Dang 4. Các bài toán khác(góc, khoảng cách,...) liên quan đến thể tích khối đa diện(VDT

Mặt phẳng P chứa đường thẳng AC và vuông góc với mặt phẳng SCD cắt đường thẳng SD tại E.. Tính cosin của góc tạo bởi mặt bên vàmặt đáy của hình chóp S.ABCD... I EGọi O là tâm của

Câu 1 [2H1-3.4-3] (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Cho khối chóp .S ABC

có thể tích bằng 24 cm , 3 SB BC  cm, 5 SC  cm Tính khoảng cách từ điểm 8 A đến mặtphẳng SBC.

Lời giải Chọn C

Nửa chu vi của SBC là: 2

bằng 45 Gọi M là trung điểm của SD Tính theo a

khoảng cách d từ điểm M đến SAC

A

151389

a

d 

2 131589

a

d 

C

131589

a

d 

2 151389

Gọi H là trung điểm đoạn AB  SH ABCD

2894

a

d 

Câu 3 [2H1-3.4-3] (Sở Ninh Bình 2019 lần 2) Chóp S ABC có đường cao SA, tam giác ABC là

tam giác cân tại A và ABa, BAC 120  Biết thể tích khối chóp là

3 3 , 24

a

góc giữa hai mặtphẳng SBC và ABCbằng

Lời giải

Tác giả: Đỗ Bảo Châu ; Fb: Đỗ Bảo Châu

Chọn A

M B

C A

3 24

23

4

a

h S

a

Ta có: SAABC SAAB và SAAC

 SC SA2AC2  SA2AB2 SB  SBC là tam giác cân tại S

Gọi M là trung điểm BC

Trong ABC: AMBC

Trong SBC: SMBC

 góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC là góc SMA

Trong tam giác vuông ABM ta có:

Câu 4 [2H1-3.4-3] (THPT Nghèn Lần1) Cho khối lập phương ABCD A B C D     Gọi M là trung

điểm của AD ,  là góc giữa hai mặt phẳng BMC

và ABB A  Khẳng định nào dưới đây

đúng?

A

3cos

4



4cos

5

 

1cos

3



2cos

3

 

Lời giải

Tác giả: Hà Khánh Huyền ; Fb: Hà Khánh Huyền

Chọn D

Giả sử khối lập phương ABCD A B C D.     có cạnh bằng a

Lập hệ tọa độ như hình vẽ: A0;0;0, B a ;0;0

3

 

Câu 5 [2H1-3.4-3] (Sở Nam Định) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD Mặt phẳng (P) chứa đường

thẳng AC và vuông góc với mặt phẳng (SCD) cắt đường thẳng SD tại E Gọi V và V lần lượt1

là thể tích khối chóp S.ABCD và D.ACE, biết V =5V1 Tính cosin của góc tạo bởi mặt bên vàmặt đáy của hình chóp S.ABCD

I E

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD Þ SO^(ABCD) (S.ABCD là hình chóp đều)

Vẽ OH vuông góc với SD tại H

Câu 6 [2H1-3.4-3] (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG

NGÃI) Cho hình lập phương ABCD A B.     Tính góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳngC D

 

.Chọn n    1; 1; 1 Ta có góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng ' A C D  có:

3 3

Cách 2 :

Do ABCD A B C D.     là hình lập phương nên :

Câu 7 [2H1-3.4-3] (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D.     có

AB a , BCa 2 , AA a 3 Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  ACD và ABCD

(tham khảo hình vẽ)

và (ABCD)

là:  D ED Xét tam giác ACD vuông tại D:

33

Xét tam giác D DE vuông tại D:

tan tan

263

Câu 8 [2H1-3.4-3] ( Chuyên Lam Sơn Lần 2) Hình lăng trụ ABC A B C.    có đáy ABC là tam giác

vuông tại A, AB a AC , 2a Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ABC

AK AB AC a  a  a  AK 2 55 a.

