5.1 HDG MAX-MIN KHỐI CHÓP_Phần 1

Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp là 3 max Câu 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có độ dài đường chéo.. Tính thể tích lớn nhất 6 Vmax của khối chóp đã cho.. Tính thể tích lớn nhất

B S

6.2

a

V 

C

3 max

6.3

a

V 

D

3 max

6.6

Dấu '' '' xảy ra khi , , SA SB SC đôi một vuông góc với nhau.

Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp là

3 max

Câu 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có độ dài đường chéo ' ' ' ' AC' 18. Gọi S là diện tích

toàn phần của hình hộp đã cho Tìm giá trị lớn nhất Smax của S

A Smax 36 3 B Smax 18 3 C Smax 18 D Smax 36

Hướng dẫn giải

Gọi , , a b c là ba kích thước của hình hộp chữ nhật Khi đó Stp 2ab bc ca  

Theo giả thiết ta có a2   b2 c2 AC'2 18.

x 4

S

C D

Từ bất đẳng thức a2 b2 c2 �ab bc ca  , suy ra Stp 2ab bc ca  �2.18 36.

Dấu '' '' xảy ra �a b c   6

Chọn D

Câu 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  , cạnh bên SA vuông góc với4

mặt phẳng đáy ABCD và SC Tính thể tích lớn nhất 6 Vmax của khối chóp đã cho.

A max

40

.3

V 

B max

80.3

V 

C max

20.3

V 

D Vmax 24

Hướng dẫn giải

Đặt cạnh BC x  Tam giác vuông 0. ABC có , AC2  16 x2

Tam giác vuông SAC có , SA SC2AC2  20x2

Diện tích hình chữ nhật S ABCD AB BC. 4 x

Thể tích khối chóp

2

V 

Cách 2 Xét hàm số   4 2

203

V 

B max

2.12

V 

C max

3.12

V 

D max

1.12

V 

Hướng dẫn giải

A

B

C M O

O

6

D C

S

4 x

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC Vì . S ABC là hình chóp đều �SOABC.

Đặt AB x  Diện tích tam giác đều 0.

2 3.4

Câu 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AD Các cạnh bên bằng nhau và4

bằng 6 Tìm thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.

A max

130

.3

V 

B max

128.3

V 

C max

125.3

V 

D max

250.3

V 

Hướng dẫn giải

O 1

D C

S

1 x

Gọi O AC �BD. Vì SA SB SC SD   suy ra hình chiếu của S trên mặt đáy trùng với tâm đường

tròn ngoại tiếp đa giác đáy � SOABCD

Đặt AB x  Tam giác vuông 0. ABC có,

V 

B max

2 3.3

V 

C max

2 3.27

V 

D max

4 3.27

V 

Hướng dẫn giải

Đặt OA OC  x

Tam giác vuông AOD có , OD AD2OA2  1x2. Suy ra BD2 1x2 .

Diện tích hình thoi S ABCD OA BD. 2x 1x2.

Tam giác vuông SOC có , SO SC2OC2  1x2

Thể tích khối chóp .

1

.3

D C

B

A S

Suy ra max

4 327

Câu 7: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AD4a Các cạnh bên của hình

chóp bằng nhau và bằng a 6 Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.

A

3 max

8

.3

a

V 

B

3 max

4 6

.3

Câu 8: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại , C AB Cạnh bên 2 SA và vuông1

góc với mặt phẳng đáy ABC

Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.

