Dang 4. Sự tương giao của hai đồ thị (liên quan đến tọa độ giao điểm)(VDT

Để C và d cắt nhau tại hai điểm phân biệt M, N thì * phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1Suy ra: AM2+ AN2 đạt giá trị nhỏ nhất là 20 khi nhkteacherofmath.edu@gmail.com... Tính tổng bình p

Câu 1 [2D1-5.4-3] (ĐOÀN THƯỢNG-HẢI DƯƠNG LẦN 2 NĂM 2019) Gọi m là số thực dương

sao cho đường thẳng y m = + 1 cắt đồ thị hàm số y x = − −4 3 x2 2 tại hai điểm phân biệt M N ,

thỏa mãn tam giác OMN vuông tại O (O là gốc tọa độ) Kết luận nào sau đây là đúng?

Phương trình ( ) 2 có tích a c = − − < m 3 0 khi m là số thực dương

Suy ra phương trình ( ) 2 luôn có hai nghiệm trái dấu t1< < 0 t2.

Từ đó suy ra phương trình ( ) 1 có hai nghiệm đối nhau x1= − t x2, 2 = t2 đồng thời ( ) d và

( ) C cắt nhau tại hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua Oy là M ( − t m2; + 1 , ) ( N t m2, + 1 )

Mặt khác tam giác OMN vuông tại O thì OM ON uuuuruuur = 0 ( )2

Câu 2 [2D1-5.4-3] (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Cho hàm số y f x = ( ) xác định trên ¡ \{1},

liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình f x ( ) + = 1 m có đúng

ba nghiệm thực phân biệt

A ( ) − 4;2 . B ( −∞ ;2 ] . C [ − 4;2 ) . D ( ) − 3;3 .

Lời giải

Tác giả: Đỗ Bảo Châu; Fb: Đỗ Bảo Châu

Cách 1 – Phan Văn Tài

Ta có: x mx2+ + = + 2 2 1 x (1)

( )2 2

m

⇔ ≥ .Vậy

9 2

Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình có hai nghiệm thực khi

9 2

m ≥ .

Câu 4 [2D1-5.4-3] (Sở Hưng Yên Lần1) (Sở Hưng Yên Lần1) Có bao nhiêu giá trị âm của tham số

m để phương trình 2019 m + 2019 m x + 2 = x2 có hai nghiệm thực phân biệt

Phương trình 2019 m + 2019 m x + 2 = x2 có hai nghiệm thực phân biệt

m m

4 0

m m

Để ( ) C và d cắt nhau tại hai điểm phân biệt M, N thì (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1

Suy ra: AM2+ AN2 đạt giá trị nhỏ nhất là 20 khi

nhkteacherofmath.edu@gmail.com

Câu 7 [2D1-5.4-3] (Chuyên Hạ Long lần 2-2019) Tìm m để đồ thị hàm số y x = −4 2 mx m2 + −2 1

cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt

A m > 1 B − ≤ ≤ 1 m 1 C m ≤ − 1 D

1 1

m m

Để đồ thị hàm số y x = −4 2 mx m2+ −2 1 cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt

⇔ phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt⇔ phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt dương ⇔

0 0 0

S P

m m m

Câu 8 [2D1-5.4-3] (THPT-Phúc-Trạch-Hà-Tĩnh-lần-2-2018-2019-thi-tháng-4)Tất cả giá trị của

tham số m để đồ thị hàm số ( ) C y : = − + 2 x3 3 x2+ 2 m − 1 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệtlà

A

1 0

Số giao điểm của ( ) C và trục hoành chính là số nghiệm của phương trình ( ) 1 .

Mặt khác số nghiệm của ( ) 1 chính là số giao điểm của đồ thị ( ) C ′ của hàm số y = 2 x3− 3 x2 vớiđường thẳng d ym: = 2 m − 1

Khi đó yêu cầu bài toán ⇔ ( ) C ′ cắt dm tại 3 điểm phân biệt ⇔ − < 1 2 m − < ⇔ < < 1 0 0 m 1 2.

Câu 9 [2D1-5.4-3] (THĂNG LONG HN LẦN 2 NĂM 2019) Cho hàm số y f x = ( ) có đồ thị như

hình vẽ bên Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f f x m   ( ) + =   0 có

đúng 3 nghiệm phân biệt

Nhận xét: +) Với t = − 3 ⇒ phương trình ( ) * có một nghiệm x = 1

+) Với t > − ⇒ 3 phương trình ( ) * có hai nghiệm x x = 1 và x x = 2 với x1< 1; x2 > 1.