Vậy  ,   2 5

5

d A A BC AK  a

Câu 9 [2H1-3.4-3] (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD

là hình chữ nhật AB a ; BC2a , SA vuông góc với đáy và SA a Tính khoảng cách từ

a

34

Câu 10 [2H1-3.4-3] (Chuyên Thái Bình Lần3) Cho hình lập phương ABCD A B C D.     cạnh a Tính

khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và CD

33

a

23

a

Lời giải Chọn C

Tứ diện D ACD. có DA DC DD đôi một vuông góc., ,

3

a h

Câu 11 [2H1-3.4-3] (Chuyên Thái Bình Lần3) Trong không gian cho tam giác ABC có ABC   ,90

AB a Dựng AA CC,  cùng một phía và vuông góc với mp ABC  Tính khoảng cách từtrung điểm A C  đến mp BCC 

Cách 1.

Gọi ,I I lần lượt là trung điểm của AC A C,  .

2

A C  d I BCC  d A BCC 

.,

AA CC  cùng vuông góc với ABC  AA CC// 

Do đó AA//BCC 

Câu 12 [2H1-3.4-3] ( Nguyễn Tất Thành Yên Bái) Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình vuông

cạnh bằng 2a Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳngđáy Biết thể tích khối chóp S ABCD. bằng

343

Diện tích hình vuông ABCD là: S ABCD 4a2 Gọi H là trung điểm cạnh AB

Do tam giác SAB cân tại S và SAB  ABCD

nên SH ABCD

.3

.

2

43

4

S ABCD ABCD

a V

 cân tại B, có H là trung điểm của SC  BH SC.

Suy ra góc giữa SBC và SCD chính là góc giữa hai đường thẳng BH và DH.

Xét SOB vuông tại O :

và SCD

là 90

Câu 14 [2H1-3.4-3] (KIM LIÊN HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 03) Cho hình chóp S ABCD có đáy

là hình vuông cạnh bằng 2a Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với

mặt đáy Biết thể tích khối chóp S ABCD bằng

343

a Gọi  là góc hợp bởi cạnh SC và mặt

Gọi H là trung điểm của AB , theo giả thiết ta có:

Câu 15 [2H1-3.4-3] (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN 2 NĂM 2019) Cho hình

chóp tứ giác S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, ABa, AD2a ,

SA SB SC SD   Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA, BC Biết góc giữa MN và mp(ABCD bằng ) 0

60 Gọi  là góc tạo bởi MN và mp (SBD Tính ) sin

A.

4sin

65

 

5sin

65

 

1sin

65

 

2sin

 SA SB SC SD   , OA OB OC OD   nên suy ra SO là đường trung tuyến

và cũng là đường cao của tam giác cân SACvà SBD Khi đó: SOABCD

 Gọi I là trung điểm của OA  MI/ /SO MI (ABCD).

Suy ra (MN ABCD;( ))MNI 600

Gọi H INBD Kẻ HK/ /MI ,(K MN ) Khi đó K MN(SBD) và E là hình chiếu của N trên BD Suy ra NE(SBD) (MN,(SBD)) NKE

Xét NKE vuông tại E có

55

Câu 16 [2H1-3.4-3] (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2) Cho hình

chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc ABCD , SA a .Gọi Evà

F lần lượt là trung điểm SB SD Côsin của góc hợp bởi hai mặt phẳng , AEF và ABCD là

F E

y

x

F E

: x y z   0Phương trình mặt phẳng ABCD z : 0

Câu 17 [2H1-3.4-3] (Lê Quý Đôn Điện Biên Lần 3) Cho lăng trụ ABC A B C.    có đáy là tam giác đều

cạnh a , hình chiếu của A lên mặt phẳngABC

trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC bằng

34

a Tính theo a thể tích của khối lăng

trụ đó

A

3 312

a

3 36

a

3 33

a

3 324

F E G

C

A B

C' B'

kẻ EF AA  E F là đoạn vuông góc chung của AA và BC

a

AE 

3

a AG

Gọi O là trung điểm của AC Ta gắn hệ Oxyz như hình vẽ Đặt A G h  h 0

Ta có

3

;0;02

a

B 

0; ;02

a

C  

  ; 0; ;02

a A 

 

3

3

Câu 18 [2H1-3.4-3] (Đặng Thành Nam Đề 5) Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC A B C.    có thể tích

bằng 3 ; cosin góc giữa hai đường thẳng AB và BCbằng

Gọi AB2 ,a BB và ,h O O lần lượt là trung điểm của , BC B C .

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.

Khi đó O0;0;0 , B a ;0;0 ; A0;a 3;0 ; O0;0;h

.Suy ra B a ;0; ;h C a;0;0 ; Ca;0;h

34

a

3 1717

a

55

a

3 55

H K

Gọi M là trung điểm AB , khi đó OM AD và // ADSOM AD//SOM

.Khi đó d AD SO ,  d AD SOM ,   d A SOM ,  

Gọi H là hình chiếu A trên OM .

K là hình chiếu của A trên SH

Ta có OH AH và SA OH , nên OH SAH  OH AK (do AKSAH)

Mà AK  SH nên AK SOH

hay AK SOM

Khi đó AK d A SOM  ,  

Ta có HMA BMO BAD   60

Xét tam giác AHM vuông tại H

173

34

a

32

a

23

a

43

C'

B'A'

C

BA

Gọi M là trung điểm BC và G là trọng tâm tam giác ABC, ta có A G ABC

Câu 21 [2H1-3.4-3] (Sở Vĩnh Phúc) Cho khối đa diện đều n mặt có thể tích là V và diện tích mỗi

mặt của nó là S Khi đó tổng các khoảng cách từ một điểm bất kỳ bên trong khối đa diện đếncác mặt của nó bằng

Giả sử khối đa diện đều là A A A và M là một điểm bên trong khối đa diện.1 2 n

Nối M với các đỉnh của đa diện Khi đó ta chia khối đa diện thành n khối chóp có chung đỉnh

là M và đáy là các mặt của đa diện.

Thể tích của mỗi khối chóp là

13

Câu 22 [2H1-3.4-3] ( Nguyễn Tất Thành Yên Bái)Cho hình lập phương ABCD A B C D.     có cạnh

bằng a Tính khoảng cách giữa AC và DC

A

32

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho các tia Ox , Oy , Oz lần lượt trùng với các tia AB,AD,AA

và gốc tọa độ O trùng với điểm A

33,

và hai mặt phẳng

DC A  , ACD  chia đoạn BD thành 3 đoạn bằng nhau.

Câu 23 [2H1-3.4-3] (-Mai-Anh-Tuấn-Thanh-Hóa-lần-1-2018-2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy

ABCD là hình vuông, SA vuông góc với đáy, mặt bên (SCD) tạo với mặt đáy một góc bằng

60

, M là trung điểm BC Biết thể tích khối chóp S ABCD bằng

3 33

a

Khoảng cách từđiểm M đến mặt phẳng (SCD) bằng

A

36

a

34

a

32

.22

SCD

.Mặt khác

3

 

3

Câu 24 [2H1-3.4-3] (Sở Ninh Bình 2019 lần 2) Cho hình chóp S ABCD ; ABCD là hình vuông cạnh

bằng 3 , hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD là điểm H nằm trên đoạn ABsao choAB3AH ;SH  3; Khoảng cách từ C đến mặt phẳng SAD bằng:

A

D H

Ta có  ;    ;   3  ;   3 3

2

Câu 25 [2H1-3.4-3] (Ba Đình Lần2) Cho hình chóp tứ giác S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông

cạnh bằng a 2 Tam giác SAD cân tại S và mặt bên (SAD vuông góc với mặt phằng đáy.)

Biết thể tích khối chóp S ABCD. bằng

34

3a Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng (SCD )

A

23

h= a

43

h= a

83

h= a

34

Câu 26 [2H1-3.4-3] (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Cho tứ diện đều cạnh 1

và điểm I nằm trong tứ diện Tính tổng khoảng cách từ I đến các mặt của tứ diện.

Gọi V là thể tích tứ diện đều ABCD và gọi h ,1 h , 2 h , 3 h lần lượt là khoảng cách từ I đến4các mặt BCD

, ACD

, ABD, ABC

.Đặt V1V IBCD, V2 V IACD V3 V IABD, V4 V IABC

Ta có V V V V V 1 2 3 4

1

Tương tự

2 23

ACD

V h S



,

3 33

ABD

V h S



,

4 43

ABC

V h S



.Vậy

BCD ACD ABD ABC

34

V



23

1234



23

3



Cách trắc nghiệm: Chọn đặc biệt I A Khi đó tổng khoảng cách từ I đến các mặt của tứ

diện bằng khoảng cách từ A đến mpBCD

và bằng

6

3

Câu 27 [2H1-3.4-3] (THPT SỐ 1 TƯ NGHĨA LẦN 2 NĂM 2019) Cho tứ diện ABCD có điểm O

nằm trong tứ diện và cách đều các mặt của tứ diện một khoảng bằng r Khoảng cách từ, , ,

A B C D đến các mặt đối diện lần lượt là

r 

Câu 28 [2H1-3.4-3] (SGD-Nam-Định-2019) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD Mặt phẳng (P) chứa

đường thẳng AC và vuông góc với mặt phẳng (SCD) cắt đường thẳng SD tại E Gọi V và V1lần lượt là thể tích khối chóp S.ABCD và D ACE, biết V =5V1 Tính cosin của góc tạo bởimặt bên và mặt đáy của hình chóp S.ABCD

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD Þ SO^(ABCD) (S.ABCD là hình chóp đều)

Vẽ OH vuông góc với SD tại H

ï =ïïïïî

Câu 29 [2H1-3.4-3] (Yên Phong 1) Một cốc nước có dạng hình trụ chiều cao 15cm , đường kính đáy là

6 cm , lượng nước ban đầu trong cốc cao 10cm Thả vào cốc 5 viên bi hình cầu có cùng đườngkính là 2 cm Hỏi sau khi thả 5 viên bi, mực nước trong cốc cách miệng bao nhiêu cm ? (Kếtquả làm tròn sau dấu phẩy 2 chữ số)

Cốc nước ban đầuCốc nước sau khi thả 5 viên bi

Từ giả thiết ta có cốc nước hình trụ có chiều cao h 15cm, bán kính đáy là r 3cmvà chiềucao lượng nước ban đầu trong cốc là h 0 10cm.

Thể tích 5 viên bi hình cầu có cùng đường kính 2cm ( tức bán kính R 1cm) là

V  

.Gọi h là chiều cao lượng nước dâng thêm trong cốc thì ta có1

Câu 30 [2H1-3.4-3] (TTHT Lần 4)Cho chóp S ABC. D có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Tam

giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính góc hợp bởi SC và đáy.Biết thể tích khối chóp S ABC. D là

3 156

nên HC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng ABCD

.Vậy SC ABC , D  SC HC , SCH

Xét tam giác vuông SHC vuông tại H Dễ có

52

52

a SH SCH

5

3

3.5

Xét tam giác vuông SHC vuông tại H Dễ có

52

a

HC 

Suy ra



3152

tan

552

a SH SCH

Câu 32 [2H1-3.4-3] (Sở Hưng Yên Lần1) (Sở Hưng Yên Lần1) Cho hình chóp S ABCD. có SA

vuông góc với mặt phẳng ABCD Tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a , SA2a Gọi H là

hình chiếu vuông góc của A trên SB Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng SCD.

a

2 55

a

8 525

a

Lời giải Chọn D