A max

1

.3

V 

B max

1.4

V 

C max

1.12

V 

D max

1.6

V 

B A

S

1 x x

V 

B max

2.12

V 

C max

2 3.27

V 

D max

3.27

C B

A S

V 

B max

5.4

V 

C max

2.3

V 

D max

4.3

V 

Hướng dẫn giải

Gọi I là trung điểm của BC Suy ra IA IB IC.   � là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác I ABC

Theo giả thiết, ta có SA SB SC  suy ra I là hình chiếu của S trên mặt phẳng

Câu 11: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA y  y0 và

vuông góc với mặt đáy ABCD Trên cạnh AD lấy điểm M và đặt AM  x 0 x a   Tính

thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp S ABCM biết , x2 y2 a2

A

3 max

3.3

a

V 

B

3 max

38

a

V 

C

3 max

39

a

V 

D

3 max

35

a

V 

Hướng dẫn giải

a a x

y

M

B A

S

S

C D

38

a

V 

Chọn B

Câu 12: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB4, SC và mặt bên 6 SAD

là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính thể tích lớn nhất Vmax của

khối chóp đã cho

A max

40

.3

V 

B Vmax 40 C Vmax 80 D max

80.3

N H

C

B A

S x

A max

1

.4

V 

B max

1.8

V 

C max

1.12

V 

D max

1.16

V 

Hướng dẫn giải

Ta có tam giác ABC và SBC là những tam giác đều cạnh bằng 1.

Gọi N là trung điểm BC Trong tam giác SAN , kẻ SH AN  1

Ta có

● SN là đường cao của tam giác đều

3.2

Câu 14: Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB x và các cạnh còn lại đều bằng 2 3 Tìm x để thể tích

khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất.

N H

C

D B

A x

Hướng dẫn giải

Hình vẽ

Cách làm tương tự như bài trên

Tam giác BCD đều cạnh bằng 2 3�BN 3.

ABCD

V lớn nhất H � N Khi đó ANB vuông.

Trong tam giác vuông cân ANB , có AB BN 2 3 2.

abc

V 

B max

2.8

abc

V 

C max

2.12

abc

V 

D max

2.24

abc

V 

Hướng dẫn giải

c b

a

z

y x

A

B

C D

V  �V 

 2 2  2 2  2 2 2 2 2

2

Câu 17: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh , a cạnh bên SA a và vuông góc với

mặt đáy ABCD. Trên SB SD lần lượt lấy hai điểm , , M N sao cho 0,

SM m

SB   SN n 0

SD  Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp S AMN biết 2m23n2 1

6.72

S

A B

672

Câu 18: Cho hình chóp S ABCD có SA x 0 x 3

, tất cả các cạnh còn lại bằng nhau và bằng 1 Vớigiá trị nào của x thì thể tích khối chóp S ABCD lớn nhất?

x

C

6.2

x

D

3.2

x

Hướng dẫn giải

Gọi O là tâm của hình thoi ABCD�OA OC  1

Theo bài ra, ta có SBD CBD �OS OC .  2

Từ  1 và  2 , ta có OS OA OC  12 AC�SAC

vuông tại S �AC x21.Suy ra

2 12

Ta có SB SC SD   , suy ra hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt đáy là tâm đường tròn1

ngoại tiếp tam giác BCD��� �H AC.

Trong tam giác vuông SAC , ta có 2 2 2

.1

C

B A S

M

Suy ra .

1.4

Gọi M là trung điểm của BC , kẻ AH SM H �SM  1

Tam giác ABC cân suy ra BCAM. Mà SAABC �SABC

.Suy ra BCSAM�AH BC  2

Từ  1 và  2 , suy ra AH SBC nên d A SBC��, ��AH 3

Tam giác vuông AMH có ,

3.sin

Tam giác vuông cân ABC , BC2AM

Diện tích tam giác

V �

D S

F E

N

M

B

A O

.2

DH  SD DC � a  SD  x

2.2

ax SD

Câu 21: Cho tam giác OAB đều cạnh a Trên đường thẳng d qua O và vuông góc với mặt phẳng OAB

lấy điểm M sao cho OM  Gọi , x E F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên MB và

OB Gọi N là giao điểm của EF và d Tìm x để thể tích tứ diện ABMN có giá trị nhỏ nhất.

2.2

a

x

C

6.12

a

x

D

3.2

C A

B M

A min

1

.3

V 

B min

1.6

V 

C min

1.12

V 

D min

2.3

MNBC M ABC N ABC ABC

Câu 23: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại , C SA AB  Cạnh bên SA vuông2

góc với mặt phẳng đáy ABC Gọi ,H K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và

SC Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp S AHK

A max

2.6

V 

B max

3.6

V 

C max

3.3

V 

D max

2.3

V 

Hướng dẫn giải

K H S

B

Đặt AC x 0 x 2 

Tam giác vuông ABC có , BC AB2AC2  4x2 .

Tam giác SAB cân tại A , có đường cao AH suy ra H là trung điểm của SB nên

12

f x  f � �� �

� �

Chọn A

Câu 24: Cho hình chóp S ABC có SA1, SB2, SC  Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Mặt phẳng3

  đi qua trung điểm I của SG cắt các cạnh SA SB SC lần lượt tại , , , , M N P Tính giá trị

nhỏ nhất T của biểu thức min 2 2 2

T 

B min

3.7

T 

C min

18.7

Q P

S

D A

Cách trắc nghiệm Do đúng với mọi hình chóp nên ta sẽ chọn trường hợp đặc biệt SA ,, SB SC đôi

một vuông góc và tọa độ hóa như sau: S O� 0;0;0

Câu 25: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, thể tích là V Gọi M là trung điểm

của cạnh SA N là điểm nằm trên cạnh SB sao cho , SN 2NB; mặt phẳng   di động qua cácđiểm M N và cắt các cạnh , , SC SD lần lượt tại hai điểm phân biệt , K Q Tính thể tích lớn

nhất Vmax của khối chóp S MNKQ

V

V 

D max

2.3

Vì mặt phẳng   di động đi qua các điểm M N và cắt các cạnh , , SC SD lần lượt tại hai điểm phân

SI  SO

Mặt phẳng   thay đổi đi qua B và I   cắt các cạnh SA SC SD lần, ,lượt tại M N P Gọi , , m n, lần lượt là GTLN, GTNN của

.

+) Đặt

SA x SM SC y SN

Câu 27: Cho khối chóp S ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C Khoảng cách từ A đến mặt phẳng

(SBC) bằng a 3, Xác định độ dài cạnh AB để khối chóp S ABC có thể

tích nhỏ nhất

3 2.2

a

AB =

C AB 3a.= D AB 3a 2.=

Hướng dẫn giải Chọn C

1.3

S ABC A SBC BCS

V =V = AH SD

đạt GTNN khi và chỉ khi

12

BCS

SD = xy

đạt GTNN

Do mà (theo giả thiết) nên SA^(ABC) Suy ra SACDvuông tại A

3

a

3 22

a

( )'

f x - 0 +

( )

f x

9 32

a

Vậy: ( ) 9 3

2

a Min xy =

Do hình chóp S ABCD là hình chóp đều nên H là giao điểm của AC và BD

Gọi M là trung điểm của CD ta có CDSHM nênSHM  SCD mà SHM �SCD SM

nên từ H dựng HK SM tại K thì HK SCD

Hay SK là hình chiếu của SH lên mặt phẳng SCD

suy ra SH SCD,  �SH SK,  HSK� do tamgiác SHK vuông tại K theo giả thiết ta có �HSM  với  0 2

32

Câu 29: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA b và vuông góc

với  ABCD Điểm M thay đổi trên cạnh CD , H là hình chiếu vuông góc của S trên BM .

Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S ABH theo , a b

Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên cạnh AB Dễ dàng suy ra được

12

a b

khi HA HB �H trùng với tâm đáy, hay M �D

Câu 30: Cho hình chóp đều S ABC. có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng

2 33

a

C

2 369 400

a

2

89

a

Hướng dẫn giải Chọn D

Gọi H là hình chiếu của A trên MN, ta có AH MN AH, SO�AH SMN

2

2 33

a

AH OA HSA

a

x

62

a

x

63

a

x

Hướng dẫn giải Chọn C

C B

O A

62

a

x

thì tích AC SD đạt giá trị lớn nhất.

