Dang 1. Phương pháp hình học(VDT

Gọi z z lần lượt là các số phức mà1, 2 tại đó z đạt giá trị nhỏ nhất và đạt giá trị lớn nhất.. Phương pháp đại số :... Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn đồng thời 2 điều kiệ

Câu 1 [2D4-5.1-3] (Sở Nam Định) Cho số phức z thỏa mãn iz 2i 1 1   Gọi M,mlần lượt là giá

trị lớn nhất và nhỏ nhất của z 1 i  Tính M m

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Hoàng Kiệt ; Fb: Nguyễn Hoàng Kiệt

Chọn C

Ta có: iz 2i 1 1    z 2 i 1    z 2 i 1    z 1 i   3 1

(1)

Đặt w z 1 i   , từ (1) ta được w 3 1  (2)

Gọi w x yi, x, y     , khi đó (2) trở thành  x 3 2y2  1

Vậy quỹ tích điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I 3;0 

, bán kính R 1 Khi đó: Mwmax OI R 4  và mwmin OI R  2

Kết luận: M m 6 

Câu 2 [2D4-5.1-3] (Thị Xã Quảng Trị) Trong mặt phẳng tọa độ, cho điểm A4;3 và M là điểm

biểu diễn của số phức z thỏa mãn hệ thức 2i z z  1 2 i z  1 3i Giá trị nhỏ nhất của đoạn AM bằng

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Vượng; FB: Nguyen Vuong

Chọn B

Ta có: 2i z z  1 2 i z  1 3i  z 2 i z  1 2 i  10

 

2

z



Khi đó tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z là đường tròn tâm O0;0 và có bán kính

1

R 

Vậy AMmin OA R  5 1 4

Câu 3 [2D4-5.1-3] (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀ ĐH VINHL3 -2019 ) Xét các số phức ,z w thỏa mãn

2,

w i  z 2 iw Gọi z z lần lượt là các số phức mà1, 2

tại đó z đạt giá trị nhỏ nhất và đạt giá trị lớn nhất Mô đun z1z2

bằng

Lời giải Chọn C

Ta có: z 2 iw w 1z 2

i

      w i 2 1z 2 i 2

i

    1 z 2 1 2

i

3 2

z

  

Vậy z z3 3  z 3 3 z3 3  z 3 3  1 z 5

min 1

z

  khi z  và 1 1  zmax  khi 5 z  2 5

Vậy z1z2 6 z1z2  6

Phân tích

Bài toán này hướng tới việc tìm Max và Min của z khi quỹ tích điểm biểu diễn của nó nằm trên một đường tròn.

Cho số phức z thỏa mãn : z a bi  R

, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z

Phương pháp đại số :

Ta có z z a bi  a bi 

Vậy

2 2 max

2 2



và

2 2 min

2 2

Phương pháp hình học : Ta có quỹ tích điểm M x y ;  biểu diễn số phức z là đường tròn tâm

I a b bán kính R

Max

z OI R

khi

R

OI



và z Max OI R

khi

R

OI



Câu 4 [2D4-5.1-3] (Chuyên Vinh Lần 3) Xét các số phức z w, thỏa mãn w i 2,z 2 iw. Gọi

1, 2

z z lần lượt là các số phức mà tại đó z đạt giá trị nhỏ nhất và đạt giá trị lớn nhất Mô đun

1 2

z z

bằng

Lời giải Chọn C

Ta có: z 2 iw w 1z 2

i

     w i 2 1z 2 i 2 1 z 2 1 2

            

3 2

z

   Do đó z z có các điểm biểu diễn trên mặt phẳng 1, 2 Oxy thuộc đường tròn tâm

 3;0 ;

I 

bán kính R 2 Vậy z11,z2 5 z1 z2 6 z1 z2 6

Câu 5 [2D4-5.1-3] (SỞ QUẢNG BÌNH NĂM 2019) Xét các số phức z thỏa mãn z 3 2 i  Giá2

trị nhỏ nhất của 2z 6 5 i bằng:

3

5 2

Lời giải

Tác giả:; Fb: Dung Vũ

Chọn B

Gọi z x yi x y   ,   

Theo giả thiết ta có z 3 2 i  2 x 32y 22 4

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là hình tròn tâm I(3;2)

, bán kính R= 2.

Khi đó

5

2

, trong đó M là điểm biểu diễn số phức z và

5 3;

2

ç - ÷

çè ø.

