Dang 3. Phương pháp tích phân từng phần(TH)

Phản biện :Mai Đình Kế; Fb: Tương Lai... Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau A... Lờigiải Tácgiả: Nguyễn Thị Bích Ngọc; Fb: Nguyên Thi Bích Ngọc Chọn C... Lời giải Tác giả:Đào

Câu 1 [2D3-2.3-2] ( Chuyên Lam Sơn Lần 2) Biết 2 ( )

0

2 ln 1 x + x x a b d = ln

∫ , với a b , ∈ ¥*, b là số nguyên tố Tính 3 4 +

Lời giải

Tác giả: Trần Minh Nhựt; Fb: Trần Minh Nhựt

Chọn B

0

2 ln 1 d

I = ∫ x + x x Đặt  =  =  u d v ln 1 2 d ( x x + x ) 2

1

1

1

x

v x

 =



 = −

Ta có: ( ) ( ) 2 2 2

2

0 0

1

1

x

x

−

+

0 3ln 3 x 1 d x

= − ∫ −

2 2

0

2

x x

= −  − ÷ =

Vậy a = 3, b = 3 ⇒ + = 3 4 21 a b

Câu 2 [2D3-2.3-2] (Nguyễn Du số 1 lần3) Biết

3

2 ln( 1) x − dx a = ln 2 + b

∫ với ,ab là các số nguyên.

Khi đó, a b − bằng

Lời giải

Tác giả: Dương Hà Hải; Fb: Dương Hà Hải.

Phản biện :Mai Đình Kế; Fb: Tương Lai.

Chọn C

Ta có

3 2

1 ln( 1) ln( 1) |

1

x

−

3

2

1 3ln 2 1

1 dx

x

−

∫

2

3ln 2 x ln x 1 | 2ln 2 1

2 1

a b

=





Vậy, a b − = 3.

Câu 3 [2D3-2.3-2] (Cẩm Giàng) Biết rằng tích phân 1( )

0

2 +1 e d = + e x x x a b

Lời giải

Tác giả: Đào Thị Hương; Fb Hương Đào:

Chọn C

Điều kiện: a, b ∈ ¢.

Đặt

2 1

d e dx

= +



 =



d 2d

ex

v

=



⇒  =

1

0

2 +1 e d x x x

0 0

= 2 +1 e x x − 2 e d ∫ x x ( ) 1

0

= 2 1 e x − x =1+ e = + e a b .

= 1

= 1

a b



⇒ 

 Vậy tích a.b= 1

Câu 4 [2D3-2.3-2] (ĐOÀN THƯỢNG-HẢI DƯƠNG LẦN 2 NĂM 2019) Cho hàm số f x ( ) có đạo

hàm f x ′ ( ) và thỏa mãn 1( ) ( )

0

2 x + 1 f x x ′ d = 10

∫ , 3 1 f ( ) ( ) − f 0 12 = Tính 1 ( )

0 d

I = ∫ f x x.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Tiến Phúc; Fb:Nguyễn Tiến Phúc

Chọn A

Đặt: u = + ⇔ = 2 1 d 2d x u x, d v f x x = ′ ( ) d chọn v f x = ( ) .

Ta có: 1( ) ( )

0

2 x + 1 f x x ′ d = 10

0

1

0

( ) ( ) 1 ( )

0

3 1 f f 0 2 f x x d 10

⇔ − − ∫ = ⇔ − 12 2 ∫10 f x x ( ) d = 10 ⇔ ∫10 f x x ( ) d = 1.

Câu 5 [2D3-2.3-2] (THPT Nghèn Lần1) Tính ( )

2

2 1

ln

ln3 ln 2 1

x

x

+

∫ .Tính T a b = +2 3

A.

