3.4.1 HDG KHỐI LẬP PHƯƠNG VÀ HỘP CHỮ NHẬT_D5

Diện tích toàn phần của hình lập phương là Hướng dẫn giải Chọn D Giả sử hình lập phương có cạnh a.. Hướng dẫn giải Chọn A Gọi cạnh của khối lập phương là a.. Tìm diện tích thiết diện S c

Trang 1

Hướng dẫn giải Chọn D

A C  a AA AB AC  a 2 2

3

AB a

Vậy V a 33 3 3 a3

Câu 2 Cho hình lập phương ABCD A B C D.     cạnh a Các điểm M , N , P theo thứ tự đó thuộc các cạnh

BB, C D , DA sao cho ' 3

a

BM C N DP

Mặt phẳng (MNP cắt đường thẳng ' ') A B tại

E Tính độ dài đoạn thẳng A E'

A 'A E 5 3a B 'A E3 4a C 'A E 5 4a D 'A E4 3.a

Hướng dẫn giải Chọn A

B'

A'

C' D'

C B

E

N

M

P

K

H

Lấy H , K thuộc đoạn DD, AB sao cho 3

a

DH BK 

Nhận xét KP BD// và MH BD// nên KP MH// , suy ra 4 điểm M K P H đồng phẳng., , ,

Tương tự : MK//AB, DC//AB; DC HN// nên MK HN// suy ra 4 điểm M K H N đồng, , ,

phẳng

Vậy mặt phẳng MNP chứa các điểm H K, đồng thời mặt phẳng MNP song song với mặt phẳng BDC Suy ra mặt phẳng MNP song song với B D 

Xét mặt phẳng A B C D   

, qua N kẻ NE B D//   cắt A B  tại E là điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ta có B EDN là hình bình hành nên

2 3

a

B E 

suy ra

5 3

a

A E A B B E 

Câu 3 Cho hình lập phương ABCD A B C D.     có diện tích mặt chéo ACC A  bằng 2 2a Thể tích của2

khối lập phương ABCD A B C D.     là

Trang 2

A 2a 3 B 2 2a 3 C a 3 D 8a 3

Hướng dẫn giải Chọn B

H

B' A'

D

B

C

A

Giả sử hình lập phương có cạnh bằng x ,x 0.

Ta có: S ACC A AA.ACx x 2 2 2a2  x a 2

ABCD A B C D

V     a  a

Câu 4 Cho khối lập phương ABCD A B C D Gọi ' ' ' ' M , N , P, Q, R , S lần lượt là trung điểm BC ,

CD , DD,D A , A B ,BB Biết diện tích đa giác MNPQRS là 4 3 , thể tích khối lập phương trên gần số nào sau đây?

Thiết diện MNPQRS là một lục giác đều Đặt cạnh của khối lập phương là a a, >0

Nên cạnh của lục giác đều bằng

2 2

a

Diện tích lục giác đều bằng 6 lần diện tích tam giác đều cạnh

2 2

a

: 2

2

2 3

4 3 6

a

;

3

3 4

12,31 3

V a   

Câu 5 Một khối lập phương có độ dài đường chéo bằng a 6 Tính thể tích khối lập phương đó

A V 8a3 B V 2 2a3 C V 3 3a3 D V 64a3

Gọi cạnh của khối lập phương là x  Ta có công thức 30 x a 6 x a 2 Vậy thể tích khối lập phương là V a 23 2 2a3

Câu 6 Thể tích khối lập phương có cạnh bằng a là :

A V = 1

2 a

3

B V =a3 C V= √ 3a3 . D V =

1

3 a

3

Trang 3

3

V AA AB AD a

Câu 7. Tính thể tích của khối lập phương có cạnh bằng a

A V a3 B

3 2 3

a

V 

3 6

a

V 

3 3

a

V 

A

D

D

A

ABCD A B C D

V    AB AA AD a3

Câu 8 Thể tích khối lập phương có cạnh bằng 10 cm là

A

3

1000 cm 3

V 

B V 100 cm3 C V 1000 cm3 D V 500 cm3

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có thể tích khối lập phương có cạnh bằng 10 cm là V 103 1000 cm3.

