a) Qua hai điểm bao giờ cũng có 1 đường thẳng nên ta không nói hai điểm thẳng hàng. Nếu điểm c nằm trên cạnh thước thì ba điểm đó thẳng hàng, trái lại thì ba điểm đó không thẳng hàng. C[r]
Trang 1CÁC DẠNG TOÁN VỀ ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM
I LÍ THUYẾT
1 Có một đường thẳng và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm A và B
Từ đó suy ra : Hai đường thẳng có hai điểm chung thì chúng trùng nhau
2 Ba cách đặt tên đường thẳng
– Dùng một chữ cái in thường, ví dụ a
– Dùng hai chữ cái in hoa, ví dụ AB
– Dùng hai chữ cái in thường, ví dụ xy
3 Vị trí của hai đường thẳng phân biệt
– Hoặc không có điểm chung nào (gọi là hai đường thẳng song song) ví dụ hai đường thẳng a và b
– Hoặc chỉ có một điểm chung (gọi là hai đường thẳng cắt nhau), ví dụ hai đường thẳng m và n
- Điểm chung của hai đường thẳng gọi là giao điểm của hai đường thẳng đó Ví dụ O là giao điểm của hai đường thẳng m và n trong hình 29
II CÁC DẠNG TOÁN
1 Dạng 1 ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM
Phương pháp giải
Vận dụng tính chất “có một đường thẳng và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm”
Ví dụ 1
Quan sát hình 30 và cho biết những nhận xét sau đúng hay sai:
Trang 2a) Có nhiều đường ” không thẳng” đi qua hai điểm A, B
b) Chỉ có một đường thẳng đi qua hai điểm A, B
Trả lời
a) Đúng ;
b) Đúng
Ví dụ 2
Lấy 4 điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng Kẻ các đường thẳng đi qua
các cặp điểm Có tất cả bao nhiêu đường thẳng ? Đó là những đường thẳng nào ?
Giải
Qua điểm A và mỗi điểm B, C, D có ba đường thẳng là AB, AC, AD Qua điểm B và mỗi điểm C,
D có hai đường thẳng là BC, BD (không qua A) Qua điểm C và D còn lại có một đường thẳng là
CD (không qua A, B)
Chú ý : Có thể trình bày ngắn gọn như sau :
điểm : A, B, c, D
6 đường thẳng : AB, AC, AD, BC, BD, CD
Ví dụ 3
Lấy 4 điểm M, N, P, Q trong đó ba điểm M, N, P thẳng hàng và điểm Q nằm ngoài đường
thẳng trên Kẻ các đường thẳng đi qua các cặp điểm Có bao nhiêu đường thẳng (phân biệt),
viết tên các đường thẳng đó
Hướng dẫn
– Qua ba điểm M, N, P thẳng hàng chỉ có một đường thẳng
Trang 3Đáp số: 4 đường thẳng
Ví dụ 4
a) Tại sao không nói : “Hai điểm thẳng hàng” ?
b) Cho ba điểm A, B, C trên trang giấy và một thước thẳng (không chia khoảng) Phải kiểm tra
như thế nào để biết được ba điểm đó có thẳng hàng hay không ?
Hướng dẫn
a) Qua hai điểm bao giờ cũng có 1 đường thẳng nên ta không nói hai điểm thẳng hàng
b) Đặt cạnh thước đi qua hai điểm, chẳng hạn A và B Nếu điểm c nằm trên cạnh thước thì ba
điểm đó thẳng hàng, trái lại thì ba điểm đó không thẳng hàng
Ví dụ 5 Cho trước 10 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng
Vẽ các đường thẳng đi qua các cặp điểm
a) Hỏi vẽ được bao nhiêu đường thẳng ?
b) Nếu thay 10 điểm bằng n điểm (-n ∈ N, n ≤ 2 ) thì vẽ được bao nhiêu đường thẳng
Giải
* Nhận xét : Trong bài tập này, số điểm cho trước lk nhiều (tới 10 điểm) Nếu ta dùng cách
này liệt kê sẽ mất thời gian, có thể nhầm lẫn nên ta sẽ dùng lập luận để tính toán
* Chọn một trong số các điểm đã cho rồi nối điểm đó với 9 điểm còn lại ta được 9 đường
thẳng Làm như vậy với tất cả 10 điểm ta được đường thẳng Nhưng như thế thì mỗi đường
thẳng đã được tính 2 lần (vì đường thẳng AB với đường thẳng BA chỉ là một) do đó thực sự
chỉ có (9.10)/2 = 45 (đường thẳng)
* Cũng lập luận như trên, với n điểm (n ∈ N ; n ≥ 2)
thì số đường thẳng vẽ được sẽ là 2(n-1)/2
Ví dụ 6 Có 21 người dự một cuộc họp mặt Mọi người đều bắt tay nhau Hỏi có bao nhiêu cái
bắt tay ?
Hướng dẫn
Coi mỗi người như một điểm Mỗi cái bắt tay giữa hai người như một đường thẳng qua hai
điểm
Áp dụng công thức với n =n (n-1)/2 ta được 210 cái bắt tay
Ví dụ 7 Cho trước một số điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng Vẽ các đường
thẳng đi qua các cặp điểm Biết tổng số đường thẳng vẽ được là 55 Hỏi có tất cả bao nhiêu
điểm cho trước ?
