Dang 6. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số(VDC)

Gọi đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm có hoành độ bằng 1.. Biết rằng đường thẳng AB luôn đi qua điểm cố định là H... + Bài toán này dựa trên đặc điểm đường thẳng AB qu

Câu 1 [2D1-5.6-4] (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Cho hàm số y f x = ( ) có đạo hàm

liên tục trên ( 0; + ∞ ) thỏa mãn f x ( ) ( ) f x 4 x2 3 , x x

x

và f ( ) 1 2 = Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x = ( ) tại điểm có hoành độ x = 2 là

A y = − 16 20 x − B y = 16 20 x −

C y = 16 20 x + D y = − 16 20 x +

Lời giải

Tác giả: Phạm Văn Chuyền ; Fb: Good Hope

Chọn B

Ta có f x ( ) ( ) f x 4 x2 3 x x f x ( ) ( ) f x 4 x3 3 x2

x

( )

( x f x ) ′ 4 x3 3 x2 x f x ( ) ( 4 x3 3 x2) dx x f x ( ) x4 x C3

Vì f ( ) 1 2 1 1 2 = ⇒ f ( ) = + ⇔ = + ⇔ = C 2 2 C C 0.

Suy ra .x f x ( ) = + ⇒ x x4 3 f x ( ) = + x x3 2.

Khi đó: f x ′ ( ) = 3 x2+ 2 ; x f ′ ( ) 2 16; 2 12 = f ( ) = .

Do đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x = ( ) tại điểm có hoành độ x = 2 là ( )

16 2 12 16 20

y = x − + ⇔ = y x − .

Câu 2 [2D1-5.6-4] Bắc-Ninh-2019)

(Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Cho hàm số y f x = ( ) có đạo hàm liên tục trên ( 0; + ∞ ) thỏa mãn

( ) ( ) f x 4 2 3 ,

x

và f ( ) 1 2 = Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

( )

y f x = tại điểm có hoành độ x = 2 là

A y = − 16 20 x − B y = 16 20 x −

C y = 16 20 x + D y = − 16 20 x +

Lời giải

Tác giả: Phạm Văn Chuyền ; Fb: Good Hope

Chọn B

Ta có f x ( ) ( ) f x 4 x2 3 x x f x ( ) ( ) f x 4 x3 3 x2

x

( )

( x f x ) ′ 4 x3 3 x2 x f x ( ) ( 4 x3 3 x2) dx x f x ( ) x4 x C3

Vì f ( ) 1 2 1 1 2 = ⇒ f ( ) = + ⇔ = + ⇔ = C 2 2 C C 0.

Suy ra .x f x ( ) = + ⇒ x x4 3 f x ( ) = + x x3 2.

Khi đó: f x ′ ( ) = 3 x2+ 2 ; x f ′ ( ) 2 16; 2 12 = f ( ) = .

Do đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x = ( ) tại điểm có hoành độ x = 2 là ( )

16 2 12 16 20

y = x − + ⇔ = y x − .

Câu 3 [2D1-5.6-4] (Ngô Quyền Hà Nội) Cho hàm đa thức bậc bốn y f x = ( ) có đồ thị ( ) C Hàm số

( )

y f x = ′ có đồ thị như hình vẽ dưới đây Gọi đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của đồ thị ( ) C tại

điểm có hoành độ bằng 1 Hỏi ∆ và ( ) C có bao nhiêu điểm chung?

Lời giải

Tác giả: Lê Vũ Hải; Fb: Vũ Hải Lê

Chọn B

Ta có tiếp tuyến ∆ của ( ) C tại x = 1 là y f = ′ ( ) ( ) ( ) 1 x − + 1 f 1 .

Dựa vào đồ thị của hàm số f x ′ ( ) , ta có f ′ = ( ) 1 0

Vậy ∆ = : y f ( ) 1 .

Gọi a1, a2 là hai nghiệm còn lại của f x ′ ( ) Dựa vào đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có ∆ = : y f ( ) 1 và ( ) C có ba điểm chung.

Câu 4 [2D1-5.6-4] (Ngô Quyền Hà Nội) Cho hàm số

3 1

x y x

+

=

− có đồ thị là ( ) C , điểm M thay đổi thuộc đường thẳng d y : = − 1 2 x sao cho qua M có hai tiếp tuyến của ( ) C với hai tiếp điểm

tương ứng là A, B Biết rằng đường thẳng AB luôn đi qua điểm cố định là H Độ dài đoạn

OH là

Lời giải

Tác giả : Trần Luật, FB: Trần Luật

Chọn D

Gọi M m ( ;1 2 − m d ) ∈ Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M có hệ số góc là k, khi đó phương trình đường thẳng ∆ = : y k x m ( − + − ) 1 2 m.

Để ∆ là tiếp tuyến của đồ thị ( ) C thì hệ phương trình

( ) ( )2

3

1 2 1

4 1

x

x

k x

+

 −





−

4 1

k x

= −

1

x

x + = − + −

mx + − m x m − − = ( ) * .

Qua M kẻ được hai tiếp tuyến với ( ) C khi và chỉ khi phương trình

g x mx = + − m x m − − = có hai nghiệm phân biệt x ≠ 1

( )

2

0

0

1

a m

m

m

= ≠



Gọi A x y ( A; A) , B x y ( B; B) là hai tiếp điểm, với xA, xB là hai nghiệm của phương trình ( ) * .

Theo địnhlý Vi-et ta có

( )

2

A B

m

m m

x x

m

−



Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì

2 3

; 1

I

Mặt khác

2

;

1

m x x

AB x x

m

−

−

uuur

⇒ một vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB là ( 2 ;1 )

n = m − m

r

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm AB có một vectơ pháp tuyến n r = ( 2 ;1 m − m ) và đi qua điểm

2 3

; 1

I

  là 2 mx + − ( 1 m y ) + − = 7 m 0

Gọi H x y ( H; H) là điểm cố định mà đường thẳng AB đi qua

Khi đó, 2 mxH+ − ( 1 m y ) H − + = ⇔ m 7 0 m x ( 2 H − − + + = yH 1 ) yH 7 0 với mọi m ≠ 0 và m ≠ 1

H

Phát triển câu 38.

Câu 38-1. Cho hàm số

3 1

x y x

+

=

− có đồ thị là ( ) C , điểm M thay đổi thuộc đường thẳng : 1 2

d y = − x sao cho qua M có hai tiếp tuyến của ( ) C với hai tiếp điểm tương ứng là A, B Khoảng cách từ O đến đường thẳng AB lớn nhất bằng

Lời giải

Tác giả: Lê Hồng Phi; Fb: Lê Hồng Phi

Chọn C

Kế thừa Lời giải trên, ta có đường thẳng AB mx : 2 + − ( 1 m y m ) − + = 7 0 luôn đi qua điểm cố

định H ( − − 3; 7 )

Gọi K là hình chiếu vuông góc của O trên AB Ta có OK OH ≤ = 58 Đẳng thức xảy ra khi

và chỉ khi K H ≡ , tức là OH AB ⊥ hay 7.2 3 1 ( ) 0 3

17

m − − m = ⇔ = m (thỏa điều kiện

0

m ≠

và m ≠ 1)

Vậy khoảng cách từ O đến đường thẳng AB lớn nhất bằng 58

Nhận xét.

+) Bài toán này dựa trên đặc điểm đường thẳng AB quay quanh điểm cố định H nên khoảng cách từ O đến AB lớn nhất khi AB OH ⊥ Từ đó ta có cách hỏi như trên

+) Nếu không phát hiện ra đường thẳng AB đi qua điểm cố định H thì học sinh có thể giải theo công thức tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB Tuy nhiên, làm theo cách này học sinh sẽ phải khảo sát hàm số và thực hiện các bước tính toán phức tạp

Câu 38-2. Cho hàm số

3 1

x y x

+

=

− có đồ thị là ( ) C , điểm M thay đổi thuộc đường thẳng : 1 2

d y = − x sao cho qua M có hai tiếp tuyến của ( ) C với hai tiếp điểm tương ứng là A, B Gọi K là hình chiếu vuông góc của O trên AB Khi M di chuyển trên d thì K di chuyển trên đường tròn cố định có bán kính bằng

58

29

2

Lờigiải

Tác giả: Lê Hồng Phi; Fb: Lê Hồng Phi

Chọn C

Kế thừa Lời giải bài toán đầu tiên, ta có đường thẳng AB luôn đi qua điểm cố định H ( − − 3; 7 )

Gọi K là hình chiếu vuông góc của O trên AB

Khi đó K nhìn đoạn OH (cố định) dưới một góc vuông nên khi M di chuyển trên d thì K di chuyển trên đường tròn đường kính OH

Vậy bán kính đường tròn là

58

2 2

OH

Nhận xét Bài toán này kết hợp ý tưởng đường thẳng AB đi qua điểm cố định Hvà bài toán quen thuộc ở lớp 9 là điểm K nhìn đoạn OH dưới một góc vuông thì K thuộc đường tròn đường kính OH

Câu 38-3. Cho hàm số

3 1

x y x

+

=

− có đồ thị là ( ) C , điểm M thay đổi thuộc đường thẳng : 1 2

d y = − x sao cho qua M có hai tiếp tuyến của ( ) C với hai tiếp điểm tương ứng là A, B Chọn khẳng định đúng dưới đây

A Đường thẳng AB luôn cắt hai trục tọa độ

B Tồn tại điểm M sao cho AB song song với trục Ox

C Tồn tại điểm M sao cho AB song song với trục Oy

D Không tồn tại điểm M sao cho AB đi qua gốc tọa độ O

Lời giải

Tác giả: Lê Hồng Phi; Fb: Lê Hồng Phi

Chọn A

Theo kết quả của bài toán ban đầu thì đường thẳng ABcó phương trình là

2 mx + − 1 m y m − + = 7 0 với m ≠ 0 và m ≠ 1

Do đó, AB không thể song song với trục Ox, Oy

Tiếp đến, đường thẳng AB đi qua O khi và chỉ khi − + = ⇔ = m 7 0 m 7 (thỏa điều kiện m ≠ 0

và m ≠ 1) Do đó, tồn tại điểm M sao cho AB đi qua gốc tọa độ O

Đường thẳng AB có một véc-tơ chỉ phương là u r = − ( m 1;2 m ) không cùng phương với các

véc-tơ đơn vị r i = ( ) 1;0 và r j = ( ) 0;1 của các trục Ox, Oy nên AB luôn cắt các trục tọa độ

Vậy khẳng định đúng là “Đường thẳng AB luôn cắt hai trục tọa độ”

Nhận xét Bài toán này đặt ra dựa trên điều kiện tồn tại của đường thẳng AB

Câu 5 [2D1-5.6-4] (Trần Đại Nghĩa) Cho hàm số 2 ( 1 1 )

x y x

−

= + có đồ thị là ( ) C Gọi điểm

( 0; 0)

M x y với x0 > − 1 là điểm thuộc ( ) C , biết tiếp tuyến của ( ) C tại điểm M cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB có trọng tâm G nằm trên đường thẳng d x y :4 + = 0 Giá trị của x0+ 2 y0 bằng bao nhiêu?

A

5

7

5 2

2

− .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Tấn Kiệt; Fb: Kiệt Nguyễn

Chọn D

Có 2 ( 1 1 )

x y x

−

=

1

1

x

′

Tiếp tuyến của ( ) C tại điểm M x y ( 0; 0) có phương trình: ( ) ( ) ( )0

0 2

0 0

1 1

1

x

x x

−

+

Theo đề:

2 0 0

1

;0

x

A  − + + x 

2

0 0

2 0

0;

x x B

x

2 0

1

;

G

x

− + +

Vì G d x y ∈ :4 + = 0 ta có: ( )

2 0

1

x

0

1

x x

x

+

( )

2

0 0

2 0

1

x



( ) 2

1 : x − 2 x − = 1 0 không xảy ra vì lúc này A B O ≡ ≡

( )

( )2 0

1

0

1 1 4

x

( ) ( )

0

0

1

1 N 2

3

1 L 2

x x

 = − > −



⇔ 

 = − < −

Với 0

1 2

2

y

⇒ = − 0 2 0 7

2

⇒ + = − .

Mar.nang@gmail.com

Câu 6 [2D1-5.6-4] (Đặng Thành Nam Đề 6) Cho hàm số f x ax bx cx d ( ) = 3+ 2+ + , có đồ thị ( ) C và

M là một điểm bất kì thuộc ( ) C sao cho tiếp tuyến của ( ) C tại M cắt ( ) C tại điểm thứ hai N ; tiếp tuyến của ( ) C tại N cắt ( ) C tại điểm thứ hai P Gọi S S1, 2 lần lượt là diện tích hình phẳng

giới hạn bởi đường thẳng MN và ( ) C ; đường thẳng NP và ( ) C Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

A S1= 8 S2 B S2 = 8 S1 C S2 = 16 S1 D S1= 16 S2

Lời giải

Tác giả:Phạm Hoàng Hải ; Fb: phamhoang.hai.900

Chọn C

Giả sử a > 0 và gọi m n p , , lần lượt là hoành độ các điểm M N P , , với m n < Tiếp tuyến tại

M là y ex f = + cắt ( ) C tại điểm M , N có hoành độ m n , trong đó tại điểm M là điểm tiếp

xúc Vì vậy phương trình ( ax bx cx d3+ 2+ + − + = ) ( ex f ) a x m x n ( − ) (2 − ) có các nghiệm là

1 2 ; 3

x x m x n = = = Theo định lý vi-et ta có 2 m n b n b 2 m

− + = ⇔ = − − .

