4. HD ĐỘ DÀI, KHOẢNG CÁCH, DIỆN TÍCH LIÊN QUA ĐẾN THỂ TÍCH D3-4

Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD trùng với trung điểm H của cạnhAB.. có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SABlà tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.. Hỏi

DẠNG 1: TÍNH TOÁN ĐỘ DÀI HÌNH HỌC (ĐƠN THUẦN)

Câu 1.Cho hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a Khoảng cách giữa đường

thẳng AD và mặt phẳng (SBC)

là:

A

32

a

66

a

63

a

22

a

Hướng dẫn giải ChọnA

S ABC

a V

,

2 34

a

32

a

22

a

Hướng dẫn giải Chọn B

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC , ta có SH ⊥(ABC).

Gọi M là trung điểm của BC , ta có BC ⊥(SAM).

Do đó, ta có góc giữa mặt phẳng (SBC)

và mặt đáy bằng SMH· = °60 .Đặt

36

3

4

SH AH a AI

SM

Câu 3 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Hình chiếu vuông góc của S lên

mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm H của cạnhAB Góc tạo bởi SC và ( ABCD) bằngo

45 Tính theo a tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AB

A

53

a

d =

513

a

d =

153

a

d =

2a 53

d =

Hướng dẫn giải Chọn A

Xác định được đúng góc giữa SC và (ABCD)

là SCH =45o

.Tính được

Xét tam giác SHI vuông tại , H HK đường cao:

a HK

3a Hỏi cạnh hình vuông mặt đáy bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải Chọn C

Gọi O là tâm hình vuông ABCD , I là trung điểm CD

Vì S ABCD là hình chóp đều nên SO là đường cao của hình chóp.

d=

4a 19565

d =

4a 195195

d =

8a 195195

d =

Hướng dẫn giải Chọn B

Gọi các điểm như hình vẽ

a

AI =

.Trong tam giác vuông SAI ta có 2 2 2

Câu 6.Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAB)là tam giác đều và nằm trong

mặt phẳng vuông góc với đáy Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) là.

A

213

a

217

a

2114

a

2121

a

Hướng dẫn giải ChọnA

.Gọi ,H M lần lượt là trung điểm , AB CD Ta có:

32

HI = SH +HM = a +a = a ⇒ =

Câu 7 Cho một khối lập phương biết rằng khi tăng độ dài cạnh của khối lập phương thêm 2cm thì thể tích

của nó tăng thêm 152cm3. Hỏi cạnh của khối lập phương đã cho bằng:

Hướng dẫn giải Chọn D

Gọi a cm( ) là độ dài cạnh của khối lập phương, với a>0.

a

36

a

64

a

63

a

Hướng dẫn giải Chọn D

Gọi N là trung là trung điểm của CD Gọi K là hình chiếu của H lên SN

Ta có CD⊥(SHN)⇒HK ⊥(SCD)⇒d H SCD( ; )=d A SCD( ; )=HK.

B A

S

h

C B

A

Theo giả thiết tam giác SHC∆ vuông cân tại H Do đó HS=HC a= 2 ; HN a=

Trong tam giác SHN∆ ta có : 2 2 2

a HK

HK = H +HN ⇒ =

N K

H

D

C B

A S

Tam giác ABC là tam giác đều cạnh x nên đường cao

3.sin 60

S ABC ABC

3 3

S ABC ABC

Câu 10 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA=7a và SA vuông góc với mặt phẳng

đáy Gọi G , I , J thứ tự là trọng tâm các tam giác SAB , SAD và trung điểm của CD Diện tích

thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (GIJ)

bằng

A

2

31 3345

a

B

2

3 338

a

C

29340

a

D

22360

a

Hướng dẫn giải Chọn C

EB FD

EA= FA =

.Trong (SAB) : đường thẳng EG cắt SA tại M , cắt SB tại L.

Định lí mê nê la uyt cho tam giác B AB′ và cát tuyến G L E, , ta được

23

LB LB

′

=

Định lí mê nê la uyt cho tam giác B AS′ và cát tuyến G L M, , ta được

43

MS

MA=

.Tương tự ta có FI đi qua M và cắt SD tại N thỏa mãn

15

DN

DS =

.Định lí mê nê la uyt cho tam giác MAF và cát tuyến D N S, , ta được

87

S FN FJ

S = FM FE× = ⇒ =

.Tương tự suy ra

745

ELK

Do đó

3145

MNJKL

40a .

Câu 11.Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,

172

a

35

a

37

a

35

a

Hướng dẫn giải Chọn B

+ Gọi H là trung điểm AB , ta có SH ⊥(ABCD).

+ Gọi O= AC∩BD , E là trung điểm BO;khi đó HE⊥BO.

+ Lại có SH ⊥BO SH( ⊥(ABCD) )nên BO⊥(SHE) (⇒ SHE) (⊥ SBD) .

.+ Xét ∆SHD SH: = SD2−HD2 =a 3.

a

Câu 12.Cho hình chópS ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,

172

a

SD=

Hình chiếu vuông góc H của

Slên mặt (ABCD)là trung điểm của đoạn AB. Gọi K là trung điểm của AD Tính khoảng cáchgiữa hai đường SD và HK theo a.

N M

S

H

C B

A

A

35

a

215

a

37

a

35

a

Hướng dẫn giải Chọn A

a Khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABC) bằng

A

3 22

a

3 24

a

22

a

26

a

Hướng dẫn giải Chọn A

V

AB AC

=

33

21 22

a

a a

=

3 22

10 527

a

8 315

a

2 5719

a

Hướng dẫn giải Chọn D

HK =SH +HM =a + a = a ⇒ =

.Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 2HK =a 1957a

Câu 17 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a , tam giác SAB đều, góc giữa (SCD) và

(ABCD) bằng 60°

Gọi M là trung điểm của cạnh AB Biết hình chiếu vuông góc của đỉnh S

trên mặt phẳng (ABCD) nằm trong hình vuông ABCD Tính theo a khoảng cách giữa đường

thẳng SM và AC

A

2 55

a

55

a

2 153

a

5 33

a

Hướng dẫn giải Chọn B

Gọi ,N E lần lượt là trung điểm của CD BC Ta có: SAB, ∆ đều nên SM ⊥ AB mà AB CD/ /

SM ⊥CD và MN⊥CD do đó SN⊥CD hay góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là

SNM = °.

Trong mặt phẳng (SNM)

từ S kẻ SH ⊥MN H MN, ∈ ta có SH ⊥CD nên SH ⊥(ABCD).

3 242

Hướng dẫn giải Chọn A

Đáy là hình vuông cạnh a nên diện tích đáy là a 2.

a

3.2

a

Hướng dẫn giải Chọn D

A h a= 3. B

2 23

a

h=

C h=2a 2. D

3 22

a

h=

Hướng dẫn giải ChọnD

.Mặt khác, vì góc giữa (SBC)

và ( ABCD)

bằng 45 nên o SAH· =45o nên

3 22

AK

Câu 21.Cho hình lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của điểm A′ lên

mặt phẳng (ABC)

trùng với trọng tâm của tam giác ABC Biết thể tích của khối lăng trụ là

3 34

a

43

a

34

a

32

a

Hướng dẫn giải Chọn C

G là trọng tâm tam giác ABC.

Gọi K là trung điểm BC Ta có ( ' )

4

2 33

a a

Câu 22 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S

trên mặt phẳng ( ABC) là trung điểm H của cạnh BC Góc giữa đường thẳng SA và mặtphẳng (ABC) bằng 600 Gọi G là trọng tâm tam giác SAC , R là bán kính mặt cầu có tâm G

và tiếp xúc với mặt phẳng (SAB) Đẳng thức nào sau đây sai?

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có 600 =·SA ABC,( ) =SA HA SAH· , =· .

Tam giác ABC đều cạnh a nên

32

a

.Trong tam giác vuông SHA, ta có ·

3.tan

d G SAB  = d C SAB  = d H SAB 

Gọi M E, lần lượt là trung điểm AB và MB

Suy ra

32

a CM

Từ ( )1 và ( )2 , suy ra HK ⊥(SAB) nên d H SAB ,( ) = HK.

Trong tam giác vuông SHE, ta có 2 2

Câu 23 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a Biết các mặt bên của hình chóp cùng tạo

với đáy các góc bằng nhau và thể tích của khối chóp bằng

3

4 33

a Tính khoảng cách giữa SA và

CD

Hướng dẫn giải Chọn D

Do các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau nên hình chiếu của S trên mặt đáy cách đều 4cạnh của hình vuông ABCD Suy ra SO vuông góc với đáy ( O là tâm ABCD ).

