Dang 2. Biểu diễn hình học cơ bản của số phức(VDT

Gọi P là tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng tọa độ.. Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Phượng ; Fb: Nguyễn Thị Phượng Chọn A... Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một

Câu 1 [2D4-1.2-3] (Chuyên Vinh Lần 2) Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên m sao cho tồn tại 2

số phức phân biệt z z1, 2 thỏa mãn đồng thời các phương trình z − = − 1 z i và z + 2 m m = + 1 Tổng tất cả các phần tử của S là

Lời giải

Tác giả: Phạm Thanh My ; Fb: Thanh My Phạm

Chọn D

Ta có z + 2 m m = + ≥ 1 0

Trường hợp 1: m + = ⇒ + 1 0 z 2 m = ⇒ = − = 0 z 2 m 2 (có một giá trị nên không thỏa mãn).

Trường hợp 2: m + > 1 0

Đặt z x yi = +

Ta có

( ) ( )2 2 ( ) ( )2

0 1 1

x y

 − =

 − = −

Xét trong hệ tọa độ Oxy, (1) là phương trình đường thẳng d x y : − = 0, (2) là phương trình đường tròn ( ) C tâm I ( − 2 ;0 m ) , bán kính R m = + 1

Yêu cầu bài toán xảy ra khi và chỉ khi hệ phương trình (1), (2) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng d cắt đường tròn ( ) C tại hai điểm phân biệt

2

m

⇔ − − < ⇔ − < < +

Kết hợp với m + > 1 0 và m ∈ ⇒ ∈ = ¢ m S { 0;1;2 }

Vậy tổng các phần tử của tập S bằng 3

Câu 2 [2D4-1.2-3] (Chuyên Vinh Lần 2) Gọi S là tập hợp tất cả các số m sao cho tồn tại đúng một

số phức z thỏa mãn đồng thời các phương trình z + + = + 2 i z 1 và

2

2 z − + = − + 3 2 i m 5 m 9 Tích tất cả các phần tử của S là

A.

Lời giải

Tác giả: Phạm Thanh My ; Fb: Thanh My Phạm

Chọn A

Ta có m2 − + > 5 m 9 0 luôn đúng với mọi m

Đặt z x yi = +

Ta có

( ) ( ) (2 )2 ( 2 )2 ( ) 2

2 0 1

1

2

x y

+ + =



 + + = +

− + = − +

Xét trong hệ tọa độ Oxy, (1) là phương trình đường thẳng d x y : + + = 2 0, (2) là phương trình đường tròn ( ) C tâm I ( ) 3; 2 − , bán kính 1 ( 2 )

2

Yêu cầu bài toán xảy ra khi và chỉ khi hệ phương trình (1), (2) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn ( ) C

3

m

m

=



{ } 2;3

S

⇒ =

Vậy tích các phần tử của tập S bằng 6

Câu 3 [2D4-1.2-3] (Chuyên Vinh Lần 2) Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên m sao cho tồn tại 2

số phức phân biệt z z1, 2 thỏa mãn đồng thời các phương trình ( 3 4 + i z ) + = 25 20 và

2 5

z m i + + = Số các phần tử của S là

Lời giải

Tác giả: Phạm Thanh My ; Fb: Thanh My Phạm

Chọn D

Ta có ( 3 4 + i z ) + = ⇔ + − = 25 10 z 3 4 i 2 (1)

⇒ tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) là đường tròn tâm I ( ) − 3;4 , bán kính 2

R =

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z m i + + = 2 5 (2) là đường tròn tâm

J m − − , bán kính R = 5

Yêu cầu bài toán xảy ra khi hai đường tròn ( ) ( ) I ;2 , ;5 J cắt nhau tại hai điểm phân biệt

⇔ < < ⇔ < − + < ⇔ − <

13 m 3 13 3 13 m 3 13

⇔ − < − < ⇔ − < < +

mà m ∈ ⇒ ∈ = ¢ m S { 0;1;2;3;4;5;6 }

⇒ số các phần từ của S là 7

Câu 4 [2D4-1.2-3] (Trần Đại Nghĩa) Trên mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa

mãn z + − ( 2 3 i ) = 2 là đường tròn có phương trình nào sau đây?

A x y2+ − − + =2 4 6 9 0 x y B x y2+ − + + =2 4 6 11 0 x y

C x y2+ − − + =2 4 6 11 0 x y D x y2+ + − + =2 4 6 9 0 x y

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Rin; Fb: Nguyễn Văn Rin

Chọn D

Gọi z x yi x y = + , ( ∈ ¡ ) .

z + − i = ⇔ x + + − y i = ⇔ x + + − y =

Câu 5 [2D4-1.2-3] (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Tìm số phức z biết rằng

điểm biểu diễn của z nằm trên đường tròn có tâm O, bán kính bằng 5 và nằm trên đường thẳng

: 2 5 0

d x y − + =

A z = − 3 4 i B z = + 3 4 i C z = + 4 3 i D z = − 4 3 i

Lời giải

Tác giả: Phạm Thị Thu Trang; Fb: Trang Phạm

Chọn A

Giả sử z x yi x y = + , , ∈ ¡ Khi đó ,x y là nghiệm của hệ pt: 2 2

4 25

y

x y

 + =  = 

Suy ra: z = + 3 4 i

Câu 6 [2D4-1.2-3] (Đặng Thành Nam Đề 14) Cho số thực ,x y thỏa mãn

( 2 x yi + + − ) ( 3 2 i x y ) ( + = ) 1, với i là đơn vị ảo là

A x = 1, y = − 2 B x = 2, y = − 1 C x = − = 1, y 2 D x = − 2, y = 1

Lời giải

Tác giả: Đỗ Thủy ; Fb: Đỗ Thủy

Chọn C

( 2 ) ( 3 2 ) ( ) 1 5 3 1 2 ( ) 0 5 ( 3 ) 1 0 1

+ − =





Câu 7 [2D4-1.2-3] (KIM LIÊN HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 03) Cho số phức

z m = + + m m − − i với m ∈ ¡ Gọi ( ) P là tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng tọa độ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( ) P và trục hoành bằng

A

125

17

55

6

Lời giải

Tác giả: Trần Kim Nhung; Fb: Nhung trần thị Kim

Chọn A

Gọi M x y ( ) ; ( ;x y ∈ ¡ ) là điểm biểu diễn số phức z Từ bài ra ta có:

3 6

x m

y m m

= +



 = − −

7 6

y x x

= −



= − +

= − − − −



Vậy ( ) P là một Parabol có phương trình:y x = − +2 7 6 x

Hoành độ giao điểm của( ) P và trục hoành là nghiệm của phương trình:

6

x

x

=



− + = ⇔  = 

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( ) P và trục hoành bằng:

6 2 1

125

6

S = ∫ x − + x dx = (đvdt).

Câu 8 [2D4-1.2-3] (Chuyên Thái Nguyên) Cho các số phức z thỏa mãn z + = 1 2 Biết rằng tập hợp

các điểm biểu diễn các số phức w = + ( 1 i 8 ) z i + là một đường tròn Bán kính r của đường tròn đó là

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Mộng ; Fb: Nguyễn Văn Mộng

Chọn C

Gọi w x yi x y = + , ( ∈ ¡ )

Theo đề bài ta có:

( 1 8 ) ( 1 8 ) ( 1 8 ) ( ) 1 ( 1 8 )

w = + i z i + ⇔ − = + w i i z ⇔ − = + w i i z + − + i

2

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phứcw = + ( 1 i 8 ) z i + là một đường tròn có bán kính r = 6.

Câu 9 [2D4-1.2-3] (Sở Thanh Hóa 2019) Gọi z1,z2 là hai trong các số phức thỏa mãn z − + = 1 2 i 5

và z z1− =2 8 Tìm mô đun của số phức w z z = + − +1 2 2 4 i

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Phượng ; Fb: Nguyễn Thị Phượng

Chọn A

Gọi A B , lần lượt là điểm biểu diễn số phức z1,z2 Gọi E là trung điểm của AB.

Do z − + = 1 2 i 5 nên A B , thuộc đường tròn tâm I ( ) 1; 2 − , bán kính R = 5 Gọi C là điểm biểu diễn số phức w ta có OC OA OB OI uuur uuur uuur uur = + − 2 = 2 OE OI uuur uur − 2 = 2 uur IE

w = IE = IB − EB = − = .