3

b

a

−

< ⇒ <

Một cách tương tự cho tiếp tuyến NP có

2 n p b p b 2 n b 2 b 2 m b 4 m n

+ = ⇔ = − = −  − ÷ = + <

Sử dụng tích phân

12

b

a

x a x b dx − − = − a b −

12

MN C

2 ( ,( ))

4

2

12

b m a

NP C

b m a

b m

a

m

− −

+

− −

∫

∫

2 16 1

*Lưu ý: Có thể chọn 1 hàm bậc ba cụ thể với điểm M cụ thể để thử đáp án trắc nghiệm

Câu 7 [2D1-5.6-4] (Chuyên KHTN) Cho hàm số y = − + x3 3 x2+ 9 xcó đồ thị ( ) C Gọi A B C D , , , là

bốn điểm trên đồ thị ( ) C với hoành độ lần lượt là a b c d , , , sao cho tứ giác ABCD là một hình thoi đồng thời hai tiếp tuyến tại A và C song song với nhau và đường thẳng AC tạo với hai trục tọa độ tam giác cân Tính tích abcd

Lời giải

Tác giả:Phạm Ngọc Hưng; Fb: Hưng Phạm Ngọc

Phản biện: Nguyễn Hoàng Điệp; Fb: Điệp Nguyễn

Chọn B

Đặt A a y a B b y b C c y c D d y d ( ; ( ) ) , ( ; ( ) ) , ( ; ( ) ) , ( ; ( ) ) .

Theo giả thiết y a ′ ( ) ( ) = y c ′ ⇔ − + + = − + + ⇔ + = 3 a2 6 9 a 3 c2 6 9 c a c 2 (vì a c ≠ )

Do đường thẳng AC cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác cân nên hệ số góc của đường thẳng AC: k = ± 1

TH1:

1 y c y a 1 c c c a a a 1 10

( ) ( )

2

12

BD

b d a c

b a c d

AB DC

bd

y d y b y

AC BD

d b

+ = + =



−

uuur uuur

Do đó abcd = 120

TH2: k = − 1 Lập luận tương tự ta thu được abcd = 120

Câu 8 [2D1-5.6-4] (THPT-Chuyên-Sơn-La-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-4) Cho hàm số

( 1 ) (3 2 1 ) 1

y m x m x m có đồ thị ( ) Cm , biết rằng đồ thị ( ) Cm luôn đi qua ba điểm cố

định A, B, C thẳng hàng Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn [ − 10;10 ] để ( ) Cm có tiếp

tuyến vuông góc với đường thẳng chứa ba điểm A, B, C?

Lời giải

Tác giả: Bồ Văn Hậu; Fb: Nắng Đông

Chọn C

Gọi A x y ( A; A) , B x y ( B; B), C x y ( C; C)

Ta có: A là điểm cố định mà đồ thị ( ) Cm luôn đi qua nên A C ∈ ( )m , ∀ m

( 1 ) (3 2 1 ) 1,

⇔ yA = + m xA− m + x mA− + ∀ m

Tương tự ta cũng chứng minh được:yB = + xB 2 và yC = + xC 2.

Hay ba điểm A, B, C thuộc đường thẳng ∆ = + : y x 2

Ta lại có: y ′ = 3 ( m + 1 ) ( x2− 2 m + 1 ) và gọi M x y ( 0; 0) là tiếp điểm

Khi đó để ( ) Cm có tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ∆ thì phương trình ( ) 1 1

∆

−

′ o = = −

y x

k

phải có nghiệm ( ) 2 ( )

0

⇔ m + x − m = phải có nghiệm

+) Xét m = − 1: * ( ) ⇔ = 2 0 (vô lí) nên loại m = − 1

0

2 1: *

3 1

+

m

m

Để ( ) * có nghiệm thì ( 2 ) 0 ( ; 1 ) [ 0; )

3 1 ≥ ⇔ ∈ −∞ − ∪ + ∞ +

m

m m

So với điều kiện m ∈ ¢ và m ∈ − [ 10;10 ] ta được m ∈ ¢ và m ∈ − [ 10 ; 1 − ∪ ) [ ] 0;10

Hay m ∈ − − − − − − − − − { 10; 9; 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2;0;1;2;3;4;5;6;7; 8;9;10 }

Vậy có 20 số m thỏa yêu cầu bài toán

Câu 9 [2D1-5.6-4] (THPT NINH BÌNH – BẠC LIÊU LẦN 4 NĂM 2019) Cho đồ thị

( ) C y x : = −3 3 x2 Có bao nhiêu số nguyên b ∈ − ( 10;10 ) để có đúng một tiếp tuyến của ( ) C đi

qua điểm B b ( ) 0; ?