Suy ra

.3

3

S ABCD ABCD

CD AB⇒CD SAB ⇒d CD SA =d CD SAB =d C SAB =2d O SAB( ;( ) ).

Kẻ OM vuông góc AB tại M và OH ⊥SM tại H

Suy ra OH =d O SAB( ;( ) ) Lại có 2 2 2

2

a OH

OH =OS +OM ⇒ =

.Vậy d SA BC( ; ) =a 3.

Câu 24 Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình chữ nhật Tam giác SAB vuông cân tại A và nằm trong

mặt phẳng vuông góc với đáy và SB=4 2 Gọi M là trung điểm của cạnh SD Tính khoảngcách l từ điểm M đến mặt phẳng (SBC).

A

22

l=

Hướng dẫn giải Chọn C

Theo giả thiết, ta có

(SAB) (ABCD) (, SAB) (ABCD) AB

Mà AH ⊥SB(VABC cân tại A có AH là trung tuyến).

Suy ra AH ⊥(SBC), do đó KN ⊥(SBC) (vì KN AH , đường trung bình).||

Câu 25.Hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại ,B BA=3 ; a BC=4 , a (SBC) (⊥ ABC)

Biết SB=6 ; a SBC· = °60 Tính khoảng cách từ B đến (SAC)

a

6 5719

a

17 5757

a

Hướng dẫn giải Chọn C

Gọi H là hình chiếu của Slên BC Gọi ;K G lần lượt là hình chiếu của ; B H lên CA.

Gọi L là hình chiếu của H lên SG Lúc đó SH ⊥(ABC).

SH HG SH HG HL

25

a a

a

d =

B

3.2

a

d =

C

2.2

a

d =

D

6.2

a

d =

Hướng dẫn giải Chọn B

bằng 45° Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC)

A h=3a. B

3 24

a

h=

32

a

h=

23

a

h=

Hướng dẫn giải Chọn B

.sin2

.Gọi cạnh đáy của lăng trụ là x, x>0.

Thể tích của lăng trụ là V =B h x a. = 2. =4a3 Suy ra x=2a.

Câu 29 Cho hình chóp tứ giác đều có góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60° Biết rằng mặt cầu ngoại tiếp

hình chóp đó có bán kính R a= 3. Tính độ dài cạnh đáy của hình chóp tứ giác đều nói trên.

Gọi N là trung điểm cạnh BC suy ra ( (SBC) (, ABCD) ) =SNO· = °60 .

Gọi M là trung điểm cạnh SB , dựng MI ⊥SB (I SO∈ ) suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp

1225

a

x=

Câu 30 Cho hình tứ diện EFGH có EF vuông góc với EG , EG vuông góc với EH, EHvuông góc với

EF; biết EF =6a, EG=8a, EH =12a, với a>0,a∈R Gọi I , J tương ứng là trung điểm của hai cạnh FG , FH Tính khoảng cách d từ điểm F đến mặt phẳng (EIJ) theo a.

a

d =

Hướng dẫn giải Chọn A

Cách 1: Vì EF vuông góc với EG , EG vuông góc với EHnên EG⊥(EFH) Gọi K là trung điểm của EF suy ra IK⊥(EFH) Gọi M N lần lượt là hình chiếu của , K trên EJ và IM ta

có d K EIJ( ,( ) ) =KN Ta có: d =(F EIJ,( ) ) =2d K EIJ( ,( ) ) =2KN.

Trong tam giác EKJ vuông tại K và tam giác IKM vuông tại K ta có:

24 29

.29

a

h=

B

34

a

h=

66

a

h=

Hướng dẫn giải Chọn A

Gọi cạnh của tam giác ABC là x, chiều cao của hình lăng trụ là h.

Gọi I là giao điểm của BC′ và B C′ .

và góc giữa hai đường thẳng AB′ và BC′ bằng 0

60 Tính khoảng cách d giữa hai đường

thẳng AB′ và BC′.

A

2 63

a

d=

2 23

a

d =

43

a

d =

2 33

a

d =

Hướng dẫn giải Chọn B

TH1: ·BC D′ =1200 Xét tam giác BDC′ có sin 600 2

a

62

a

Hướng dẫn giải

Chọn C

Không mất tính tổng quát, giả sử tam giác ABC vuông cân tại A.

Đặt x AB= , ta có

21

1

S ABC

V =a

2 33

ax a

Độ dài cạnh huyền là BC=AB 2=a 6.

DẠNG 2: TÍNH KHOẢNG CÁCH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THỂ TÍCH

Câu 34 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và thể tích

của khối chóp đó bằng

3.4

a

Tính cạnh bên SA

3.3

a

D

3.2

a

Hướng dẫn giải Chọn B

Đáy là tam giác đều cạnh a nên diện tích

2 34

a

Hướng dẫn giải Chọn D

3 2

a

Tính cạnh bên SA.

A

33

a

32

a

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có

3

2

3

2 33

4

S ABC ABC

a V

Câu 37. Cho tứ diện ABCD có AB a= , AC a= 2, AD a= 3, các tam giác ABC , ACD , ABD là các

tam giác vuông tại đỉnh A Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) .

A

32

a

d =

6611

a

d =

63

a

d =

305

a

d =

Hướng dẫn giải Chọn B

Do các tam giác ABC , ACD , ABD vuông tại A nên nếu D là đỉnh hình chóp thì AD là đườngcao của hình chóp Khi đó thể tích khối chóp D ABC là:

3

1111

a

MN =

D MN =a 2 hoặc MN =a 6

Hướng dẫn giải Chọn C

.Gọi P , Q, E lần lượt là trung điểm của AC , BD, CD Ta có tứ giác MQNP là hình thoi

MQNP

a S

Xây dựng bài toán tổng quát

Từ giả thiết ta có: MNDC là hình thoi; các tam giác CAN DAM là các tam giác cân, suy ra:,

2 2 2 2

2 2 2 2

222

4

15 74

=

3 427

=

Câu 40 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông tại A, ·ABC =30o ; SBC là tam giác đều và nằm

trên mặt phẳng vuông góc với đáy Biết thể tích của khối chóp S ABC là

316

a Khoảng cách từ C

đến mặt phẳng (SAB)

là

A

3929

a

3913

a

3916

a

3939

a

Hướng dẫn giải Chọn B

a

AB=

611

a

6611

Câu 42 Cho lăng trụ ABC A B C. ′ ′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của điểm A′ lên

mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết thể tích của khối lăng trụ là

3 34

a

.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA′ và BC

A

43

a

34

a

32

a

23

a

Hướng dẫn giải Chọn B

Gọi H là trọng tâm của ABC∆ , M là trung điểm BC

4

ABC A B C ABC

ABC

V a

a

53

a

56

a

Hướng dẫn giải Chọn D

Câu 44 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 2a 3, góc ·BAD bằng 1200 Hai

mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy Góc gữa mặt phẳng (SBC) và (ABCD)

bằng 450 Tính khoảng cách h từ A đến mặt phẳng (SBC)

A

3 2.2

a

h=

B h a= 3. C h=2a 2 D

2 2.3

a

h=

Hướng dẫn giải Chọn A

Gọi H là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABC.

Xét tam giác ABH :

0sin B AH AH 2a 3.sin 60 3 a

AB

0cos B BH BH 2a 3.cos 60 a 3

AB

Xét tam giác SAH vuông tại A:

0tan SHA SA SA 3 tan 45a 3 a

Câu 45.Cho khối đa diện đều n mặt có thể tích là V và diện tích của mỗi mặt của nó là S Khi đó tổng

khoảng cách từ một điểm bất kì bên trong khối đa diện đó đến các mặt của nó bằng

M là một điểm bất kì nằm trong khối đa điện Gọi V1, V2,…, V n lần lượt là thể tích của hình

chóp có đỉnh là M , mặt đáy là mặt của khối đa diện đều h1, h2,…,h n lần lượt là đường cao hình chóp ứng với V1, V2,…, V n Khi đó V V V= + + +1 2 V n.

Ta có

1 1

3V h S

=,

2 2

3V h S

=,…,

3 n

n

V h S

=Vậy

a Khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABC)

bằng

A

3 22

a

26

a

3 24

a

22

a

Hướng dẫn giải Chọn A

Gọi h là khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABC).

Thể tích khối tứ diện gần đều: 2 ( 2 2 2) ( 2 2 2) ( 2 2 2) 15 6

ABCD

V = a + −b c b + −c a a + −c b =

.Diện tích tam giác BCD: S BCD = p p a p b p c( − ) ( − ) ( − ) =15 74

Ta có ( ,( ) ) 3 3 42

7

ABCD BCD

Câu 48.Cho khối chóp S ABCD. có thể tích bằng a Mặt bên 3 SAB là tam giác đều cạnh a và đáy ABCD

là hình bình hành Tính theo a khoảng cách giữa SA và CD

23

Vì đáy ABCD là hình bình hành

3

=

SAB

a S

Vì CD ABP ⇒CDP(SAB)

nên

SBD

a V

a

h=

38

a

h=

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có ABP(A B C′ ′ ′) ⇒d AB B C( , ′ ′) =d AB A B C( ,( ′ ′ ′) ) =d B A B C( ,( ′ ′ ′) ).

22

a

d =

2 63

a

d =

D d =2a 6.

Hướng dẫn giải Chọn A

+ Ta có: ∆SAB, ∆SBC là các đều cạnh a nên AB BC= =a

+ Ta có: ∆SAC vuông cân tại S nên AC a= 2

+ Ta có: AC2 =AB2+BC2 nên ∆ABC vuông tại B có

22

2

2

;

33

4

S ABC ABC SBC SBC

a

h=

43

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có:

1

33

3 4

ABC

a

h S

a

22

a

34

a

Hướng dẫn giải Chọn D

Gọi x là độ dài cạnh đáy của khối chóp S ABC .

Gọi M G là trung điểm của , BC và trọng tâm tam giác ABC.

;

436

SBC

a V

1 .3

A ABD ABD

V ′ = S AA′ 1

6

=

A BD′

∆ là tam giác đều cạnh 2 nên

( )2

2 34

6,

32

d A A BD′ =

33

h= a

Hướng dẫn giải Chọn B

Diện tích tam giác ABC là

21

∆

∆

Câu 55.Cho lăng trụ ABCD A B C D 1 1 1 1 có đáy ABCD là hình chữ nhật.AB=a,AD a= 3 Hình chiếu

vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD Góc giữa hai

a

36

a

34

a

33

a

Hướng dẫn giải ChọnA

Gọi H là giao điểm của AC và BD và là trung điểm của đoạn thẳng AD

Góc giữa hai mặt phẳng (ADD A1 1)

a Khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABC) bằng

A

2 39

a

2 33

a

39

a

33

a

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có

1.2

Câu 57 Khối chóp S ABC có SA vuông góc với (ABC)

, đáy ABC là tam giác vuông tại B Biết2

SB= a , BC a= và thể tích khối chóp là

33

a

34

a

Hướng dẫn giải Chọn B

BC⊥ SAB nên BC ⊥SB Tam giác SBC vuông tại B

nên

21

.22

Câu 58 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a Cạnh bên SA vuông góc mặt đáy,

thể tích của khối chóp S ABC bằng

34

a Tính độ dài đoạn SA

A 4

a

43

a

34

Câu 59.Cho khối chóp S ABCD có thể tích bằng 3

a Mặt bên SAB là tam giác đều cạnh a và đáyABCD là hình bình hành Tính theo a khoảng cách giữa SAvà CD.

a

23

a

Hướng dẫn giải ChọnA

Vì đáy ABCD là hình bình hành

3

=

SAB

a S

4

SBD

a V

a

Câu 60.Cho khối chóp S ABCD có thể tích bằng 3

2a và đáy ABCD là hình bình hành Biết diện tích tam giác SAB bằng a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 2. SBvà CD.

A

22

a

32

a

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có AB CD/ / nên ( ) ( ( ) )

3 2

a

37

a

215

a

35

a

Hướng dẫn giải Chọn D

S

D

H A

A

D

I y z

O≡

Ta có H(0;0;0)

,

0; ;02

,

51

4 4

3

a a

a = a h

3

Câu 63. Cho hình lập phương ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ có cạnh bằng a Gọi K là trung điểm của DD′ Khoảng

cách giữa hai đường thẳng CK và A D′ bằng

A

32

a

B

2 33

a

Hướng dẫn giải Chọn C

Từ D kẻ DH //CK (H CC∈ ′).

Khi đó d CK A D( , ′ )=d CK A DH( ,( ′ ) ) =d C A DH( ,( ′ ) ) =3V S CAHD ADH .

Ta có

1.3

a

DH =

,

172

a

A H′ =

.Xét tam giác A DH′ có

4

a a

a

32

a

66

a

63

a

Hướng dẫn giải