Câu 32: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi K là trung

điểm của SC Mặt phẳng (P) qua AK và cắt các cạnh SB , SD lần lượt tại

M và N Đặt V1= VS.AMKN , V = VS.ABCD.Tìm S= max+min

A

12

S 

B

14

S 

C

1724

S 

D

34

S 

Hướng dẫn giải Chọn C

Câu 33: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông,AB1, cạnh bên SA1và vuông góc với

mặt phẳng đáy ABCD Kí hiệu M là điểm di động trên đoạn CD và N là điểm di động trênđoạn CB sao cho MAN�  � Thể tích nhỏ nhất của khối chóp 45 S AMN là ?

2 16



2 19



Hướng dẫn giải Chọn B

x y x

Câu 34: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC vuông tại ,A AB3 ,a AC a Mặt phẳng

DBC , DAC , DAB lần lượt tạo với mặt phẳng ABC các góc 90 , ,�  trong đó

a

3

313

a

Hướng dẫn giải Chọn A

a 3a

h

x y F

Kẻ HE AC tại ;E HF AB tại F Suy ra

DAC BCD DEH DAB BCD DFH

DH

h y

HF x h DH

Câu 35: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD mà khoảng cách từ đỉnh A đến mp(SCD) bằng 2a Gọi  là

góc giữa mặt bên hình chóp với đáy của hình chóp đó Với giá trị nào của  thì thể tích của khối

chóp S.ABCD đạt giá trị nhỏ nhất?

A

2arcsin

3

 

B  450. C

2arccos

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD Suy ra CD  (SMN)

Gọi K là hình chiếu của N lên SM Suy ra MK  (SCD) nên NKdN SCD,   .

Câu 36: Cho lăng trụ đều ABC A B C có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng . ' ' ' a Lấy các điểmM N nằm,

trên cạnh BC ; ,P Q lần lượt nằm trên cạnh AC AB sao cho MNPQ là hình chữ nhật Hình hộp,chữ nhật MNPQ M N P Q nội tiếp trong lăng trụ đều . ' ' ' ' ABC A B C có thể tích lớn nhất là : ' ' '

A

3 34

a

B

38

a

C

3 38

a

D

3 64

a

Hướng dẫn giải Chọn C

Gọi độ dài đoạn MN là xvới (0  thì x a)   3

a

Câu 37: Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB x , các cạnh còn lại đều bằng 2 3 Tìm x để thể tích khối

tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất.

A x 6. B x 14. C x3 2. D x2 3

Hướng dẫn giải Chọn C

Gọi M , N lần lượt là trung điểm CD và AB; H là hình chiếu vuông góc của A lên BM .

Do ACD và BCD là hai tam giác đều cạnh 2 3

3

2 3 3 34

Vậy V ABCD lớn nhất bằng 3 3 khi x3 2.

Câu 38: Cho tứ diện ABCD có ABACBD CD 1 Khi thể tích của khối tứ diện ABCD lớn nhất thì

khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và BC bằng

Gọi ,H K lần lượt là trung điểm của BC và AD

Theo giả thiết: ABC cân tại A và DBC cân tại D

Xét hàm số f x( )x4x2   x3 4x tr nê 0;2 

; f x'( ) 3x24;

2 3'( ) 0

Câu 39: Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng 1 Gọi M, N là hai điểm thuộc các cạnh AB, AC sao

cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Đặt Tìm đểdiện tích toàn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất

Hướng dẫn giải Chọn A

Đặt Ta thu được giá trị nhỏ nhất của diện tích toàn phần đạt được khi ,tức là

Câu 40: Trong mặt phẳng   cho đường tròn  T

đường kính AB2R Gọi C là một điểm di động trên

 T

Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng   lấy điểm S sao cho

SA R Hạ AH SB và AK SC Tìm giá trị lớn nhất Vmax của thể tích tứ diện SAHK.

