Tổ-8-Đ11-HSG SỞ GD _ ĐT CẦN THƠ

Theo tính toán của nhà xe, nếu chở được k khách thì giá tiền mà mỗi khách phải trả khi đi tuyến đường này là 2 3k 180 2 trăm đồng.. b Một lớp học trong một trường đại học có 60 sinh vi

SỞ GD&ĐT CẦN THƠ KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2018-2019

ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề.

Đề thi gồm 02 trang

Câu 1. Cho hàm số

( với m

là tham số thực ) có đồ thị ( )C

và điểm

( )0;1

H

Tìm tất cả các giá trị của m

để đồ thị ( )C

có ba điểm cực trị A B C, , sao cho H là trực tâm của tam giác ABC

Câu 2. Một xe khách chất lượng cao đi từ Cần Thơ đến Hà Nội chở được nhiều nhất 50

hành khách trên mỗi chuyến đi Theo tính toán của nhà xe, nếu chở được k

khách thì giá tiền mà mỗi

khách phải trả khi đi tuyến đường này là

2

3k 180

2

trăm đồng Tính số hành khách trên mỗi chuyến xe sao cho tổng số tiền thu được từ hành khách nhiều nhất Tính số tiền đó

Câu 3. Giải các phương trình sau

a)

3 log x − + +x 1 log 1 2− x +2x= −1 x − +x 1

cos x− 3 cosx+6sin cosx x= sinx+cosx −sin x−sinx

Câu 4.

a) Một chiếc xe ô tô đang chạy với vận tốc v0(m/s)

thì người lái xe đạp phanh Kể từ thời điểm

đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t( ) = − +4t v0(m/s)

, trong đó t (tính bằng giây) là khoảng thời gian kể từ lúc người lái đạp phanh Tính vận tốc v0(m/s)

, biết rằng từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn ô tô còn chạy tiếp một quãng đường dài 8 mét

b) Một lớp học trong một trường đại học có 60 sinh viên, trong đó có 40 sinh viên học tiếng Anh, 30 sinh viên học tiếng Pháp và 20 sinh viên học cả tiếng Anh và tiếng Pháp Chọn ngẫu nhiên 2 sinh viên của lớp học này Tính xác suất để 2 sinh viên được chọn không học ngoại ngữ Biết rằng trường này chỉ dạy hai ngoại ngữ là tiếng Anh và tiếng Pháp

Câu 5. Cho hình lăng trụ ABCD A B C D ′ ′ ′ ′

có đáy ABCD

là hình thoi cạnh a

,

BAD= °

Biết các đường thẳng A A′ , A B A C′ , ′

cùng tạo với mặt phẳng

(ABCD)

một góc bằng 60°

Gọi M, N

lần lượt là trung điểm của BB CC′, ′

a) Tính thể tích khối lăng trụ ABCD A B C D ′ ′ ′ ′

b) Tính khoảng cách giữa AD và mặt phẳng (D MN′ )

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC

nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn tâm I Gọi E, Mlần lượt là trung điểm của các cạnh ABvà BC

; các điểm F và Dtương ứng là hình chiếu vuông góc của A và Btrên các đường thẳng BC

và AI

a) Chứng minh rằng ME là đường trung trục của đoạn thẳng DF

b) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

, biết rằng M(2; 1)−

,

9 8

;

5 5

D − 

và đường thẳng

AC

có phương trình x y+ − =5 0

Câu 7. Một nhà sản xuất sữa bột dành cho trẻ em cần thiết kế bao bì cho sản phẩm mới Theo yêu cầu

của lãnh đạo nhà máy, hộp sữa mới có dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông hoặc có dạng một hình trụ Biết rằng hộp sữa mới có thể tích bằng

3

1 dm

Hãy giúp lãnh đạo nhà máy thiết kế hộp sữa sao cho vật liệu sử dụng làm bao bì ít nhất

Câu 8. Năm bạn học sinh Tính, Nghĩa, Tuấn, Phú và Thuận ở chung một phòng trong ký túc xá của

một trường trung học phổ thông Một hôm, người quản lý ký túc xá đến phòng của năm học sinh này để xác định lại hộ khẩu nhà của từng học sinh Vì đều là học sinh giỏi toán nên các học sinh không trả lời trực tiếp mà nói với người quản lý ký túc xá như sau:

- Tính: “Nhà bạn Phú ở Thới Lai còn nhà em ở Cờ Đỏ”

- Nghĩa: “Nhà em cũng ở Cờ Đỏ còn nhà bạn Tuấn ở Ô Môn”

- Tuấn: “Nhà em cũng ở Cờ Đỏ còn nhà bạn Phú ở Thốt Nốt”

- Phú: “Nhà em ở Thới Lai còn nhà bạn Thuận ở Ninh Kiều”

- Thuận: “Nhà em ở Ninh Kiều còn nhà bạn Tính ở Thốt Nốt”

Em hãy giúp người quản lý ký túc xá xác định đúng hộ khẩu nhà của các học sinh trên

Biết rằng trong câu trả lời của mỗi học sinh đều có một phần đúng và một phần sai đồng thời mỗi địa phương là địa chỉ hộ khẩu của đúng một học sinh

Lời giải Câu 1. Cho hàm số

( với m

là tham số thực ) có đồ thị ( )C

và điểm

( )0;1

H

Tìm tất cả các giá trị của m

để đồ thị ( )C

có ba điểm cực trị A B C, , sao cho H là trực tâm của tam giác ABC

Lời giải

Tác giả:Phó Văn Giang; Fb: Giang Phó.

Tập xác định: D=¡

Ta có:

y = x − mx= x x − m

2

2

0 ' 0 4 ( 4 ) 0

4

x

=





Đồ thị ( )C

có ba điểm cực trị khi và chỉ khi m>0 (1)

Giả sử các điểm cực trị là A(0;16m2− +m 1)

, B(2 m;1−m)

, C(−2 m;1−m)

Ta có: uuurAH =(0; m−16m2),uuurBC= −( 4 m;0)

CHuuur m m uuurAB m m

Do H( )0;1

là trực tâm của tam giác ABC

nên:

3



=

AH BC

uuur uuur

uuur uuur

2

0 0

1 1

2

2

m m

m m

m



 =

=

 =



Kết hợp với điều kiện (1) ta có:

1 2

m=

Vậy giá trị m

cần tìm là:

1 2

m=

Câu 2. Một xe khách chất lượng cao đi từ Cần Thơ đến Hà Nội chở được nhiều nhất 50

hành khách trên mỗi chuyến đi Theo tính toán của nhà xe, nếu chở được k

khách thì giá tiền mà mỗi

khách phải trả khi đi tuyến đường này là

2

3k 180

2

trăm đồng Tính số hành khách trên mỗi chuyến xe sao cho tổng số tiền thu được từ hành khách nhiều nhất Tính số tiền đó

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Thị Thùy Dung; Fb: Dung Nguyễn

Số tiền thu được trên mỗi chuyến xe là:

2

3

2

Gọi

2

3

2

Bài toán trở thành: Tìm k

để

2

3

2

đạt GTLN, với 0 k 50 ≤ ≤

Ta có:

k 120 (0;50)

T (k) 0

k 40



′ = ⇔  =

Bảng biến thiên:

Vậy số tiền thu được nhiều nhất khi xe chở 40

hành khách và số tiền thu được là 576000 trăm đồng ( tức là 576.000.000

đồng)

Câu 3. Giải các phương trình sau

a)

3 log x − + +x 1 log 1 2− x +2x= −1 x − +x 1

cos x− 3 cosx+6sin cosx x= sinx+cosx −sin x−sinx

Lời giải

Tác giả: Nhóm 2 tổ 8 nhóm strong team vd- vdc

a)Điều kiện

1 2

x<

3 log x − + +x 1 log 1 2− x +2x= −1 x − +x 1

( ) ( )

log x − + +x 1 x − + =x 1 log 1 2− x + −1 2x

Xét hàm số f t( ) =log3t t t+ , >0

Ta có

( ) 1

ln 3

t

= + > ∀ >

Suy ra hàm số đồng biến trên (0;+∞)

Do đó phương trình f( x2− + =x 1) f (1 2− x) ⇔ x2− + = −x 1 1 2x

( )2 2

1 1 2

x



1 2 0

x

x x

 ≤



⇔ 

 − =

Vậy phương trình có nghiệm x=0

cos x− 3 cosx+6sin cosx x= sinx+cosx −sin x−sinx

cos x 3 cosx 3sin 2x 1 sin 2x sin x sinx

2sin 2x 3 cosx sinx

sin 2 cos sin

sin 2 sin

3

x π x

3

3

π

 = − +



⇔ 

 = − + +



2

2 2 3

k x

k

 = +





¢ Vậy phương trình đã cho có nghiệm

k

x= +π π x= π +k π

(k∈¢)

