Dang 4. Các bài toán khác(góc, khoảng cách,...) liên quan đến thể tích khối đa diện(TH)

SA vuông góc với đáy  thể tích khối chóp .S ABC là.. Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Phu ; Fb: Nguyễn Văn Phu Chọn D Theo giả thiết AB AC AD đôi một vuông góc nên , , ADABC ADBC... Tính

Câu 1 [2H1-3.4-2] (Cẩm Giàng) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA

vuông góc với đáy và thể tích của khối chóp đó bằng

3 4

a Tính cạnh bên SA

3 3

a

3 2

a

Lời giải

Tác giả: Trần Lê Cường; Fb: Thầy Trần Lê Cường

Chọn A

S

B a

ABC là tam giác đều cạnh a  diện tích tam giác ABC là

2 3 4

ABC

a

S 

SA vuông góc với đáy  thể tích khối chóp S ABC là .

1 3

3

.

2

3

3 3

4

S ABC ABC

a V

Câu 2 [2H1-3.4-2] (THPT YÊN DŨNG SỐ 2 LẦN 4) Cho tứ diện ABCD có

AB a AC a AD a Các tam giác ABC ACD ABD đều vuông tại đỉnh , , A

Khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng BCD

là

A

6 3

a

d 

3 2

a

d 

30 5

a

d 

66 11

a

d 

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Phu ; Fb: Nguyễn Văn Phu

Chọn D

Theo giả thiết AB AC AD đôi một vuông góc nên , , AD(ABC) ADBC

Trong ABC , kẻAK BC K BC,  , suy ra BC ADK mà BC BCD nên

ADK BCD

Trong ADK , kẻ AH DK H, DK

Do BC ADK

,AH ADK

nên AH BC Suy ra AH BCD d A BCD ,    d AH

Ta có ABC vuông tại A có đường cao AK : 2 2 2

Tương tự ADK vuông tại A có đường cao AH : 2 2 2

Từ  1 và  2 ta có

2 2

Chú ý: Có thể sử dụng công thức tính nhanh: Cho tứ diện ABCD có AB AC AD đôi một , ,

vuông góc thì với d d A BCD ,   ta có

2 2

Câu 3 [2H1-3.4-2] (Hậu Lộc Thanh Hóa) Cho khối chóp tứ giác đều có thể tích bằng 16 cm và3

cạnh đáy bằng 4 cm , chiều cao của khối chóp đó bằng

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Thùy Linh; Fb:Nguyễn Thùy Linh

Chọn C

Diện tích đáy là S  42 16 cm2

Ta có:

V  S h  h h

Câu 4 [2H1-3.4-2] (Nguyễn Khuyến)Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , cạnh bên

SA vuông góc với đáy và thể tích của khối chóp đó bằng

3 4

a Tính cạnh bên SA

A

3 2

a

3 3

a

Lời giải

Tác giả:Mai Quỳnh Vân; Fb:Vân Mai

Chọn C

B S

Tam giác ABC là tam giác đều cạnh a nên

2 3 4

ABC a

S

3

.

3

4

4





ABC

Câu 5 [2H1-3.4-2] (Chuyên Phan Bội Châu Lần2) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D.     có mặt

ABCD là hình vuông,

6 2

AB AA 

Xác định góc giữa hai mặt phẳng A BD 

và C BD 

Lời giải.

Chọn D

Gọi I là trung điểm BD vì A BD,   và C BD lần lượt cân tại A và C. Do đó

A I BD C I BD

Ta có

  ,   ,  

C I BD



  

Áp dụng định lí hàm số cosin vào A IC  có:

2

A I C I A C

A I C I

     

            

Ta có BD A C  AB 2,

AB

2

Vậy

2

AB

Câu 6 [2H1-3.4-2] (Quỳnh Lưu Nghệ An) Cho hình chóp S ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a ,

 600

ABC  , SAABCD

,

3 2

a

SA 

Gọi O là tâm của hình thoi ABCD Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng SBC

bằng:

A

3 4

a

5 8

a

3 8

a

5 4

a

Lời giải

Tácgiả:Kim Liên; Fb:Kim Liên

Chọn C

A

B

C I K

Vì đường thẳng AO cắt mặt phẳng SBC

tại điểm C nên ( , ) 1  ,  

2

Vì ABCD là hình thoi cạnh a và ABC   nên tam giác ABC là tam giác đều cạnh a 60

Gọi I là trung điểm của BC Suy ra AI BC và

3 2

a

AI 

Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng SI Ta có AK SI  1

Vì AI BC và SABC (vì SAABCD

) nên BCSAI  BCAK  2

Từ  1

và  2

suy ra AKSBC  d A SBC ,  AK

Xét tam giác SAI vuông tại A, ta có:

4

a AK

Vậy ( , ) 1  ,   3

a

Câu 7 [2H1-3.4-2] (KINH MÔN HẢI DƯƠNG 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam

giác vuông cân tại B cạnh AB a  , cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA2a Tính cosin của góc  là góc giữa mặt phẳng ABC và mặt phẳng SBC

A

2 cos

3

1 cos

3

1 cos

5

1 cos

5

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Mai Facebook: Mai Nguyen

Chọn C

B S

Vì BC AB BC SAB BC SB

BC SA









Suy ra góc giữa 2 mặt phẳng ABC và mặt phẳng SBC là góc  SBA

Xét tam giác vuông SBA có 2 2

1 cos

5

Câu 8 [2H1-3.4-2] (KINH MÔN HẢI DƯƠNG 2019)Cho lăng trụ đứng ABC A B C.    có đáy là tam

giác ABC đều cạnh 2a Biết A B 3a Thể tích của khối lăng trụ là

A

3 15 3

a

3

2 15 3

a

3 15 4

a

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Mai Facebook: Mai Nguyen

Chọn B

C'

B'

A

B

C A'

Tam giác AA B   vuông tại A nên AA AB2 A B 2 a 5

Diện tích tam giác ABC là

2 2 3 2

3 4

a

Thể tích của khối lăng trụ là V a2 3.a 5 a3 15

Câu 9 [2H1-3.4-2] (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Cho hình lập phương

ABCD A B C D     có cạnh bằng 1 Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng BDA

A

3 3

d 

6 4

d 

2 2

d 

D d  3

Lời giải

Tác giả: Tranngocquang2204@gmail.com ; Fb: Quang Tran

Chọn A

Đặt khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng BDA

là d

Ta có:

V  V   A A S   d S 

Do đó:

ABD

A BD

S

d A A

S











A A  ,

ABD

S  AB AD

, tam giác A BD đều cạnh 2có 3. 2 2 3

A BD

Vậy

1 3 2 1

3 3 2

luckykaka1702@gmail.com

Câu 10 [2H1-3.4-2] (CổLoa Hà Nội) Cho khối tứ diện ABCD Lấy điểm M trên cạnh AB sao cho

2

AM  MB Biết khoảng cách từ M đến mặt phẳng ACD

bằng 4 Tính khoảng cách từ B

đến mặt phẳng ACD.

M

D

C B

A

Lời giải

Tác giả: Cấn Duy Phúc ; Fb: Duy Phuc Can

Chọn B

K H M

D

C B

A

Gọi K là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng ACD; H là hình chiếu vuông góc

của B trên mặt phẳng ACD

Ta có:

6

Câu 11 [2H1-3.4-2] (Sở Điện Biên) Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng 2a , cạnh

bên bằng 3a Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

S

A V 4 7a3 B 

3

4 7 9

a V

3 4 3

a V

3

4 7 3

a V

Lời giải.

Chọn D

O

S

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD

Ta có: SC2 SO2OC2  SO SC2 OC2  9a2 2a2 a 7

Thể tích của khối chóp S ABCD là

3 2

a

Câu 12 [2H1-3.4-2] (THPT Nghèn Lần1) Cho khối chóp đều S ABCD có cạnh đáy bằng a và thể

tích bằng

3 2 6

a Khoảng cách từ B đến mặt phẳng SAD

bằng

A

6 3

a

3 2

a

2 2

a

Lời giải

Tác giả: Hà Khánh Huyền ; Fb: Hà Khánh Huyền

Chọn A

Gọi O AC BD Khối chóp đều S ABCD nên SO(ABCD).

Ta có: .

1 3

3

2

2 3

2

S ABCD ABCD

a

SO

.

1

3



. 3

SAD

V

d B SAD

S



Mặt khác,

Tính được:

2 2

a

OA OD 

;

Do đó tam giác SAD đều cạnh bằng a 

2 3 4

SAD

a

Vậy

3

2

2 3

( ,( ))

3 3 4

S ADB SAD

a

d B SAD

Câu 13 [2H1-3.4-2] (Đặng Thành Nam Đề 15) Cho khối chóp .S ABCD có thể tích V 6a3, đáy

ABCD là hình thang với hai đáy AD và BC thỏa mãn AD2BC , diện tích tam giác SCD

bằng 34a (thao khảo hình vẽ) Khoảng cách từ đỉnh 2 B đến mặt phẳng SCD bằng

A.

3 34

3 34

34

9 34

34 a.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Tiến Hà; Fb: Nguyễn Tiến Hà.

Chọn B

Nhận xét:

.

.

S BCD

S ABCD

V

V



1

1

3

BCD

BCD

ABCD ABCD

S

S d S ABCD





1 2 1

2

BCD

ABCD

BC h





1

3

Suy ra

SCD

V

d B SCD

S

2

3

34a V S BCD

34

BCD

S ABCD ABCD

S V S a





2

3

BC V

BC AD a





3 2

.6

34

a a a

Câu 14 [2H1-3.4-2] (Chuyên Bắc Giang) Cho lăng trụ đứng ABC A B C.    có đáy ABC là tam giác

cân tại A , BC a , AA a 2 và

cos

6

BA C 

Tính góc giữa đường thẳng A B và mặt phẳng AA C C  

Lời giải

Tác giả: Minh Thế; Fb: Yyraya Tore

Chọn A

C'

B' A

B

C

A'

H

2

a

a

Trong mặt phẳng (ABC), kẻ BH AC

Ta có:

 

do







Suy ra: A H là hình chiếu của A B lên mặt phẳng AA C C  



A B AA C C ;    A B A H ,   BA H 

Dễ thấy ABAC A B A C    A BC cân tại A

Đặt: A B A C    Điều kiện x x  0

Áp dụng ĐL cosin cho tam giác A BC ta có: BC2 A B 2A C 2 2A B A C .  .cosBA C

2 6

3a x

   x a 3  A B a  3 Xét A AB vuông tại A, ta có: AB2 A B 2 AA2 3a2 2a2 a2

Do đó: AB BC BC a  ABC là tam giác đều

3 2

BH a

Xét A BH vuông tại H:



3 1 2 sin

2 3

a BH

BA H

A B a

  BA H 30 Vậy A B AA C C' ;     30

Câu 15 [2H1-3.4-2] (THPT NINH BÌNH – BẠC LIÊU LẦN 4 NĂM 2019) Cho khối chóp S ABC có

đáy ABC là tam giác đều, SA vuông góc với mặt phẳng ABC và SA a Biết rằng thể tích của khối chóp S ABC bằng 3a Tính độ dài cạnh đáy của khối chóp 3 S ABC

Lời giải

Tác giả: Trần Đình Thái ; Fb: Đình Tháii

Chọn A

Gọi độ dài cạnh đáy của tam giác ABC là x x 0

Ta có

3

.

3

a

a

Diện tích tam giác ABC bằng

2 3 4

x

Từ đó suy ra

2

3

4

x

Vậy độ dài cạnh đáy bằng 2a 3.

Câu 16 [2H1-3.4-2] (THPT NINH BÌNH – BẠC LIÊU LẦN 4 NĂM 2019) Cho tứ diệnABCD Gọi

,

P Q lần lượt là trung điểm của các cạnh , BC AD Giả sử AB CD a  và

3 2

a

PQ 

Số đo

góc giữa hai đường thẳng AB và CD là

Lời giải

Tác giả: Dương Thị Vân Thanh; Fb: dtvthanhnt@gmail.com

Chọn D

Gọi I là trung điểm AC Xét tam giác IPQ có 2

a

IP IQ 

,

3 2

a

PQ 

nên

cos

IQ IP

IP Q

P I

do đó PIQ  120 90 , vậy AB CD,  180  PIQ 60

Câu 17 [2H1-3.4-2] (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Cho hình chóp .S ABC

có thể tích bằng 27 (đvtt) và diện tích tam giác ABC bằng 18 (đvdt) Tính khoảng cách từ

đỉnh S đến mặt phẳng ABC

9

3

2.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Nghĩa ; Fb: Nghĩa Văn Nguyễn

Chọn B

2

d s mp ABC

Chọn B

Câu 18 [2H1-3.4-2] (Sở Đà Nẵng 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA

vuông góc với đáy, mặt bên SCD hợp với đáy một góc 60 , M là trung điểm của BC Biết thể tích của khối chóp S ABCD bằng

3 3 3

a

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng SCD bằng

A.

3 6

a

3 2

a

3 4

a

Lời giải Chọn C

60 0

x

H

D

C M

B

A S

Ta có:







Ta có

ABCD SCD CD









  SCD , ABCD SDA 60

Đặt AB x , với x  0

Ta có: SA AD tan 60 x 3

.

1

3

3

x

x x

3 3 3

a

x a

Do M là trung điểm của BC nên:

d M SCD   d B SCD   d A SCD 

(do AB//SCD

Trong SAD , kẻ AH SD

Ta có:







Suy ra: d A SCD ,  AH

Trong SAD , ta có: 2 2 2

2

2 3

AH

d M SCD   d A SCD   

Câu 19 [2H1-3.4-2] (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Cho hình chóp .S ABC

có thể tích bằng a và khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng ABCbằng a Tính diện tích

tam giác ABC

3 2

a

a

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Nghĩa ; Fb: Nghĩa Văn Nguyễn

Chọn B

+ Ta có     3     2

.

2

a

d s mp ABC

Chọn B

Câu 20 [2H1-3.4-2] (SỞ GD & ĐT CÀ MAU) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có cạnh bên bằng

2

a và đáy là tam giác vuông tại ,A AB a AC a ,  3 Ký hiệu  là góc tạo bởi hai mặt phẳng A BC'  và BCC B  Tính tan

A

3 tan

6

 

6 tan

4

 

3 tan

4

 

2 6 tan

3

 

Lời giải

Tác giả:; Fb: Đào Duy Cang

Chọn B

Kẻ A H' B C' ', H thuộc B C' '

Suy ra A H' BCC B' '

tại H

Trong BCC B' ' kẻ HK BC tại K









 ' 

Mà A K' A HK' 

'

Ta có

 

'

BC HK gt

BC A K cmt













 Suy ra  'A KH là góc giữa A BC' 

và BCC B' '

Tính góc  'A KH

Xét A KH' vuông tại H có

2

'

2

A H

, HK a 2

Ta có



3

4 2

a

A H

A KH

Câu 21 [2H1-3.4-2] (Yên Phong 1) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc

BAD   Biết các cạnh SA , SB , SD đều bằng

3 2

a

Gọi góc giữa hai mặt phẳng SBD

và ABCD là . Tính sin ?

A

1

30

5

3

2

Lời giải

Tác giả: ; Fb: Trang Đỗ

Chọn B

Gọi O là giao điểm của BD và AC Ta có ABCD là hình thoi suy ra O là trung điểm của

hai đường chéoBD và AC

Ta có (SBD) ( ABCD)BD

SBD

 cân tại S  SOBD;ABD đều  AOBD Khi đó:  SOA

Mặt khácABD đều và SA SB SD  nên S ABD là hình chóp đều.

với H là trọng tâm của ABD

Xét AOD vuông tại O có:

2

a

AO AD  OD 

Ta có:

a

AH  AO

,

a

HO AO

,

6

SH  SA  AH a

,

2

a

SO SH HO 

Do đó:

30 sin

6

SH SO

Câu 22 [2H1-3.4-2] (Chuyên Bắc Giang)Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng 2a ,

cạnh bên bằng a Tính góc giữa hai mặt phẳng AB'C'

và A'B'C'

A

0

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Bình; Fb: Nguyễn Văn Bình

Chọn C

B

A'

B'

C' H

Gọi H là trung điểm của B'C' suy ra A H B'C' ( vì A'B'C' là tam giác đều).

Mặt khác AA'B'C' nên ta suy ra AA'H B'C'  AH B'C'

Ta có AB'C'  A'B'C' AH

Suy ra góc giữa AB'C'và A'B'C' là AHA'.

Xét tam giácA'B'H vuông tại H ta có: A'H  A'B'2  B'H2  4a2 a2 a 3

Xét tam giácAA'H vuông tại A' ta có:

3 3

A'H a

Vậy góc giữa hai mặt phẳng AB'C'

và A'B'C'

bằng 30 0

Câu 23 [2H1-3.4-2] (Hai Bà Trưng Huế Lần1) Cho hình lập phương có cạnh bằng 2a Khi đó thể

tích khối bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của hình lập phương đã cho bằng bao nhiêu

3 6

a

3 6 2

a

3 4 3

a

Lời giải Chọn D

E

S

D

B O

Với SO OB OC a  

3

1

S OBC

a

V  SO OB OC 

Thê tích khối bát diện đều:

.

4

S OBC

Câu 24 [2H1-3.4-2] (Yên Phong 1) Cho hình chóp SABC có SA a vuông góc với đáy, đáy ABC là

tam giác vuông tại B có BAC   , AC a 60  Tính khoảng cách từ B đến SAC.

A

3 3

a

2 3

a

3 4

a

3 2

a

Lời giải

Tác giả: ; Fb: Biện Tuyên

Chọn C

A

S

C

B

a

H a

Cách 1:

Kẻ: BH AC H AC

Mà BH SA vì SAABC 

   d B SAC ,   BH

Xét ABC vuông tại B, ta có:

 

 

.sin 60 os 60

BC AC

AB AC c







3 2 2

a BC a AB







 

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC :

BH AC AB BC

AB BC BH

AC

3

3

2 2

4

a a

Vậy:  ,   3

4

a

d B SAC 

Cách 2:

Ta có: V SABC V BSAC 1  ,  



 ,  3 SABC

SAC

V

d B SAC

S



1 2

SA AB BC

SA AC



AB BC AC



2 3

3 4

4

a

a a

Câu 25 [2H1-3.4-2] (Chuyên KHTN lần2) (Chuyên KHTN lần2) Cho khối chóp tứ giác đều

S ABCD có cạnh đáy bằng 2a , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60 Thể tích khối chóp đã

cho bằng

A.

3

2 6

3

a

3 3 9

a

3 3 6

a

3

4 3 3

a

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Trần Tuấn Minh; Fb: Tuấn Minh Phản biện: Nguyễn Phương Thu;Fb: Nguyễn Phương Thu

Chọn D

Do S ABCD là hình chóp đều nên đáy ABCD là hình vuông, SO là đường cao hình chóp (với

O là tâm hình vuông ABCD ), góc giữa các mặt bên và mặt đáy bằng nhau và bằng 60

Gọi I là trung điểm BC       



1





3 2

.

a

Câu 26 [2H1-3.4-2] (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Lăng trụ có chiều cao bằng a , đáy là tam giác

vuông cân và có thể tích bằng 2a Cạnh góc vuông của đáy lăng trụ bằng3

Lời giải

Tác giả: Ngọc Thanh; Fb: Ngọc Thanh

Chọn B

Gọi x x  0 là độ dài cạnh góc vuông của đáy lăng trụ.

Do đáy của lăng trụ là tam giác vuông cân nên có diện tích là

2

1 2

đ

Vì lăng trụ có chiều cao bằng a và có thể tích là 2a nên3

2

Vậy cạnh góc vuông của lăng trụ bằng 2a