Câu 10 [2D1-5.4-3] (Ngô Quyền Hà Nội) Cho hàm số y f x = ( ) liên tục trên đoạn [ ] − 2;2 và có đồ thị

như hình vẽ dưới đây Số nghiệm thực của phương trình 2 f x ( ) − = 1 0 trên đoạn [ ] − 2;2 là

Do đó số nghiệm phương trình 2 f x ( ) − = 1 0 trên đoạn [ ] − 2;2 là số giao điểm của đồ thị hàm

số y f x = ( ) và đường thẳng y = 1 2 trên đoạn [ ] − 2;2 .

Từ đồ thị ta thấy, trên đoạn [ ] − 2;2 đường thẳng

1 2

y = cắt đồ thị hàm số y f x = ( ) tại 3 điểm phân biệt nên phương trình 2 f x ( ) − = 1 0 trên đoạn [ ] − 2;2 có 3 nghiệm phân biệt

Câu 11 [2D1-5.4-3] (Đặng Thành Nam Đề 9) Cho hàm số y f x = ( ) liên tục trên R và có đồ thị như

hình vẽ bên Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f f x ( ) ( ) = f x ( ) bằng

Câu 12 [2D1-5.4-3] (Chuyên Thái Bình Lần3) Cho hàm số f x ( ) = + x3 3 x mx2+ + 1. Gọi S là tổng

tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y f x = ( ) cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểmphân biệt A ( ) 0;1 , B , C sao cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x = ( ) tại B , C vuônggóc với nhau Gía trị của S bằng

A.

9

9

9

11 5

0 0

9

9 4 0

4

m m

d y m x m = + Biết rằng m m m m1, 2( 1 > 2) là hai giá trị thực của m để đường thẳng d cắt

đồ thị ( ) Cm tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x x x1, ,2 3 thỏa mãn 4 4 4

Để đường thẳng d cắt đồ thị ( ) Cm tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x x x1, ,2 3 ⇔ ≠ m 0

Câu 15 [2D1-5.4-3] (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4) Biết hai đồ thị

hàm số y x x = + −3 2 2 và y = − + x x2 cắt nhau tại ba điểm phân biệtA B C , , Khi đó, diện tíchtam giác ABC bằng

x x x

Vậy diện tích tam giác ABC bằng 3

Câu 16 [2D1-5.4-3] (CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 3) Cho hàm số f x ( ) có đạo hàm liên tục trên

¡ và thỏa mãn f x ( ) > ∀ ∈ 0, x ¡ Biết f ( ) 0 1 = và

( ) ( )

Phương trình ( ) 1 có 2 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi ln m < ⇔ < < 1 0 m e.

Cách 2: Tác giả fb: Quốc Vương

Từ f x ( ) = e2x x− 2 ⇒ f x ′ ( ) ( ) = 2 1 − x e2x x− 2; f x ′ ( ) = ⇔ = 0 x 1; lim ( ) lim ( ) 0

x f x x f x

→ −∞ = → +∞ = .

Bảng biến thiên của f x ( )

Vậy phương trình f x m ( ) = có 2 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi 0 < < m e

Câu 17 [2D1-5.4-3] (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Cho hàm số

2 1 1

x y x

+

= + có đồ

thị (C) Gọi S là tập tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d y x m : = + − 1 cắt đồ thị

(C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 2 3 Tính tổng bình phương các phần tử của S.

x m

≠ −

 + = + − ⇔ 

(*) 2

0 ( 1) ( m 2) m 2 0

Hơn nữa, AB = 2 3 ⇔ AB2 = ⇔ 12 2( x x2− 1) 122 = ⇔ ( x x1+ 2) 42− x x1 2 = 6, với

So điều kiện (**), ta nhận hai giá trị m trên Do đó, S = − { 4 10;4 + 10 } .

Vậy, tổng bình phương các phần tử của S là ( ) (2 )2

x y

Dựa vào đồ thị ta thấy để phương trình (1) có 4 nghiệm khi hai đồ thị y f x = ( ) và

1 5

m m − + > luôn đúng

Câu 19 [2D1-5.4-3] (Sở Ninh Bình 2019 lần 2) Cho hàm số y f x = ( ) có đồ thị như hình vẽ sau.