Câu 4.

a) Một chiếc xe ô tô đang chạy với vận tốc v0(m/s)

thì người lái xe đạp phanh Kể từ thời điểm

đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t( ) = − +4t v0(m/s)

, trong đó t (tính bằng giây) là khoảng thời gian kể từ lúc người lái đạp phanh Tính vận tốc v0(m/s)

, biết rằng từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn ô tô còn chạy tiếp một quãng đường dài 8 mét

b) Một lớp học trong một trường đại học có 60 sinh viên, trong đó có 40 sinh viên học tiếng Anh, 30 sinh viên học tiếng Pháp và 20 sinh viên học cả tiếng Anh và tiếng Pháp Chọn ngẫu nhiên 2 sinh viên của lớp học này Tính xác suất để 2 sinh viên được chọn không học ngoại ngữ Biết rằng trường này chỉ dạy hai ngoại ngữ là tiếng Anh và tiếng Pháp

Lời giải

Tác giả: Nhóm 2 tổ 8 nhóm strong team vd- vdc

a) Với vận tốc chuyển động chậm dần đều v t( ) = − +4t v0

, thì sau thời gian

0 4

v

ô tô mới dừng

hẳn Khi đó ô tô đã đi được quãng đường

0 4

8 0

v

s=∫ − +t v t= − +t v t = m

Theo yêu cầu bài toán, ô tô chạy thêm được quãng đường 8 m( )

, ta có phương trình : 2

0 0

0

8 8

8 8

v v

v

=



= ⇔  = −

Vì ban đầu vật chuyển động có vận tốc, sau đó mới hãm phanh nên v0 =8 m/s ( )

b) Gọi A P K, , lần lượt là tập hợp sinh viên học tiếng Anh, học tiếng Pháp và không học ngoại ngữ Khi đó n A P K( ∪ ∪ ) =60,n A( ) =40,n P( ) =30,n A P( ∩ ) =20

Ta có

n A P K∪ ∪ =n A +n B +n K −n A P∩ −n A K∩ −n P K∩ +n A P K∩ ∩

Nên 60 40 30= + +n K( ) −20 0 0 0− − + ⇔n K( ) =10

Gọi X là biến cố “2 sinh viên được chọn không học ngoại ngữ”

Ta có ( ) 2 ( ) 2

n Ω =C n X =C

Do đó

( ) ( ) ( ) 102

2 6

3 118

n X C

P X

Ω

Câu 5. Cho hình lăng trụ ABCD A B C D ′ ′ ′ ′

có đáy ABCD

là hình thoi cạnh a

,

BAD= °

Biết các đường thẳng A A′ , A B A C′ , ′

cùng tạo với mặt phẳng

(ABCD)

một góc bằng 60°

Gọi M, N

lần lượt là trung điểm của BB CC′, ′

a) Tính thể tích khối lăng trụ ABCD A B C D ′ ′ ′ ′

b) Tính khoảng cách giữa AD và mặt phẳng (D MN′ )

Lời giải

Tác giả: Nhóm 3 tổ 8 nhóm strong team vd- vdc

a) Tính thể tích khối lăng trụ ABCD A B C D ′ ′ ′ ′

Gọi

I

là trung điểm của

BC

Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A′

trên mặt phẳng

(ABCD)

vì các đường thẳng ,

A A′ A B A C′ , ′

cùng tạo với mặt phẳng

(ABCD)

một góc bằng 60°

nên

HAA =HBA =HCA = °

Tam giác ABC đều

Do tam giác ABC tam giác đều nên A ABC′.

là hình chóp tam giác đều

Ta có

·

tan

AI = ⇒AH = ⇒ A H′ = AH A AH′ =a

,

.sin

2

ABCD

a

S = AB AD BAD=

Thể tích khối lăng trụ ABCD A B C D ′ ′ ′ ′

là

3 3

2

ABCD

a

V =A H S′ =

b) Tính khoảng cách giữa đường thẳng AD và mặt phẳng (D MN¢ )

Cách 1.

