Bài 3. Phương trình lượng giác thường gặp

Do x là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 0 3sin2x2sin cosx x cos2x nên0... Tập hợp các giá trị thực của m để phương trình 3sin x m cosx vô nghiệm là?5 A... Lời giải Tác giả: P

Câu 1 [1D1-3.1-2] (Chuyên Lý Tự Trọng Cần Thơ) Tập nghiệm S của phương trình

2 cos x 3cosx 0 là



  

2 , 2

S  k  k 

C S 2



 

 

, 2

S  k k  

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Hồ Tú; Fb: Nguyễn Hồ Tú

Chọn D.

x















Câu 2 [1D1-3.1-2] (NGUYỄN TRUNG THIÊN HÀ TĨNH) Số nghiệm thuộc khoảng 0; 2019

của

phương trình

sin cos 1 2sin

x

là:

Lời giải

Tác giả: Trần Đại Lộ; Fb: Trần Đại Lộ Phản biện: Đỗ Hữu Nhân; Fb: Do Huu Nhan

Chọn A

sin cos 1 2sin 1 sin 1 2sin sin sin 4 0

x

x loai





 



 (do  1 sinx1) x k  k  

0;2019 , 0 642,

k k  k k 

có 642 giá trị của k  phương trình có 642 nghiệm thuộc 0; 2019.

Câu 3 [1D1-3.1-3] (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Tổng tất cả

các nghiệm của phương trình cos 5xcos 2x2sin 3 sin 2x x0 trên đoạn 0;3

là

A.

16

3



11 3



25 3



Lời giải

Tác giả: Nguyễn Minh Thắng ; Fb: https://www.facebook.com/nmt.hnue

Chọn C

 

2

cos5 cos2 2sin 3 sin 2 0 cos5 cos 2 cos cos5 0

2

3 cos

2

2 3

x

x











  



 







1

1

k k























Tổng các nghiệm thỏa mãn là

25 3



Câu 4 [1D1-3.1-3] (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương

trình:

1 cos 3cos 5 cos 3 2 0

có đúng bốn nghiệm thuộc đoạn0; 2 

A.

   

3m2. C.

3m2. D.

  

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Đức Hoạch; Fb: Hoạch Nguyễn

Chọn C

Đặt cosx  t 0

Phương trình:

1 cos 3cos 5 cos 3 2 0

3 x  x x   m có đúng bốn nghiệm thuộc đoạn0;2

 PT

1

3t  t  t  m có 1 nghiệmt 0;1

1

có 1 nghiệm t 0;1

Xét hàm số   1 3 2

3

f t  t  t  t

với t 0;1 Ta có   2 6 5 0 1

5

t

t





       

 Bảng biến thiên:

3 3

2

y y'

x

+

Vậy

       

Câu 5 [1D1-3.2-2] (Chuyên Vinh Lần 3) Gọi x là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình0

3sin x2sin cosx x cos x Chọn khẳng định đúng?0

A 0

3

; 2

x   





; 2

x   



 C 0

0;

2

x   



3

;2 2

x   





Lời giải

Tác giả: Phạm Hoài Trung ; Fb: Phạm Hoài Trung

Chọn C

3sin x2sin cosx x cos x0  3sin2 x3sin cosx x sin cosx x cos2x0

(3sinx cos )(sinx x cos ) 0x

3sin cos 0 sin cos 0





3sin

1 cos sin

1 cos

x x x x







 



1 tan

3 tan 1

x x















1 arctan 3 4











 

Do x là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 0 3sin2x2sin cosx x cos2x nên0

1 arctan 3

x 

Câu 6 [1D1-3.3-1] (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Tìm điều kiện cần và đủ của a, b, c để phương

trình a sinx bcosx c  có nghiệm?

A a2b2 c2 B a2b2 c2 C a2b2 c2

D a2b2 c2.

Lời giải

Tác giả: Lê Phương Anh; Fb: Anh Phương Lê

Chọn D

Điều kiện cần và đủ của a, b, c để phương trình a sinx bcosx c  có nghiệm là:

a b c

Câu 7 [1D1-3.3-2] (GIỮA HK2 LỚP 11 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2018-2019) Tập hợp các

giá trị thực của m để phương trình cos 2 x2 sin cosm x x 5 có nghiệm là?

