Dang 1. Định nghĩa, tính chất và nguyên hàm cơ bản(VDT

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau... Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất?. Lời giải Tác giả: Nguyễn Công Anh; Fb: conganhmai Chọn C... PHÂN TÍCH VÀ PHÁT TRIỂN CÂU 43: Cô Ng

Câu 1 [2D3-1.1-3] (Sở Quảng Ninh Lần1) Cho hàm số f x 

xác định trên R\ 1 

thỏa mãn

'

1

f x

x



 , f  0 2017

, f  2 2018

Tính Sf  3  f 1

A S ln 4035 B S  4 C S ln 2 D.S  1

Lời giải Chọn D

Trên khoảng 1; 

: '  1

1

x





  lnx1C1  f x lnx1C1

Mà f(2) 2018  C12018

Trên khoảng  ;1 '  1

1

x





  ln 1 x  C2  f x  ln 1  xC2

Mà (0) 2017f   C2 2017

Vậy   ln( 1) 2018 khi 1

ln(1 ) 2017 khi 1

f x





Suy ra f  3  f 1  1

Câu 2 [2D3-1.1-3] (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Cho hàm số F x 

là một nguyên hàm của hàm

số   2cos2 1

sin

x

f x

x





trên khoảng 0;

Biết rằng giá trị lớn nhất của F x 

trên khoảng

0;

là 3 Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

A

3 3 4 6

F 

F 

3 3

F 

5

6

F  

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Mộng ; Fb: Nguyễn Văn Mộng

Chọn A

Ta có:

 d 2cos2 1d 2 cos2 d 12 d



x

Do F x 

là một nguyên hàm của hàm số   2cos2 1

sin

x

f x

x





trên khoảng 0;

nên hàm số

 

F x có công thức dạng   2 cot

sin

x

với mọi x0;

Xét hàm số   2 cot

sin

x

xác định và liên tục trên 0;

    2cos2 1

'

sin

x

F x f x

x



Xét '  0 2cos2 1 0 cos 1 2  

x

x







Trên khoảng 0;

, phương trình F x '  0

có một nghiệm x 3



 Bảng biến thiên:

0;   

3





Theo đề bài ta có,  3C 3 C2 3

Do đó,   2 cot 2 3

sin

x

Khi đó,

3 3 4 6

F 

  Vậy ta chọn A

Câu 3 [2D3-1.1-3] (Sở Quảng Ninh Lần1) Biết luôn có hai số a và b để   4 0

4

ax b

x





là một nguyên hàm của hàm số f x 

và thỏa mãn 2f2 x F x 1 f x 

Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất?

A a   , b   B a1,b4 C a1,b1 D a1,b \ 4 

Lời giải

Tác giả:Trịnh Văn Thạch; Fb: Trịnh Văn Thạch

Chọn D

Do 4a b  nên 0 F x  C    Vì luôn có hai số a và b để x   4 4 0

ax b

x





là một nguyên hàm của hàm số f x nên f x  không phải là hàm hằng.

Từ giả thiết

 

 

 

1







Lấy nguyên hàm hai vế với vi phân dx ta được:

 

 

 

2

1





với C là hằng số.

2

4

x



   

2

2

4

4

C

C

f x e

x

x



 









Trường hợp 1

2

4

x



Ta có

4 4

a b

x



 Đồng nhất hệ số ta có:

2

2

1

C

C

a

b e

















Loại b  do điều kiện 44 a b  Do đó 0

a b;  1;4e C C 1

e

Trường hợp 2

2

4

x



Ta có

4 4

a b

x



 Đồng nhất hệ số ta có:

2

2

1

C

C

a

b e

















Loại b  do điều kiện 44 a b  Do đó 0  ;  1;4 1

C C

e

a b

e

Tổng hợp cả hai trường hợp ta chọn đáp án D

Câu 4 [2D3-1.1-3] (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) Biết F x 

là một nguyên hàm của hàm số ( ) sin 2f x  x và

1 4

F 

  Tính 6

F

 

A.

1

F 

5

F 

0 6

F 

3

F 

Lời giải

Tác giả: Hồ Xuân Dũng;Fb:Dũng Hồ Xuân

Chọn D

Ta có

4

6



       



Mà

4

6

6











Do đó

1 3 1

F   

Câu 5 [2D3-1.1-3] (Chuyên Vinh Lần 3) Biết rằng ex là một nguyên hàm của x f x

trên khoảng

   Gọi ;  F x  là một nguyên hàm của f x ex

thỏa mãn F 0  , giá trị của 1 F  1

bằng

A

7

5 e 2



7 e 2



5

2

Lời giải Chọn A

Ta có f x xex ex xex

,      x  ; 

Do đó f  x e   x  xe   x

    ,      x  ; 

Suy ra f x  ex1 x

,      x  ; 

Nên f x  ex1 x exx 2

      f x ex exx 2 e x  x 2

Bởi vậy    2 d 1 22

2

F x x x x C.

