Hoàng tử có hai thanh kiếm: Thanh kiếm thứ 1 cho phép chặt đúng 21 cái đầu rắn.. Thanh kiếm thứ 2 cho phép chặt đúng 9 cái đầu rắn nhưng khi đó con rắn lại mọc thêm 2018 cái đầu khác.. B
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐĂK LĂK
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
NĂM HỌC 2018 – 2019 MÔN THI: TOÁN - CHUYÊN
Ngày thi : 08/6/2018 (Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2,0 điểm)
f x x x m xm 1) Khi m 2, hãy phân tích đa thức f x thành nhân tử
biệt x x x1, 2, 3 thỏa mãn 2 2 2
x x x
Câu 2: (2,0 điểm)
2
15
Câu 3: (2,0 điểm)
1) Truyện kể rằng một hoàng tử đi cứu công chúa và gặp một con rắn có 100 cái đầu Hoàng tử có hai thanh kiếm: Thanh kiếm thứ 1 cho phép chặt đúng 21 cái đầu rắn Thanh kiếm thứ 2 cho phép chặt đúng 9 cái đầu rắn nhưng khi đó con rắn lại mọc thêm 2018 cái đầu khác
Biết rằng nếu con rắn có ít hơn 21 cái đầu hoặc 9 cái đầu thì hoàng tử không dùng được thanh kiếm 1 hoặc thanh kiếm 2 tương ứng và hoàng tử cứu được công chúa nếu như con rắn bị chặt hết đầu Hỏi hoàng tử có cứu được công chúa không?
2) Tìm các số nguyên x y z, , thỏa mãn đồng thời: x24y2z22xz4(x z )396 và
2 2 3
x y z
Câu 4: (1,0 điểm)
1) Cho các số thực x, y không âm, chứng minh rằng x3y3 x y2 xy2
5 ab5 5 bc5 5 ca5 1
a b abb c bcc a ca
Câu 5: (3,0 điểm)
1) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Vẽ ba đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC, chúng cắt nhau tại H
a) Chứng minh rằng tứ giác DHEC nội tiếp Xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp
tứ giác DHEC
b) Trên cung nhỏ EC của đường tròn (O) lấy điểm I sao cho IC > IE, DI cắt CE tại N Chứng minh NI.ND = NE.NC
c) Gọi M là giao điểm của EF và IC Chứng minh MN vuông góc với CH
2) Biết rằng mỗi đường chéo của một ngũ giác lồi ABCDE cắt ra khỏi nó một tam giác
có diện tích bằng 1 Tính diện tích của ngũ giác ABCDE
Trang 2SƠ LƯỢC BÀI GIẢI Câu 1: (2,0 điểm) 1) Khi m 2, ta có:
f x x x x x x x x x x x x
2
1
0 *
x
x x m
Do đó f x 0 có ba nghiệm phân biệt * có hai nghiệm phân biệt x x2 , 3 khác 1
0 0
**
1
4
m m
2 3
1
x x
Kết hợp với ** , ta có
0 1
1 4
m m
thì phương trình f x 0 có ba nghiệm phân biệt x x x1, 2, 3
x x x
2
0
0
x
x
2
15
4
ax )
12
a x x x x x (TM *)
6 4 2
x
x
(TM *)
2 2
2 2
2
7
*
5
1 2xy x y 2x xy 6x 3y 0 2xy x y x 2xy 3 2xy 0
2
x y
x y
Với 2x y, ta có:
Trang 3Nên 2 2 2
3 x y 7 5x 5y 14 4 2xx x 1 0 x 1 y 2 TM*
Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất x y , 1; 2
Câu 3: (2,0 điểm)
1) Bàn luận: Thanh kiếm thứ 2 cho phép chặt đúng 9 cái đầu rắn nhưng khi đó con rắn lại mọc thêm 2018 cái đầu khác (hiểu chặt 9 cái đầu nhưng chưa hết đầu thì mới mọc thêm, chứ không thì mãi không chặt hết đầu rắn tức không cứu được công chúa)
Lần 1 dùng thanh kiếm 2, số đầu rắn còn lại là: 100 – 9 + 2018 = 2109 (cái đầu)
Lần 2; 3; ,,,; 101 dùng thanh kiếm 1, số đầu rắn còn lại là: 2019 – 100.21 = 9 (cái đầu)
Lần 102 dùng thanh kiếm 2, số đầu rắn còn lại là: 9 – 9 = 0 (cái đầu)
Vậy hoàng tử cứu được công chúa
2) Ta có: x24y2z22xz4(x z )396
2 2
x z
x z k kZ k y k y a
3
a b x k z
9 4 k 6k 106 0
2
6 451
14 2
8
6 451 2
k
k
k k
18
2 2
14
2 16
x z
*** không có nghiệm nguyên (vì 33) Vậy các số nguyên x y z, , cần tìm là 6; 0;12 và 9;0; 27
Câu 4: (1,0 điểm)
b
,
2
a b ab a b
2 2 3 3 2 2 5 5 2 2 5 5 2 2
1 2
a b a b ab a bab a b a b a b a b abab a bab
1
ab
Tương tự có
;
b c bcbc a b c c a ca ca a b c
Trang 4
1
1
abc
Câu 5: (3,0 điểm)
M
N
O H
F
E
D
A
I
1) a/ Chứng minh rằng tứ giác DHEC nội tiếp Xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác DHEC
90
CDH nên CH là đường kính của dường tròn ngoại tiếp
tứ giác DHEC tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác DHEC là trung điểm CH
b/ Chứng minh NI.ND = NE.NC
Xét CND và INE, ta có: CNDINE (đối đỉnh)
NC NI
c/ Chứng minh MN vuông góc với CH
Trang 5
2) Theo giả thiết ta có: S ABC S BCD S CDE S DEA S EAB 1 (đvdt)
Vì S ABC S EAB AB/ /CE S; DEA S EABAE/ / BD
Gọi I là giao điểm của CE và BD, ta có tứ giác ABIE là hình bình hành
ABIEC EAB
Đặt S BCI x0 x 1S CDI S BCDS BCI 1 x S; BCD xS CDI S DEI S CDI S CDE S DEI x
và S BEI S EAB 1 (tứ giác ABIE là hình bình hành)
Ta có:
2
0
1 0
2
BCI BEI CDI DEI
ABCDE ABIE BCI CDE