Câu 10 [2D4-1.2-3] (Đặng Thành Nam Đề 6) Cho số phức z thoả mãn z − ≤ 1 1 và z z − có phần ảo

không âm Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một miền phẳng Tính diện tích S của miền phẳng này

1 2

S = π . D S = 1

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Trang; Fb: Trang Nguyen

Chọn C

Đặt z x yi x y = + ( , ∈ ¡ )theo giả thiết ta có z z x yi − = + − − = ( ) ( x yi ) 2 yi và

( )2 2

 + − ≤  − + ≤

≥



Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức zlà nửa hình tròn tâm I (1;0), R = 1

Vì vậy

2

.

R

Câu 11 [2D4-1.2-3] (Đặng Thành Nam Đề 14) Cho số phức z m m m i = + ( 3− ) ,với mlà tham số thực

thay đổi Tập hơp tất cả các điểm biểu diễn số phức zlà đường cong ( ) C Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( ) C và trục hoành

A

1

1

3

3

2

Lời giải

Tác giả:Huỳnh Minh Khánh ; Fb:Huỳnh Khánh

Chọn A

Đặt z x yi x y = + ( , ∈ ¡ )

Ta có: z m m m i = + ( 3− ) ⇔ + = + x yi m m m i ( 3− ) 3

x m

y m m

=



⇔  = −

 ⇒ = − y x x3 Vậy tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z là đường cong ( ) C có dạng: y x x = −3

Phương trình hoành độ giao điểm: x x3− = 0

0 1 1

x x x

=





⇔  =

 = −

Diện tích phẳng giới hạn bởi đường cong ( ) C và trục hoành:

1 1 1

4 4 2

S x x dx x x

−

= ∫ − − ∫ − = + =

Câu 12 [2D4-1.2-3] (TTHT Lần 4) Phần gạch trong hình vẽ dưới là hình biểu diễn của tập các số phức

thỏa mãn điều kiện nào sau đây?

A 6 ≤ ≤ z 8 B 2 ≤ + + ≤ z 4 4 4 i C 2 ≤ − − ≤ z 4 4 4 i D 4 ≤ − − ≤ z 4 4 16 i .

Lời giải

Tác giả: Trần Thị Thanh Thủy; Fb: Song tử mắt nâu

Chọn C

Dễ thấy điểm I ( ) 4;4 là tâm của hai đường tròn.

Đường tròn nhỏ có phương trình là: ( ) (2 )2

x − + − y = .

Đường tròn to có phương trình là: ( ) (2 )2

x − + − y = .

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn đề bài là 2 ≤ − − ≤ z 4 4 4 i .

Câu 13 [2D4-1.2-3] (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG

NGÃI) Xét số phức z thỏa mãn

2

z

z i

+ + là số thuần ảo Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn của

số phức z là một đường tròn, tâm I của đường tròn có tọa độ là

A

3 1;

2

1 1;

2

I  − − 

  C I ( ) 2;1 . D I  1 2 ;1 

 

Lời giải

Tác giả: Lê Thị Huệ ; Fb: lê huệ

Chọn B

Đặt z x yi = + , với x, y ∈ ¡

Ta có

( )

2

z x yi

+ +

i

+ + + −   + + −   + + + + +

Số phức

2

z

z i

+ + là số thuần ảo

2 2

2

0

+ + +

+ +

⇔ + + + = ⇔ + + +  ÷ =

Vậy tâm

1 1;

2

I  − − 

Câu 14 [2D4-1.2-3] (SỞ BÌNH THUẬN 2019) Gọi z z1, 2 là hai trong các số phức z thỏa mãn

3 5 5

z − + = i và z z1− =2 6 Tìm môđun của số phức ω = + − + z z1 2 6 10 i

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Trà My ; Fb: Nguyễn My

Phản biện:Trần Đức Phương; Fb: Phuong Tran Duc

Chọn D

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z − + = 3 5 5 i là đường tròn ( ) C tâm I ( ) 3; 5 −

bán kính R = 5

Gọi M N , lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z z1, 2 suy ra M N , nằm trên đường tròn ( ) C .

Gọi H là trung điểm của MN suy ra IH MN ⊥

Do z z1− = ⇒2 6 MN = ⇒ 6 MH NH = = ⇒ 3 IH = IM2− MH2 = 4

IM IN IH IH

ω

ω

= + − + = − − + − −

⇒ = uuur uur + = uuur = =

Câu 15 [2D4-1.2-3] (Lương Thế Vinh Đồng Nai) Cho số phức z thỏa mãn z + + − = 2 z 2 4 Tập

hợp điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng tọa độ là

Lời giải

Tác giả: Vũ Ngọc Tân ; Fb: Vũ Ngọc Tân.

