Dang 1. Phương pháp hình học(VDC)

Phân tích : Kiến thức cần nắm vững :  Quỹ tích điểm biểu diễn số phức..  Modun số phức  Bài toán liên quan tâm tỉ cự trong hình học..  Sai sót dễ gặp, không để ý đường tròn C đi qua

Câu 1 [2D4-5.1-4] (ĐH Vinh Lần 1) Giả sửz z1 , 2là hai trong các số phức thỏa mãnz 6 8  zi

là

số thực Biết rằng z1 z2  , giá trị nhỏ nhất của 4 z13z2

bằng

Lời giải Chọn C

Giả sử z x yi, ,x y   Gọi , A B lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z z1 , 2 Suy ra

* Ta có z 6 8  zi x 6yi   8  y xi 8x6y 48 x2y2 6x 8y i

Theo giả thiết z 6 8  zi

là số thực nên ta suy ra x2y2 6x 8y Tức là các điểm0 ,

A B thuộc đường tròn  C tâm I3; 4, bán kính R 5.

* Xét điểm M thuộc đoạn AB thỏa     MA                        3MB                  0                          OA               3OB 4OM

.Gọi Hlà trung điểm

AB Ta tính đượcHI2 R2 HB2 21;IM  HI2HM2  22, suy ra điểm M thuộc

đường tròn  C tâm I3; 4, bán kính r  22.

* Ta có z13z2 OA  3OB4OM 4OM

, do đó z13z2

nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất

Ta có OMmin OM0 OI r  5 22

Vậy z13z2 min 4OM0 20 4 22

Phân tích : Kiến thức cần nắm vững :

 Quỹ tích điểm biểu diễn số phức

 Modun số phức

 Bài toán liên quan tâm tỉ cự trong hình học

 Sai sót dễ gặp, không để ý đường tròn C đi qua gốc tọa độ

Câu 2 [2D4-5.1-4] (ĐH Vinh Lần 1) Giả sửz z1 , 2là hai trong các số phức thỏa mãn z1 z 2i

là một số thuần ảo Biết rằng z1 z2  , giá trị nhỏ nhất của 2 z15z2

bằng

A. 13 5 B.3 5 13 C 3 5 2 13 D.5 22

Lời giải Chọn B

Đặt z x yi x y   ;   z1 z 2i x2y2 x 2y 2x y 2 i

Theo giả thiết z1 z 2i

là số thuần ảo, suy ra

2

2

 tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn  C1

tâm

1

; 1 2

I   

5 2

R 

Giả sử z x yi, ,x y   Gọi , A B lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z z1 , 2 Suy ra

Gọi M là điểm thỏa mãn          MA                   5MB               0                           OA              5OB6OM

Gọi H là trung điểm AB ta có

2

1 4 13 36

IH







Vậy tập hợp điểm M là đường tròn C2

tâm

1

; 1 2

I  

13 6

r 

Ta có z15z2 OA5OB 6OM 6OM

Do  C1

,C2

là hai đường tròn đồng tâm và OC1

Từ đó suy ra

Min Min

Câu 3 [2D4-5.1-4] (ĐH Vinh Lần 1) Giả sử z z là hai trong số các số phức z thỏa mãn1, 2

và z1 z2 2 Giá trị lớn nhất của z1  z2 bằng

Lời giải Chọn A

Ta có iz 2 i 1 i z i 2 1 1

 z 1 i 2 1

Điểm biểu diễn z thuộc đường tròn tâm I1; 2

, 1R Gọi M, N là điểm biểu diễn z ,1 z nên 2 MN2 là đường kính Dựng hình bình hành

OMPN ta có z1z2 OP2 3

Ta có  2  2 2

z  z  z z 16  z1  z2 4 Dấu bằng xảy ra khi z1 z 2 MNOI(OMPN là hình thoi)

Câu 4 [2D4-5.1-4] (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Cho các số phức z w, thỏa

mãn

3 5 5

w i 

và

5 2 4

w

i

z   Giá trị lớn nhất của biểu thức P  z 1 2i  z 5 2 i bằng

A 52 55 B 2 53 C

29

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thanh Giang; Fb: Thanh Giang

Chọn B

Từ giả thiết

5 2 4

w

i

z   , ta có 5w2i z   4

5

Suy ra điểm M x y ; 

biểu diễn cho số phức zsẽ thuộc đường tròn   C : x 32  y22 9

Ta có: P MA MB  , với A1;2 , B5;2

Gọi H là trung điểm của AB, ta có H3;2

Khi đó:

Mặt khác: MH KH với mọi điểm M C

, nên

 2

Vậy Pmax 2 53 khi

MA MB









 hay z 3 5i và

3 11

Câu 5 [2D4-5.1-4] (Cầu Giấy Hà Nội 2019 Lần 1) Cho số phức z thay đổi thỏa mãn

Giá trị lớn nhất của biểu thức P  z 1 z1 z 3i

bằng

A

4

8

16

32

3

Lời giải

Tác giả: Phi Trường ; Fb: Đỗ Phi Trường

Chọn B

Gọi M là điểm biểu diễn của z, A  1;0

, B1;0

, C0; 3

Khi đó

 

2

:

  có tâm

3 0;

3

I 

 , bán kính

2 3

R 

và A , B , C C

,

ABC

 là tam giác đều

Ta có: P  z 1 z1 z 3i MA MB MC 

Giả sử M thuộc cung nhỏ AB Lấy E MC sao cho MEMA

Vì AMCABC60 nên AME là tam giác đều

Do đó: P  z 1 z1 z 3i MA MB MC  ME EC MC  2MC

Max

P  MC có độ dài lớn nhất  MC là đường kính của đường tròn  C ( hay M là điểm

chính giữa cung nhỏ AB ).

8

3

Max

Tương tự M thuộc cung nhỏ BC , AC thì

8 3

Max

lần lượt là điểm chính giữa cung nhỏ BC , AC

Vậy

8 3

Max

Câu 6 [2D4-5.1-4] (Hàm Rồng ) Cho số phức z z z thỏa mãn , ,1 2 z1 4 5 i z2 1 1 và

Tính z1 z2

khi P z z1  z z 2

đạt giá trị nhỏ nhất

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Thị Nga:; Fb:Con Meo

Chọn A

*) Gọi z a bi z  , 1a1b i z1, 2 a b i2 2 Từ giả thiết, ta có:

+ z1 4 5 i  1 a1 42b1 52  1  Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn1

 C1 tâm I 1 4;5 , bán kính R  1

+ z2 1 1  a2 12b22 1

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn 2 C2tâm

 

I  , bán kính R  1

+ z4i  z 8 4 i a24 b2a 82b42  a b 4 Tập hợp điểm biểu diễn số

phức z là một đường thẳng  d :x y  4

*) Ta cần tìm z z z để , ,1 2 P z z1  z z 2

đạt GTLN tức là ta cần tìm A C1 ,BC2

để

AM BM nhỏ nhất với Md Ta có:

+ Đường thẳng d đi qua , I 2 1;0

và vuông góc với d  PT d x y,:   1

2 2

  + Gọi ,  ,

lần lượt đối xứng với I2;( )C qua đường thẳng 2 d Ta có:

,

và  C2, :x 42y32 1

,

1 2

I I

 cắt ( )d tại M4;0  z4.

,

1 2

I I

 cắt  C1 tại hai điểm A14;4 ; A24,6  z1 4 4i thỏa mãn bài toán

2

MI cắt C2tại hai điểm O0;0 ; B2;0  z2  thỏa mãn bài toán.2

Vậy:

Câu 7 [2D4-5.1-4] (Sở Hà Nam) Cho số phức z a bi  với ,a b là hai số thực thỏa mãn 2 1 a b

Tính z khi biểu thức z 1 4i  z 2 5 i đạt giá trị nhỏ nhất

A

1

1

2

5

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Thanh Huyền; Fb: Huyền Kem

Chọn C

Gọi M a b , 

là điểm biểu diễn số phức z Theo đề bài có M  :x 2y  1 0

Để z 1 4i  z 2 5 i đạt giá trị nhỏ nhất thìMA MB đạt giá trị nhỏ nhất với A   1; 4

và B2;5

Vì ,A B nằm khác phía với  nên MA MB đạt giá trị nhỏ nhất khi M A B thẳng, , hàng

Ta có phương trình đường thẳng AB: 3x y  1

Suy ra tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:

1

5

x

x y

y









Vậy

Câu 8 [2D4-5.1-4] (THPT SỐ 1 TƯ NGHĨA LẦN 2 NĂM 2019) Cho hai số phức z z thỏa mãn1, 2

z   i  và z2 1 i z2 5 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức i Pz2 1 i  z2 z1 bằng

A 2 5 1 B 10 1 C 10 1 D 3

Lời giải

Tác giả: Hoàng Ngọc Quang; Fb:Hoàng Ngọc Quang

Chọn ?

Gọi M z ,  1 N z 2 lần lượt là điểm biểu diễn số phức z và 1 z 2

Từ điều kiện z1 1 3i 1

Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I1;3, bán kính R 1

Từ điều kiện z2 1 i z2 5 i NANB

, với A1;1 , B5; 1  

Tập hợp điểm N là đường trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình  d : 3x y 6 0

Ta có Pz2 1 i  z2 z1 NEMN

, với E 1;1

M

d

F

I

E

Dễ thấy điểm E và đường tròn I R nằm hoàn toàn cùng phía so với đường thẳng ;  d

Gọi F là điểm đối xứng củaE qua d

17 1

;

5 5

 

Ta có

2 85

1 5

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 4 điểm , , ,F N M I thẳng hàng.

Vậy

2 85

5

ntnghia.c3hq@yenbai.edu.vn

Câu 9 [2D4-5.1-4] (THPT ĐÔ LƯƠNG 3 LẦN 2) Cho số phức số z thỏa mãn

Giá trị nhỏ nhất của z   đạt được khi z a bi2 i   với a b, là các số thực dương Giá trị của 2a2b2 là

Lời giải

Tác giả:Thái Lê Minh Lý ; Fb:Lý Thái Lê Minh

Chọn B

Gọi z x yi  ; x y  , 

Điểm M x y ; 

biểu diễn số phức z Theo giả thiết

z  i    z i

x 12 y 32 x 52 y 12 2 65 1 

 Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z nằm trên đường elip  E có tiêu điểm F11; 3 

và

Mà z  2 i x22y12 MA

, với A  2; 1 

là trung điểm của F F 1 2

Do đó MA   nhỏ nhất khi z 2 i M   E

; với  đi qua A là  F F1 2và M có tọa độ

dương Ta có F F1 2   6; 4 n   3;2

Phương trình  là

4 3

2

x

Thay vào  1

6

x

x





 + Với x6 y7 (loại)

+ Với x 2 y 5 M2;5 a2;b 5 2a2b2 33

Câu 10 [2D4-5.1-4] (THĂNG LONG HN LẦN 2 NĂM 2019) Cho số thực a thay đổi và số phức z

thỏa mãn 2 1 1 ( 2 )

a





 Trên mặt phẳng tọa độ, gọi M là điểm biểu diễn số phức z

Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm M và ( 3; 4) I  (khi a thay đổi) là

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Quang Huy ; Fb: quanghuyspt

Chọn C

2



 M thuộc đường tròn ( ) :C x2y2  1 bán kính R  Vì ( 3;4)1 I  nằm ngoài ( )C nên để

khoảng cách d giữa hai điểm M và ( 3; 4) I  nhỏ nhất thì dmin IO R   5 1 4 

Câu 11 [2D4-5.1-4] (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4)Cho hai số phức

z và   a bi a b ,   thỏa mãn:  z 5  z 5 6; 5a 4b 20 0 Giá trị nhỏ nhất của z  là

A

3

5

4

3

41.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Oanh; Fb: Tu Nguyen

Chọn A

Gọi M a b ;  là điểm biểu diễn cho số phức , từ điều kiện: 5a 4b 20 0 , suy ra M thuộc đường thẳng  d : 5x 4y 20 0

Giả sử N x y ; là điểm biểu diễn cho số phức z, ta có:

 NA NB  , với 6 A 5 ;0 , B 5 ;0

, AB 2 5 6

Suy ra N thuộc Elip có phương trình  E

:

1

Gọi   là tiếp tuyến của  E và   song song với  d

+   song song với  d suy ra phương trình   có dạng : 5 4x y C  0

+   tiếp xúc với  E  9.25 4.16 C  2  C2 289 C 17

(áp dụng điều kiện tiếp xúc của đường thẳng với  E

là: a A2 2b B2 2 C2) + Các tiếp tuyến của  E và song song với  d là   : 5 4 17 01 x y  hoặc

2

: 5x 4y17 0

Ta có: z  MN , với điểm M thuộc đường thẳng  d và điểm N thuộc  E .

17 20 3 ,

41

5 4

Câu 12 [2D4-5.1-4] (Sở Vĩnh Phúc) Cho số phức zthỏa mãn z 2 3 i  Giá trị lớn nhất của1

1

z i

là

A 4 B 6 C 13 1 D 13 2

Lời giải

Tác giả :Trần Thị Phượng Uyên, FB: UyenTran

Chọn C

Cách 1:

Gọi z x yi  , với x y  ,

Ta có z 2 3 i x yi   2 3 i x  2y 3i

Theo giả thiết z 2 3 i 1 x 22y 32 1 nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm trên đường tròn ( )C tâm I2;3, bán kính R 1

   2  2

z   i x yi    i x  y i  x  y

Gọi M x y ;  và H  1;1 thì HM  x12y 12

Do M chạy trên đường tròn ( )C , H cố định và H nằm ngoài đường tròn ( )C nên MHlớn

nhất khi M là giao của HI với đường tròn ( )C sao cho I nằm giữa H và M.

Phương trình

2 3 :

3 2

HI

 





 



Giao của HI với đường tròn ứng với t thỏa mãn:

13

t  t   t

Suy ra

Với

Với

, ta có MH 1,92 Vậy GTLN của z 1 i

= 13 1

Cách 2:

Gọi z x yi  , với x y  ,

Ta có z 2 3 i x yi   2 3 i x  2y 3i

Theo giả thiết z 2 3 i 1 x 22y 32 1 nên điểm M biểu diễn cho số phức z

nằm trên đường tròn ( )C tâm I2;3, bán kính R 1.

   2  2

z   i x yi    i x  y i  x  y

Gọi M x y ;  và H  1;1 thì HM  x12y 12

Do HI  13 1 R nên H nằm ngoài đường tròn ( )C .

Tia HI luôn cắt ( )C tại hai điểm phân biệt M M1; 2 trong đó M1 nằm trên đoạn HI và M2

nằm ngoài đoạn HI

Với điểm M bất kỳ thuộc ( )C ta có:





2 2 2 cos

2

Dấu “ ” xảy ra khi M M2

Câu 13 [2D4-5.1-4] (Đặng Thành Nam Đề 6) Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z thoả mãn

z  

và z 1 mi  z m2 i Gọi z z là hai số phức thuộc 1, 2  S

sao cho z1 z2 nhỏ nhất, giá trị của z1z2

bằng

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Vượng; Fb: Nguyen Vuong

Chọn D

Đặt z x yi  theo giả thiết có:

1 34

z

  









Ta có  1

là đường tròn  C

có tâm I(1;0),R  34;  2

là đường thẳng 

Vì vậy có tối đa 2 số phức z z thoả mãn hệ phương trình đã cho, gọi 1, 2 A z 1 ,B z 2 ta có

Ta có

max

m

Khi đó

3 2

3 0







Câu 14 [2D4-5.1-4] (CHUYÊN HUỲNH MẪN ĐẠT 2019 lần 1) Cho số phức z z thỏa mãn1, 2

Tìm giá trị lớn nhất của z1 z2

A 5 2 B 11 2 C. 12 2 D. 16 2.

Lời giải

Gọi M , A2; 2 

và B  2;2

lần lượt là các điểm biểu diễn cho số phức z , 2 21 z  i và

2 2

z   i

Khi đó theo đề bài ta có : MA MB 10 2 và AB 4 2 10 2 Vì A , B là các điểm cố định nên quỹ tích các điểm M thõa mãn các điều kiện trên là elip E

có độ dài trục lớn

2a 10 2, 2 tiêu điểm là A , B

Mặt khác N là điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn 2 z2  6 6 i  2 là đường tròn  C

tâm I6; 6 

, bán kính R  2.

Dễ thấy B , A , I nằm trên đường thẳng yx

Xét điểm P nằm trong đoạn BI thỏa mãn IP 2 P5; 5 

Khi đó

 

   

C











tiếp xúc nhau tại P

Do đó MN lớn nhất khi : MN 2a2R MP PN  10 2 2 2 12 2  , lúc đó : M P là ,

các đỉnh trên trục lớn  E

, N là điểm đối xứng của P qua I

Câu 15 [2D4-5.1-4] (Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội) Cho các số phức z, z , 1 z thay đổi thỏa mãn các2

điều kiện sau: iz2i4  ; phần thực của 3 z bằng 2 ; phần ảo của 1 z bằng 1 Tìm giá trị nhỏ2 nhất của biểu thức

T  z z  z z

Lời giải

Tác giả: Ngô Trang; Fb: Trang Ngô

Chọn D

2 4 3

2i 4 3

i z

i



   i z  2 4i  3  z 2 4i  3

Gọi M là điểm biểu diễn số phức zvà I  2;4

Ta có: z 2 4i 3 MI3 Mthuộc đường tròn  C

tâm I , bán kính R 3

Gọi A , B là điểm biểu diễn số phức z , 1 z Ta có: 2 T  z z12 z z 2 2 MA2MB2.

Vì phần thực của z bằng 2 nên A thuộc đường thẳng 1 x 2

Vì phần ảo của z bằng 1 nên B thuộc đường thẳng 2 y  1

Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của M trên đường thẳng x 2 và y  1

Ta có: T MA2MB2 MH2HA2MK2KB2 MH2MK2 (1)

Gọi E2;1

Tứ giác MHEK là hình chữ nhật  MH2MK2 ME2 (2)

Gọi M là giao điểm của đường thẳng IE với đường tròn 0  C

(M ở giữa ,IE ) (như hình vẽ).0

Ta có: ME M E 0 M C

(3)

Từ (1), (2), (3) suy ra T M E0 2

Ta có: M E IE IM0   0  5 3 2 Suy ra T 4

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi H A , K B và M M0 hay M M0 và A , B lần lượt là hình chiếu của M trên đường thẳng x 2 và y  1

Vậy T đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4.

Cách 2

2 4 3

2 4

3

i

i z

i



   i z  2 4i  3  z 2 4i  3

Gọi z x yi  x y  , 

Ta có: x22y 42 9 x2y2 4x8y11 (*)

Gọi z1  2 ai,z2   b i a b , 

T  z z  z z x 22 y a 2x b 2y12x 22y12

(1) Đặt Ax 22y12 8x6y 6

(theo (*))

8 x 2 6 y 4 34

Ta có: 8x26y 42 8262x22y 42

A 342 100.9

(theo (*))

Suy ra A  (2).4

Từ (1) và (2) suy ra T  4

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

y a

x b



















2 5 11 5

x b

y a



 



 

  



Vậy T đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4.

Câu 16 [2D4-5.1-4] (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) Cho số phức

z thỏa mãn z 1 Tính giá trị lớn nhất của biểu thức T   z 1 2 z1

A

maxT 3 2 B maxT 2 10 C maxT 2 5 D maxT 3 5

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Thu Dung ; Fb: Dung Nguyen

Chọn C

Giả sử z x y i  ( ,x y   ).

Số phức z được biểu diễn bởi điểm M x y trên mặt phẳng tọa độ ( ; ) Oxy

Theo bài ra: z 1 x2 y2  Do đó điểm ( ; )1 M x y luôn thuộc đường tròn ( ) :C x2y2 1 Xét T   z 1 2z1  x12y2 2 x12y2 MA2MB với ( 1;0)A  , (1;0).B Nhận thấy A( 1;0); (1;0) B  C

và AB là đường kính của đường tròn ( ;1).O

Ta có: T2 MA2MB25 MA 2MB2 5AB2 20

T

Câu 17 [2D4-5.1-4] (CổLoa Hà Nội) Gọi z , 1 z , 2 z là ba số phức thỏa mãn điều kiện3

, z2 3  z2 3i 3 2

, z3 1 z3 3  Đặt m là giá trị nhỏ nhất4 của biểu thức z1 z2  z2 z3  z3 z1

Khẳng định nào sau đây đúng?

A m 4;5

B m 5;6

C m 6;7

D m 7;8

Lời giải