Dang 3. Thể tích giới hạn bởi các đồ thị (tròn xoay)(VDT

Gọi V là thể tích khối tròn xoay1 tạo thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox.. Khi xoay tam giác OMHquanh Ox ta được khối tròn xoay là sự lắp ghép của hai khối nón sinh bởi các tam gi

Câu 1 [2D3-3.3-3] (Chuyên Lý Tự Trọng Cần Thơ) Gọi  D

là hình phẳng được giới hạn bởi các đường thẳng y 3x10,y1 và Parabol y x 2,x0 Tính thể tích V của khối tròn xoay

do ta quay D quanh trục Ox tạo nên, ( D

nằm ngoài parabol y x  2).

A

56 5

56 5

56 5

56 15

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Minh Hạnh; Fb: fb.com/meocon2809

Chọn A

Phương trình hoành độ giao điểm:

   3x 10 1� x3

   3x 10 x2 � x 2 (Vì x )0

 x2 1�x1 (Vì x )0

Ta có: 2  2 2 2 3  2 2

56

5

Câu 2 [2D3-3.3-3] (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Cho hình

phẳng D giới hạn bởi đường cong

1

x

x

y

xe

 



 , trục hoành và hai đường thẳng x 0, 1

x Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích

1

ln 1

e

 � � ��

� �, trong đó a,b là các số hữu tỷ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A a2b 5 B a b  3 C a2b 7 D a b  5

Lời giải

Tác giả: Phan Văn Trình ; Fb: Toán vitamin.

Chọn A

Thể tích của hình phẳng D là

3 2

1

x

x

xe

 



3 2

d 1

x

xe e

x xe





1 2 2

d 1

x

x xe





�

 

2 1

1

x x

e

xe



0

2 1

d 1

x x

e

xe



Với

1 1 1

1 1

x

x

e

Đặt

1 1

d 1 d

� �

  �  � �

� � Đổi cận:

1

e

1 1

2 e u 2 ln e 2 ln 1

�

Vậy

2 ln 1 1 2.ln 1

V

  � � � � ��

Từ đó ta suy ra được

1

2

a

a b b



�

�

�  

Câu 3 [2D3-3.3-3] (HK2 Sở Đồng Tháp) Tìm a a biết 0 0 

a

x x

�

A a4. B a2. C a1. D a 1.

Lời giải

Tác giả: Hoàng Trung Hiếu; Facebook: Hoàng Trung Hiếu

Chọn A

0

0

x x x  x a  a

�

Vì:  

0

a

x x

�

nên

1( )

a tm



�

  � �  � Vậy a4.

Câu 4 [2D3-3.3-3] (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Tính thể tích khối tròn xoay được

tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y3x x 2 và trục hoành khi quay quanh trục

hoành

A

π

81

π

8

π

41

π

85

7

Lời giải

Tác giả:Vũ Thị Loan ;Fb: Loan Vu

Chọn A

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y3x x 2 và trục hoành là:

x

x x

x



�

 2 � �� 0

3

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tìm là Vπ �3x x  2x2d  π

0

81 3

10 .

Câu 5 [2D3-3.3-3] Bắc-Ninh-2019)

(Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Tính thể tích khối tròn xoay được tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm

số y3x x 2 và trục hoành khi quay quanh trục hoành.

A

π

81

π

8

π

41

π

85

7

Lời giải

Tác giả:Vũ Thị Loan ;Fb: Loan Vu

Chọn A

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y3x x 2 và trục hoành là:

x

x x

x



�

 2 � �� 0

3

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tìm là Vπ �3x x  2x2d  π

0

81 3

10 .

Câu 6 [2D3-3.3-3] (Gang Thép Thái Nguyên) Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay

hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x , y và 0 x4 quanh trục Ox Đường thẳng

0 4

x a  a cắt đồ thị hàm số y x tại M (hình vẽ) Gọi V là thể tích khối tròn xoay1

tạo thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox Biết rằng V 2V1 Khi đó

5 2

a D a3.

Lời giải

Tác giả: Đinh Thanh ; Fb: An Nhiên

Chọn D

Ta có:

4

8 2

x

V �xdx  

Mà V 2V1�V14 . Gọi K là hình chiếu của M trên Ox �OK a KH ,  4 a MK,  a .

Khi xoay tam giác OMHquanh Ox ta được khối tròn xoay là sự lắp ghép của hai khối nón sinh bởi các tam giác OMK MHK , hai khối nón đó có cùng mặt đáy và có tổng chiều cao là,

4

OH  nên thể tích của khối tròn xoay đó là  2

1

.4

a

V   a  

, từ đó suy ra a3.

Câu 7 [2D3-3.3-3] (Cầu Giấy Hà Nội 2019 Lần 1) Khi quay hình phẳng được đánh dấu ở hình vẽ

bên xoay quanh trục Ox ta được một khối tròn xoay có thể tích được tính theo công thức

A 0   2 1   2



B 0   2 1   2

V  f x x  f x x



C 0   2 1   2



2

d



Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thành Biên ; Fb: BienNguyenThanh

Chọn D

Hình phẳng  H

được đánh dấu trong hình giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng x 2, x1 nên thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi cho H

quay

xung quanh trục Ox là 1   2

2

d



Câu 8 [2D3-3.3-3] (Lương Thế Vinh Lần 3) Cho hình vuông OABC có cạnh bằng 4 được chia

thành hai phần bởi parabol  P

có đỉnh tại O Gọi S là hình phẳng không bị gạch (như hình vẽ) Tính thể tích V của khối tròn xoay khi cho phần S quay quanh trục Ox

A

128 5

V  

128 3

V  

64 5

V  

256 5

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Dương; Fb:Duong Nguyen.

Chọn D

Ta có parabol  P

có đỉnh O và đi qua điểm B4;4

có phương trình

2

1 4

y x

Khi đó thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng (phần gạch chéo) khi quay quanh trục Ox

là:

2 4

2 1

0

d

V  � �x x 

�

Thể tích khối trụ khi quay hình vuông OABC quanh cạnh OC là: V2 r h2 .4 4 642  .

Suy ra thể tích V của khối tròn xoay khi cho phần S quay quanh trục Ox là

64 256 64

5 5

V V  V    

Câu 9 [2D3-3.3-3] (Sở Bắc Ninh 2019) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình (H giới hạn1)

bởi các đường y 2 ,x y  2 ,x x4; hình (H là tập hợp tất cả các điểm 2) M x y( ; ) thỏa mãn các điều kiện x2 y2 �16;(x2)2y2 � ; 4 (x2)2y2 � Khi quay 4 (H1);(H2)

quanh Ox ta được các khối tròn xoay có thể tích lần lượt là V V Khi đó, mệnh đề nào sau1, 2

đây là đúng?

A V2 2V1 B V1  V2 C V V1 2 48 D V2 4V1

Lời giải

Tác giả:Lê Thị Hồng Vân; Fb:Hồng Vân

Phản biện: Vũ Ngọc Tân ; Fb : Vũ Ngọc Tân

Chọn D

Ta thấy đồ thị của 2 hàm số y 2x và y  2x đối xứng nhau qua trục hoành nên khối tròn

xoay thu được khi quay hình phẳng (H quanh trục Ox cũng là khối tròn xoay thu được khi 1)

quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

2 0 4

y x

� 

�



�

� 

� quanh trục Ox

Do đó

4 4

2 1

V �xdx x  

Gọi ( )C là hình tròn tâm O bán kính 1 R1 , 4 ( )C là hình tròn tâm 2 I(2;0) bán kính R2  2

và ( )C là hình tròn tâm 3 J( 2;0) bán kính R3 Khi đó hình phẳng 2 (H là phần nằm bên 2) trong hình tròn ( )C nhưng nằm bên ngoài các hình tròn 1 ( )C và 2 ( )C Gọi 3 V V V lần lượt là 3, ,4 5

thể tích của các khối cầu có bán kính R R R thì 1, 2, 3 V2  V3 (V4 V5)

Do đó

2

4 4 4 2 4 2

( ) 64

3 3 3

Vậy V2 4V1.