A   ; 2  2;  B.2; 

C.2;2

D.  ; 2  2; 

Lời giải

Tác giả: Ngô Thị Lý ; Fb: Lý Ngô

Chọn D

Ta có: cos 2x2 sin cosm x x 5 cos 2x m sin 2x 5

Phương trình có nghiệm 

2

m

m





      

 hay m     ; 2  2;

Vậy m     ; 2  2;

Bài tập tương tự :

Câu 8. Tập hợp các giá trị thực của m để phương trình 3sin x m cosx vô nghiệm là?5

A 4; 4 B 4;4 C   ; 4  4;.D.  ; 4  4;

Câu 9. Với giá trị nào của m thì phương trình 3 sin 2x m 1 2cos 2x1

có nghiệm?

A m  1 B.không có m C m  0 D  m

a b c

Câu 10 [1D1-3.3-2] (Liên Trường Nghệ An) Gọi M và N lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

biểu thức

cos 1 2sin 4

x A

x





 Giá trị của M N bằng

A

3

1

2

3

4

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Nghĩa; Fb: Nghĩa Văn Nguyễn

Chọn D

+ Ta có

cos 1 2sin 4

x A

x





  2 sinA x cosx 1 4A

+ Điều kiện có nghiệm x là : 2 2 12 4 12 0;2

3

A   A  A   

 

+ Vậy

2 3

M 

và N  suy ra 0

2 3

M N 

Câu 11 [1D1-3.3-3] (Hậu Lộc Thanh Hóa) Tìm điều kiện của m để phương trình

2m1 cos 2 x2 sin cosm x x m  vô nghiệm?1

2

m    



C

1 0

2

m

1 0

2

m

 

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thành Đô; Fb: Thành Đô Nguyễn

Chọn D

2m1 cos 2 x2 sin cosm x x m  1 2m1 cos 2 x m sin 2x m 1

Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi 2 12 2  12 2 2 0 0 1

2

m m  m  m  m  m

Câu 12 [1D1-3.3-3] (NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG LẦN IV NĂM 2019) Cho hàm số

y

x





Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng 10;10

để giá trị nhỏ nhất của y nhỏ hơn 1

Lời giải

Tác giả: Hồng Tiến ; Fb: Cô Tiến Toán

Chọn A

Có cosx 2 0, x

y

x





  msinx 1 ycosx2

 

Coi  1

là phương trình ẩn x (tham số ,m y ) Điều kiện có nghiệm của phương trình  1

là:

 2  2

m   y  y

 

Xét tam thức f y  3y2 4y 1 m2 có hệ số a   và biệt thức:3 0

4 3 1 m 1 3m 0, m



       

Do đó bất phương trình  2

có tập nghiệm:

y

     

 

y

Giá trị nhỏ nhất của y nhỏ hơn 1 tương đương:

2

2 1 3

1 3

m

 

 1 3 m2 5

 1 3m2 25

 m2  8

2 2

2 2

m m

 

 

 



Vậy m     ; 2 2  2 2;

Kết hợp điều kiện m   và m   10;10 nên có tất cả 14 giá trị của m thỏa mãn.

Câu 13 [1D1-3.3-3] (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN 2 NĂM 2019) Phương

trình cos2x7cosx 3 sin2 x 7sinx 8 có bao nhiêu nghiệm trên đoạn  2 ; 2 

Lời giải

Tác giả:Đoàn Ngọc Hoàng; Fb:Hoàng Đoàn

Chọn D

PT  cos2x 3sin2x  7 cos x 3sinx  8

2

2

 

1 sin

6

x















5 2

 









 



2 2 2 3

x k

k

















Vì x  2 ; 2 

nên x2 ; x 0; x2 ;

4 3

x 

;

2 3

x 

Câu 14 [1D1-3.3-3] (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) Số nghiệm

0; 2018 

của phương trình sin2 x1009sin 2x0 là

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thủy; Fb: Thu Thủy

Chọn A

sin x1009sin 2x 0 sin x 2018sin cosx x0

sinx sinx 2018cosx 0

sin 0 sin 2018cos 0

x







tan 2018

x k x









arctan 2018

x k

k













+ Với x k 0; 2018  k0;1;2; 2018

, khi đó phương trình ban đầu có 2019 nghiệm thỏa mãn

+ Với xarctan 2018k0;2018  k0;1;2; 2017

, khi đó phương trình ban đầu có

2018 nghiệm thỏa mãn

Vậy số nghiệm thỏa mãn bài toán là 4037

Câu 15 [1D1-3.4-2] (Đoàn Thượng) Cho x là nghiệm của phương trình0

sin cosx x2(sinxcos ) 2x  thì giá trị của P 3 sin 2x0 là:

