

3.4 Hai góc hơn kém π(cung hơn kém π),(α làm cho các biểu thức có nghĩa)

sin(π α+ )= −sinα
cos(π α+ )= −cosα

tan(π α+ ) tan= α
cot(π α+ ) cot= α

3.6 Cung bội (k∈ℤ, α làm cho các biểu thức có nghĩa)

sin(α+k2 ) sinπ = α
cos(α+k2 ) cosπ = α

tan(α+kπ) tan= α
cot(α+kπ) cot= α

4 Bảng giá trị lượng giác các góc (cung) đặt biệt

1

12

||

|| : Không xác định

• Là hàm số tuần hoàn với chu kì T =2π

• Đồng biến trên mỗi khoảng

• Là hàm số tuần hoàn với chu kì là π

• Đồng biến trên mỗi khoảng

• Là hàm số tuần hoàn với chu kì là π

• Nghịch biến trên mỗi khoảng

- Hàm số xác định với một điều kiện

- Hàm số xác định bởi hai hay nhiều điều kiện

a) Hàm số xác định khi và chỉ khi sinx≠ ⇔ ≠0 x kπ,k∈ℤ Vậy D=ℝ\{kπ,k∈ℤ}

b) Hàm số xác định khi và chỉ khi cos 0 ,

Vậy tập xác định của hàm số 2

cos

1

x y

e) Ta có cosx+ ≥ ∀ ∈1 0, x ℝ Vậy tập xác định của hàm số D=ℝ

f) Ta có cosx−cos3x= −2sin 2 sin( ) 4sinx − =x 2xcosx

x

−

=+d) cot

cos 1

x y

Nhắc lại kiến thức: Về tính chẵn, lẻ của hàm số y= f x( )

Tìm tập xác định D của hàm số, kiểm chứng D là tập đối xứng hay không, tức là ∀x x, ∈D⇒− ∈x D (1) Tính f( )−x và so sánh f( )−x với f x( ):

Nếu f( )− =x f x( ) thì f x( ) là hàm số chẵn (2)

Nếu f( )− = −x f x( ) thì f x( ) là hàm số lẻ (3)

Do vậy

Nếu điều kiện (1) không nghiệm đúng thì f x( ) là hàm số không chẵn, không lẻ trên D

Nếu điều kiện (2) và (3) không nghiệm đúng thì f x( ) là hàm số không chẵn, không lẻ trên D

Để kết luận f x( ) là hàm số không chẵn, không lẻ trên D, ta chỉ cần tìm một điểm x0 sao

chof(−x0)≠ f x( )0 và f(−x0)≠ −f x( )0

Lưu ý: vận dụng hai góc (cung) đối nhau của HSLG

Bài 1.5 Xác định tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

x + tanx f) y = sinx – cosx

g) y=sin3x−tanx h) tan cot

Dạng 3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Định nghĩa: Cho hàm số y= f x( ) có tập xác định là D và hai hằng số M và m

hiệu

D

Min y=m

− ≤1 sinx≤ ∀ ∈1, x ℝ
0 sin≤ 2 x≤ ∀ ∈1, x ℝ
0 sin≤ x ≤ ∀ ∈1, x ℝ

− ≤1 cosx≤ ∀ ∈1, x ℝ
0 cos≤ 2x≤ ∀ ∈1, x ℝ
0 cos≤ x ≤ ∀ ∈1, x ℝ

Bài 1.6 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mỗi hàm số sau

a) y=2 cosx +1 b) y= −3 2sinx c) y= 2 1 cos( + x)+1 d) 3sin 2

Ta có: − ≤1 sinx≤ ⇔ ≥ −1 2 2sinx≥ − ⇔ + ≥ −2 2 3 3 2sinx≥ − + ⇔ ≥ −2 3 5 3 2sinx≥1hay 5≥ ≥y 1

Ta có: − ≤1 cosx≤ ⇔ ≤ +1 0 1 cosx≤ ⇔ ≤2 0 2 1 cos( + x)≤4

Ta có 0 sin≤ x ≤ ⇔ − ≤ −1 2 2 sinx ≤ ⇔ ≤ −0 1 3 2 sinx ≤3 hay 1≤ ≤y 3

Vậy: GTLN của y là 3, đạt được khi sinx= ⇔ =0 x kπ,k∈ℤ

GTNN của y là 1, đạt được khi sin 1 ,

Vậy: GTLN của y là 3, đạt được khi cos2x= ⇔ =1 x kπ,k∈ℤ

GTNN của y là -2, đạt được khi cos2 1 ,

GTNN của y là -1, đạt được khi cos2x= ⇔ =1 x kπ,k∈ℤ

Bài 1.8 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a) y= +3 sin cosx x b) y= −4 2 cos2 x c) 2

3 cos

y

x

=+

4, đạt được khi x= +π2 kπ,k∈ℤ GTNN của y là 3

5, đạt đươc khi x=kπ,k∈ℤe) Hàm số y= 1 sin− ( )x2 −1 có tập xác định là D=ℝ

Với mọi x∈ℝ ta luôn có: − ≤1 1 sin− ( )x2 − ≤1 2 1− Vậy

GTLN của y là 2 1− , đạt được khi 2 2 , 1

Bài 1.9 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a) y=sin4 x−cos4 x b) y=sin4x+cos4 x

c) y=sin2x+2sinx+6 d) y=cos4 x+4 cos2 x+5

2

k

x= π k∈

ℤ

GTNN của y là 5, đạt được khi ,

y

x

+e) 1 3sin 2

§2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

A KIẾN THỨC CẦN NẮM

1 Phương trình sin x m= (1)

Nếu m >1: phương trình (1) vô nghiệm

Nếu m ≤1: Nếu α là một nghiệm của phương trình (1), nghĩa là sinα =m

ii) Các trường hợp đặc biệt

• m= −1 , phương trình sinx= −1 có nghiệm là = − +π 2 ,π ∈ℤ

2

• m=0 , phương trình sinx=0 có nghiệm là x=kπ;k∈ℤ

• m=1 , phương trình sinx=1 có nghiệm là 2 ;

Nếu m >1: phương trình (2) vô nghiệm

Nếu m ≤1: Nếu α là một nghiệm của phương trình (2), nghĩa là cosα =m

i) Nếu α thoảđiều kiện 0≤ ≤α π và cosα = m thì ta viết α = arccosm

Khi đó pt (2) có nghiệm là : x= ±arccosm k+ 2 ;π k∈ℤ

ii) Các trường hợp đặc biệt khi m∈{ }0; 1±

• Nếu α là một nghiệm của phương trình (3), nghĩa làtanα =m thì tanx= ⇔ = +m x α kπ;k∈ℤ

• Nếu số đo của α được cho bằng độ thì tanx= ⇔ = +m x α k180 ;0 k∈ℤ

• Nếu α thảo mãn điều kiện

4

,k∈ℤ

• Tổng quát : tanu=tanv có nghiệm: u= +v kπ,k∈ℤ

4 Phương trình cot x m= (4) Điều kiện: x≠kπ,k∈ℤ

• Nếu α là một nghiệm của phương trình (4), nghĩa làcotα =m thì cotx= ⇔ = +m x α kπ,k∈ℤ

• Nếu số đo của α được cho bằng độ thì cotx= ⇔ = +m x α k180 ;0 k∈ℤ

• Nếu α thảo mãn điều kiện 0< <α π và cotα =m thì ta viết α =arccotm Lúc đó nghiệm củaphương trình (4) là:x=arccotm k+ π,k∈ℤ

• Tổng quát : cotu=cotv có nghiệm: u= +v kπ,k∈ℤ

Chú ý: Kể từ đây, ta qui ước rằng nếu trong một biểu thức nghiệm của phương trình lương giác có

chứa k mà không giải thích gì thêm thì ta hiểu rằng k nhận mọi giá trị thuộc ℤ

Ghi nhớ công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

Với u=u x v( ), =v x( ) và u v, làm cho biểu thức có nghĩa, k∈ℤ

21/ sin sin

- Các công thức nghiệm của bốn phương trình lượng giác cơ bản

- Cung đối và cung bù

Bài 2.1 Giải các phương trình sau:

Vậy phương trình có các nghiệm là: 2 ; 5 2 ,

2 3 3 (áp dụng cung đối đưa dấu trừ vào trong _ sin(− = −α) sinα )

Phương trình đã cho tương đương:

π ππ

sin sin sin

2arcsin 23

4

24

  (Áp dụng cung bù_ cos(π α− )= −cosα)

Phương trình đã cho tương đương với: = 2π ⇔ = ±2π + π ∈

α πα

cos cos cos

4arc os 2

2> nên phương trình đã cho vô nghiệm

Bài 2.3. Giải các phương trình sau:

cot x−15 = 3⇔cot x−15 =cot 30 ⇔ −x 15 =30 +k180 ⇔ =x 45 +k180 ,k∈ℤ

k

x= ⇔ x= +kπ ⇔ =x + π k∈ℤ

Bài 2.5 Giải các phương trình sau:

a) sin3

0cos3 1

x

2cot 3 tan

a) Điều kiện : cos3x≠1 Ta có sin 3x= ⇔0 3x=kπ

Do điều kiện, các giá trị k=2 ,m m∈ℤbị loại, nên 3 (2 1) (2 1) ,

Dạng 2 Tìm nghiệm của phương trình trên một khoảng, đoạn

- Giải phương trình và tìm nghiệm thỏa khoảng đề bài cho

Bài 2.6 Giải các phương trình sau trong khoảng đã cho:

Bài 2.9. Giải các phương trình sau:

1 sin 3x−cos5x=0 2 tan 3 tanx x=1

3 cos3 0sin3 1

§3 MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN

THƯỜNG GẶP

A KIẾN THỨC CẦN NẮM

1 Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một

hàm số lượng giác, trong đó f x( ) là một biểu

thức lượng giác nào đó

Đặt ẩn phụ t= f x( ) và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình theo ẩn phụ này

và từ đó suy ngược lại nghiệm x

Khi đặt t = sinx hay t = cosx, điều kiện là t ≤1

Khi đặt t = tanx, t = cotx, cần lưu ý điều kiện xác

định của tanx và cotx

2 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có

B BÀI TẬP

Dạng 1 Giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

- Phương trình dạng at+ =b 0,a≠0

- Một số phương trình biến đổi đưa về phương trình bậc nhất

- Từ phương trình đã cho đưa về phương trình lượng giác cơ bản và giải

Bài 3.1. Giải các phương trình sau:

⇔ +200 = −300+ 1800 ⇔ = −2000 + 720 ,0 ∈ℤ4

Bài 3.2 Giải các phương trình sau:

a) 3 tan 2x+ =3 0 b) cos(x+300)+2 cos 152 0 =1

c) 2 cosx− 3 0= d) 8cos2 sin 2 cos 4x x x= 2

k x

Bài 3.3 Giải các phương trình sau:

a) cos2x – sinx – 1 = 0 b) cosx.cos2x = 1 + sin2x.sinx

c) 4sin cos cos2x x x= −1 d) tanx = 3cotx

26

x k x

x= π +k π

với k∈ℤb) cos cos2x x= +1 sin sin 2x x⇔cos cos2x x−sin sin 2x x=1

d) tanx=3cotx Điều kiện sin 2 ≠ ⇔ ≠0 π , ∈ℤ

- Một số phương trình biến đổi đưa về phương trình bậc hai

- Từ phương trình đã cho đưa về phương trình lượng giác cơ bản và giải

- Lưu ý điều kiện của bài toán (nếu có)

Bài 3.4 Giải các phương trình sau:

a) 2sin2x+5sinx− =3 0 b) cot 32 x−cot 3x− =2 0

c) 4 cos2 x−2 1( )+ 2 cosx+ 2 0= d) 5tanx−2 cotx− =3 0

x= π +k π

,k∈ℤb) Điều kiện: sin 3x≠0(*) Đặt t = cot3x, ta được phương trình t2− − = ⇔ = −t 2 0 t 1,t=2

Bài 3.5 Giải các phương trình sau:

a) 2 cos2 x−3cosx+ =1 0 b) cos2x+sinx+ =1 0

c) 3 tan2x− +( )1 3 tanx+ =1 0 d)cos 4( x+600)−5cos 2( x+300)+ =4 0

Dạng 3 Phương trình bậc nhất đối với sin và cos

- Phương trình có dạng asinx b+ cosx=c a,( 2+b2 ≠0)

- B1: Kiểm tra

• Nếu a2+b2 <c2 thì phương trình vô nghiệm

• Nếu a2+b2 ≥c2, ta thực hiện tiếp B2

- B2 Chia hai vế phương trình cho a2+b2 Từ đó áp dụng công thức cộng đưa phương trình về phương trình lượng giác cơ bản dạng: sinu=sinv hay cosu=cosv

Bài 3.6 Giải các phương trình sau:

a) 3 sinx−cosx=1 b) 2 sin 3x+ 5 cos3x= −3 c) 3cosx+4sinx= −5

d) 5sin 2x−6 cos2 x=13 e) 2sin 2x−2 cos2x= 2 f) sin 2 sin2 1

Bài 3.7 Giải các phương trình sau:

a) sinx= 2 sin 5x−cosx b) 1 1 2

sin 2x+cos2x =sin 4x

c) sin 5x+ 3 cos5x=2sin 7x d) 3 cos5x−2 cos3x+sin 5x=0

k x

π ππ

Cả hai nghiệm đều không thoả điều kiện bài toán Vậy, phương trình đã cho vô nghiệm

π ππ

π ππ

Bài 3.8 Giải các phương trình sau:

a) 4 sinx−3cosx=5 b) 3cos 2 3 sin 9

Bài 3.9 Giải các phương trình sau:

a) sin 2 sin 5x x=sin3 sin 4x x b) cos sin 5x x=cos2 cos4x x

c) cos5 sin 4x x=cos3 sin 2x x d) sin 2x+sin 4x=sin 6x

x x

x k

x

π

ππ

ππ

Bài 3.10 Giải các phương trình sau:

a) sin sin 7x x=sin 3 sin 5x x b) sin 5 cos3x x=sin 9 cos7x x

c)cos cos3x x−sin 2 sin 6x x−sin 4 sin 6x x=0 d)sin 4 sin 5 sin 4 sin3x + x x−sin 2 sinx x=0

Bài 3.11 Giải các phương trình sau:

a) sin2 sin 22 sin 32 3

2

x+ x+ x= b) sin 32 x+sin 42 x=sin 52 x+sin 62 x

c) cos2x+cos 22 x+cos 32 x+cos 42 x=2 d) cos 32 cos 42 cos 52 3

2

e) 8cos4 x= +1 cos 4x f) 3cos 22 x−3sin2x+cos2x=0

HD Giải

a) Ta có sin2 sin 22 sin 32 3 1(cos2 cos 4 cos6 )

2 2

x+ x+ x= − x+ x+ x Do đó phương trình đã cho tương

đương với cos2x+cos4x+cos6x= ⇔0 cos4x+2 cos4 cos2x x= ⇔0 cos 4 (1 2 cos2) 0x + =

Vậy, phương trình đã cho có các nghiệm

cos6x+cos8x=cos10x+cos12x⇔2 cos 7 cosx x=2 cos11 cosx x

Vậy, phương trình đã cho có các nghiệm ,

Bài 3.12 Giải các phương trình sau:

a) 1 sin+ x−cosx−sin 2x+2 cos2x=0 b) cos tan 3x x=sin 5x

HD Giải

a) Ta có: 1 sin 2− x=(sinx−cos ) ;2 cos2x 2 x=2 cos( 2x−sin2 x)= −2(sinx−cos )(sinx x+cos )x

1 sin+ x−cosx−sin 2x+2 cos2x= ⇔0 (sinx−cos )(1 sinx − x−3cos ) 0x =

sin cos3cos sin 1

cos tan3 sin 5 cos sin3 cos3 sin 5

1 sin 4 sin 2 1 sin8 sin 2 sin8 sin 4 2

12 6

k x

k x

Bài 3.14. Giải các phương trình sau

1 2 cos2x−3cosx= −1 2 4 sin 42 x+3sin 4x− =1 0 3. 2 ( )

4cos x−2 1+ 2 cosx+ 2 0= 11 2 sin2x+7 sinx− =4 0 12 3cos 22 x−7 cos 2x+ =4 0

Bài 3.15. Giải các phương trình sau

1 cos 2x+ 2 sinx− =1 0 2 cosx= 2 sin 7x−sinx 3 3 cos5x+sin 5x=2 cos3x

4 2sin(x+100)− 12cos(x+100)=3 5 3cos8 2sin4 cos4x− x x=−sin2x−cos2x

13 3 sin 2x−cos 2x= 3 14 sin 2x− 3 cos 2x= 3 15 3 sin 4x−cos 4x= − 3

Bài 3.16. Giải các phương trình sau

1

sin cos 3sin cos 4sin

02sin 1

x x

3 cos 3x+2 cos 2x=cosx+2

4 (2 cos 1 sin 4)

2 sin 2cos sin

2 1 3

sin 2

x x x

x

=+

x x x x x

x

+

ÔN TẬP CHƯƠNG I

Phần I Áp dụng công thức lượng giác

Thực hiện tính, rút gọn, chứng minh

1 Tính các giá trị lượng giác của góc α , biết:

8

α = và 0

2

πα

b) B=2sin 600+3cos 300+tan 450

c) C=cot 300+2sin 600−2cos 300

x= < <x

d) 1 tan

1 tan

a D

2 2

1 sin tan 1 sin tan

α = , tính các giá trị của biểu thứcsau:

A= −b) B=cos140+cos1340+cos1060

sinx−cosx = −1 2 sin cosx x

c) sin4 x+cos4x= −1 2sin2xcos2 x

d) sin6x+cos6 x= −1 3sin2xcos2 x

e) tan2 x−sin2x=sin2 x.tan2x

f) cot2 x−cos2x=cos2x.cot2x

14 Chứng minh rẳng các biểu thức sau không

b) sin 2A+sin 2B+sin 2C=4 sinAsinBsinC

c) cos cos cos 1 4sin sin sin

A B C

A+ B+ C= +

d) cos2A+cos2B+cos2C= − −1 4cos cos cosA B C

18 Cho A, B, C là ba góc của tam giác ABC

19 Chứng minh rằng nếu A, B,C là ba góc của

một tam giác thì:

a) sin2A+sin2B+sin2C= +2 2cos cos cosA B C

b) sin 22 A+sin 22 B+sin 22 C= −2 2cos2 cos2 cos2A B C

c) cos2A+cos2B+cos2C= −1 2cos cos cosA B C

d) cos 22 A+cos 22 B+cos 22 C= +1 2cos2 cos2 cos2A B C

20 Chứng minh rằng nếu A, B,C là ba góc của

một tam giác thì:

a) tanA+tanB+tanC =tan tan tanA B C

b) tan tan tan tan tan tan 1

5

α− α = Tính tan cot 2

π α π< < và sin 1

3

α= Tính P=sin 2α−cos 2α

1 sincos

2

πα

Phần II Phương trình lượng giác

Bài 1. Giải các phương trình sau

e) 2 sinx− 2 sin 2x=0 f) tan 2 sinx x+ 3 sin( x− 3 tan 2x)−3 3 0=g) (2sin 1) (2 2sin 1 sin) 3 0

2

x+ − x+  x− =

38cos x− =1 0

d) 4sin cos cos2 1 sin 4 1 ,

Bài 2 Giải các phương trình sau

a) cos cos3x x=cos5 cos 7x x b) sin 3 cos7x x=sin13 cos17x x

c) cos2 cos5x x=cos7x d) sin 4 sin3x x=cosx

e) sin 3 sin 5x x=sin11 sin13x x f) sin sin 2 sin3 1sin 4

4

HD Giải

Dùng công thức biến đối tích thành tổng và tìm ra nghiệm của phương trình

a) cos cos3 cos5 cos 7 cos 4 cos12 4 ,

8

k x

k x

ππ

k x

k x

ππ

k x

π ππ

k x

ππ

f) sin sin 2 sin3 1sin 4 sin 2 cos 4 0 8 2 ;

4

2

k x

k x

π ππ

Bài 3 Giải các phương trình sau:

a) 1 2 cos+ x+cos2x=0 b) cosx+cos2x+cos3x+cos 4x=0

c) sinx+sin 2x+sin3x+sin 4x=0 d) sinx+sin 2x+sin3x= +1 cosx+cos2x

e) cos2x+cos 22 x+cos 32 x+cos 42 x=2 f) 1 sin+ x+cos3x=cosx+sin 2x+cos2x

,2

2

k x

)sin sin 2 sin3 1 cos cos2 2sin 2 cos sin 2 2 cos cos 0

cos (2 cos 1)(2sin 1) 0

x= +π kπ x= +π π x= π + π k∈

ℤf) 1 sin+ x+cos3x=cosx+sin 2x+cos2x⇔(2sinx+1)(sinx−sin 2 ) 0x =

k

Bài 4 Giải các phương trình sau:

a) sin3x+cos3x=cosx b) sin cos33x x+cos sin33x x=sin 43 x

sin cos cos sin

4

x x− x x= d)2 cos3 x+sin cosx x+ =1 2(sinx+cos )x

e)cos3x−sin3 x=sinx−cosx f)(2sinx+1 3cos4)( x+2sinx− +4) 4 cos2 x=3

) 2 cos sin cos 1 2(sin cos ) 2 cos 2 cos sin cos 1 2sin 0

2 cos (cos 1) sin cos 1 2sin 0 2 cos sin sin cos 1 2sin 0

sin cos (1 2sin ) 1 2sin 0 (1 2sin )(sin cos 1) 0

ℤ ( vì sin cosx x+ =1 0 vô nghiệm )

e) cos3 sin3 sin cos 1sin 2 2 sin( cos ) 0

) 2sin 1 3cos 4 2sin 4 4 cos 3

2sin 1 3cos 4 2sin 4 4(1 sin ) 3 0

2sin 1 3cos 4 2sin 4 1 4sin 0

2sin 1 3cos 4 2sin 4 (1 2sin )(1 2sin ) 0

2sin 1 3cos4 2sin 4 1 2sin 0 2sin 1 3cos4 3 0

π π

π ππ

Bài 5 Giải các phương trình sau:

a) 2sinx+cotx=2sin 2x+1 b) tan2x(1 sin− 3x)+cos3x− =1 0

c) 1 cot 2 1 cos22

sin

x x

a) Với đều kiện sinx≠0, ta có 2sinx+cotx=2sin 2x+ ⇔1 2sin2x+cosx=4sin2xcosx+sinx

(2sin 1 sin)( cos 2sin cos ) 0 2sin 1 0 (1)

sin cos 2sin cos 0 (2)

Giải (1):

26

(1 sin )(1 cos ) 1 cos 1 sin sin 1 sin 1 cos cos 0

(1 sin )(1 cos ) sin cos sin cos sin cos sin cos 0

(1 sin )(1 cos )(sin cos )(sin cos sin cos )