Hướng dẫn
Gọi số điểm cho trước là n
Ta có : n(n-1)/2= 55 ; n(n – 1) = 110 ; n(n -1) = 11.10 Vậy : n = 11
2 Dạng 2 GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Trang 4Phương pháp giải
Nếu trong đề bài cho :
– A là giao điểm của hai đường thẳng ;
– Hai đường thẳng cắt nhau tại A thì hai đường thẳng có một điểm chung, đó chính là điểm A
Ví dụ 8
Vẽ hình 33 rồi tìm điểm Z trên đường thẳng d1 và điểm T trên đường thẳng d2 sao cho X , Z , T
thẳng hàng và Y, Z, T thẳng hàng
Giải
Phân tích :
* Ba điểm X, Z, T thẳng hàng vậy X nằm trên đường thẳng ZT
* Ba điểm Y, Z, T thẳng hàng vậy Y nằm trên đường thẳng ZT
Suy ra X, Y nằm trên đường thẳng ZT, do đó 4 điểm X, Y, Z, T thẳng hàng
* Cách vẽ : Vẽ đường thẳng XY cắt đường thẳng d1 tại Z, cắt đường thẳng d2 tại T
Ví dụ 9
Vẽ hình theo cách diễn đạt sau :
a) M là giao điểm của hai đường thẳng p và q
b) Hai đường thẳng m và n cắt nhau tại A , đường thẳng p cắt n tại B và cắt m tại c
c) Đường thẳng MN và đường thẳng PQ cắt nhau tại o
Hướng dẫn
Có thể vẽ như hình 35a , b , c
Trang 5Ví dụ 10
Xem hình 36 rồi điền vào chỗ trống :
Trả lời
b) 3 ; c) 4 đường thẳng, 6 giao điểm ; d) 5 đường thẳng, 10 giao điểm
Ví dụ 11 Cho biết 3 đường thẳng m, n, p cùng đi qua một điểm và 3 đường thẳng m, n, q cùng
đi qua một điểm Hãy chứng tỏ rằng cả 4 đường thẳng m, n, p, q cùng đi qua một điểm
Giải
Theo đề bài, 3 đường thẳng m, n, p cùng đi qua một điểm, giả sử đó là điểm A Vậy A là điểm
chung của hai đường thẳng n và p
Ba đường thẳng n, p, q cùng đi qua một điểm, giả sử đó là điểm B Vậy B là điểm chung của hai đường
thẳng n và p
Hai đường thẳng phân biệt n và p mà có điểm chung thì chỉ có một điểm chung duy nhất nên
điểm A và B phải trùng nhau Vậy 4 đường thẳng m, n, p, q cùng đi qua một điểm
Chú ý:
– Ba hay nhiều đường thẳng cùng đi qua một điểm gọi là nhiều đường thẳng đồng quy
– Muốn chứng minh nhiều đường thẳng đồng quy ta có thể xác định được giao điểm của hai
đường thẳng nào đó rồi chứng minh các đường thẳng còn lại đều đi qua giao điểm này
Ví dụ 12 Cho 6 đường thẳng đôi một cắt nhau trong đó không có ba đường thẳng nào đồng
quy Tính số giao điểm của chúng
Hướng dẫn
Bạn có thể dùng công thức n(n-1)/2 trong đó n là số đường thẳng
Đáp số: 15 giao điểm
3 Dạng 3 CHỨNG MINH NHIỀU ĐIỂM THẲNG HÀNG
Phương pháp giải
Trang 6Chứng minh các điểm này thuộc hai (hay nhiều) đường thẳng mà các đường thẳng này có hai
điểm chung
Ví dụ 13 Cho bốn điểm A, B, C, D sao cho C nằm giữa hai điểm A và D ; điểm D nằm giữa
hai điểm C và B Hãy chứng tỏ rằng bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng
Giải
Theo đề bài, điểm C nằm giữa hai điểm A và D nên ba điểm A, C, D cùng nằm trên một
đường thẳng Điểm D nằm giữa hai điểm C và B nên ba điểm C, B, D cùng nằm trên một
đường thẳng
Hai đường thẳng này có hai điểm chung là C, D nên chúng phải trùng nhau, suy ra 4 điểm A, B,
C, D thẳng hàng
Ví dụ 14 Cho 4 điểm A , B, C , D trong đó 3 điểm A , B, C thẳng hàng;
3 điểm B, C , D thẳng hàng Hỏi 4 điểm A , B, C , D có thẳng hàng không ? Vì sao ?
Giải
Ba điểm A, B, c thẳng hàng nên chúng cùng nằm trên một đường thẳng
Ba điểm B, C, D thẳng hàng nên chúng cùng nằm trên một đường thẳng Hai đường thẳng này
có 2 điểm chung là B và C nên chúng phải trùng nhau, suy ra 4 điểm A, B, C, D thẳng hàng
Trang 7Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi
về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh
tiếng
I.Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây
dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn
II.Khoá Học Nâng Cao và HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành
cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III.Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu
tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí