TỔ-18-ĐỢT-2-HSG-LỚP-10-THPT-YÊN-PHONG-2-BẮC-NINH-NĂM-2018-2019

Tìm x để AM và CN vuông góc với nhau.. Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Hiền ; Fb: Nguyễn Hiền... Vậy không có giá trị nào của mthỏa mãn bài toán đã cho... Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-V

GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI HSG LỚP 10 THPT YÊN PHONG

2-BẮC NINH NĂM 2018-2019

MÔN TOÁN

Câu 1 (4 điểm).Cho hàm số y x 2 2m 3x 2m2 1 

1) Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  1 khi m  0

2) Xác định m để đồ thị hàm số  1

cắt đường thẳng y3x1 tại hai điểm A B, phân biệt sao

cho OAB vuông tại O (với O là gốc tọa độ ).

Câu 2 (2 điểm).Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

2 1

2

x

trên khoảng 1;3

Câu 3 (5 điểm).Giải phương trình:

1) x2 3x1 7 2  x

2) 3x 1 4x 3 5x4

3) 3x 3 5 2 x x 33x210x 26 0

Câu 4: (2 điểm).Giải hệ phương trình: ( )

4 2

1

x x y xy xy y

ïí

ïî

Câu 5 (3 điểm). Cho tam giác ABC có AB 1, AC  và x BAC   Các điểm 60 M , N được xác

định bởi MC  2MB

và NB  2NA

Tìm x để AM và CN vuông góc với nhau.

Câu 6 (2 điểm).Cho tam giác ABC Chứng minh rằng với G là trọng tâm tam giác ABC , ta có

1

6

GA GB GB GC GC GA   AB BC CA

     

Câu 7 (2 điểm) Cho x y z, , 2018;2019 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

f( , , )

x y z

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Cho hàm số y x 2 2m 3x 2m2 1 

1) Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  1

khi m  0 2) Xác định m để đồ thị hàm số  1

cắt đường thẳng y3x1 tại hai điểm A B, phân biệt sao

cho OAB vuông tại O (với O là gốc tọa độ ).

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Hiền ; Fb: Nguyễn Hiền

1) Khi m 0 ta được hàm số y x 23x2

*) Tập xác định: D 

*) Tọa độ đỉnh:

;

I  

*) Sự biến thiên: Vì a   nên hàm số đồng biến trên khoảng 1 0

3

; 2



 

  , nghịch biến trên

khoảng

3

; 2



 

*) Bảng biến thiên

*) Điểm đặc biệt

*) Đồ thị : Đồ thị là 1 đường parabol có đỉnh

;

I  

  , hướng bề lõm lên trên và nhận đường

thẳng

3 2

x

làm trục đối xứng

2) Phương trình hoành độ giao điểm của ĐTHS  1

và đường thẳng y3x1là:

x  m x m  x

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 2

2 2 2 3 0

Để ĐTHS  1

cắt đường thẳng y3x1tại 2 điểm phân biệt A B,  phương trình  *

có 2 nghiệm phân biệt    0

3 1

m m

 





Gọi x x là các nghiệm của phương trình 1, 2  *

,ta có

1 2

1 2

2





 ĐặtA x 1;3x11 , B x 2;3x21

OAB

 vuông tại O OA OB  . 0

31 26

m

( thỏa mãn) Vậy

31 26

m 

Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

2 1

2

x

  xác định trên khoảng 1;3

Lời giải

Tác giả:Trần Thị Kim Xuyến ; Fb: Xuyen Tran

Hàm số xác định khi

1 0

x m







1 2

x m

 



 



 Với điều kiện m 1 2m m  thì hàm số có tập xác định là 1 Dm1;2m

Vậy hàm số

2 1

2

x

  xác định trên khoảng 1;3

 1;3  1; 2  1

m



 

 



1

m

   



 

 



0 3 2 1

m m m











 



Hệ vô nghiệm

Vậy không có giá trị nào của mthỏa mãn bài toán đã cho

Câu 3. Giải phương trình

1) x2 3x1 7 2  x

Lời giải

Tác giả:Anh Tuấn ; Fb: Anh Tuan

Ta có x2 3x1 7 2  x

2x 7 0



 

x



 



7

2

5

10

3

x

x

x



















5

x

Kết luận:Tập nghiệm của phương trình là S  5 .