Câu 10 [2D3-3.3-3] (Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Gọi D là miền được giới hạn bởi các đường

3 10

y   , 1x y , y x và 2 D nằm ngoài parabol y x Khi cho 2 D quay xung quanh trục

Ox, ta nhận được vật thể tròn xoay có thể tích là:

A

56

5 

25

3 

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Như Tùng, Fb: Nguyễn Như Tùng

Chọn A

Vẽ các đường các đường y   , 13x 10 y , y x 2

Phương trình hoành độ giao điểm 2 đồ thị y x và 12 y

là

1

1

x x

x



�

 � � � Phương trình hoành độ giao điểm 2 đồ thị y x và 2 y  3x 10

là x2   3x 10�x2  3x 10 0

2 5

x x



�

� � � Phương trình hoành độ giao điểm 2 đồ thị y   và 13x 10 y

là 3  x 10 1� x3

Theo hình vẽ, D là miền gạch chéo.

Do đó ta có thể tích vật thể tròn xoay nhận được V V V   , trong đó:1 2 V3

1

V là thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng D quay quanh Ox , với 1 D giới hạn bởi các 1

đường y x y 2; 0;x1;x 2

2

V là thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng D quay quanh Ox , với 2 D giới hạn bởi các 2

đường y  3x 10;y0;x2;x 3

3

V là thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng D quay quanh Ox , với 3 D giới hạn bởi các 3

đường y1;y0;x1;x 3

Suy ra 2 2 2 3 2 3

V  �� x x  x x x��

�� � � �

1 x xd 2 9x 60x 100 dx 1 dx

 ��� �   � ��

2

3

1 2 1

5

x

1

2 1 3.3 30.3 100.3 3.2 30.2 100.2 3 1 5

 �          �

56

5





Câu 11 [2D3-3.3-3] (CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ HÒA BÌNH LẦN 4 NĂM 2019) Trong mặt

phẳng cho hình vuông ABCD cạnh 2 2, phía ngoài hình vuông vẽ thêm bốn đường tròn nhận các cạnh của hình vuông làm đường kính (hình vẽ) Thể tích của khối tròn xoay sinh bởi hình

trên khi quay quanh đường thẳng AC bằng

A

2

32 4 3

  

2

16 2 3

  

2

8

3 

2

64 8 3

  

Lời giải

Tác giả - Facebook: Trần Xuân Vinh

Chọn A

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có J 1;1 ,K 2 1;1 ,  C 2;0

Phương trình đường tròn J 1;1

bán kính JB 2 là

 

�

Do quay hình phẳng xung quanh đường thẳng AC có thể tích gấp đôi khi quay phần hình phẳng gồm tam giác vuông OBC và nửa hình tròn tâm J bán kính JB

V   �  x x  x  �  x x  x

2

32

4 3

 

(Tính tích phân trên dùng máy tính do thi trắc nghiệm)

Câu 12 [2D3-3.3-3] (Thị Xã Quảng Trị) Cho đồ thị  C y ax:  3bx2 cx d và Parabol

 P y mx:  2 nx p có đồ thị như hình vẽ (đồ thị  C

là đường cong đậm hơn) Biết phần hình phẳng được giới hạn bởi  C

và  P

(phần tô đậm) có diện tích bằng 1 Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay phần hình phẳng đó quanh trục hoành bằng

A 3 B

237

35 

159

35 

Lời giải Chọn A

Đồ thị  P

đi qua các điểm  1;2

;  3;1

và  5;3

nên Parabol có phương trình là

2

2

y x  x

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị  C và  P là

ax  b m x  c n x d p    .

