Chủ đề 19. Tổng hợp dao động điều hòa.Image.Marked.Image.Marked

Hai chất điểm dao động trên cùng trục tọa độ, chất điểm thứ nhất có phương trình chất điểm thứ hai có phương trình , hai chất điểm không va + Khoảng cách lớn nhất giữa 2 chất điểm: dmax

CHỦ ĐỀ 19: TỔNG HỢP DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1 Vecto quay.

Ta có phương trình x A cos   là phương trình của hình chiếu

của vecto quay OM lên trục x Dựa vào dao động điều hòa người ta

đưa ra cách biểu diễn phương trình của dao động điều hòa bằng một

vecto quay được vẽ tại thời điểm ban đầu Vecto quay có đặc điểm:

+) Có gốc tại gốc tọa độ của trục Ox

+) Có độ dài bằng biên độ dao động OM = A

+) Hợp với trục Ox một góc bằng pha ban đầu (chọn chiều dương là

chiều dương của đường tròn lượng giác)

2 Phương pháp giản đồ Fre-nen

Giả sử ta cần tổng hợp của hai dạo động điều hòa cùng phương, cùng tần số sau:

Đặt mua file Word tại link sau:

 Trong trường hợp A1 A2 ta có thẻ dùng phương pháp Fre-nen như sau:

+) Vẽ lần lượt hai vecto quay A1 và biểu diễn hai li độ

+) Sau đó vẽ vecto   A A 1A2 theo quy tắc hình bình hành Khi đó

vecto chéo là vecto quay với tốc độ góc quanh gốc tọa độ O.A

trình dao động điều hòa tổng hợp là x A cos  t 

Vậy, dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số là một dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số với hai dao động đó

Trong trường hợp tổng quát, biên độ và pha ban đầu được tính bằng các công thức sau:

Từ công thức trên ta thấy rằng biên độ dao động tổng hợp phụ thuộc vào các biên độ thành phần và độ lệch pha    1 2

2

       +) Nếu hai dao động ngược pha:  1 2   k2  A Amin  A1A2

A A A

A A

4 Tổng hợp dao động bằng máy tính CASIO

Để tổng hợp các dao động: x1A1cos  t 1; x2  A2cos  t 2, ,x n A ncos  t n ta viết dưới dạng số phức x i  A icos  t i  x i A i  i

Nếu biết một dao động thành phần là x1 A1cos  t 1 và dao động tổng hợp có phương trình là

thì dao động thành phần là được xác định bởi :

6 Bài toán khoảng cách trong dao động điều hòa.

Hai chất điểm dao động trên cùng trục tọa độ, chất điểm thứ nhất có phương trình

chất điểm thứ hai có phương trình , hai chất điểm không va

+) Khoảng cách lớn nhất giữa 2 chất điểm: dmax  A

+) Hai chất điểm gặp nhau: d 0

 Véc-tơ tổng hợp luôn nằm giữa 2 véc-tơ thành phần, tức nó nhanh pha hơn một dao động thành phần

và chậm pha hơn dao động thành phần còn lại

II VÍ DỤ MINH HỌA

 Dạng 1 Tổng hợp 2 hay nhiều dao động.

Ví dụ 1: [Trích đề thi đại học năm 2013] Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có biên độ lần

lượt là A1 8cm, A2 15cm và lệch pha nhau Dao động tổng hợp của hai dao động này có biên độ

2cos cos cos cos 12

Ví dụ 4: Chuyển động của một vật là tổng hợp của hai dạo động điều hòa cùng phương Hai dao động này

có phương trình lần lượt là 1 4cos 10 và Độ lớn vận tốc của vật này

Ví dụ 5: [Đề thi thử chuyên ĐH Vinh 2017] Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa

cùng phương cùng tần số Biết dao động thành phần thứ nhất có biên độ dao động A1 4 3cm, dao động tổng hợp có biên độ A4 cm Dao động thành phần thứ hai sớm pha hơn dao động tổng hợp là Dao

Ví dụ 6: [Trích đề thi đại học năm 2010] Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương,

cùng tần số có phương trình li độ 3cos 5 cm Biết dao động thư nhất có phương trình li độ

Ví dụ 9: [Đề thi thử chuyên Quốc Học Huế 2017] Một vật thực hiện đồng thời ba dao động điều hòa

cùng phương, cùng tần số có phương trình lần lượt là 1 1cos 2 2 cm, ,

1

2

2 2

Ví dụ 10: [Đề thi thử sở GD&ĐT Vĩnh Phúc 2017] Dao động của một chất điểm là sự tổng hợp của hai

dao động điều hòa với phương trình lần lượt là x12 cosA   t 1 và x2 3 cosA   t 2 Tại thời điểm mà tỉ số vận tốc và tỉ số li độ của dao động thứ hai so với dao động thứ nhất lần lượt là 1 và 2 thì li

độ dao động tổng hợp bằng 15 cm Tại thời điểm mà tỉ số vận tốc và tỉ số li độ của dao động thứ hai so với dao động thứ nhất lần lượt là 2 và 1 thì li độ dao động tổng hợp của chất điểm có thể bằng

Lời giải:

Gọi và là li độ của dao động tổng hợp tại 2 thời điểm và x x t t

Tại thời điểm : ta có t x x1 x2  15 và 2

Tại thời điểm ta có: t  

2 2

2 2

2 2

9A

2 81 4 364

x v

Ví dụ 11: Một vật thực hiện đồng thời ba dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số tương ứng là (1),

(2), (3) Dao động (1) ngược pha và có năng lượng gấp đôi dao động (2) Dao động tổng hợp (13) có năng lượng là 3W Dao động tổng hợp (23) có năng lượng W và vuông pha với dao động (1) Dao động tổng hợp

của vật có năng lượng gần nhất với giá trị nào sau đây?

2 2

1 2

22

Ví dụ 12: Hai dao động điều hòa, cùng phương, cùng tần số, biên độ dao động thứ nhất là A1 10 cm Khi

cm thì li độ tổng hợp cm Khi , thì cm Độ lệch pha của dao động của hai

Lời giải:

hoành một góc 5 6 Vậy sớm pha hơn x1 x2 là  3

Khi x1 5 cm 1 thì vecto hợp với chiều dương của trục hoành một góc và

Ví dụ 13: Hai chất điểm M và N có cùng khổi lượng, dao động điều hòa cùng tần số góc theo hai đường

thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox Vị trí cân bằng của M và của N đều ở trên một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox Biên độ của M là 6 cm, của N là 8 cm Trong quá trình dao động, khoảng cách lớn nhất giữa M và N theo phương Ox là 10 cm Mốc thế năng tại vị trí cân bằng Ở thời điểm mà M có động năng bằng thế năng, tỉ số động năng của M và động năng của N là

9

916

34

43

Lời giải:

Khoảng cách lớn nhất khi MN có phương nằm ngang

luôn vuông góc với ON

Ví dụ 14: [Đề thi thử THPT QG sở GD&ĐT TP Hồ Chí Minh năm 2017] Hai chất điểm dao động điều

hòa cùng tần số, trên hai đường thẳng song song với nhau và song song với trục Ox có phương trình lần lượt là x1 A1cos  t 1 và x2 A2cos  t 2 Giả sử x x 1 x2 và y x 1 x2 Biết rằng biên độ dao động của x gấp 2 lần biên độ dao động của y Độ lệch pha giữa x1 và x2 là  Giá trị nhỏ nhất của

Ví dụ 16: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động cùng phương Phương trình ly độ của các dao

động thành phần và dao động tổng hợp lần lượt là x1 A1cos  t cm; x2 3cos  t  cm; và

cm Biên độ dao động có giá trị lớn nhất là

Ví dụ 17: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, có phương

trình x1 A1cos  t 3 và x2 A2cos  t 3 Dao động tổng hợp có biên độ 4 3 cm Khi A1 đạt giá trị cực đại thì A2 có giá trị là

Lời giải:

Thay đổi cho đến khi biên độ A đạt giá trị cực tiểu thìA1

sin3sin

Ví dụ 19: Một vật có khối lượng không đổi, thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa có phương trình dao