Số nghiệm của phương trình ( ) ( )2

x x y

2

x x

x x

x x

=

 + = − ≠ ⇔  =

+ Khi đó, không giảm tổng quát, giả sử hoành độ của A và B lần lượt là 0 và 1

Tiếp tuyến của ( ) C tại điểm có hoành độ x x0, ( 0 ≠ 2 ) bất kì có hệ số góc là:

− tại hai điểm phân biệt A B ,

cùng cách đều đường thẳng y = 0 Khi đó k thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

Đường thẳng d cắt đồ thị ( ) H tại hai điểm phân biệt A B , khi và chỉ khi phương trình ( ) 1 có

hai nghiệm phân biệt khác 1

Gọi x x1, 2 là 2 nghiệm của phương trình ( ) 1 , ta có: A x kx k B x kx k ( 1; 1+ ) ( , 2; 2+ ) Do A B ,

cách đều đường thẳng y = 0 nên kx k kx k1+ = 2+ ⇔ kx k1+ = − − kx k2 ( vì A B , là hai điểm

⇔ = − ( thỏa mãn điều kiện ).

Câu 22 [2D1-5.4-3] (Chuyên Bắc Giang) Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng

Nghiệm x1, x2 của ( ) 1 lần lượt là hoành độ điểm A, B

Gọi A x x m ( 1; 1− + 2 ) và B x x m ( 2; 2− + 2 ) Theo hệ thức Vi-ét ta có:

1 2

1 2

1 2

+

= + (1) Đường thẳng

:

d y ax b = + là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) Biết d cắt trục hoành, trục tung lần lượt tạihai điểm A, B sao cho tam giác OAB cân tại O Khi đó a b + bằng

1 1

2

2 3

x x

x x

Khi x = − 1, y = 1, phương trình tiếp tuyến là y = − 1 ( ) x + + ⇔ = 1 1 y x (loại) do tiếp tuyến này

đi qua gốc tọa độ nên không tạo được tam giác vuông cân

Khi x = − 2, y = 0, phương trình tiếp tuyến là y = − 1 ( ) x + + ⇔ = − − 2 0 y x 2 (thỏa mãn)

Vì đồ thị hàm số y f x = ( ) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt nên phương trình f x ( ) = 0 có

4 nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4.

Vậy phương trình g x ( ) = 0 vô nghiệm

Câu 25 [2D1-5.4-3] (CổLoa Hà Nội) Cho hàm số y f x = ( ) liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ dưới

đây Hỏi phương trình f ( 2 − f x ( ) ) = 1 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

Mà f x ( ) = 4 có nghiệm duy nhất nhỏ hơn − 2.

Và f x ( ) = 1 có 2 nghiệm phân biệt x = − 2; 1 x =

Vậy phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt

Câu 26 [2D1-5.4-3] (KINH MÔN HẢI DƯƠNG 2019) Cho hàm số y f x = ( ) liên tục trên [ ] 1;3 và

có bảng biến thiên như sau

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình ( 1 ) 2

+) Số nghiệm của phương trình f x a ( − = ) ( ) f c là số giao điểm của đồ thị y f x a = ( − ) và

đường thẳng y f c = ( ) trong đó đường thẳng y f c = ( ) là đường song song hoặc trùng với trục

hoành, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng f c ( ), còn đồ thị hàm số y f x a = ( − ) có được là

do tịnh tiến đồ thị hàm số y f x = ( ) sang trái theo phương của trục hoành ( ) − a đơn vị.

Từ ba điều trên suy ra phương trình f x a ( ) ( ) − = f c có đúng một nghiệm.

Câu 28 [2D1-5.4-3] (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Cho hàm số y f x = ( ) có đồ thị như hình vẽ.

Gọi A là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình ( 2sin )

Từ đó, ta suy ra được bảng biến thiên của u = 2sin x là

Với u = 2 ta có 3 nghiệm phân biệt x ∈ − [ π π ;2 ].

Với u = 0 ta có 4 nghiệm phân biệt x ∈ − [ π π ;2 ].

Với 0 < < u 2 ta có 6 nghiệm phân biệt x ∈ − [ π π ;2 ].