Dựa vào hình vẽ ta có đồ thị  C cắt đồ thị  P tại các điểm có hoành độ 1; 3; 5 nên phương

trình hoành độ cũng có dạng là a x 1 x3 x 5 0

 3 9 2 23 15 0  

�

Theo giả thiết ta có diện tích phần tô đậm bằng 1 suy ra

S �a x  x  x x�a x  x  x x 1

8

a

�

Với

1

8

a

ta có 1 3 2 

0 1

8x 8x  8 x 8 

�

Từ  1

và   ta có

1 8

23 2 8

a b c d

� 

�

�

�   

�

�

� 

�

�

�   

�

1 8 3 4 7 8 7 4

a b c d

� 

�

�

�  

�

� �

� 

�

�

� 

Suy ra  C

có phương trình là

y x  x  x

Vậy thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay phần hình phẳng đó quanh trục hoành là

395 199 409 437

3

Câu 13 [2D3-3.3-3] (Thanh Chương Nghệ An Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu

: 2 16

S x y  z  và điểm A m m ; ;2

nằm ngoài mặt cầu Từ A kẻ các tiếp tuyến đến mặt cầu  S

, gọi  P m

là mặt phẳng chứa các tiếp điểm, biết  P m

luôn đi qua một đường

thẳng d cố định, phương trình đường thẳng d là:

A

 :

1

x t

z



�

�  

�

�  

 : 2

2

x t

z



�

� 

�

� 

 :

2

x t

z



�

�  

�

� 

 :

2

x t

z



�

�  

�

�  

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Đệ st ; Fb: De Nguyen

Chọn C

Cách 1:

Mặt cầu  S

có tâm I0;0; 2  , bán kính R4 Mặt cầu đường kính AI có tâm là trung điểm

; ;0

2 2

m m

� �

� � của AI và bán kính

2

R�  

có phương trình là:

 S�:

� � �  � 

� � � � �x2y2 z2 mx my 4. Khi đó các tiếp điểm kẻ từ A đến mặt cầu  S

nằm trên  S�

do đó tọa độ các tiếp điểm thỏa mãn hệ phương trình sau:

4 12 0

4 0

�     

�

�

     

� �mx my 4z 8 0.

Do đó mặt phẳng  P m

có phương trình: mx my 4z  8 0

Đường thẳng cố định của  P m

có dạng

0

2

x t

x y

y t z

z



�

 

Cách 2:

Mặt cầu  S

có tâm I0;0; 2  , bán kính R4 Mặt cầu tâm A m m ; ;2

bán kính

AM  AI R  m có phương trình:

 S�:   2  2 2 2

2 2

x m  y m  z  m �x2y2 z2 2mx2my4z 4 0.

 P m

là giao của mặt cầu  S

và  S�

:

4 12 0

2 2 4 4 0

�     

�

�

      

Đường thẳng cố định của  P m

có dạng

0

2

x t

x y

y t z

z



�

 

 

Câu 14 Câu 46 [2H3-4.1-3] (Thanh Chương Nghệ An Lần 2) Một thùng đựng Bia hơi (có dạng

như hình vẽ) có đường kính đáy là 30cm, đường kính lớn nhất của thân thùng là 40cm, chiều cao thùng là 60 cm, cạnh bên hông của thùng có hình dạng của một parabol Thể tích của thùng Bia hơi gần nhất với số nào sau đây? (với giả thiết độ dày thùng Bia không đáng kể)

A 70 (lít) B 62 (lít) C 60 (lít) D 64 (lít).

Lời giải

Tác giả: ; Fb: Nguyễn Út

Chọn D

Gọi  P y ax:  2 bx c là parabol đi qua điểm A� �� �� �3;32 và có đỉnh I 0;2

(hình vẽ bên dưới)

Khi đó thể tích thùng Bia bằng thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi  P

, trục hoành và hai đường thẳng x3;x   quay quanh trục Ox 3

Ta thấy  P

có đỉnh I 0;2

nên  P y ax:  22, mặt khác  P

đi qua điểm

3 3;

2

A� �� �� �

nên ta tìm được  P có phương trình

2

2 18

x

y 

Khi đó thể tích thùng Bia là:

 

2

3 3

203

2 d 63, 77

18 10

x



� �

 �  �  �

� �

�

(lít)

Câu 15 [2D3-3.3-3] (Cẩm Giàng)Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã Y có xây một cây cầu

bằng bê tông như hình vẽ Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu (Đường cong trong hình

vẽ là các đường Parabol)

A 19 m 3 B 21m 3 C 18 m 3 D 40 m 3

Lời giải

Tác giả:Tuấn Anh Nguyễn; Fb: Tuấn Anh Nguyễn

Chọn D

Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ.

Gọi   2

P y a x b là Parabol đi qua hai điểm 19;0 ,  0;2

2

A� �B

� �

� �

y

Nên ta có hệ phương trình sau:

2

19

2 2

a b

� 

�

1

1

8 361 2

a b

�  

�

� �

� 

�   2

1

8

361

P y  x 

�

Gọi   2

P y a x b là Parabol đi qua hai điểm 10;0 , 0;5

2

� �

� �

Nên ta có hệ phương trình sau:

 2 2

2

5

0 10

2 5

2

a b

�  

�

�

� 

�

2

2

1 40 5 2

a b

�  

�

� �

� 

�   2

2

:

P y  x 

�

Ta có thể tích của bê tông là:

19

2

Câu 16 [2D3-3.3-3] (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Trong hình vẽ dưới đây, đoạn AD được chia làm

3 bởi các điểm B và C sao cho AB BC CD   Ba nửa đường tròn có bán kính 2 1 là

�AEB , � BFC và � CGD có đường kính tương ứng là AB , BC và CD Các điểm E , F , G lần lượt là tiếp điểm của tiếp tuyến chung EG với 3 nửa đường tròn Một đường tròn tâm F, bán

kính bằng 2 Diện tích miền bên trong đường tròn tâm F và bên ngoài 3 nửa đường tròn

(miền tô đậm) có thể biểu diễn dưới dạng

a

c d

b  

, trong đó a , b , c , d là các số nguyên dương và a , b nguyên tố cùng nhau Tính giá trị của a b c d   ?

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Tân Tiến ; Fb: Nguyễn Tiến

Chọn D

Chọn hệ trục Axy như hình vẽ, khi đó F 3;1

nên đường tròn tâm F , bán kính bằng 2 có dạng

3 1 4

x  y  .

Gọi M , N là giao điểm của đường tròn  F

với trục hoành

Suy ra x M  3 3 và x N  3 3.

Gọi S là diện tích giới hạn bởi nửa đường tròn �1 AEB , đường tròn  F và trục hoành.

Khi đó,

1

S  S  �  x x   �  x x

Tính 3 3   

2 1



Đặt x 3 2sint � dx2 cos dt t, t 2 2;

 

� �

��� ��

Khi x thì 1 t 2



 

và khi x 3 3 thì t 3



 

Nên

2

1 4 4sin 2cos d 1 2cos 2cos d

Do

;

2 3

t���  ��

� � nên cost , suy ra 0

3

2

2

3











Vậy

1

1 3 7 3

4 3 2 12 2

   ��  ��  

Gọi S là diện tích miền tô đậm.

Ta có  

� 1

7 3 1 7

2 4 2 2 3 4

12 2 2 3

S S  S S   ���    ���    

Suy ra a , 7 b , 3 c , 3 d  Vậy 4 a b c d   17.

Câu 17 [2D3-3.3-3] (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị Lần 1) Cho F x  là một nguyên hàm của hàm

1 cos

f x

x



F�� k��k

� � với mọi k �� Tính

 0     10 

F F  F    F  .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Anh Đào; Fb: Đào Nguyễn

Chọn B

d

d tan cos

x

x

  

Suy ra

 

2

9

10

3

3 5

17 19

19 21

F x

x C x

x C x

�

�

�

�

�

�

4

4

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

� ��  ��   � 

�

� �� ��

� Vậy F 0 F  F    F10tan 0 1 tan   tan 2  1 tan10  9 44

Câu 18 [2D3-3.3-3] (Chuyên Hạ Long lần 2-2019) Cho hình phẳng  H

giới hạn bởi

 : 2 2 1

25 9

x y

và đường tròn C :x2y2 9 (phần nằm trong  E

và nằm ngoài  C

Tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi  H khi quay quanh trục Ox.

A

24

5 

8

5

24

25

Lời giải Chọn D

Từ Phương trình   : 2 2 1

25 9

x y

2

25

x

Elip giao với trục Ox Oy tại các điểm ; A  5;0 , ' 5;0 ,A     B 0;3 , ' 0; 3B  .

Từ Phương trình  C :x2 y2 9� y2 9 x2.