Phản biện: Đỗ Hữu Nhân ; Fb: Do Huu Nhan.

Chọn C

Gọi M x y ( ) ; là điểm biểu diễn số phức z x yi = +

Xét hai điểm F1( − 2;0 ) , F2( ) 2;0 , khi đó theo giả thiết:

1 2

z + + − = ⇔ z x + + + y x − + = ⇔ y MF MF + = .

Mà F F1 2 = 4, nên MF MF F F1+ 2 = 1 2

Do đó tập hợp các điểm biểu diễn của z chính là đoạn thẳng F F1 2.

Câu 16 [2D4-1.2-3] (THANH CHƯƠNG 1 NGHỆ AN 2019 LẦN 3) Cho số phức z thỏa mãn

z − + + − ≥ z z z và số phức w = − ( z 2 i zi )( + − 2 4 i) có phần ảo là số thực không dương.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hình phẳng ( ) H là tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z Diện tích hình ( ) H gần nhất với số nào sau đây?

Lời giải

Tác giả: Lục Minh Tân; Fb: Lục Minh Tân

Chọn C

Gọi M x y ( ) ; là điểm biểu diễn của số phức z x iy x = + ( 2 + > y2 0 )

Ta có: z − + + − ≥ ⇔ − + 4 z z z 4 2 x 4 2 y ≥ ⇔ − + ≥ 4 x 2 y 2

*

( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) )

( )

Theo giả thiết, ta có: x x ( ) − + − ≤ ⇔ + − − ≤ 4 y2 4 0 x y2 2 4 4 0 x

Vậy tập hợp điểm biểu diễn của số phức z thỏa: 2 2

4 4 0

 − + ≥



 + − − ≤

 có miền là hình vẽ dưới đây:

Hình phẳng ( ) H là phần không gian nằm bên ngoài hình vuông cạnh bằng 2 và nằm bên trong hình tròn ( ) C có tâm I ( ) 2;0 và bán kính R = + = 4 4 2 2

Diện tích hình ( ) H là ( )2

2 2 2 2 2 4 8 4 21.13

S = π − = π R − = π − ;

Câu 17 [2D4-1.2-3] (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Xét các số phức z thỏa mãn ( z + 2 i z ) ( ) + 2

là số thuần ảo Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = + ( ) 1 i z + 2019 2019 − i là một

đường tròn, bán kính đường tròn là

Lời giải

Tác giả: Nghiêm Phương ; Fb: nghiêm Phương

Chọn A

Gọi số phức z a bi = + , ( a b , ∈ ¡ ) .

Ta có:

( z + 2 i z ) ( ) + = + + 2   a b ( 2 ) ( i     a + − 2 ) bi   =   a a ( + + 2 ) ( b b + 2 ) (     + a + 2 ) ( b + − 2 ) ab i   .

( z + 2 i z ) ( ) + 2 là số thuần ảo nên ( ) ( ) ( ) ( )2 2

Gọi số phức w x yi x y = + , , ( ∈ ¡ ) .

Ta có x yi + = + ( ) 1 i z + 2019 2019 − i = + ( ) ( 1 i a bi + ) + 2019 2019 − i

2019 2019

x a b

y a b

= − +



⇔  = + −



2 2.2019 2

x y a

y x b

+

 =



 =

Khi đó ( ) ( )2 2

2.2019

2 2 4038 4042 8160789 0

Vậy, tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn có bán kính

2 2

2019 2021 8160789 2

Câu 18 [2D4-1.2-3] (ĐOÀN THƯỢNG-HẢI DƯƠNG LẦN 2 NĂM 2019) Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy gọi hình ( ) H là tập hợp các điểm biểu diễn số phức

z thỏa mãn điều kiện

1 0

x y

+ − ≤



 + + ≥

 Tính diện tích ( ) S của hình phẳng ( ) H

1 4

2

Lời giải

Tác giả: Đỗ Trang; Fb: Trang Đỗ

Chọn D

Gọi z x yi x y = + ( , ∈ ¡ ; i2 = − 1) Theo đề bài, ta có:

| z + − ≤ 2 | 2 i ⇔ + + − ≤ | x yi 2 | 2 i ⇔ + + − ≤ | ( ) ( ) x 2 y 1 | 2 i ( ) ( )2 2

⇔ + + − ≤ Đây là hình tròn tâm I ( ) − 2;1 , bán kính R = 2

Ta lại có, x y + + ≥ ⇔ ≥ − − 1 0 y x 1 Đây là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng y = − − x 1 và chứa gốc tọa độO ( ) 0;0 .