2) 3x 1 4x 3 5x4

Lời giải

Tác giả:Anh Tuấn ; Fb: Anh Tuan

Ta có 3x 1 4x 3 5x4

x

x







3

4

x







 



2

3

3 4

x



 



 



3

4

1

12 11

x

x

x



















1

x

Kết luận:Tập nghiệm của phương trình là S  1 .

3) Giải phương trình: 3x 3 5 2 x x 33x210x 26 0

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Hằng; Fb: Hang Nguyen

ĐKXĐ:

1

 



   





x

x x

Với ĐKXĐ ở trên ta có:

3 2

3x 3 5 2 x x 3x 10x 26 0 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 4

       

2

2

2

2

2











x

2

 x , do

2

nên phương trình  *

vô nghiệm

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S  2 .

Câu 4: Giải hệ phương trình: ( )

4 2

1

x x y xy xy y

ïí

ïî

Lời giải

4 2

1 (1) *

x x y xy xy y

ïí

ïî

2 2

1 1

ïï

Û íï

ïïî + Đặt

2

b xy

ìï =

-ïí

ï =

1

a ab b

ì + + = ïï

íï + = ïî

+ Hệ

3 2

(**)

a a a

ï

ïî

Từ đó ta tìm ra (a b; ) (Î { 0; 1 ; 1; 0 ;) ( ) (- 2; 3 }- )

 Với (a b; ) (= 0; 1) ta có hệ

1 1

x y xy

ìï - =

íï = ïî

 Với (a b; ) (= 1; 0) ta có hệ 2 1 ( ; ) (0; 1 ; 1; 0 ;) ( ) ( 1; 0)

0

x y xy

ìï - =

-íï = ïî

 Với (a b; ) (= - 2; 3- )

ta có hệ

2

2 3

3 3

2

y y

x

Vậy hệ có 5 nghiệm (x y; ) (Î { 1; 1 ; 0; 1 ; 1; 0 :) ( - ) ( ) (- 1; 0 ;) (- 1; 3 }) .

Câu 5 (3 điểm). Cho tam giác ABC có AB 1, AC  và x BAC   Các điểm 60 M , N được xác

định bởi MC  2MB

và NB  2NA

Tìm x để AM và CN vuông góc với nhau.

Lời giải

Điều kiện: x  0

Ta có:

+) MC  2MB  MA AC   2MA AB 

3MA AC 2AB

     

3AM AC 2AB

     

+) NB 2NA  NC CB  2 NC CA 

3NC CA AB 2CA

      

3NC 3AC AB

    

Vậy: AM CN   AM NC 0  AC 2AB  3 AC AB  0

3AC 2AB 5AB AC 0

 

3AC 2AB 5 AB AC cos AB AC, 0

2

2

1

2

4

3

x

x









 



Tháa m·n

Lo¹i

Vậy

1 2

x 

thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 6. Cho tam giác ABC Chứng minh rằng với G là trọng tâm tam giác ABC , ta có

1

6

GA GB GB GC GC GA                              AB BC CA

     

     

     

     

     

     

Lời giải

Tác giả: Bối Bối ; Fb: Bối Bối

Do G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có:

GA GB GA GB c                               GA GB

 os

GA GB c AGB



GA GB

GA GB



2

GA GB  AB



2

2

AB



2

2

AB



4

(1) 2



Tương tự ta có:

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 6

2 2

4

2

GB GC



 

4

2

GC GA



 

Từ (1), (2) và (3), ta có:

4

2

GA GB GB GC GC GA



     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

2



2

3

2

AB BA CA  AB BA CA



1 3

2



1



Câu 7 (2 điểm) Cho x y z, , 2018;2019 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

f( , , )

x y z

Lời giải

Tác giả: Trần Quang Tiềm ; Fb:Tiem Tran

Cách 1:

Ta đi chứng minh với: x y z, , a; b ,(a 0) ta luôn có





2

 b(2a x y) x(a y) y(a x) a(2       b x y) x(b y) y(b x)       0 (đúng)

Vậy ta có



Dấu bằng xảy ra khi x y a z, a hay x  y z a

Dấu bằng xảy ra khi x  y z a.

3

4036

Cách 2:

Ta có





(Theo BDT AM-GM)

Đặt t xy,(2018 t 2019), do gt ,x y2018;2019

Xét hàm



2

t t , liên tục trên 2018;2019 và nghịch biến trên

2018;2019 do đó











2018;2019

2018;2019 2018;2019

g

g

nên



z

Đánh giá tương tư cho 2 biểu thức còn lại

3

4036

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 8