động lần lượt là x18cos 2   t  và 2 2cos 2 2 cm thì phương trình dao động tổng hợp là

3

x  A     

 

 

cm Để năng lượng dao động đạt giá trị cực đại thì biên độ dao động phải có giá trị

Ví dụ 20: [Trích đề thi đại học năm 2014] Cho hai dao động điều hòa cùng phương với các phương trình

lần lượt là x1 A1cos t0,35cm và x2  A2cos t1,57 cm Dao động tổng hợp của hai dao động này có phương trình là x20cos  t  cm Giá trị cực đại của A1A2 gần giá trị nào nhất sau đây?

 

20sin sinsin1, 22

40sin cossin1, 22 2 2

Ví dụ 21: [Chuyên Đại học Vinh lần 3 năm 2017] Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hòa

cùng phương, cùng tần số, nhưng vuông pha nhau, có biên độ tương ứng là A1 và A2 Biết dao động tổng hợp có phương trình x16cos t (cm) và lệch pha so với dao động thứ nhất một góc 1 Thay đổi biên

độ của hai dao động, trong đó biên độ của dao động thứ hai tăng lên 15 lần (nhưng vẫn giữ nguyên pha của hai dao động thành phần) khi đó dao động tổng hợp có biên độ không đổi nhưng lệch pha so với dao động thứ nhất một góc 2 , với 1 2 Giá trị ban đầu của biên độ là:

Ví dụ 22: Hai chất điểm dao động điều hòa trên cùng một hệ trục tọa độ Ox theo phương trình lần lượt là

cm và cm Khoảng cách lớn nhất giữa hai vật trong quá trình

Ví dụ 23: Hai chất điểm dao động điều hòa trên hai trục Ox và Oy vuông góc nhau (O là vị trí cân bằng

chung của hai điểm) Biết phương trình dao động của hai chất điểm là 2cos 5 cm và

Ví dụ 24: Hai chất điểm M và N, dao động điều hòa cùng tần số dọc theo hai đường thẳng song song kề

nhau và song song với trục tọa độ Ox Vị trí cân bằng của M và của N đều ở trên một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox Biên độ của M và N lần lượt là A1 và A2 A1 A2 Biên độ dao động tổng hợp của hai chất điểm là 7 cm Trong quá trình dao động, khoảng cách lớn nhất giữa M và N theo phương

Ox là 97 cm Độ lệch pha của hai dao động là 2 3 Giá trị và A1 A2 lần lượt là

Ví dụ 25: Hai con lắc lò xo giống hệt nhau dao động điều hòa trên mặt phẳng nằm ngang, dọc theo hai

đường thẳng song song cạnh nhau và song song với trục Ox Biên độ của con lắc một là A12 cm con lắc hai là A2 4 cm Con lắc hai dao động nhanh hơn con lắc một và trong quá trình dao động khoảng cách lớn nhất giữa hai vật dọc theo trục Ox là 2 3 cm Khi động năng của con lắc một cực tiểu thì động năng con lắc thứ 2 bằng

A 1 4 giá trị cực đại B 3 4 giá trị cực đại

C 2 3 giá trị cực đại D 1 2 giá trị cực đại

Lời giải:

Giả sử PT dao động của con lắc 1 là: x12cos  t

Phương trình của con lắc 2 là: x2 4cos  t   0 (vì con lắc 2 nhanh pha hơn con lắc 1)

2 2max

Ví dụ 26: Cho hai chất điểm dao động điều hòa cùng tần số trên hai đường thẳng song song với trục Ox có

phương trình x1 A1cos  t 1 và x2 A2cos  t 2 Biết rằng giá trị lớn nhất của tổng li độ dao động của hai vật bằng hai lần khoảng cách cực đại giữa hai vật theo phương Ox và độ lệch pha của dao động 1 so với dao động 2 nhỏ hơn 90° Độ lệch pha cực đại giữa và x1 x2 gần giá trị nào nhất sau đây?