Vì đường thẳng y = − − x 1đi qua tâm I ( ) − 2;1 của hình tròn nên phần diện tích cần tính bằng một nửa diện tích của hình tròn

Diện tích của hình tròn là: S = π R2 = π 2 42 = π

Diện tích cần tính là: 1

Câu 19 [2D4-1.2-3] (THPT-Nguyễn-Công-Trứ-Hà-Tĩnh-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Cho z z1, 2

là hai số phức thỏa mãn phương trình 2 z i − = + 2 iz , biết z z1− =2 1 Tính giá trị của biểu

thức P z z = +1 2

A

3

2

Lời giải

Tác giả: Sơn Nguyễn; Fb: Thanh Sơn Nguyễn Ngọc

Chọn B

Gọi z x yi = + , ( ,x y ∈ ¡ ) ta có 2 z i − = + 2 (2 1) x y − i và 2 + = − + iz 2 y xi.

Khi đó

1

2

1

1

z

z

 =





Tập hợp điểm biểu diễn số phức z1, z2 là đường tròn tâm O, bán kính R = 1

Gọi M z1 1( ), M z2( )2 ⇒ OM OM1= 2 = 1

Ta có z z1− =2 OM OM uuuur uuuuur uuuuuur1  − 2 = M M2 1 = ⇒ ∆ 1 OM M1 2 là tam giác đều.

Mà z z1+ =2 OM OM uuuur uuuuur uuuur1+   2 = OM OM = với M là điểm thỏa mãn OM MM1 2 là hình thoi cạnh bằng 1

Câu 20 [2D4-1.2-3] (SỞ GDĐT KIÊN GIANG 2019) Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z1 = 4, z2 = 6

và z z1+ =2 10 Giá trị của z z1− 2 2 là

Lời giải

Tác giả:Trịnh Ba ; Fb: trinh.ba.180.

Chọn A

Cách 1 Ta chọn luôn z1 = 4; z2 = 6 thì z z1+ =2 10 Khi đó, z z1− 2 2 = 1

Cách 2 Gọi A B C , , lần lượt là các điểm biểu diễn cho z z z z1, ,2 1+ 2 Khi đó, OC OA OB uuur uuur uuur = +

nên OACBlà hình bình hành và z z1− =2 AB.

1 2

2

z z

AE

−

=

là đường trung tuyến của tam giác AOC nên

1

1

AE

⇒ =

Câu 21 [2D4-1.2-3] (THTT lần5) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z2+ = + 3 2 z z và

4 3 3

z − + = i ?

Lời giải Chọn B

Gọi z x yi = + ( ,x y ∈ ¡ ) có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là điểm M x y ( ) ; .

Ta có:

*/ z2+ = + 3 2 z z ⇔ x y2− + +2 3 2 xyi = 2 2 x

⇔ ( 2 2 )2 2 2 2

x − + y + x y = x ( 2 2) (2 2 2) 2

2 2

2 2

3 2

3 2

 + − =

⇔  + − = −



( ) ( )

2 2

2 2

 − + =



⇔

 + + =



*/ z − + = 4 3 3 i ( ) (2 )2

Khi đó, từ giả thiết bài toán ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 2

1

2









Gọi ( ) C1 là đường tròn tâm I1( ) 1;0 , bán kính R1 = 2

( ) C2 là đường tròn tâm I2( ) − 1;0 , bán kính R2 = 2

( ) C là đường tròn tâm I ( ) 4; 3 − , bán kính R = 3

Ta thấy:

+) R R I I1− < =1 3 2 < + R R1 nên ( ) C1 và ( ) C cắt nhau tại hai điểm phân biệt Suy ra hệ (1)

có hai nghiệm phân biệt

+) I I2 = 34 > + R R2 nên ( ) C2 và ( ) C không cắt nhau Do đó hệ (2) vô nghiệm.

Kết luận: Có 2 số phức z thỏa mãn đề bài