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Hữu Nam; Fb: Nam Nguyen Huu.

Chọn C

Gọi ( 3 2)

0 0; 0 3 0

M x x − x là tiếp điểm.

Tiếp tuyến ∆ của ( ) C tại M0 có dạng ( 2 ) ( ) 3 2

y = x − x x x − + − x x

B b ⇔ = b x − x − x + − x x ⇔ − = b x − x .

Có đúng một tiếp tuyến của ( ) C đi qua điểm B b ( ) 0; ⇔ (*) có đúng 1 nghiệm x0.

Đặt g x ( ) = 2 x3− 3 x2; g ′ = ( ) x 6 x2− 6 x; ( ) 0 0

1

x

g x

x

=



′ = ⇔  = 

Ta có bảng biến thiên của hàm g x ( )

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình ( ) * có đúng 1 nghiệm

− > <

− < − >

Vì b nguyên và b ∈ − ( 10;10 ) , suy ra b ∈ − − { 9; 8; ; 1;2;3; ;9 − } , có 17 giá trị của b.

Câu 10 [2D1-5.6-4] (Chuyên KHTN) Gọi ( ) C là đồ thị hàm số y x = + +2 2 2 x và điểm M di chuyển

trên ( ) C Gọi d d1, 2 là các đường thẳng đi qua M sao cho d1song song với trục tung và d d1, 2

đối xừng nhau qua tiếp tuyến của ( ) C tại M Biết rằng khi M di chuyển trên( ) C thì d2luôn đi

qua một điểm I a b ( ; ) cố định Đẳng thức nào sau đây là đúng ?

A 3 2 0 a b + = B a b + = 0 C ab = − 1

D 5 4 0 a b + =

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Hạnh ; Fb: Hạnh nguyễn

Phản biện: Nguyễn Hoàng Điệp; Fb:Điệp Nguyễn

Chọn D

+) Gọi M x y ( ; )0 0

Do M C ∈ ( ) ⇒ = + y0 x02 2 x0+ 2

Hệ số góc của tiếp tuyến d của ( ) C tại M là f x ′ ( ) 2(0 = x0+ 1)

+) TH1: x0 > − 1

Hệ số góc của d2là k = tan α

Ta có

µ µ

2

0

2 tan

90 tan cot

γ

β



−



$

$

Mà hệ số góc của tiếp tuyến d của ( ) C tại M là tan β ⇒ tan β = 2( x0+ 1)

Khi đó

[2( 1)] 1 4( 1) 1

k tan

4( 1) 4( 1)

Phương trình đường thẳng d2là:

2

2 0

0

4( 1) 1

4( 1)

x

x

+ −

+ Thay x = - 1 vào d2ta được

0

x

Vậy d2luôn đi qua điểm I ( 1; ) − 5 4 cố định +) TH2: x0 < − 1

Hệ số góc của d2là k = tan α

Ta có:

µ

2

0

2

2cot

tan

2 tan

φ

φ

β α

β



−





−

$

Mà hệ số góc của tiếp tuyến d của ( ) C tại M là − tan β ⇒ tan β = − 2( x0+ 1)

Khi đó

[-2( 1)] 1 4( 1) 1

k tan

4( 1) 4( 1)

Phương trình đường thẳng d2là:

2

2 0

0

4( 1) 1

4( 1)

x

x

+ −

+ Thay x = - 1 vào d2ta được

0

x

Vậy d2luôn đi qua điểm I ( 1; ) − 5 4

cố định +) TH3: x0 = − 1

Khi đó M ( 1;1) − ; d1qua M và song song với trục tung nên có phương trình là: x = − 1

Tiếp tuyến d của ( ) C tại M có phương trình: y = 1

Mà d d1, 2 đối xứng nhau qua tiếp tuyến d của( ) C tại M và d2 qua M nên d2trùng d1

Vậy d2luôn đi qua điểm I ( 1; ) − 5 4

cố định