2 3 2

P  

Lời giải

Tác giả: Phạm Hoàng Điệp ; Fb: Hoàng Điệp Phạm

Chọn A

Đặt tsinxcosx Điều kiện t  2

2

1 2sin cos sin cos

2

t

Khi đó phương trình sin cosx x2(sinxcos ) 2x  trở thành:

2 2 2

t

t



4 5 0

5

t

t





      

 Đối chiếu điều kiện t 1 thỏa mãn

sinx cosx 1 sin 2x 0

     Vì x là nghiệm của phương trình nên 0 sin 2x0  0 P 3

2

2sin x 3 sin 2x 2 3 sinxcosx  m0

Để phương trình chỉ có hai nghiệm x x1, 2

thuộc

;

3 2

 



  thì ma b; 

Giá trị b a là

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Huỳnh Tấn Trung ; Fb: Nguyễn Huỳnh Tấn Trung

Chọn B

Ta có:

 

2

2

2

2

2

2sin 3 sin 2 2 3 sin cos 0

2sin 2 3 sin cos 2 3 sin cos 0

3 sin cos 2 3 sin cos 1

1

m

m



      

Đặt

sin

6

u x 

  , với

1

;1 2

u  

  , phương trình  1 trở thành: 2 1  

2 4

m

u  u 

Xét hàm số f u u2 u,

với

1

;1 2

u  

 

Đạo hàm: /  2 1, /  0 1

2

f u  u f u   u

Bảng biến thiên:

Phương trình  1 chỉ có hai nghiệm x x thuộc 1, 2 3 2;

 



  khi phương trình  2 có duy nhất

một nghiệm thuộc

3

;1 2



  hoặc có hai nghiệm phân biệt thuộc

 

1 3

2 2

 





Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra:

0 4

m

m



Câu 17 [1D1-3.5-3] (Sở Bắc Ninh) Cho phương trình 2sinx1  3 tanx2sinx 3 4 cos2x

Gọi

T là tập hợp các nghiệm thuộc đoạn 0;20

của phương trình trên Tính tổng các phần tử của

T

A

570

875

880

1150

Lời giải

Tác giả:Vũ Thị Thanh Huyền; Fb: Vu Thi Thanh Huyen

Chọn B

Điều kiện: 2 ,





Phương trình đã cho tương đương với 2sinx1  3 tanx2sinx4sin2x1

 2sinx1  3 tanx1 0

1 sin

2 1 tan

3













x

x

2 6 5 2 6

6















 











  



5 2 6 6













 

  



, k  (thỏa mãn điều kiện).

*Trường hợp 1: Với

5 2 6





, k 

 1

6





Mà k nên k0; 1; 2 ; 9

 Tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn 0;20

của họ nghiệm  1

là:

9 1

0

5 2 6









k

3





*Trường hợp 2: Với 6





, k 

 2

6





Mà  k nên k0;1; 2 ;19 .

 Tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn 0;20

của họ nghiệm  2

là:

19 2

0

580







k

Vậy tổng các phần tử của T là 1 2

875

S S

Câu 18 [1D1-3.5-3] (HSG Bắc Ninh) Tổng tất cả các nghiệm của phương trình

cos3x cos 2x9sinx 4 0 trên khoảng 0;3 là

11 3



25 6



Lời giải

Tác giả: Nguyễn Ngọc Diệp, FB: Nguyễn Ngọc Diệp

Chọn D

Ta có: cos3x cos 2x9sinx 4 0  4cos3x 3cosx 1 2sin 2x9sinx 4 0

cosx 4 1 sin x 3 2sin x 9sinx 5 0

cosx 2sinx 1 2sinx 1 2sinx 1 sinx 5 0

2sinx 1  2sin cosx x cosx sinx 5 0 (*)

Do

4

x x x  

  ; 2sin cos x x sin 2x 1

nên: 2sin cosx x cosxsinx 5 sinx cosx sin 2x  5 4 2 0

2

5 2

2 6













Với x 6 k2





 

x    k      k 

0;1 ;13

6 6

k  k  x  

Z

Với

5 2 6

x  k 

x     k      k

0;1 5 ;17

k  k  x   

Z

Tập nghiệm của phương trình đã cho là:

5 13 17

S    

Tổng tất cả các nghiệm là 6

Câu 19 [1D1-3.6-2] (GIỮA HK2 LỚP 11 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2018-2019) Số nghiệm

thực thuộc

3029

;

  của phương trình

sin 3

0 cos 1

x

x  là:

C 1206 D 1261.