Phương trình (1) không thoả điều kiện cosx≠0

Giải phương trình (4), ta đặt t=sinx+cosx với t ≤ 2

c) Với điều kiện sin 2x≠0, ta có 1 cos22 2

1 sin 2 cos2 sin 2 cos2 0 cos 2 cos2 sin 2 cos2 0

cos2 cos2 sin 2 1 0

d) Với điều kiện cos2x≠0, ta có 3 5sin 4 cos 3

Với cosx≠0, chia hai vế cho cos x ta được một phuơng trình đối với tanx Nhưng các nghiệm của2

phương trình này đều không thoả điều kiện cos2x≠0

Vậy, phương trình đã cho vô nghiệm

e) Các nghiệm của phương trình 2 , ;

4

x= +π k π x= +π kπ k∈ℤ

( viết

2 2

2

1 costan

1 sin

x x

Bài 6 Giải các phương trình sau:

a) 3sin3x− 3 cos9x= +1 4sin 33 x b) 1 3

8sinsinx+cosx = x

c) tanx−3cotx=4 sin( x+ 3 cosx) d) 2 2 sin( x+cos cosx) x= +3 cos2x

a)3sin3x− 3 cos9x= +1 4sin 33 x⇔(3sin3x−4sin 33 x)− 3 cos9x=1

⇔sin 9 − 3 cos9 = ⇔1 1sin 9 − 3cos9 = 1

k x

π ππ

π ππ

sin 3 cos sin 3 cos 2sin 2 0

sin 3 cos 2sin 2 0 (2)

d) 2 2 sin( x+cos cosx) x= +3 cos2x⇔ 2 sin 2x+( )2 1 cos2− x= −3 2 2

Phương trình này vô nghiệm vì ( ) ( ) (2 2 )2

ℤ (thoả điều kiện)

f) sin3x+cos3x=sinx−cosx⇔sin (1 sin ) cosx − 2x − x−cos3x=0

Giải (1) và (2), phương trình (2) vô nghiệm Nghiệm của phương trình là ,

c) (1 sin+ 2x)cosx+ +(1 cos2x)sinx= +1 sin 2x d) 2 cos( 6 sin6 ) sin cos

1 sin 3 cos 2 cos

b) Phương trình đã cho tưong đương với sin 7x−sinx+2sin 22 x− = ⇔1 0 cos4 2sin3x( x− =1) 0

(sinx+cos )(1 sin cos ) (sinx + x x = x+cos )x ⇔(sinx+cos )(1 sin )(1 cos ) 0x − x − x =

Vậy, nghiệm của phương trình: , 2 , 2 ,

x= π + m mπ ∈ℤ

e) Điều kiện: sin 0,cos 0,cos 0

2

x

x≠ x≠ ≠ (*) phương trình đã cho tương đương với:

cos cos sin sin

cos sin 2 2 4 cos sin 4 sin 2 1

a) 1 1 4sin 7

2

x x

x

ππ

b) sin3x− 3 cos3x=sin cosx 2x− 3 sin2 xcosx

c) 2sin 1 cos2x( + x)+sin 2x= +1 2 cosx d) sin 3x− 3 cos3x=2sin 2x

x= π +kπ k∈ℤ

b) Phương trình đã cho tương đương với:

sin cosx x−sin x + 3 cos cosx x−sin x = ⇔0 cos2 sinx x+ 3 cosx =0

Vậy, nghiệm của phương trình là: , ,

4sin cosx x+sin 2x= +1 2 cosx⇔(2 cosx+1)(sin 2x− =1) 0

Vậy, nghiệm của phương trình: 2

sinx+cos sin 2x x+ 3 cos3x=2(cos 4x+sin )x

c) (1 2sin ) cos+ x 2 x= +1 sinx+cosx d) 3 cos5x−2sin3 cos2x x−sinx=0

So với (*), nghiệm của phương trình là 2 ,