Khoảng cách giữa hai vật 2 2

5

     

Ví dụ 27: ba chất điểm M M1, 2 và M3 dao động điều hòa trên ba trục tọa

độ song song với nhau đều nhau những khoảng a2 cm với vị trí cân

bằng lần lượt O O1, 2 và O3 nằm trên cùng đường thẳng vuông góc với ba

trục tọa độ Trong quá trình dao động ba chất điểm luôn luôn thẳng hàng

Biết phương trình dao động của M1 và M2 lần lượt là x13cos 2 t (cm)

và 2 1,5cos 2 cm Khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm và

Ví dụ 28: Hai chất điểm A và B dao động trên hai trục của hệ trục tọa độ Oxy (O là vị trí cân bằng của 2

vật) với phương trình lần lượt là: x 4cos 10 cm và cm Khoảng cách lớn

Ví dụ 29: Hai vật dao động điều hòa dọc theo các trục song song với nhau Phương trình dao động của các

vật lần lượt là: x1 3cos 5   t 3 và x2 cos 5   t 6 (x tính bằng cm; t tính bằng s) Trong khoảng thời gian 1s đầu tiên thì hai vật gặp nhau mấy lần?

2

x t

Ví dụ 30: Hai vật dao động điều hòa trên hai đoạn thẳng cạnh nhau, song song nhau, cùng mọt vị trí cân

bằng trùng với gốc tọa độ, cùng một trục tọa độ song song với hai đoạn thẳng đó với các phương trình li độ lần lượt là x1 3cos 5 cm và cm Thời gian lần đầu tiên kể từ thời điểm

A 0,3 s B 0,4 s C 0,5 s D 0,6 s.

Lời giải:

Khoảng cách giữa hai vật d  x1x2

+) Chuyển máy tính sang số phức MODE 2

+) Nhập số liệu 3 60 3 3 30  

+) Xuất ra kết quả SHIFL 2 3 =

Ta thu được 3 cos 5 cm

Hai vật gặp nhau lần đầu tiên ứng với k   2 t 0,6 s Chọn D.

Ví dụ 31: Hai chất điểm dao động điều hòa trên cùng một trục tọa độ Ox (O là vị trí cân bằng của chúng),

coi trong quá trinh dao động hai chất điểm không va chạm vào nhau Biết phương trình dao động của chúng lần lượt là 1 4cos cm và cm Hai chất điểm cách nhau 6 cm ở thời điểm lần

Ví dụ 32: Điểm sáng A đặt trên trục chính của một thấu kính, cách

thấu kính 10 cm Chọn trục tọa độ Ox vuông góc với trục chính, gốc

O nằm trên trục chính của thấu kính Cho A dao động điều hòa theo

phương của trục Ox Biết phương trình dao động của A là x và ảnh A

là của nó qua thấu kính được biểu diễn như hình vẽ Thời điểm lần x

thứ 2018 mà khoảng cách giữa vật sáng và ảnh của nó khi điểm sáng

A dao động là 5 5 cm có giá trị gần bằng giá trị nào sau đây nhất?

 Dạng 3 Bài toán 2 dao động không cùng tần số.

Ví dụ 33: Các điểm sáng M (màu đỏ) và N (màu lục) dao động điều hòa cùng biên độ trên trục Ox quanh

gốc tọa độ O Chu kì dao động của M gấp 3 lần của N Ban đầu M và N cùng xuất phát từ gốc tọa độ, chuyển động cùng chiều Khi gặp nhau lần đầu tiên, M đã đi được 10 cm Quãng đường N đi được trong thời gian trên là

A 20 2 10  cm B 50 3 cm C 30 3 10  cm D 30 cm.

Lời giải:

: N quay nhanh hơn M

Lần đầu tiên M, N gặp nhau khi chúng đang chuyển động ngược

chiều nhau tại cùng vị trí 10 cm (hình vẽ)

Ví dụ 34: Trên mặt phẳng nằm ngang có hai con lắc lò xo Các lò xo có cùng độ cứng k, chiều dài tự nhiên

là 32 cm Các vật nhỏ A và B có khối lượng lần lượt là m và 4m Ban đầu, A và B được giữ ở vị trí sao cho

lò xo gắn với A bị dãn 8 cm còn lò xo gắn với B bị nén 8 cm Đồng thời thả nhẹ để hai vật dao động điều hòa trên cùng một đường thẳng đi qua giá I cố định (hình vẽ) Trong quá trình dao động, khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất giữa hai vật có giá trị lần lượt là

Phương trình dao động của vật A và B lần lượt là: x A 8cos 2   t  ; x B 8cos  t 

Trong quá trình dao động AI 32x A , BI 32x B AB64x B x A64d

Với dx B x A 8 cos   t cos 2   t 8 cos 2  tcos t8 2cos 2 t 1 cos t 

Ví dụ 35: Hai điểm sáng 1 và 2 cùng dao động điều hòa trên trục Ox với phương trình dao động là:

đầu t = 0 khoảng cách giữa hai điểm sáng là a 3 Tại thời điểm t t hai điểm sáng cách nhau 2a, đồng thời chúng vuông pha nhau Đến thời điểm t 2 t thì điểm sáng 1 trở lại vị trí ban đầu lần đầu tiên và khi

đó hai điểm sáng cách nhau 3 3a Tỉ số  1 2 bằng

Lời giải:

Với giả thiết sau khoảng thời gian 2 t dao động 1 quay trở về vị trí ban đầu:

+) TH1: 2 t T  khi đó 1 đi đúng 1 vòng Từ hình dưới dễ thấy  1  2  1 2 1

+) TH2: 2  t T  1t0 đối xứng với  1 2t qua trục hoàng  1 t  biên

Ví dụ 36: Hai điểm sáng M và N dao động điều hòa cùng biên độ trên trục Ox, tại thời điểm ban đầu hai

chất điểm cùng đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương Chu kì dao động của M gấp 5 lần chu kì dao động của N Khi hai chất điểm đi ngang nhau lần thứ nhất thì M đã đi được 10 cm Quãng đường đi được của N trong khoảng thời gian đó là

Ví dụ 37: Hai chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox, quanh vị trí cân bằng chung gốc tọa độ O, với

biên độ dao động bằng nhau Chu kỳ của hai dao động là 1,5 s và 1,2 s Thời điểm ban đầu, được chọn lúc hai chất diểm đồng thời có mặt tại biên dương Từ sau thời điểm ban đầu, trong 15 s đầu tiên, số lần hai chất điểm gặp nhau khi đang chuyển động cùng chiều là

biên độ dao động bằng nhau Chu kỳ của dao động là 0,5 s và 0,4 s Thời điểm ban đầu, t = 0, được chọn lúc hai chất điểm đồng thời đi ngang qua O theo chiều dương Tính từ sau thời điểm ban đầu, thời điểm mà

2 chất điểm gặp nhau lần đầu tiên tại O khi đang chuyển động cùng chiều với nhau là

Gốc thời gian đi qua VTCB O theo chiều dương:  1  2   2 rad

Bài này thuộc chú ý 2, gặp nhau cùng chiều tại vị trí có điều kiện tại O

Ban đầu từ VTCB O theo chiều dương đến VTCB O cùng chiều lần đầu tiên thì CĐ và CĐ quay được 1 2nguyên lần đường tròn: 1t n 2

Ví dụ 39: Hai chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox, quanh vị trí cân bằng chung gốc tọa độ O, với

biên độ dao động bằng nhau Chu kỳ của hai dao động là 0,5 s và 0,4 s Thời điểm ban đầu, được chọn lúc hai chất điểm đồng thời đi ngang qua O theo chiều dương Tính từ sau thời điểm ban đầu, thời điểm mà 2 chất điểm gặp nhau tại vị trí cân bằng O lần đầu tiên là

Gốc thời gian đi qua VTCB O theo chiều dương:  1  2   2 rad

Ban đầu từ VTCB O theo chiều dương đến VTCB O cùng hoặc ngược chiều lần đầu tiên thì CĐ và CĐ 1 2quay được nguyên nửa lần hoặc nguyên lần đường tròn: