Xác định vị trí của điểm M để tổng thể tích của 2 khối chóp S.ABF và S.ACF đạt giá trị nhỏ nhất... - đẳng thức xẩy ra khi tam giác ABC đều.[r]
Trang 1Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng 1
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 12 HÀ NỘI
Năm học 2010 – 2011 Thời gian: 180 phút
Ngày thi: 16 – 10 - 2010
Bài 1 (6 đ):
1 Giải hệ phương trình:
1 y ) 2 y x 2 (
y 2 x 2 1 y
x2 2
2 Tìm tất cả các giá trị của tham số a để hệ bất phương trình sau có nghiệm
2 x ) 2 a 3 ( x a
0 8 x 7 x 2 2
Bài 2 (4 đ):
1 Cho tam giác ABC có a, b, c là độ dài các cạnh; ha, hb, hc là các đường cao tương ứng và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp Chứng minh rằng
18R h
1 h
1 h
1 ca) bc (ab
c b a
2 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ
số khác nhau mà trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số thuộc hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm lớn hơn tổng của 3 chữ số còn lại là 3 đơn vị
Bài 3 (4 đ):
1 Chứng minh rằng có duy nhất một điểm thuộc đồ thị (C) của hàm số
2 x 3 x
y 3 2 mà qua điểm đó chỉ kẻ được một tiếp tuyến tới (C)
2 Tìm tất cả các giá trị của x sao cho ứng với các giá trị đó hàm số sau đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất:
2 x cos x sin 3 x cos x sin x sin 3 x sin
Bài 4 (2 đ): Cho dãy số (un) với n n
2
1 n 4
Dãy (Sn) được cho bởi
n
1 i i
S Tìm limSn
Bài 5 (4 đ): Trong mặt phẳng (P) cho đoạn thẳng AB Gọi O là trung điểm AB và
M là điểm tùy ý trên đoạn OB (M B) Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB của (P), dựng các hình vuông AMCD, MBEF Điểm S thuộc đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại A (S A)
1 Xác định vị trí của điểm M để tổng thể tích của 2 khối chóp S.ABF và S.ACF đạt giá trị nhỏ nhất
2 Đường thẳng AF cắt đường thẳng BC tại điểm N Điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm S trên đường thẳng MN Tìm quỹ tích của H khi M di chuyển trên đoạn OM
HẾT
Trang 2Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng 2
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 12
Năm học 2010 – 2011 Bài1
1) Hệ có nghiệm (x; y) = (2; 1)
2) – BPT (1) có nghiệm x (-1; 8)
- Hệ có nghiệm khi BPT (2) có nghiệm và tập nghiệm của nó giao với tập nghiệm của (1) khác rỗng
2
2 3
; 1 (
Bài 2
1) - Sử dụng các công thức tính diện tích: S = a b chc
2
1 bh 2
1 ah 2
1 R 4
abc
dụng BĐT côsi cho hệ thức thu được đpcm
- đẳng thức xẩy ra khi tam giác ABC đều
2) – Gọi số cần tìm là abcdef , từ giả thiết ta có hệ phương trình
3 ) c b a ( )
f
e
d
(
21 f e d c
b
a
Giải hệ trên a +b+c = 9 và d+e+f = 12
Bài toán xẩy ra 3 trường hợp: ………….Đáp số: 108 (số)
Bài 3
1) Gọi M(a, a3 -3a+2) viết ptđt qua M và có hệ số góc k
- sử dụng điều kiện tiếp xúc a = 1 M(1; 0)
(Nhận xét: M chính là điểm uốn của ĐTHS)
2) – đặt t = sinx y=f(t) = t3 – 3t2 + 2, t [-1; 1]
- Ta có: maxy = 2 khi t = 0 sinx = 0 x =k
Và miny = -2 khi t = -1 sinx = - 1 x = k2
2
Bài 4
- Ta có: un = 4(un+1 – un+2)
- Suy ra: Sn = 4(u2 - un+2) = 4( )
2
9 n 4 4
9
2
n
limSn = 9
Bài 5
1) - Ta có V = VS.ABF+VS.ACF = ….= SA(MA MB )
6
(1)
- Áp dụng BdT bunhiacopxi, ta có: AB2 = (MA + MB)2 2(MA2 + MB2) (2)
- Từ (1) và (2), suy ra V SA.AB2
12
1
, đẳng thức xẩy ra khi M là trung điểm AB 2) Quỹ tích H là cung nhỏ OK của đường tròn đường kính AK, trong đó K là điểm trên (P) và nằm về nửa mặt phẳng còn lại có bờ là AB sao cho tam giác AKO
vuông cân tại O( hay nói khác đi K là giao điểm của đường tròn đường kính AB với đường trung trực của AB, K không thuộc nửa mặt phẳng chứa hình vuông AMCD))
-Hết-