Khi đó ta có

0;

=ççè ø÷÷Þ =

uur

Ta có min min

9

2

Câu 6 [2D4-5.1-3] (Hùng Vương Bình Phước) Cho 2 số phức z z thoả mãn1; 2

1 5 5; 2 1 3 2 3 6

z + = z + - i = z - - i Giá trị nhỏ nhất của biểu

thức P= -z1 z2 là

A Pmin= 3 B. min

3 2

C min

5 2

D Pmin = 5

Lời giải

Tác giả: Lê Thị Thu Hường ; Fb: Lê Hường

Chọn C

Đặt z1= +x1 y i x y1 ( 1; 1Î R) và z2= +x2 y i x y2 ( 2; 2Î R).

Khi đó z z tương ứng được biểu diễn bởi hai điểm 1; 2 A x y( 1; 1), B x y( 2; 2) trên mặt phẳng tọa độ

Oxy Do z1+ =5 5 nên IA=5với I(- 5;0) , hay A thuộc đường tròn (I;5).

Do z2+ -1 3i = z2- -3 6i nên MB=NBvới M(- 1;3 ,) N(3;6) hay B thuộc trung trực của

MN.

Trung điểm của MN có tọa độ

9 1;

2

æ ö÷

çè ø và MNuuur(4;3)

nên phương trình đường trung trực của

MN là ( ) (: 4 1) 3 9 0

2

D - + ççè - ÷÷ø= hay

35

2

x+ y- =

Ta có:

35

4 5 3.0

15 2 ,

2

d I

Do P= -z1 z2 =AB nên min min ( , ) 5 15 5 5

P =AB =d I D - = - =

Câu 7 [2D4-5.1-3] (THPT NINH BÌNH – BẠC LIÊU LẦN 4 NĂM 2019) Cho số phức z thỏa mãn

2

z z  z z z

Giá trị lớn nhất của biểu thức P z 5 2 i bằng bao nhiêu?

A 2 5 3 B 2 3 5 C. 5 2 3 D. 5 3 2 .

Lời giải

Tác giả: Admin ; Fb:Thịnh Nguyễn Văn

Chọn C

Gọi z x yi x y   ,   z  x yi

Ta có:

2

z z  x, z z 2yi, z2 x2 y22xyi

2

z z  z z z  2 x 2 y x2y2  x2y2  2 x  2 y  0

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là 4 cung tròn lớn thuộc 4 góc phần tư của 4 đường

tròn tâm A  1;1, B1;1, C1; 1 , D   1; 1 bán kính R  2.

Lại có P z 5 2 i nên z thuộc đường tròn tâm E5; 2 bán kính bằng P

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện trên Do đó P đạt giá trị

lớn nhất khi đường tròn tâm E5;2 bán kính bằng P cắt một trong bốn đường tròn tâm

 1;1

A  , B1;1, C1; 1 

, D   1; 1 bán kính R  2 ở trên tại điểm xa E nhất.

Kẻ đường thẳng ED cắt đường tròn tâm D tại F và H thì Pmax EF ED DF 3 5 2

Câu 8 [2D4-5.1-3] (Chuyên KHTN lần2) (Chuyên KHTN lần2) Cho số phức z thỏa mãn

2

Gọi m và M lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z 4 2i Khi đó m M bằng

A 26 2 B 26 3 2 C 10 34 D 2 26

Lời giải

Tác giả: Đỗ Hải Thu; Fb: Đỗ Hải Thu

Phản biện: Lê Thị Hồng Vân ; Fb: Hồng Vân

Chọn C

+ Gọi số phức z x yi x y ;  

có điểm biểu diễn là M x y ; 

 z x yi  

+

2

 2

 x yi x yi    x yi x yi    x yi

2

2 2

 x  yi  x yi

 x  y x y

2 2

2 2

 x  y x y

 

 

 

 

2 2

1

2 2

2

2 2

3

2 2

4





 





Phần đường tròn  I1 có tâm I11;1 , bán kính R  2 (ứng với x0;y0).

Phần đường tròn  I2

có tâm I 2 1;1

, bán kính R  2(ứng với x0;y0).

Phần đường tròn  I3 có tâm I  3 1; 1, bán kính R  2(ứng với x0;y0).

Phần đường tròn  I4 có tâm I41; 1 , bán kính R  2(ứng với x0;y0).

+ P  z 4 2i MA với A4;2

và M chạy trên các phần của 4 đường tròn (ứng với các điều kiện x y; nêu trên) như hình vẽ dưới đây

O y

x C

B A

I4

I3

I2

I1

Dựa vào hình vẽ trên ta thấy:

Giá trị lớn nhất của P là m AI 4R 34 2.

Giá trị nhỏ nhất của P là M AI2 R 10 2.

Vậy m M  34 10 , nên chọn đáp án C.

Câu 9 [2D4-5.1-3] (Chuyên Hạ Long lần 2-2019) Cho số phức z thỏa mãn z 6  z6 20 Gọi

M , n lần lượt là môđun lớn nhất và nhỏ nhất của z Tính M n

A M n 2 B M n 4 C M n  7 D M n 14.

Lời giải Chọn A

Gọi z x yi  , x y  , 

Theo giả thiết, ta có z 6 z6 20

        x 62y2  x62 y2 20  

Gọi M x y ; 

, F16;0

và F 2 6;0

Khi đó    MF1MF2 20F F1 2 12

nên tập hợp các điểm E là đường elip  E

có hai tiêu điểm F và 1 F Và độ dài trục lớn bằng 2 20.

Ta có c 6; 2a20 a10 và b2 a2 c2 64 b 8

Do đó, phương trình chính tắc của  E

là

2 2

1

100 64

Suy ra

' max z OA OA 10

khi z 10 và

' min z OB OB  khi 8 z8i Vậy M n 2

Câu 10 [2D4-5.1-3] (Cẩm Giàng) Cho số phức z thỏa mãn z 2 2 i  Số phức 1 z i có môđun

nhỏ nhất là:

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Ngọc Minh ; Fb: Minh Nguyen

Chọn B

Cách 1:

Đặt w z i   z w i

Gọi M x y ;  là điểm biểu diễn hình học của số phức w.

Từ giả thiết z 2 2 i  ta được:1

2 2 1

w i   i   w 2 i 1 x 2  y1i 1x 22y12 1

Suy ra tập hợp những điểm M x y ; 

biểu diễn cho số phức w là đường tròn  C

có tâm

2;1

I bán kính R 1.

Giả sử OI cắt đường tròn  C tại hai điểm ,A B với A nằm trong đoạn thẳng OI

Ta có w OM

Mà OM MI OI   OM MI OA AI    OM OA

Nên w nhỏ nhất bằng OA OI IA   5 1 khi M A.

Cách 2:

Từ z 2 2 i 1 a 22b 22 1

với z a bi a b   ,  

2 sin ; 2 cos

a  x b  x  a 2 sin , x b 2 cosx

Khi đó: z i  2 sinx2 cos x i i   2 sin x21 cos x2  64sinx2 cosx

6 4 2 sin x cos x

     6 2 5   5 1 2  5 1

Nên z i nhỏ nhất bằng 5 1 khi

4cos 2sin 4sin 2cos 2 5









2 5 sin

5 5 cos

5

x x









 









Ta được

z    i

Cách 3:

Sử dụng bất đẳng thức z1  z2 z1z2 z1  z2

 2 2  2  2 2 2 5 1

z i  z  i  i  z  i  i  

Câu 11 [2D4-5.1-3] (Cụm THPT Vũng Tàu) Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z 2 5 i  z i và

1

z  i

nhỏ nhất Tổng phần thực và phần ảo của z bằng

A

16

3 5



11

11 5



Lời giải

Tác giả: Lê Trọng Hiếu ; Fb: Hieu Le

Phản biện: Dương Chiến ; Fb: Dương Chiến

Chọn D

Đặt z x yi x y   ;   Gọi  M x y ; là điểm biểu diễn số phức z

2 5

z  i  z i  x 22y52  x2y12   4x  4 10y 25  2y 1

4x 12y 28 0

      x 3y 7 0 

Ta có: z 1 i  x12y12 MA

với A  1;1.

Để z 1 i nhỏ nhất khi M là hình chiếu của A lên đường thẳng x 3y 7 0

Phương trình đường thẳng qua A vuông góc với x 3y 7 0 là 3x y 2 0

M x y là nghiệm của hệ phương trình

1

10

x

x y

y







  





Vậy tổng phần thực và phần ảo của z bằng

11 5



Câu 12 [2D4-5.1-3] (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2)Gọi S là tập

hợp các số phức thỏa z 3 z3 10 Gọi z z là hai số phức thuộc S có mô đun nhỏ nhất.1; 2 Giá trị biểu thức P z 12z22 là

Lời giải

Tác giả: PhongHuynh ; Fb: PhongHuynh

Chọn D

Gọi M x y ; 

là điểm biểu diễn số phức z, F13;0

và F 2 3;0

lần lượt là hai điểm biểu diễn

số phức 3 0i và 3 0i 

Ta có z 3 z3 10  MF MF1 2 10

Vậy tập hợp điểm M là  E có phương trình:

2 2

1

25 16

Khi đó z , 1 z là hai số phức có mô đun nhỏ nhất khi 2 z , 1 z có điểm biểu diễn là hai đỉnh của2

 E

nằm trên trục tung, suy ra z1 0 4i; z2  0 4i Vậy ta có 2 2  

P z z    

Câu 13 [2D4-5.1-3] (SGD-Nam-Định-2019) Cho số phức z thỏa mãn iz 2i 1 1   Gọi M, mlần

lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z 1 i  Tính M m

A 2 5 B 2 C 6 D 1 5

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Hoàng Kiệt ; Fb: Nguyễn Hoàng Kiệt

Chọn C

Ta có: iz 2i 1 1    z 2 i 1    z 2 i 1    z 1 i   3 1

(1)

Đặt w z 1 i   , từ (1) ta được w 3 1  (2)

Gọi w x yi, x, y     , khi đó (2) trở thành  x 3 2y2  1

Vậy quỹ tích điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I 3;0 , bán kính R 1 .

Khi đó: Mwmax OI R 4  và mwmin OI R  2

Kết luận: M m 6 

Câu 14 [2D4-5.1-3] (SỞ GD & ĐT CÀ MAU) Cho hai số phức z , 1 z2 thay đổi, luôn thỏa mãn

1 1 2 1

z   i  và z2 5  Tìm giá trị nhỏ nhất i 2 P của biểu thức min Pz1 z2

A P  min 2 B P  min 1 C P  min 5 D P  min 3

Lời giải

Tác giả: Phan Thị Tuyết Nhung

Chọn A

Gọi A , B lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z , 1 z Khi đó 2 Pz1 z2 AB

Ta có A thuộc đường tròn  C1

có tâm I11;2

, bán kính R 1 1

và B thuộc đường tròn C2

có tâm I25; 1 

, bán kính R  2 2

 2

2

I I     R R 

nên hai đường tròn  C1

và C2

ở ngoài nhau

Vậy Pmin I I1 2 R1 R2   5 1 2 2

Câu 15 [2D4-5.1-3] (HKII Kim Liên 2017-2018) Cho hai số phức z z thỏa mãn 1, 2 z1   và1 i 1

2 2 1

z  iz Tìm giá trị nhỏ nhất P của biểu thức min P2z1 z2

A P  min 2 2. B P  min 8 2. C P  min 2 2 2. D P  min 4 2 2.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Ngọc Minh ; Fb: Minh Nguyen

Chọn D

Từ z2 2iz1ta được P2z1 z2 2z1 2iz1 2 2i z  1  2 2 i z1 2 2 z1

Gọi M a b ; 

là điểm biểu diễn hình học của số phức z 1

Từ giả thiết z1   ta được 1 i 1 a1  b1i 1 a 12b12 1

Suy ra M thuộc đường tròn  C có tâm I1; 1  bán kính R 1

Ta có P2 2 z1 2 2.OM

nên P đạt giá trị nhỏ nhất khi OM là nhỏ nhất Giả sử OI cắt đường tròn  C

tại hai điểm ,A B với A nằm giữa O và I

Ta có OM MI OI   OM MI OA AI    OM OA (do IM AI R)

Nên OM nhỏ nhất bằng OA khi M A và OM OI R   2 1

Khi đó P min 2 2 2 1   4 2 2

Câu 16 [2D4-5.1-3] (CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ HÒA BÌNH LẦN 4 NĂM 2019) Trong các số

phức z thỏa mãn z2 1 2 z

, gọi z và 1 z lần lượt là các số phức có môđun nhỏ nhất và lớn2 nhất Giá trị của biểu thức

bằng

Lời giải

Tác giả: Khương Duy; Fb: Khuy Dương

Chọn A

Gọi z x yi  x y,  

 

2

2

2 2

2 2

1

2

1 4

2 1 0

1 2

    

   

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là hai đường tròn   C1 ; C2

có tâm và bán kính lần lượt

là I10;1 ; R 1 2 và I20; 1 ;  R2  2

Gọi M N, lần lượt là điểm biểu diễn z và 1 z có môđun nhỏ nhất và lớn nhất nên OM dài nhất2

và ON ngắn nhất.

OM dài nhất

2

1 1

2 2

0; 1 2

0; 1 2

M



ON ngắn nhất

2

1 1

2 2

0; 2 1

0; 2 1

N

 



 

Vậy

1 2 6

Câu 17 [2D4-5.1-3] (Sở Ninh Bình 2019 lần 2) Cho số phức z thỏa mãn z  1 3 Tìm giá trị lớn

nhất của T   z 4 i  z 2 i

A 2 26 B 2 46 C 2 13 D 2 23

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Tân Tiến ; Fb: Nguyễn Tiến

Chọn C

Giả sử z x yi  (với ,x y   ) có điểm biểu diễn là M x y ; .

Ta có z  1 3  x12y2 3

Suy ra tập hợp các điểm M là đường tròn có tâm I  1;0 và bán kính R  3.

Gọi A  4;1

, B2; 1 

Khi đó ta thấy I là trung điểm của đoạn AB

Xét tam giác MAB có có

Do đó T   z 4 i  z 2 i MA MB

Suy ra

2

AB

T  MA MB  MA MB   MI  



2

2

AB

T   R  

Vậy giá trị lớn nhất của T bằng 2 13 khi  

MA MB









Câu 18 [2D4-5.1-3] (Sở Đà Nẵng 2019) Cho số phức z thay đổi thỏa z i 2 Giá trị nhỏ nhất của

biểu thức P  z i 4 2 z3i 3 bằng

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Ngọc Lan Vy

Chọn C

Cách 1:

Đặt z x yi x y ,   Gọi M điểm có tọa độ x y;  biểu diễn cho số phức z

Ta có z i  2 x2y12 4 khi đó điểm M thuộc đường trong tâm I0; 1 , R 2

Ta có: P  z i 4 2 z3i 3  x 42y12 2 x 32y32 MA2MB với

 ; 

M x y

, A4; 1 , B3; 3 

Ta thấy hai điểm A B, nằm ngoài đường tròn và IA 4 2R.

Lấy điểm A sao cho

2

2

R

IA

 

4IA

 

1; 1

A

2

R IA

A

 nằm trong đường tròn

Khi đó:

1 2

IA IM

IM IA



IA M IMA

  ∽

1 2

A M IA

2

Do đó: P MA  2MB  2MA  2MB =2MAMB2A B

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm của đường thẳng A B và đường tròn

Vậy Pmin 2A B 4 2

Cách 2.

Đặt z x yi x y ,  

 2

2

z i   x  y 

Ta có: P  z i 4 2 z3i 3  x 42y12 2 x 32y32

x 42 y 12 3x2 y 12 12 2 x 32 y 32

  với A x 2y12

          2 22  22

4 2 (BĐT Mincopxki) Dấu " "  xảy ra khi và chỉ khi x1  y 3  y1 x3  x y

Thay vào A, ta có: x2  x12 4

,

,











Thay vào biểu thức P ta nhận 1 1

,

Vậy Pmin 4 2

Câu 19 [2D4-5.1-3] (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Cho số phức z thỏa mãn z 2 i  và số phức z1

thỏa mãn điều kiện z 1 2i z 1 Giá trị nhỏ nhất của z z bằng

Lời giải

Tác giả: Vũ Văn Hiến; Fb: Vu Van Hien

Chọn C

*Chú ý: z a bi    z a bi

+ Gọi M N lần lượt là hai điểm biểu diễn số phức , z và z.

+ Ta có: z 2 i 1 MI  với 1 I2;1

Tập hợp điểm biểu diễn điểm M là đường tròn tâm I bán kính bằng R= 1

+ Ta có: z 1 2i z 1  z 1 2i z1 NA NB với A  1; 2

, B1;0

Tập hợp điểm biểu diễn N là đường trung trực của AB có phương trình: :D x y- + = 1 0

+ Ta có hình vẽ biểu diễn M , N trên cùng hệ trục tọa độ Oxy như sau:

x

y

-1

2

A

O

I

1

B

+ Ta có z z được biểu diễn hình học là MN, từ hình vẽ ta thấy, MNmin khi và chỉ khi

M º H và min  

2 1 1

2

Câu 20 [2D4-5.1-3] (TTHT Lần 4) Cho số phức z thỏa mãn z m22m với 5 mlà số thực Biết

rằng tập hợp điểm biểu diễn của số phức w3 4 i z  2i

là đường tròn Tìm bán kính R nhỏ

nhất của đường tròn đó

Lời giải

Tác giả: Trịnh Tuấn Anh; Fb: Tuấn Anh Trịnh.

Chọn D