Lời giải

Tác giả: Vũ Văn Tuấn ; Fb:Vũ Văn Tuấn

Chọn D

Điều kiện cosx  1 0 x  k2 , k 

Với điều kiện trên phương trình

sin 3

x





Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm

3

, 3 2

x k













 

















+) Với x 3 k





 

, do

3029

x   k

  , mà k   nên có 504 nghiệm thỏa

mãn

+) Với x 3 k





 

, do

;

x   k

  , mà k   nên có 505 nghiệm thỏa

mãn

+) Với x k  2 , do

;

x   k

  , mà k   nên có 252 nghiệm thỏa

mãn

Vậy số nghiệm thực thuộc

3029

;

  là: 504 505 252 1261  

Bài tập tương tự :

Câu 20. Tổng các nghiệm thực thuộc 2 ; 4  của phương trình 

sin 2

0 cos 1

x

x  là:

Câu 21. Tổng các nghiệm thực thuộc 0; 2019

của phương trình

cos 2

0

1 sin 2

x

x 

A. 206885, 25 B 206588, 25 C 206424,5 D 206242,5

Câu 22 [1D1-3.7-3] (Sở Hà Nam) Cho phương trình 3 tanx1 sin x2 cosxmsinx3cosx

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 0; 2019

để phương trình có đúng một nghiệm

thuộc khoảng

0;

2



 

A 2017 B 2018 C. 2019 D 2020

Lời giải

Tác giả: Lại Văn Trung ; Fb:Trung Lại Văn

Chọn A

Xét phương trình: 3 tanx1 sin x2 cosx msinx3cosx

(1)

Chia cả hai vế của phương trình (1) cho cos x ta được

3 tan 1 tan 2 tan 3

tan 3

x

Đặt t tanx , do 1 x 0;2



  

  nên t 1;  Phương trình (2) trở thành :

3 2

2

m t





 (3)

Nhận xét: Với mỗi một giá trị t 1; từ cách đặt  t tanx cho ta đúng một giá trị1

0;

2

x   

  Do đó yêu cầu bài toán tương đương với tìm m để phương trình (3) có đúng một

nghiệm t 1: 

3 2

, 1; 2

t t

t



 

2 2

2

t



Bảng biến thiên của hàm f t 

:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình (3) có đúng một nghiệm t 1: khi và chỉ

khi m  Do m và 2. m 0;2019 nên m 3;4; ;2019

Vậy có 2017 giá trị nguyên m thỏa mãn.

Câu 23 [1D1-3.7-3] ( Nguyễn Tất Thành Yên Bái) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để

phương trình 4cos3x cos2xm 3 cos x 1 0 có đúng bốn nghiệm khác nhau thuộc

khoảng

;

2 2

 

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Thúy Ngân ; Fb: nguyenthithuy.ngan

Chọn C

Ta có: 4cos3x cos 2xm 3 cos x  1 0 4cos3x 2cos2 xm 3 cos x0

2  

cos 0

x





 





2

x  x k k 

không có nghiệm thuộc khoảng

;

2 2

 



 Đặt tcosx, vì

;

2 2

x    

  nên t 0;1

Khi đó phương trình  1  4t2 2t m  3 0  2

Ycbt  phương trình  2

có 2 nghiệm phân biệt t t1, 2 thỏa mãn 0t t1, 2  1

Cách 1:

Đặt f t  4t2 2t m  3

, với t 0;1 .

Khi đó, phương trình  2

có 2 nghiệm phân biệt t t1, 2 thỏa mãn 0t t1, 2 1

 

 

13 0

4

0 0

3

1

m f

m

m

b

a





 









 

Vì m nguyên nên không có giá trị nào.