13 3

27

3

27

T = .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Đăng Thuyết ; Fb: Thuyết Nguyễn Đăng

Chọn D

2

2

d

1

x

+

1

ln 2 ln ln3 ln 2 ln3 ln 2

x

x

Suy ra a = − 1;

5 3

b = 2 3 152

27

a b

Câu 6 [2D3-2.3-2] (KIM LIÊN HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 03) Biết

( )

1

1 2

2

ln 1

1

e x

x a be a b x

+

−

−

−

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

A a b + = 1 B a b + = − 1 C a b + = − 3 D a b + = 3

Lời giải

Tác giả:Trần Thanh Hà; Fb:Hà Trần

Chọn B

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần

Đặt: u = ln ( ) x − 1 ⇒ d u = x 1 − 1 d x

( )2

1 d 1

x

=

− ⇒ chọn

1 1

v x

= −

Khi đó ta có

( )

1

−

−

Suy ra: a = 1; b = − ⇒ + = − 2 a b 1

Câu 7 [2D3-2.3-2] (Chuyên KHTN lần2) (Chuyên KHTN lần2) Cho

3 1

ln d

x x x

b

+

=

,

a b ∈ ¢ Tổng a b + bằng

Lời giải

Tác giả: Phạm Hoàng Điệp ; Fb:Hoàng Điệp Phạm

Phản biện: Nguyễn Hoàng Điệp; Fb: Điệp Nguyễn

Chọn A

Đặt

1

x

4

x

dv x dx = ⇒ = v .

1

4

20 16

a

a b b

=



Câu 8 [2D3-2.3-2] (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Biết

2 2 1

ln

d = ln 2

x c +

∫ trong đó a ∈ ¡ ; b, clà các số nguyên dương và nguyên tố cùng nhau Tính giá trị của 2 3 a b c + +

Lờigiải

Tácgiả: Nguyễn Thị Bích Ngọc; Fb: Nguyên Thi Bích Ngọc

Chọn C

Đặt 2

1

1

1

x

v x

x



=

Ta có

1

x

Theo đề ta có

1 2

a = −

, b = 1, c = 2

Do đó 2 3 a b c + + = 4

Câu 9 [2D3-2.3-2] (Hùng Vương Bình Phước) Cho tích phân

2 2 1

ln

ln 2

= ∫ = + với a là số

thực, b và c là các số dương, đồng thời

b

c là phân số tối giản Tính giá trị của biểu thức

2 3

P = + + a b c

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Quyền; Fb: Văn Quyền Nguyễn

Chọn D

Đặt

2

2 1 2

dx

dx

x

x



∫

1

2

Câu 10 [2D3-2.3-2] (Nguyễn Khuyến)Biết

4 2 1

ln 2

b với a b , ∈ ¥*,

a

b là phân số tối giản Tính T a b = +

Lời giải

Tác giả: Dương Vĩnh Lợi; Fb: Dương Vĩnh Lợi

Chọn B

Ta có

2

1

ln 2

Đặt

ln d

=



 =



dv x x suy ra

1

d u = dx

x và chọn

2 2

x

v =

ta được

1

16ln 2

15 16 4ln 2

Vậy

15 4

a b

=



 =

 nên T a b = + = + = 15 4 19

Câu 11 [2D3-2.3-2] (Hoàng Hoa Thám Hưng Yên) Cho ∫ ln ( x2− x x F x ) d = ( ) , F ( ) 2 2ln 2 4 = −

Khi đó

3

2

d

x

A 3ln3 3 − B 3ln3 2 − C 3ln3 1 − D 3ln3 4 −

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền Trang; Fb: Nguyen Trang

Chọn B

2

1

1

x

−

( ) 2 2ln 2 4

F = − ⇔ 2ln 2 4 − + = C 2ln 2 4 − ⇔ = C 0

Suy ra: F x ( ) = x ln ( x x2− − − ) 2 x ln x − 1.

Khi đó:

3

2

d

x

=

∫

3

2 2

ln x x x d  x ln x x 2 x ln x 1 

3ln 6 6 ln 2 2ln 2 4 3ln3 2

Câu 12 [2D3-2.3-2] (Sở Ninh Bình 2019 lần 2) Cho 2( ) 2

1

1 dx

x + e x ae = + + be c

∫ với a, b, c là các số nguyên Tính a b c + +

Lời giải

Tác giả: Thu Hương; Fb: Hương Mùa Thu

Chọn C

Đặt

1 d

x

u x

dv e x

= +



 =

 ta được d u = d , x v e = x

( ) ( )

x + e x = + x e − e x xe = = e e −

Câu 13 [2D3-2.3-2] (THPT LƯƠNG THẾ VINH 2019LẦN 3) Biết

1

ln d

e

I = ∫ x x x ae b = + với a,

b là các số hữu tỉ Giá trị của 9 a b ( ) + bằng

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Hoài Phúc ; Fb:Nguyen Phuc

Chọn A

ln

v x x

=



 =

3

1

3

x x v

 =





 =



Suy ra

3

1

Vậy

2 9

a = , 1

9

b = nên 9 ( a b + = ) 3

Câu 14 [2D3-2.3-2] (Lương Thế Vinh Lần 3) Biết

1

ln d

e

I = ∫ x x x ae b = + với a, b là các số hữu tỉ.

Giá trị của 9 a b ( ) + bằng

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Hoài Phúc ; Fb:Nguyen Phuc

Chọn A

ln

v x x

=



 =

3

1

3

x x v

 =





 =



Suy ra

3

1

Vậy

2 9

a = , 1

9

b = nên 9 ( ) a b + = 3.

Câu 15 [2D3-2.3-2] (THPT TX QUẢNG TRỊ LẦN 1 NĂM 2019) Cho ( )

2

2 1

ln

d ln 2 ln 1

b x

+

∫ với a b c , , là các số nguyên dương và

a

b là phân số tối giản Tính giá trị của biểu thức

a b S

c

+

A.

5 3

3

5

3

S = .

Lời giải Chọn B

Ta có:

( )

2

2

1

1

5 2

1

3

x

x

a

a b

c c

+

=



+



 =



Tác giảFb:Thao Duy

Câu 16 [2D3-2.3-2] (Đặng Thành Nam Đề 10) Biết 2( ) 4 2

0

2 x + e e dx x x a = e + b e + c

∫ với a b c , , là các

số hữu tỉ Giá trị của 2 3 2 a b c + + bằng

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thanh Giang; Fb: Thanh Giang

Chọn B

Đặt:

2 e

d e d

x

x

 = +





=

e

x

x

v

 = +





=

Khi đó: 2( ) ( ) 2 2( 2 )

0

2 x + e e dx x x = 2 x + e ex x − 2ex+ e dx x

0

1 2.2 e e 2.0 e e 2e e

2

  = 1 2 e4+ 2e2+ 3 2.

Theo bài ra ta có

; 2;

a = b = c =

Vậy:

2 3 2 2 3.2 2 10

Câu 17 [2D3-2.3-2] (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019) Biết

2

2 1

ln

ln 2

= +

∫ x dx b a

x c (với a là số thực, ,bc là các số nguyên dương và

b

c là phân số tối giản) Giá trị của 2 3 a b c + + bằng

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Duy Tân; Fb: Nguyễn Duy Tân

Chọn B

Gọi

2 2 1

ln

x

Áp dụng phương pháp nguyên hàm từng phần ta có:

1 ln

1

1



x

v x

x

2

2

x

1

; 1; 2 2

Vậy 2 3 a b c + + = 4

Câu 18 [2D3-2.3-2] (THTT lần5) Cho hàm số y f x = ( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ] 0;1 thỏa mãn

( ) 1 0 =

0

2

=

∫ x f x dx

Giá trị của 1 2019 ( )

0

′

∫ x f x dx

bằng

2

2 2019

−

Lời giải

Tác giả: Cao Văn Tùng, Fb: Cao Tung

Chọn A

Ta có: 1 2019 ( ) 1 2019 ( ( ) ) 2019 ( )1 1 2018 ( )

0

2019

I = ∫ x f x dx ′ = ∫ x d f x = x f x − ∫ x f x dx

( ) 1 2018 ( )

0

1 2019

Câu 19 [2D3-2.3-2] (Thanh Chương Nghệ An Lần 2) Họ nguyên hàm của hàm số f x ( ) = e 2 1x+ là :

A ( 2 1 1 e x + − ) 2 1x+ + C. B e 2 1x+ + C.

C ( 2 1 1 e x + + ) 2 1x+ + C. D 2 1e x + 2 1x+ + C

Lời giải

Tác giả:Đào Thị Kiểm ; Fb:Đào Kiểm.

Chọn A

Đặt t = 2 1 x + Ta có t2 = + ⇒ 2 1 2 d 2d x t t = x ⇒ = d x t t d

Khi đó ta có : ∫ e 2 1x+ d x = ∫ t t e dt

Đặt u t = và d e d v = t t, ta có du dt = và v = et Do đó :

e dt et e dt e et t 1 et 2 1 1 e x

Vậy ∫ e 2 1x+ d x = ( 2 1 1 e x + − ) 2 1x+ + C

Câu 20 [2D3-2.3-2] (THPT-Toàn-Thắng-Hải-Phòng) Biết 2 ( )

0

2 ln x x + 1 dx = a b ln

∫ , với a b , ∈ ¥*, b

là số nguyên tố Tính 6 7 a b +

Lời giải

Tác giả:Lê Đình Năng ; Fb: Lê Năng

Chọn D

Đặt

( )

ln 1

dv 2 dx

x



 =

1

1

x

v x

 =



 =

2

0

2 ln x x + 1 dx

0

ln 1

2 2

0

dx 1

x

x +

0

1

1

x x

+

∫ 2

2

0

2

x

= −  − + + ÷

  = 4ln3 ln3 3ln3 − = Do đó a b = = 3 ⇒ + = 6 7 39 a b

Câu 21 [2D3-2.3-2] (Yên Phong 1) Cho

1

0

e dx .e

I = ∫ x x a = + b với ,ab ∈ ¤ Tính tổng a b +

A

1

1

Lời giải

Tác giả: ; Fb: Biện Tuyên

Chọn A

Cách 1.

Sử dụng phương pháp từng phần

Đặt: d = e dx2x

u x v

=







2

d d

1 e 2

x

u x v

=





⇒  =

Khi đó:

1 1 0 0

I u v = − ∫ v u 2 1 1 2

x

e

Suy ra:

a + = b + .

Đồng nhất hệ số hai vế ta có:

1 4

a = , 1

4

b = Vậy: 1

2

a b + = .

Cách 2.

Dùng máy tính cầm tay

Bước 1: Tính tích phân bằng máy tính, lưu vào máy là A ( SHIFT→ STO→ A )

Bước 2: A a = e2+ b ⇒ b A a = − e2( Rút ẩn b theo a)

Bước 3: Đưa biểu thức cần tính về : a b a A a + = + − e2

Bước 4: Thử 4 phương án ra nghiệm đẹp thì chọn Thử phương án A ta được:

2 1 e 2

x A x + − =     →SHIFT SOLVE→ x = 1 4

Câu 22 [2D3-2.3-2] (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Cho tích phân

2 2 1

ln

= ∫ = + với a là

số thực, b và c là các số nguyên dương, đồng thời

b

c là phân số tối giản Tính giá trị của biểu thức P = + + 2 3 a b c

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Mạnh ; Fb: Nguyễn Văn Mạnh

Chọn D

1

1

1

x

v x

x



Ta có

2

1 1

1

1, 2,

2

⇒ = = = − Khi đó

1

2

 ÷

Câu 23 [2D3-2.3-2] (Sở Cần Thơ 2019) Cho hàm số f x ( ) có f x ′ ( ) và f x ′′ ( ) liên tục trên đoạn [ ] 1;3 .