Từ đó  0 10 22 2

2

F   C C 

; F 0  1 C 1 Vậy   1 22 1  1 1 1 22 1 7

F x  x   F      

Câu 6 [2D3-1.1-3] (Chuyên-Thái-Nguyên-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Cho F x 

là một nguyên hàm của hàm số f x  e x2x3 4x

Hàm số F x 2 x

có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Vũ Hoàng Trâm; Fb: Hoang Tram

Chọn B

 

F x là một nguyên hàm của hàm số f x  e x2x3 4x

 F x'  f x  e x2x3 4x

0

2

x

x

x











   

2 2

2

2

1

2 1 0

2 0 0

1

1 2

2

2 ( )

x

x x

x

x

x x

x



   











   



  







  

 Vậy, phương trình F x' 2x 0

có 5 nghiệm phân biệt Do đó, hàm số F x 2x

có 5 điểm cực trị

Câu 7 [2D3-1.1-3] (THPT LÝ THƯỜNG KIỆT – HÀ NỘI) Giả sử hàm số f x 

có đạo hàm liên tục trên , nhận giá trị dương trên khoảng 0; 

và thỏa mãn

 1 1,   '  3 1

f  f x f x x với mọi x  Mệnh đề nào sau đây là đúng?0

A 4 f  5 5 B 1 f  5 2 C 3 f  5 4 D 2 f  5 3

Lời giải Chọn C

Ta có

 

 

3 1 1 3x 1

f x

f x







3

x

Vậy 3 f  5 4

Câu 8 [2D3-1.1-3] (Đặng Thành Nam Đề 15) Cho hàm số f x  có đạo hàm trên \ 0  thỏa mãn

  f x  2

x

và f  1  Giá trị của 1

3 2

f   

  bằng

A

1

1

1

1

24.

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Thị Thùy Linh; Fb: Nguyễn Linh

Chọn A

4

4

x



4

f   C

Khi đó  

x

x

Câu 9 [2D3-1.1-3] (Cụm 8 trường chuyên lần1) Biết F x  ax2 bx cex

là một nguyên hàm của hàm số f x  2x2 5x 2 e x

trên  Giá trị biểu thức f F  0 

bằng :

A

1 e



Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Nghĩa; Fb: https://www.facebook.com/nghia.nguyenvan.1705

Chọn D

+ Tính F x    ax2 bx cex ax2 2a b x b c ex

Suy ra

  nên F x   2x2 x 1 e x

+ Tính F 0  suy ra 1 f F  0  f 1 9e

Câu 10 [2D3-1.1-3] (HKII Kim Liên 2017-2018) Cho hai hàm số

   2 e ,x    2 3 4 e x

F x  x ax b f x  x  x

Biết ,a b là các số thực để F x 

là một nguyên hàm của f x 

Tính S a b 

A S  6 B S  12 C S  6 D S  4

Lời giải

Tác giả: Hoàng Văn Thông; Fb: Thông Hoàng

Chọn D

Nhận xét: Bài này sẽ chặt chẽ hơn nếu thêm điều kiện F x  là một nguyên hàm của f x  trên



Từ giả thiết ta có F x  f x 

, x  

2x aex x2 ax bex x2 3x 4 e x

, x  

        , x  

Đồng nhất hai vế ta có

2 3 4

a

a b

 





 

Suy ra S a b   4

Câu 11 [2D3-1.1-3] (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4)Cho F x  là một

nguyên hàm của hàm số   4 3 2

2

x

f x





  trên khoảng 0;

thỏa mãn  1 1

2

Giá trị của biểu thức S F 1 F 2 F 3  F2019

bằng

A

2019

2019.2021

1 2018

2019 2020



Lời giải

Tác giả: Nguyễn Công Anh; Fb: conganhmai

Chọn C

Ta có:

 

Suy ra:   1 1

1

2

nên c  Hay 1  

1 1

F x

Ta có: S F 1 F 2 F 3  F2019

S                  

Câu 12 [2D3-1.1-3] (Sở Ninh Bình 2019 lần 2) Cho hàm số ( )f x thỏa mãn (1) 3 f  và

(4 '( )) ( ) 1

x  f x f x  với mọi x  Tính (2)0 f

Tác giả: Đinh Thị Thu Huế ; Fb:Huedinh

Chọn C

Ta có

(4 '( )) ( ) 1 ( ) '( ) 4 1 ( ) ' 4 1

x  f x f x   f x xf x  x  xf x  x

Với x  thì 1 (1) 31 f  C 3 3 C C 0

Do đó xf x( ) 2 x2  Vậy x 2 (2) 2.2f  2 hay (2) 52 f 

Câu 13 [2D3-1.1-3] (Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Cho hàm số yf x 

xác định trên , thỏa mãn f x   0, x   và f x  2f x  Tính 0 f  1 biết rằng f  1  1

Lời giải

Tác giả: Trần Hồng Minh; Facebook: Hồng Minh Trần

Chọn A

Vì f x   0

, nên ta có:

f x  f x 

 

f x

f x



f x

f x



:

C

    ln f x  2x C  ln f x 2x C

Cho x  1  ln f  1  2 C  ln1 2 C   C2

Do đó: ln f x 2x 2 f x  e2x 2

  f  1 e 4

9 2

S    a b c

Câu 14 [2D3-1.1-3] (GIA LỘC TỈNH HẢI DƯƠNG 2019 lần 2) Cho hàm số f x 

xác định trên

 

\ 2



thoả mãn f x  3x 21

x



 , f  0  và 1 f  4  Giá trị của biểu thức2

 2  3

f  f 

bằng

A 12 B ln 2 C 10 ln 2 D 3 20ln 2

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Hồng Hạnh; Fb: Nguyễn Hồng Hạnh

Chọn A

x



,  x \2

+ Xét trên khoảng 2;  ta có:  f  0   1 7 ln 2C 1 C  1 7 ln 2

Do đó, f x 3x 7 ln x2 1 7 ln 2 

, với mọi x   2;  

Suy ra f  2  7 7 ln 4 7 ln 2 7 7 ln 2  

+ Xét trên khoảng   ; 2

ta có: f 4   2 12 7 ln 2 C 2 C14 7 ln 2

Do đó, f x 3x 7 ln x2 14 7 ln 2 

, với mọi x     ; 2

Suy ra f  3  5 7 ln 2

Vậy f  2  f 3  7 7 ln 2 5 7 ln 2 12  

Câu 15 [2D3-1.1-3] (Chuyên Vinh Lần 3)Biết F x  là nguyên hàm của hàm số f x  x cos2 x

x





Hỏi đồ thị của hàm số yF x 

có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải

Tác giả: Võ Minh Chung; Fb: Võ Minh Chung

Chọn C

Vì F x 

là nguyên hàm của hàm số   2

cos

f x

x





cos

F x f x

x



Ta có: F x( ) 0 2

cos

0

x



cos 0 1;1 \ 0

x



 

 

Xét hàm số ( )g x  x cosx trên 1;1

, ta có : g x( ) 1 sin  x   0, x  1;1

Suy ra hàm số ( )

g x đồng biến trên 1;1

Vậy phương trình ( )g x  x cosx có nhiều nhất một nghiệm 0 trên 1;1  2

Mặt khác ta có: hàm số ( )g x  x cosx liên tục trên 0;1

và g 0  0 cos 0    ,1 0

 

(1) 1 cos 1 0

g    nên g   0 1g  Suy ra 0  x0 0;1

sao cho g x  0 0  3

Từ  1

,  2 ,  3 suy ra: phương trình F x( ) 0 có nghiệm duy nhất x  Đồng thời vì 0 0 x 0

là nghiệm bội lẻ nên F x( ) đổi qua x x 0

Vậy đồ thị hàm số yF x  có 1 điểm cực trị

PHÂN TÍCH VÀ PHÁT TRIỂN CÂU 43: Cô Nguyễn Thị Bích Ngọc – Fb: Bích Ngọc PHÂN TÍCH: Bản chất bài toán là muốn khai thác định nghĩa nguyên hàm của một hàm số và

cách giải phương trình chứa hàm số hỗn hợp gồm đa thức và hàm số lượng giác Phương trình này sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số dẫn đến số nghiệm tối đa là một, khi đó chỉ cần

nhẩm một nghiệm hoặc sử dụng định lí liên tục của hàm số suy ra phương trình có nghiệm duy nhất

Câu 16 [2D3-1.1-3] (Chuyên Vinh Lần 3) 3 Biết F x 

là nguyên hàm của hàm số

2

f x  x x 

Hỏi đồ thị của hàm số yF x 

có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải Chọn D

2

F x f x  x x 

/( ) sinx

f x   ; x f/ /( )x  cosx 1 0  x R

Suy ra hàm số f x đồng biến trên R , từ đó dẫn đến phương trình /( ) f x  có nhiều nhất /( ) 0 một nghiệm

Mặt khác f/(0) 0 suy ra x 0 là nghiệm duy nhất của phương trình f x  /( ) 0

Do hàm số f x liên tục trên mỗi khoảng /( )  ;0 ; 0;   và vô nghiệm trên mỗi khoảng này 

nên dấu của f x không đổi trên mỗi khoảng trên./( )

Mà f/( 1) 0;  f/(1) 0 suy ra f x/( ) 0    x  ;0

và f x/( ) 0  x 0; 

Vậy hàm số ( )f x nghịch biến trên khoảng  ;0

và đồng biến trên khoảng 0; 

Mà (0) 0

f  nên phương trình ( ) 0f x  có nghiệm duy nhất x 0 hay phương trình F x  có /( ) 0

nghiệm duy nhất x 0

Vậy đồ thị của hàm số yF x  có duy nhất một điểm cực trị

BÀI TOÁN TỔNG QUÁT: Cho hàm số

 

 

u x

v x

F x  g t dt

Tìm đạo hàm của hàm số F x .

CHỨNG MINH:

Gọi G t 

là nguyên hàm của hàm số g t 

Theo định nghĩa tích phân, ta có:

 

 

 

( ) G

u x

v x

F x  g t dt G u  v

Suy ra: F x( )G u( ) G  v  u G u  ( ) v G v  ( ) u g u ( ) v g v' ( )

Vậy, ta có công thức tổng quát:

 

 

 

( ) ' ( )

u x

v x

g t dt u g u v g v