A

3 max

575

R

V 

3 max

525

R

V 

3 max

327

R

V 

3 max

39

R

V 

Hướng dẫn giải Chọn A

Do SH AHK nên tứ diện SAHK có chiều cao SH không đổi Do đó thể tích V SAHK đạt giá

trị lớn nhất khi và chỉ khi diện tích S AHK đạt giá trị lớn nhất.

3

x y

Câu 41: Cho tứ diện ABCD có DA DB DC    6 và đôi một vuông góc với nhau Điểm M thay đổi

trong tam giác ABC Các đường thẳng đi qua M song song DA DB DC, , theo thứ tự cắt các

mặt phẳng DBC , DCA , DAB lần lượt tại A B C1; ;1 1 Tìm thể tích lớn nhất của khối tự

diện MA BC1 1 1 khi M thay đổi.

Hướng dẫn giải Chọn D

Dấu " "  xảy ra khi M là trọng tâm tam giác ABC .

Bình luận: Bài này hoàn toàn có thể làm mạnh giá thiết bằng cách chỉ cần cho tứ diện

ABCD có thể tích bằng 36 Kết quả bài toán không thay đổi.

Câu 42: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA=a 3 và SA vuông góc

với mặt phẳng đáy M và N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc các cạnh BC và DC sao cho

1 .sin 45

2

2

02

AMN AMN

Dựng đường thẳng qua A vuông góc với AM cắt đường thẳng DC tại P, khi đó ta chứng minh

được AMN  ANP�MNNP và BM CN MN  �MN NC CM  2a Vì

MN MC CN�  và 2 2 1 

2

MN  MC CN � MC CN

từ đó suy ra 2 2 1 a MN  � �a

Câu 43: Gọi V là thể tích nhỏ nhất của khối chóp tứ giác đều trong số các khối chóp tứ giác đều có khoảng

cách giữa hai đường thẳng chéo nhau gồm một đường thẳng chứa một đường chéo của đáy vàđường thẳng chứa một cạnh bên hình chóp bằng 3.Khi đó V bằng bao nhiêu?

A V=3 B V =9 C V=9 3 D V =27

Hướng dẫn giải Chọn B

Xét hình chóp tứ giác đều , đặt , Với là tâm của hình vuông

Qua kẻ đường thẳng vuông góc với với

Ta có

Suy ra là đoạn vuông góc chung của và

Tam giác vuông tại , có đường cao suy ra

Câu 44: Cho hình chóp có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích là Điểm là trung

điểm của Mặt phẳng   qua cắt hai cạnh và lần lượt tại và Gọi làthể tích của khối chóp Tìm giá trị nhỏ nhất của tỷ số ?

A

2

Hướng dẫn giải Chọn C

Cách 1

Đặt

SM a SB



,

SN b SD

18

13

38

.Thay vào (2) ta được tỉ số thể tích

V 

�

Câu 45: Cho tứ diện đều có độ dài cạnh bằng 1 Gọi lần lượt là hai điểm thuộc các cạnh

sao cho mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng Gọi S là diện tích toànphần của tứ diện �DAMN Tìm giá trị nhỏ nhất của S?

A

3(4 2)

.9



B

2 3 2

.4



C

2 3 2

.4



D

3(1 2)

.9



Hướng dẫn giải Chọn A

1 V S AMP V S ANP V

Kẻ , do suy ra

Mà là tứ diện đều, nên suy ra là trọng tâm của tam giác đều

Diện tích toàn phần của tứ diện :

 

x y

Câu 46: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB3 ,a AC a Gọi  .  Q là mặt phẳng chứa BC và vuông

góc với mặt phẳng ABC. Điểm D di động trên  Q sao cho tam giác DBC nhọn và hai mặt

phẳng DAB

và DAC

lần lượt hợp với mặt phẳng ABC

hai góc phụ nhau Thể tích lớnnhất của khối chóp D ABC bằng

A

3 3.4

a

B

3

3.8

a

D

3

3.13

4 3 x y 

3

4 xy

1 3