Biết f (1) 1 = , f (3) 81 = , f ′ = (1) 4, f ′ = (3) 108 Giá trị của 3( )

1

4 2 ( )d − x f x x ′′

Lời giải

Tác giả: Châu Hòa Nhân; Fb: Hòa Nhânn

Chọn B

Đặt

4 2

d ( )d

v f x x

= −





′′

=

( )

v f x

= −





′

=

Suy ra:

4 2 ( )d − x f x x ′′ =   4 2 ( ) − x f x ′   − f x ′ ( ) 2d − x =   4 2 ( ) − x f x ′   + 2 f x x ′ ( )d

4 2 ( ) x f x ′ 2 ( ) f x 2 (3) 2 (1) 2 (3) 2 (1) f ′ f ′ f f

2.108 2.4 2.81 2.1 64

Vậy 3( )

1

4 2 ( )d − x f x x ′′ = − 64

Câu 24 [2D3-2.3-2] (SỞ PHÚ THỌ LẦN 2 NĂM 2019) Cho ( )

3

2 1

3 ln

d ln 3 ln 2 1

x

x

+

+

a,b,c là các số hữu tỉ Giá trị a b c2+ −2 2 bằng

A.

17

1 8

Lời giải Chọn C

2

3

1

1

x

x

+

3

1

+

∫

3 4 3

1

3 4

a

c

 =







 =

Khi đó

a + − = b c   + −   =

Tác giả Fb:Thao Duy

Câu 25 [2D3-2.3-2] (SỞ GD & ĐT CÀ MAU) Cho

1

0

ln( 2)d ln 3 ln 2

x x + x a = + b + c

các số thực Tính giá trị của biểu thức T = − + 2 a b c 4

Lời giải

Tác giả: ; Fb Biện Tuyên.

Chọn B

Đặt:

( )

ln 2

v x x





=

1

2

x

= + và chọn 1 ( 2 )

4 2

v = x − .

Ta có:

1

0

ln( 2)d

x x + x

0 0

x

x

−

+

0

ln 3 2ln 2 2 d

1 2

0

ln 3 2ln 2

Với a b c , , là các số thực suy ra

3 2

a = − , b = 2,

3 4

c = .

Vậy T = − + 2 a b c 4

Câu 26 [2D3-2.3-2] (Kim Liên) Cho hàm số f x ( ) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [ ] 0;5 thỏa mãn

( ) ( )

5

0

e d 8f x

xf x ′ x =

∫ ; f ( ) 5 ln 5 = Tính 5 ( )

0 d

f x

I = ∫ e x

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Xuyến; Fb: Nguyen Xuyen

Chọn C

Tính

( )

5

0 d

f x

I = ∫ e x

Đặt f x( )

u e = ⇒ d u f x e = ′ ( ) f x( )d x;

d =d v x ⇒ v x =

Theo công thức tích phân từng phần, ta có

( ) 5 5 ( ) ( ) ( ) 5 ( ) 0 ln5 0

0

I =   xe   − ∫ xf x e ′ x = e − e − = e − = − = .

Câu 27 [2D3-2.3-2] (HKII Kim Liên 2017-2018) Tìm số thực m > 1 thỏa mãn ( ) 2

1 2ln 1 d 2

m

x x + x = m

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Thanh Hảo Fb: Ycdiyc Thanh Hảo

Chọn D

Cách 1:

1 2ln 1 d

m

I = ∫ x x + x.

Đặt:

2ln 1

v x x



 =



2

2

2

x x v

 =



⇒ 

 =

1 1

2

x

2

1 1

2

x

2ln 1

x

2 2 2

1

.ln

m

x x

1

.ln m

=

2.ln

Theo đề ta có: I = 2 m2 ⇒ m2.ln m m = 2 2 ⇒ ln m = 2 ( m > 1 ) ⇒ = m e2 Chọn đáp án D

Cách 2:

Dựa vào điều kiện m > 1, loại đáp án C

Thế số, bấm máy tính kiểm tra, chọn đáp án D

Câu 28 [2D3-2.3-2] (Sở Cần Thơ 2019) Biết rằng

e

1

4ln 1

d

6

x x

∫ với a ,b ∈ ¥ * Giá trị của

3 1

a b − + bằng

Lời giải

Tác giả:Đào Hoàng Diệp ; Fb:Diệp Đào Hoàng

Chọn D

Đặt 4ln 1 x + = t Đổi cận:

 = ⇒ =



 = ⇒ =



2 4 1 1

2

Vậy:

2

4ln 1 d 4ln 1 d 1 .d 1 1 .d 5 125 1

125

3 1 123 1

a

a b b

=



Câu 29 [2D3-2.3-2] (SỞ BÌNH THUẬN 2019) Cho hàm số y f x = ( ) liên tục trên ¡ Biết f ( ) 2 4 =

và

2

0

( )d 5

f x x =

0 ( )d

I = ∫ xf x x ′ .

Lờigiải

Tác giả:Dương Chiến; Fb: Duong Chien

Phản biện: Nguyễn Thị Hồng Gấm; Fb:Nguyễn Thị Hồng Gấm

ChọnB

v f x x v f x

( ) 2 2 0 0 ( )d 2.4 5 3.

I xf x f x x

Câu 30 [2D3-2.3-2] (Sở Cần Thơ 2019) Biết F x ( ) là một nguyên hàm của hàm số ( ) e2

x

f x = x và

(0) 1.

F = − Giá trị của F (4) bằng

2

e

4 − 4

C 4e 32+ D 4e 32− Lời giải

Tác giả: Nguyễn Vĩnh Thái ; Fb:Thaiphucphat.

Chọn C

Khi đó: .e d2 2 e2 2 e d2 2 e2 4e2

x x = x − x = x − + C

Mà F (0) 1 = − ⇔ − + = − ⇔ = 4 C 1 C 3.

Vậy F (4) 8e 4e 3 4e 3 = 2− 2+ = 2 +

Câu 31 [2D3-2.3-2] (TTHT Lần 4) Biết m là số thực thỏa mãn 2 ( ) 2

0

2

π

π π

đề nào dưới đây đúng?

A m ≤ 0 B 0 < ≤ m 3 C 3 < ≤ m 6 D.m > 6

Lời giải

Tác giả: Trịnh Thị Hiền; Fb: Hiền Trịnh

Chọn D

cos 2 dx= cos dx 2 dx cos dx

4

m

π

Gọi I 02x cos dx x

π

ï = ï ïî =

2

0

π

-

Khi đó:

2

0

m

π

4

m

m

Câu 32 [2D3-2.3-2] (Chuyên Hưng Yên Lần 3) Biết rằng ( )

1

ln 1 2 , 1

a

xdx = + a a >

dưới đây là khẳng định đúng?

A a ∈ ( 18;21 ) . B a ∈ ( ) 1;4 . C a ∈ ( 11;14 ). D a ∈ ( ) 6;9 .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Lan ; Fb: Lan Nguyen Thi

Chọn A

Đặt u = ln x ⇒ du = 1 x dx

dv dx = ⇒ = v x

xdx a a = − dx a a a = − + = + a

3

Vậy a ∈ ( 18;21 )

Câu 33 [2D3-2.3-2] (Kim Liên 2016-2017) Cho 5 ( 2 )

2

ln x − x x a d = ln 5 + b ln 2 + c

số nguyên Tính S a b c = + − 2

Lời giải

Tác giả: Lưu Thế Dũng; Fb: Lưu Thế Dũng

Chọn A

Đặt

( 2 )

ln

v x





=

2

2 1

d u x d x

x x

v x

−

 =



 =

Khi đó 5 ( 2 ) ( 2 ) 5

x

x

−

−

5

2

1 5ln 20 2ln 2 2 d

1 x

x

−

5ln 5.2 2ln 2 2 ln 1

2

5ln5 8ln 2 10 4 ln 4 ln1

= + − − + − = 5ln5 6ln 2 6 + −

Suy ra a = 5, b = 6, c = − 6 ⇒ S a b c = + − = + + = 2 5 2.6 6 23