Cách 2:

 2  m4t22t 3 g t 

Ta có bảng biến thiên của g t 

trên t 0;1

Từ bảng biến thiên trên phương trình  2

có 2 nghiệm phân biệt t t thỏa mãn 1, 2 0t t1, 2  1

thì

13 3

4

m

Vì mnguyên nên không có giá trị nào

Câu 24 [1D1-3.7-3] (Chuyên KHTN) Cho phương trình

2

0



 Tính diện tích đa giác có các đỉnh là các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác

2

2 4

Lời giải

Tác giả: Dương Hà Hải; Fb: Dương Hà Hải.

Chọn A.

Điều kiện: sinx cosx 0 x 4 k k, .





Phương trình tương đương: cos 4x cos 2x2sin2x0

2

2 cos 2x cos 2x 0

cos 2 1

cos 2 0

x k x















Kết hợp với điều kiện thì phương trình có nghiệm là

4

x k













  

 Biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác ta được các điểm cuối của các cung nghiệm tạo thành một hình chữ nhật Đó là hình chữ nhật ACA C như hình vẽ, trong đó’ ’

4

AOC 

Từ đó ta có, diện tích đa giác cần tính là

'C'

1 4S 4 .OA.OC.sin 2

Câu 25 [1D1-3.7-3] (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Biết rằng m m 0 thì phương trình

2sin x 5m1 sinx2m 2m có đúng 5 nghiệm phân biệt thuộc 0 2;3





  Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.m  0  1;0. B.m   0  4; 2. C.m 0 0;2. D.m 0 0;1.

Lời giải

Tác giả: Nguyên Phi Thanh Phong ; Fb: Nguyên Phi Thanh Phong

Chọn A

Đặt tsinx   (1)1 t 1

Phương trình trở thành: 2t2 5m1t2m22m 0  * (2)

Xét hai trường hợp:

 Trường hợp 1:

Phương trình  * có một nghiệm t  (cho ra hai nghiệm x ) và một nghiệm 1 1  1 t2 (cho ra0

ba nghiệm x ).

Do t  nên 1 1 2

2

t m m

Thay t  vào phương trình 1 1  *

, ta có

2 2

2

1;0

     





Vậy không có giá trị m nào thỏa mãn.

 Trường hợp 2:

Phương trình  * có một nghiệm t  (cho ra một nghiệm x ) và một nghiệm 1 1 0t2  (cho ra1

bốn nghiệm x )

Do t  nên 1 1 2

2

t m  m

Thay t  vào phương trình 1 1  *

, ta có

 

 

2 2

2

0;1









Vậy

1 2

m 

thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 26 [1D1-3.7-4] (THPT SỐ 1 TƯ NGHĨA LẦN 2 NĂM 2019) Trên đoạn 0;2019

có bao nhiêu

số nguyên m để phương trình m3cos4xsin -x m có nghiệm0

A 12 B 1 C 2019 D 2020

Lời giải

Tác giả: Lieutuan ; Fb:Lieutuan Nguyen

Chọn D

Đặt tsinx, t   1;1

, phương trình đã cho trở thành m31 t22 t m0

(2)

Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm t   1;1

Xét hàm số f t  m31 t22 t m

Ta có hàm số f t 

liên tục trên  và f  0 m m 1 m1

; f 1  1 m

; f  1  1 m

Bảng xét dấu

Qua bảng xét dấu, ta thấy:

- Với m 0, phương trình (2) có nghiệm t 0

- Với m 1, phương trình (2) có nghiệm t 0; t 1

- Với m 1, phương trình (2) có nghiệm t 0; t 1

- Với  1 m0, thì f 1   f 0  nên phương trình (2) có nghiệm thuộc khoảng 0 1;0

- Với 0m1, thì f    1 f 0  nên phương trình (2) có nghiệm thuộc khoảng 0 0;1

- Với

1 1

m m

 



 

 , thì f 1   f 0  ; 0 f    1 f 0  nên phương trình (2) có nghiệm thuộc 0 khoảng 1;0

và 0;1.

Do đó, với mọi giá trị thực của tham số m phương trình (2) luôn có nghiệm t   1;1 hay phương trình đã cho luôn có nghiệm

Vậy số giá trị nguyên của m trên đoạn 0;2019 để phương trình đã cho có nghiệm là 2020

Tranchienlh@gmail.com

Câu 27 [1D1-3.8-4] (Chuyên KHTN) Phương trình sin 2019

x

x 

có bao nhiêu nghiệm thực ?

Lời giải Cách 1 :

Tác giả:Nguyễn Văn Mạnh ; Fb: Nguyễn Văn Mạnh

Chọn B