Do MN/ /A D¢ ¢

nên A¢

thuộc mặt phẳng (D MN¢ )

Gọi E=A M¢ ÇAB

, F=D N DC¢ Ç Þ EF/ /BC/ /AD

và B C, lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AE DF, Suy ra A H F, , thẳng hàng và

3 2

AF= HF

Ta có

2

AD D MN¢ Þ d AD D MN¢ =d A A EF¢ = d H A EF¢

Do AH ^BCÞ AH ^EFÞ EF^(A HF¢ ) (Þ A EF¢ ) (^ A HF¢ )

Trong tam giác A HF¢

, kẻ HK^A F¢ Þ HK^(A EF¢ )Þ d H A EF( ,( ¢ ) )=HK

Ta có

¢

Suy ra

a

d AD D MN¢ = HK=

Cách 2

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho

(0;0;0 ,) ;0;0 , ;0;0

I O Bæç ö æ÷Cç ö÷

Hæç ö æ÷Aç ö æ÷A ç aö÷

Do uuurAA¢=BBuuur¢=CCuuur¢

nên

B æç a Cö÷ æç aö÷

¢çç- - ÷ ¢çç - ÷

;

3

6

a

BC A D D aæç aö÷

÷

uuuur uuur

,

M N

lần lượt là trung điểm của BB CC,

nên

Mæç ö æ÷Nç ö÷

Ta có

MN= a

uuur

,

3

÷

¢ = -çç - - ÷÷

uuuur

Suy ra

uuuur uuur

Mặt phẳng (D MN¢ )

có một véc tơ pháp tuyến là nr=(0;3; 2 3- )

Phương trình mặt phẳng (D MN¢ )

:

3 3

2

a

Do đó

7

9 12

a

d AD D MN d A D MN

+

+

Câu 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC

nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn tâm I Gọi E, Mlần lượt là trung điểm của các cạnh ABvà BC

; các điểm F và Dtương ứng là hình chiếu vuông góc của A và Btrên các đường thẳng BC

và AI

a) Chứng minh rằng ME là đường trung trục của đoạn thẳng DF

b) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

, biết rằng M(2; 1)−

,

9 8

;

5 5

D − 

và đường thẳng

AC

có phương trình x y+ − =5 0

Lời giải

Tác giả: Nhóm 3 tổ 8 nhóm strong team vd- vdc

a)Ta có

BFA BDA= = o

, suy ra tứ giác ABFDnội tiếp đường tròn tâm E, đường kính AB

Mặt khác

IEB IDB IMB= = = o

, suy ra ngũ giác BEIDMnội tiếp đường tròn đường kính BI

Từ đó ta có

DEM =DBM =DBF

( cùng chắn cung

¼

DM

)

Mà góc

2

DBF = DEF

(số đo góc ở tâm bằng nửa cung bị chắn)

Suy ra

2

DEM =DBM =DBF = DEF

, suy ra EM là tia phân giác của ·DEF

Mà

1 2

DE=FE= AB

( do cung nằm trên đường tròn tâm E, đường kính AB)

Suy ra ME là đường trung trực của cạnh FD

b)Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

, biết rằng M(2; 1)−

,

9 8

;

5 5

D − 

và đường thẳng AC

có phương trình x y+ − =5 0

Ta có ME ACP ⇒

phương trình đường thẳng ME x y: + − =1 0

Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên đường thẳng ME suy ra

11 6

;

5 5

H − 

Vì D và F đối xứng qua ME nên H là trung điểm của DF suy ra

13 4

;

F − 

Đường thẳng BC

đi qua M(2; 1)−

và

13 4

;

F − 

nên có phương trình:x−3y− =5 0

Ta có C= AC∩BC⇒C(5;0)

Mà M là trung điểm của BC

suy ra B( 1; 2)− −

Đường thẳng AFđi qua điểm

13 4

;

F − 

và vuông góc với BC

nên có phương trình:

Ta có A AF= ∩AC⇒A(1; 4)

Vậy: A(1; 4),B( 1; 2)− −

,C(5;0)

Câu 7. Một nhà sản xuất sữa bột dành cho trẻ em cần thiết kế bao bì cho sản phẩm mới Theo yêu cầu

của lãnh đạo nhà máy, hộp sữa mới có dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông hoặc có dạng một hình trụ Biết rằng hộp sữa mới có thể tích bằng

3

1 dm

Hãy giúp lãnh đạo nhà máy thiết kế hộp sữa sao cho vật liệu sử dụng làm bao bì ít nhất

Lời giải

Tác giả : Nhóm 4 tổ 8 nhóm strong team toán vd-vdc

Nếu hộp sữa có dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông: Gọi độ dài cạnh đáy là x dm( )

, chiều cao h dm( )

, x h, >0

Khi đó thể tích khối hộp:

2

2

1 1

x

Diện tích toàn phần của hộp là:

tp

x

Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

( ) 2

2

2x x 1 dm

x = ⇔ =

Vậy trong trường hợp này tp

S

đạt giá trị nhỏ nhất bằng 6

2

dm

, đạt được khi khối hộp là hình lập phương cạnh bằng 1 dm

Nếu hộp sữa có dạng hình trụ với đáy là đường tròn bán kính r dm( )

, chiều cao h dm( )

với 0

h>

, r>0

Khi đó thể tích của khối trụ là:

2

2

1 1

r

π

π

Suy ra diện tích toàn phần của hộp bằng:

2

tp

S = πrh+ πr = +2r 2 rπ 2 1 1 2

2 r

r r π

3 2π

≥

Vậy trong trường hợp này tp

S

đạt giá trị nhỏ nhất bằng

2 3

3 2 dmπ

khi đáy là hình tròn có bán

kính r thỏa mãn:

( )

2

3

2

2

r π

π

Vì

3

3 2π <6

nên lãnh đạo nhà máy nên thiết kế hộp sữa có dạng hình trụ với bán kính đáy là:

3

1 2

π

=

và chiều cao

3 4

π

=

Câu 8. Năm bạn học sinh Tính, Nghĩa, Tuấn, Phú và Thuận ở chung một phòng trong ký túc xá của

một trường trung học phổ thông Một hôm, người quản lý ký túc xá đến phòng của năm học sinh này để xác định lại hộ khẩu nhà của từng học sinh Vì đều là học sinh giỏi toán nên các học sinh không trả lời trực tiếp mà nói với người quản lý ký túc xá như sau:

- Tính: “Nhà bạn Phú ở Thới Lai còn nhà em ở Cờ Đỏ”

- Nghĩa: “Nhà em cũng ở Cờ Đỏ còn nhà bạn Tuấn ở Ô Môn”

- Tuấn: “Nhà em cũng ở Cờ Đỏ còn nhà bạn Phú ở Thốt Nốt”

- Phú: “Nhà em ở Thới Lai còn nhà bạn Thuận ở Ninh Kiều”

- Thuận: “Nhà em ở Ninh Kiều còn nhà bạn Tính ở Thốt Nốt”

Em hãy giúp người quản lý ký túc xá xác định đúng hộ khẩu nhà của các học sinh trên

Biết rằng trong câu trả lời của mỗi học sinh đều có một phần đúng và một phần sai đồng thời mỗi địa phương là địa chỉ hộ khẩu của đúng một học sinh

Lời giải.

Tác giả: Nhóm 5 tổ 8 nhóm strong team toán vd – vdc.

- Tính: “Nhà bạn Phú ở Thới Lai còn nhà em ở Cờ Đỏ” (1)

- Nghĩa: “Nhà em cũng ở Cờ Đỏ còn nhà bạn Tuấn ở Ô Môn” (2)

- Tuấn: “Nhà em cũng ở Cờ Đỏ còn nhà bạn Phú ở Thốt Nốt” (3)

- Phú: “Nhà em cũng ở Thới Lai còn nhà bạn Thuận ở Ninh Kiều” (4)

- Thuận: “Nhà em ở Ninh Kiều còn nhà bạn Tính ở Thốt Nốt” (5)

Nếu ý đầu của (3) là đúng thì nhà Tuấn ở Cờ Đỏ Do đó, cả hai ý của (2) là sai

Vậy ý đầu của (3) là sai Do đó ý sau của (3) là đúng hay nhà bạn Phú ở Thốt Nốt.

Do đó ý đầu của (1) là sai và ý sau của (5) là sai hay ý sau của (1) là đúng và ý đầu của (5) là đúng Suy ra nhà bạn Tính ở Cờ Đỏ và nhà bạn Thuận ở Ninh Kiều.

Vì nhà bạn Tính ở Cờ Đỏ nên ý đầu của (2) là sai hay ý sau của (2) là đúng Suy ra nhà bạn

Tuấn ở Ô Môn Còn lại nhà bạn Nghĩa ở Thới Lai

Kết luận: Nhà bạn Phú ở Thốt Nốt, nhà bạn Tính ở Cờ Đỏ, nhà bạn Thuận ở Ninh Kiều, nhà bạn Tuấn ở Ô Môn, nhà bạn Nghĩa ở Thới Lai