Câu 9 Cho hình lập phương có thể tích bằng 8 Diện tích toàn phần của hình lập phương là

Giả sử hình lập phương có cạnh a Ta có a 3 8 a 2

Diện tích toàn phần của hình lập phương là 6a 2 24

Câu 10 Diện tích toàn phần của một khối lập phương là 150cm2 Tính thể tích của khối lập phương

A 125 cm3 B 100cm3 C 25 cm3 D 75cm3

Gọi cạnh của khối lập phương là a Ta có diện tích toàn phần của hình lập phương là 6a 2 150

2 25

a

Vậy thể tích khối lập phương là V a3 53 125cm3.

Câu 11 Gọi V là thể tích của khối lập phương 1 ABCD A B C D     , V là thể tích khối tứ diện 2 A ABD Hệ

thức nào sau đây là đúng?

A V1 4V2 B V16V2 C V1 2V2 D V18V2

Trang 4

D'

D

C' B'

A

C

B A'

Cách 1: Giả sử cạnh của hình lập phương là a , ta có V1a3 và 2

1

V  AA S 1 3

6a



suy ra

1 6 2

V  V

Cách 2: Ta có 2

1

V  AA S 1 1

3AA2S ABCD

6AA S ABCD

6V



1 6 2

6

A ABD ABD A B D ABCD A B C D

V   V    V     V  V

Câu 12 Cho hình lập phương có tổng diện tích các mặt bằng 12a3 Tính theo a thể tích khối lập phương

đó

3 3

a

Khối lập phương có 6 mặt là hình vuông bằng nhau

Từ giả thiết suy ra diện tích một mặt là

2 2 12

2

6 

a a

Cạnh của khối lập phương là 2a2 a 2.

Thể tích của khối lập phương là: V a 23 8a3

Câu 13 Thể tích hình lập phương cạnh 3 là:

Thể tích hình lập phương cạnh 3 là: V  3 3 3 3

Câu 14 Tính thể tích V của khối lập phương ABCD A B C D , Biết tổng diện tích các mặt của hình lập ' ' ' '

phương bằng 150

Trang 5

Gọi a là cạnh hình lập phương ta có: 6a2 150 a2 25 a5.

Khi đó thể tích hình lập phương là : V a3 53 125.

Câu 15 Khối lập phương có đường chéo bằng 2a thì có thể tích là.

3 8

3 3a . D 8a3.

Cạnh của khối lập phương bằng

2 3

a

Vậy thể tích của nó là:

3

a

V    a

Câu 16 Cho  H

là khối lập phương có độ dài cạnh bằng 3 cm 

Thể tích của  H

bằng

A 27 cm 3

B 3 cm 3

C 9 cm 3

3 3

3 ( )

V  cm

Câu 17 Một hộp đựng thực phẩm có dạng hình lập phương và có diện tích toàn phần bằng 150 cm2 Thể

tích của khối hộp là:

3

125

dm

3 125

cm 3

Diện tích toàn phần hình lập phương là S 6a2 150 a5

Suy ra thể tích V 125cm3

Câu 18 Cho hình lập phươngABCD A B C D ' ' ' ' cạnh a Các điểm M N P theo thứ tự đó thuộc các cạnh, ,

',

BB C D DA' ', sao cho ' 3

a

BM C N DP

Tìm diện tích thiết diện S của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng (MNP )

A

2

11 3

18

a

S 

B

2

5 3 18

a

S 

C

2

13 3

18

a

S 

D

2

17 3

18

a

S 

Trang 6

Q

E

P N

C' B'

D' A'

C N ND C D

    , do đó theo định lý ta-let trong không gian thì BC, MN , B D  lần lượt cùng song song với một mặt phẳng Mà B D //BC D 

và BCBC D  nên ta có

//

MN BC D

Chứng minh tương tự ta có NP//BC D 

Do đó MNP // BC D 

Qua P, kẻ PQ BD Q AB// ,  Qua N , kẻ NF//C ,D FD D

Qua M, kẻ ME//BC ,E B C  

Khi đó ta có thiết diện tạo bởi mặt phẳng MNP

với hình lập phương là lục giác MENFPQ

Dễ thấy

2 3

a

EN PF MQ

,

2 2 3

a

NF PQ ME 

và tam giác BC D là tam giác đều vì 2

BCBD DC a Do đó ENF NFP FPQ PQM  QME MEN  60

Suy ra:

3

a EF

Tương tự thì

6 3

a

FQ QE 

Ta có S MENFPQ 3.S ENFS EFQ

2

18 a



Câu 19. Thể tích khối lập phương có cạnh 3a là:

A 2a3 B 27a3 C 8a3 D 3a3

Thể tích khối lập phương có cạnh 3a là: V 3a3 27a3

Câu 20 Cho hình lập phương ABCD A B C D.     I là trung điểm BB Mặt phẳng DIC  chia khối lập

phương thành 2 phần có tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn bằng

Trang 7

A

1

7

1

2.

Coi như khối lập phương có cạnh bằng 1

Để giải bài toán này, ta phải xác định đúng thiết diện cắt bởi mặt phẳng DIC 

Lấy M là trung điểm AB thì IM là đường trung bình tam giác ABB nên IM AB DC// //  Suy ra bốn điểm I M C D, , , cùng thuộc một mặt phẳng C ID 

Thiết diện cắt bởi mặt phẳng DIC

là tứ giác C DMI

Phần có thể tích nhỏ hơn là khối đa diện C IBMDC

Để thuận tiện tính toán ta chia khối trên thành 2 phần là tứ diện IMBD và hình chóp DIBCC.

.

V  DC S  DC IB CC BC     

Suy ra thể tích khối có thể tích nhỏ hơn là

Thể tích phần lớn hơn là .

1

Vậy tỉ lệ cần tìm là V V  n: l 7 :17.

Câu 21 Cho hình lập phương ABCD A B C D.     có diện tích mặt chéo ACC A  bằng 2 2a Thể tích của2

khối lập phương ABCD A B C D.    

là

A a 3 B 2a 3 C 2 2a3 D 8a 3

H

B' A'

D

B

C

A

Giả sử hình lập phương có cạnh bằng x x 0.

Ta có S ACC A  AA AC. x x. 22 2a2  x a 2

ABCD A B C D

V      a  a

Trang 8

Câu 22 Cho hình lập phương có cạnh bằng 1 Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương đó bằng

Đường chéo hình lập phương bằng 12 1212  3

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là:

3 2

R 

Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương đó bằng: S 4R2

2 3

2

  

 

Câu 23 Tổng diện tích các mặt của hình lập phương bằng 96 Thể tích của khối lập phương đó là:

Giả sử hình lập phương có cạnh là a

Ta có S tp 6a2 96 a 4

Vậy thể tích của khối lập phương đó là V a3 64

Câu 24 Tính thể tích của khối lập phương ABCD A B C D biết ’ ’ ’ ’ AD’ 2 a.

A V a3. B V 2 2a 3 C V 8a3. D

3

2 2 3



Gọi x là cạnh của hlp => AD'x 2 2 ax a 2 V 2 2a 3

Câu 25 Gọi V là thể tích của hình lập phương ABCD A B C D.     , V1 là thể tích của tứ diện A ABD Hệ thức

nào sau đây là đúng ?

A V 6 V1 B V 4 V1 C V 3 V1 D V 2 V1

Ta có V S ABCD.AA'; 1

1

V  S AA

Mà

1

2 1

6 1

3

ABD ABD ABCD

ABD

S AA V



Câu 26 Cho hình lập phương ABCD A B C D.     có diện tích tam giác ACD bằng a2 3 Tính thể tích V

của hình lập phương

A V 3 3a3 B V 2 2a3 C V a 3 D V 8a3

Trang 9

D

C

A

B

Giả sử cạnh của hình lập phương có độ dài là x

Ta có AC x 2,

2

x

OD OD A A 

Diện tích tam giác ACD là

2

ACD

S  OD AC  x 

Khi đó, ta có

Vậy V x3 2a3 2

Câu 27 Diện tích toàn phần của một hình hộp chữ nhật là S 8a2 Đáy của nó là hình vuông cạnh a Tính

thể tích V của khối hộp theo a.

A

3 7 4

V  a

3 3 2

V  a

Gọi chiều cao của hình hộp chữ nhật là b

2 4

đáy mat

S S S  a  ab a

3

2

Vậy thể tích của khối hộp:

2 3 3 3

đáy

V S b a  a a

Câu 28 Thể tích V của khối lập phương ABCD A B C D.     với diện tích tứ giác ACC A  bằng 4 2 là

A V  4 B V  6 C V  7 D V  8

B

A

D

C

B'

C'

Đặt BC Khi đó x AC x 2, AA  x

Mà S AA C C'  x2 2 4 2  x 2

Vậy V  23 8

Trang 10

Câu 29 Tổng diện tích các mặt của một hình lập phương bằng 96 cm cm2 2 Thể tích của khối lập phương

đó là:

A 48cm 3 B 91cm 3 C 64cm 3 D 84cm 3

Gọi a là độ dài cạnh của hình lập phương.

Tổng diện tích các mặt của một hình lập phương là: 6a 2 96  a2 16 a cm.4

Thể tích của khối lập phương đó là: V 43 64cm3

Câu 30 Thể tích của khối lập phương ABCD A B C D.     với AD 3a

A

3 27

Vì ADD vuông tại D nên AD2 AD2DD2

 2AD2 9a2 

3 2 2

a

AD 

Vì ABCD A B C D.     là khối lập phương nên

3 3

.

27 2 4

ABCD A B C D

a

V    AD 

Câu 31 Cho hình lập phươngABCD A B C D.     Tính thể tích V của hình lập.

B

B' C'

C A'

A

D'

D I'

I J H

phương biết rằng khoảng cách từ trung điểm I của AB đến mặt phẳng A B CD  

bằng 2

a

A

3 3

a

V 

B V a3 2 C V 2a3 D V a3

Gọi các điểm như hình vẽ bên trong đó IH I J Đặt cạnh AB x suy ra

IH    x a

Vậy V a3

Trang 11

Chọn C

Ta có V S ABCD.AA'; 1

1

3 ABD

V  S AA

Mà

1 1

2 1

1

3

ABD ABD ABCD

ABD

S AA V



Câu 33 Một hình lập phương có cạnh 4cm Người ta sơn đỏ mặt ngoài của hình lập phương rồi cắt hình

lập phương bằng các mặt phẳng song song với các mặt của hình lập phương thành 64 hình lập phương nhỏ có cạnh 1cm Có bao nhiêu hình lập phương có đúng một mặt được sơn đỏ?

Mỗi mặt có 4 hình được sơn một mặt Vậy, có: 6.4 24 (hình)

Câu 34.Cho hình lập phương ABCD A B C D.     có cạnh bằng a , một mặt phẳng   cắt các cạnh AA,

BB, CC , DD lần lượt tại M , N , P , Q Biết

1 3

AM  a

,

2 5

CP a

Thể tích khối đa diện

ABCD MNPQ là:

A

3 11

3 3

a

3 2 3

a

3 11

15a .

Q

O1 I

O' O

A'

C'

D'

C B

D A

B'

N M

P

Tứ giác MNPQ là hình bình hành có tâm là I

thuộc đoạn OO.

Ta có:

11

Gọi O1 là điểm đối xứng O qua I thì:

Trang 12

1 11

2 15

OO  OI  a a

Vậy O nằm trong đoạn1 OO.

Vẽ mặt phẳng qua O1 song song với ABCD

cắt các cạnh AA BB CC DD; ; ;  lần lượt tại

1, , , 1 1 1

A B C D Khi đó I là tâm của hình hộp

1 1 1

ABCD A B C D Vậy V ABCD MNPQ. V MNPQ A B C D 1 1 1 1

= 1 1 1 1

2V ABCD A B C D 2a OO 30a

Câu 35. Tính theo a thể tích V của khối lập phương ABCD A B C D.     biết AC a.

3 3 3

a

V 

C

3 27

a

V 

D

3 3 9

a

V 

Hướng dẫn giải.

Chọn D

Ta có

3

a

AC AB  AB

Thể tích khối lập phương là:

9

V AB    

Câu 36 Thể tích của khối lập phương có cạnh bằng 2

8

Khối lập phương có cạnh bằng a có thể tích V a3

Thể tích khối lập phương có cạnh bằng 2 là V  8

Câu 37 Tính thể tích V của khối lập phương ABCD A B C D.     Biết AC a 3

A V 3 3a3 B

3 1 3

V  a

3

3 6 4

a

V 

D V a3

C'

D

C

D'

Ta có: AC'a 3

Theo đề cho ABC A B C DD ’ ’ ’ ’ là khối lập phương

Trang 13

A V 3 3a3 B

3 6 4

a

V 

3 1 3

V  a

Ta có đường chéo hình lập phương AC  3a suy ra cạnh của lập phương bằng a..

Vậy thể tích bằng: V a3

Câu 39 Một khối lập phương có độ dài cạnh bằng 5 , thể tích khối lập phương đã cho bằng

Ta thấy y đổi dấu hai lần Tuy nhiên tại x  thì 0 V 53 125.

Câu 40 Tính thể tích V của khối lập phương ABCD A B C D , biết diện tích mặt chéo 1 1 1 1 ACC A bằng1 1

2

A V 4a3 B V 8a3 C V 16a3 D V 2a3

AB x  AC x  S x  a  x a

2 3 8 3

V  a  a

Câu 41 Người ta cần cắt một khối lập phương thành hai khối đa diện bởi một mặt phẳng đi qua A (như

hình vẽ) sao cho phần thể tích của khối đa diện chứa điểm B bằng một nửa thể tích của khối đa diện còn lại

M

C

D

B

A

C'

D' B'

A'

N P

Tính tỉ số  

CN k

CC

A

3 4



k

1 2



k

2 3



k

1 3



k

Trang 14

Gọi V là thể tích khối lập phương ; V là thể tích khối đa diện chứa điểm 1 B (gọi là khối  H

)

Ta có 1

1 3



Dựng khối hộp chữ nhật ABCD Q QNN   có thể tích V 2

Ta nhận thấy có thể ghép x b khối  x a lại với nhau thì được khối hộp chữ nhật

ABCD Q QNN .

Do đó

2

2 1

2



Vậy

2 3



k

Câu 42 Cho hình lập phương ABCD A B C D.     , khoảng cách từ C đến mặt phẳng A BD  bằng

4 3 2

a

Tính theo a thể tích khối lập phương ABCD A B C D    

Gọi I là giao điểm của AC và BD.

Trong mặt phẳng ACC A   ; AC cắt  A I tại G

Do AI song song AC và

1 2

AI  AC

nên

1 2

IG GA Suy ra G là trọng tâm tam giác A BD , mà tam giác A BD đều (có các cạnh là các đường chéo

của những hình vuông bằng nhau) nên GA GB GD và AA ABAD suy ra AG(A BD )

Trang 15

A 200 B 100 C 625 D 125

Gọi cạnh hình lập phương là a Ta có 6a2 150 a5

Thể tích khối lập phương là V a3 125

Câu 44 Tính theo a thể tích V của khối lập phương ABCD A B C D.     biết AC  a.

A

3 27

a

V 

3 3 3

a

V 

C V 3 3a3 D

3 3 9

a

V 

A

D

A¢

D¢

Ta có

3

a

AC AB  AB

Thể tích khối lập phương là:

9

V AB    

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	1,04 MB