Yêu cầu bài toán ⇔ f u ( ) =  ÷ f     m 2 có 2 nghiệm phân biệt trong khoảng ( ) 0;2

Câu 29 [2D1-5.4-3] (Thị Xã Quảng Trị) Cho hàm số y f x = ( ) liên tục trên R và có đồ thị như hình

vẽ bên Tìm giá trị của tham số m để phương trình ( ) ( )

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Tỉnh; Fb: Nguyễn Văn Tỉnh

Chọn B

Phương trình tương đương m3+ = m ( f x2( ) + 1 )3+ f x2( ) + 1 (*)

Xét hàm số f t t t ( ) = +3 trên ¡ có f t ′ = + > ∀ ∈ ( ) 3 t2 1 0 t R nên hàm số đồng biến trên R

Từ phương trình (*) ⇒ = m f x2( ) + 1 ( Đk m ≥ 1) Khi đó phương trình

Nếu m = 1 ta có f x ( ) = 0 phương trình có 2 nghiệm nên m = 1 loại

Nếu m > 1 phương trình (2) có đúng một nghiệm, như vậy để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt thì phương trình (1) có đúng hai nghiệm phân biệt suy ra

1 5

26

m m

Câu 30 [2D1-5.4-3] (NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG LẦN IV NĂM 2019) Cho hàm số y f x = ( ) xác

định và liên tục trên trên R có đồ thị như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 7 5 2 1 3 f ( − + cosx ) = 3 m − 7

có hai nghiệm phân biệt thuộc ;

+) Với cos 1 x = ⇒ = t 1 nên khi t = 1 thì (1) có một nghiệm x thuộc ;

Câu 31 [2D1-5.4-3] (Quỳnh Lưu Lần 1) Một đường thẳng cắt đồ thị hàm số y x = −4 2 x2 tại 4 điểm

phân biệt có hoành độ là 0,1, , m n Tính S m n = +2 2

Lời giải

Tác giả: Lê Tuấn Duy ; Fb: Lê Tuấn Duy

Chọn C

Gọi phương trình đường thẳng là d y ax b : = +

Theo đề ta có 0,1, , m n là các nghiệm của phương trình: x4− 2 x ax b2− − = 0 (1)

Vì x=0 ,x=1 là nghiệm của phương trình (1) nên ta có:

0 1

Dễ thấy m,n là nghiệm của phương trình: x2+ − = x 1 0

2 2 ( ) 22 ( 1) 2 32

S m n = + = + m n − mn = − + =

Câu 32 [2D1-5.4-3] (Yên Phong 1) Cho hàm số y f x = ( ) liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ Có

bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt

3

2 2

6 1

61

4 m 5 32

⇔ − = ⇔ = ± m 2 37

.Đối chiếu với điều kiện, ta thu được

37 2

m = .Vậy có đúng 1 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 33 [2D1-5.4-3] (SGD-Nam-Định-2019) Cho hàm số y = x

1 − x ( ) C và điểm A ( ) − 1;1 Tìm m đểđường thẳng d: y = mx − m − 1 cắt ( ) C tại hai điểm phân biệt M, N sao cho AM2+ AN2 đạtgiá trị nhỏ nhất

Suy ra: AM2+ AN2 đạt giá trị nhỏ nhất là 20 khi

x

=

− ( ) C và đường thẳng d y : = − + x m Gọi S là tập hợp các số thực m để đường thẳng

d cắt đồ thị ( ) C tạihai điểm phân biệt A B , sao cho tam giác OAB (O là gốc tọa độ) có bánkính đường tròn ngoại tiếp bằng 2 2 Tổng các phần tử của S bằng

Để đường thẳng d cắt đồ thị ( ) C tại hai điểm phân biệt A B , thì phương trình ( ) * phải có hai

nghiệm phân biệt khác 1 nên ta có

a b c d e

4

y f x = = x − x + + x r

.Khi đó phương trình f x r ( ) = ⇔ 1 5 x5 5 3 x3 4 x 0 x 1 5 x4 5 3 x2 4 0 x 0

Lời giải còn lại tương tự như cách 1.

Câu 36 [2D1-5.4-3] (Sở Thanh Hóa 2019) Cho hàm số f x x ( ) = −3 3 x2− + 6 1 x Phương trình

( ( ) 1) 1 ( ) 2

f f x + + = f x + có số nghiệm thực là

Lời giải Chọn B

Dựa vào BBT ⇒ f x ( ) 4,4 = có 1 nghiệm⇒ f x ( ) = − 0.12 có 3 nghiệm.

Vậy có tất cả 4 nghiệm

( ) ( )

y x = + mx + + m x + C Giá trị của tham số m để đường thẳng ( ) d y x : = + 4 cắt

( ) Cm tại ba điểm phân biệt A ( ) 0;4 , , B C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 8 2 vớiđiểm K ( ) 1;3 là:

A

1 137 2

m = +

1 137 2

m = ± +

C

1 137 2

m = ±

1 137 2

Diện tích tam giác KBC là: 1 ( ) 1 ( 2 ) 2

1 137 2

m = ±

Câu 38 [2D1-5.4-3] (THPT LƯƠNG THẾ VINH 2019LẦN 3) Cho hàm số y f x = ( ) liên tục trên R

và có đồ thị như hình vẽ bên Biết rằng f x ′ > ( ) 0 với mọi x ∈ − ∞ − ∪ + ∞ ( ; 3 ) ( 2; ) Số nghiệmnguyên thuộc khoảng ( − 10;10 ) của bất phương trình   f x x ( ) + − 1   ( x x2− − > 6 0 ) là

Lời giải Tác giả:Trương Văn Tâm ; Fb: Văn Tâm Trương

+ Phương trình ( ) 2 là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y f x = ( ) và đường

thẳng y = − + x 1 Dựa vào đồ thị hàm số đã vẽ ở hình bên, ta thấy rằng phương trình ( ) 2 có 4

nghiệm phân biệt là x = − 3, x = − 1, x = 0 và x = 2

Kết hợp điều kiện x nguyên và x ∈ − ( 10;10 ) ta có x ∈ { 1;4;5;6;7;8;9 } .

Vậy có tất cả 7 giá trị x thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 39 [2D1-5.4-3] (THTT lần5) Cho hàm số

4 2 2

y x = − x có đồ thị ( ) C , có bao nhiêu đường thẳng

d có đúng 3 điểm chung với đồ thị ( ) C và các điểm chung có hoành độx x x1 2, , 3thỏa mãn

Phương trình hoành độ giao điểm của d và ( ) C là: x4− 2 x ax b2 = +

Mà phương trình là phương trình bậc 4 nên phương trình muốn có 3 nghiệm phân biệt thì trong

đó sẽ có 1 nghiệm kép gọi là x1, hai nghiệm còn lại là x x2, 3

Suy ra đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị ( ) C , không mất tính tổng quát giả sử đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị hàm số ( ) C tại x1

Gọi d là tiếp tuyến của ( ) C tại điểm có hoành độ x1, d cắt ( ) C tại 2 điểm phân biệt có hoành

độ x x2, (3 ≠ x1)thỏa mãn x13+ + = − x23 x33 1

x − +

⇔ = Vậy có đúng 1 đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 40 [2D1-5.4-3] (Cụm 8 trường chuyên lần1) Tính tổng Stất cả các giá trị tham sốmđể đồ thị

hàm số f x x ( ) = −3 3 mx2+ 3 mx m + −2 2 m3tiếp xúc với trục hoành

2 3

TH2 : Đồ thị hàm số y f x = ( ) có 2 cực trị vày yCÐ CT = 0(với phương trình đường thẳng đi qua

0

12

32

Giả sử x1, x2, x3 là ba nghiệm phân biệt của phương trình ( ) 1 .

Theo hệ thức viet đối với phương trình bậc ba ta có :

1 2 3

1 2 2 3 3 1

1 2 3

1 3 3

Vậy có một số thực m thỏa mãn

Câu 42 [2D1-5.4-3] (KHTN Hà Nội Lần 3) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m, ( m < 5 ) để

đường thẳng y mx m = − − 1 cắt đồ thị của hàm số y x = − +3 3 1 x tại 3 điểm phân biệt ?

Câu 43 [2D1-5.4-3] (Đặng Thành Nam Đề 9) Có bao nhiêu số thực m để đường thẳng y = − + x m cắt

đồ thị hàm số

1 (2 ) 3(2 3) 3

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y = − + x m và đồ thị hàm số

1 (2 ) 3(2 3) 3

2

01

Vì OA Oy ≡ nên có một véctơ chỉ phương là r j (0;1).

Vậy để đường thẳng OA là phân giác của góc ·BOCthì:

1 2

00

Đối chiếu điều kiện (1) và A O ≠ nên nhận m = ± 7 33.

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn

Câu 44 [2D1-5.4-3] (CHUYÊN HUỲNH MẪN ĐẠT 2019 lần 1) Cho hàm số y f x = ( ) liên tục trên

m

y = − x 2 22

019

m

y = − x .

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số y f x = ( ) và 9 2

3

m

y = − x cắt nhau tại 3 điểm khi và

chỉ khi điểm M ( ) − 1;4 nằm ngoài ( ) E

Vậy có 4 giá trị m nguyên dương thỏa mãn đề bài

Câu 45 [2D1-5.4-3] (Sở Ninh Bình 2019 lần 2) Cho hàm số f x x ( ) = − +3 3 1 x Tìm số nghiệm của

1,879 1,532 0,347

x x x