Các phương pháp giải tập giải tích 12 (chương trình nâng cao): Phần 1

Phần 1 tài liệu Giải bài tập giải tích 12 giới thiệu tới người đọc lý thuyết tóm tắt, bài tập căn bản, câu hỏi trắc nghiệm về ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số, hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit. Mời các bạn cùng tham khảo.

PGS TS NGUYÍN VĂN LỘC ( Chủ biín ) HOĂNG NGỌC ĐỨC - VŨ ĐOĂN KẾT - THỊ VAN CHUNG - LE THI LIÍN

HĂ VĂN QUYỀN - VŨ THỊ PHƯỢNG - HOĂNG THÚY HĂNG - TRẤN QUANG TĂI

GIẢI BĂI TẬP

GIẢI TÍCH 2

= Bai tap can ban

" Cđu hỏi trắc nghiệm

" Đâpấn

PGS-TS NGUYỄN VĂN LỘC (Chủ biên)

HOÀNG NGỌC ĐỨC - VO DOAN KET - THI VAN CHUNG

LE THI LIEN - HA VAN QUYEN - VŨ THỊ PHƯỢNG

HOANG THUY HANG - TRAN QUANG TAI

GIAI BAI TAP

Tom tat ly thuyét

e Bai tap căn bản Câu hỏi trắc nghiệm

Đáp án

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

LỜI NÓI ĐẦU

Cuốn sách “GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH 19 NÂNG CAO” có nội dung

tương ứng uới sách giáo khoa Giải Tích 12 nâng cao được áp dụng từ năm

học 2008 - 2009

Mỗi mục ($) của chương gồm bốn phân

I Tóm tắt lý thuyết

II, Bai tap căn bản

LHI Câu hỏi trắc nghiệm

Phân III Trình bày các câu hỏi trắc nghiệm nhằm giúp các em ôn luyện lại kiến thức đã học

Phân IV Trình bày đáp án các câu hỏi trắc nghiệm nêu ở phần III

~ Vide sit dung sách nên thực hiện theo trình tự như sau:

Sau khi hoc ly thuyết, các em hãy tự mình gidi cde bai tap có trong sách giáo khoa, nếu gặp khó khăn có thể tham khảo lời giải bài tập trình bày ở phân II, hơn nữa ngay cả khi giải được bài tập của sách giáo khoa, các em cũng nên so sánh lời giải của mình uới lời giải được trình bày trong

sách này để hiểu sâu sắc, đây đủ kiến thức uà phương pháp giải toán Tiếp

theo các em nên dừnh thời gian giải các câu hỏi trắc nghiệm ở phần Ili dé

Chúc các em thành công

Các tác giả

1, Nhắc lại định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến

Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng Hàm số f xác

định trên K được gọi là:

Đông biến trên K nếu Vxụị, x; e K, xị.< X¿ => f(x;) < f(x2)

Nghịch biến trên K nếu Vxị, x; € K, x; < x2 = flx;) > flx,)

2 Diéu kién cần của tính đơn điệu:

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng 1

a) Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng Ï thì f(x) > 0 với mọi x e I

b) Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì f{x) < 0, Vx I

3 Điều kiện đủ của tính đơn điệu

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I

a) Néu f(x) > 0, Vx e I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I

b) Néu f (x) < 0, vx € I thi ham số nghịch biến trên khoảng I

4 Mé rong diéu kién dd cua tinh don điệu

Giả sử hàm số f có đạo hàm trén khoang I Néu f(x) 2 0, Vx e I

(hoac f (x) < 0, Vx € I) va f (x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì

hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trén I

ð Chú ý: Khoảng I trong các điều kiện trên có thể được thay bởi một đoạn hoặc mót nửa khoảng Khi đó phải bổ sung giả thiết “Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó.”

II BÀI TẬP CĂN BẢN

Bài 1 Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (—œ; ~ M8) và (V3; +=); hàm

nghịch biến trên mỗi khoảng (~ 3; 0) và (0; V3)

Vậy hàm số déng bién trén [-2; 0] và nghịch biến trên [0; 2]

(có thể trả lời: hàm số‹ồng biến trên (~2; 0) và nghịch biến trên (0; 2))

Bài 2 Chứng minh rằng:

a) Hàm số y = x đông biến trên mỗi khoảng xác định của nó;

b) Hàm số y = - mẽ nghịch biến trên mỗi khoảng của nó

Nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (—œ; -1) và (—1; +)

Bài 3 Chứng minh rằng các hàm số sau đồng biến trên R

va f (x) = 3x? + 1+ sinx > 0 vx € R (x? > 0; 1+ sinx 2 0; 3x? + 1+ sin? = 0

vô nghiệm) Nên hàm số đồng biến trên R

Bài 4 Với giá trị nào của a, ham sé y = ax — x" nghịch biến trên R ?

Giải

Hàm số xác định trên R, y` = a - 3x”

Cách 1 Nếu a< 0 >y'<0 Vx e R = hàm số nghịch biến trên R

Nếu a= 0 =y' =-3x?<0 VxeR,y'=0€©x=0

Vậy hàm số nghịch biến trên R

=

Hăn: số đồng biến trĩn (— Ễ if ) Vậy a > 0 không thỏa mên yíu cầu băi toân

Cấc¿ 2 Hăm số nghịch biến trín R, điều kiện y' <0, Vxe R,y`= 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm

Ta c:y'<0 ©a—-3x®<0c©©a<3x? vxeR

- Với a = 2 thi f (x) = (x + 2)? > 0 Vx # ~2 Hăm số đồng biến trín R

- Với a = -9 thì f (x) = (x - 2)? > 0 Vx # 2 Hăm số đồng biến trín R

+ Nếu a? ~ 4 > 0 hay a < ~9 hoặc a > 2 thi f (x) = 0 có 2 nghiệm phđn biệt

Xị, Xe GẢ sử x; < x2, khi dĩ hăm số nghịch biến trín khoảng (x); xz) Vay cdc gia tri nay cla a không thỏa mên yíu cầu băi toân

x+1 Giải

a) Eăm số đê cho xâc định trín R

y'=x?— 4x + 4= (x— 9) >0, Vx#2;y' = 0 chỉ tại x = 2

Vậy hàm số đồng biến trên R

Vay hàm số đồng biến trên (0; 1] và nghịch biến trên [1; 2]

(có thể nói hàm số đồng biến trên (0; 1) nghịch biến trên (1; 2))

Wy= í a ~—2<0 vx e D nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng

x+

(20; -1) va ( 1; +90)

Bài 7 Chứng minh rằng hàm số fx) = cos2x - 2x + 3 nghịch biến trên R

Giải fx) xác định và liên tục trên R nên liên tục trên mỗi đoạn

È ws Z +e 60] «7 f'00 = -9(sin9x + 1) <0, Vx e R

f(x) =0 ¢2 sinx = -1 > 2x=-2 + kên © xi = ST +kikeZ

r

vậy hàm số nghịch biến trên mỗi đoạn iz + km2 +(k+ vr, keZ

Do dé ham sé nghich bién trén R

Bài 8 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) sinx < x véi moi x > 0 ; sinx > x với mọi x < 0 ;

Hiển nhiên x > sinx, Vx > 5 (do sinx < 1)

Vậy x > sinx với mọi x > 0

+ Ham 86 f(x) =

— sinx liên tục trên I-53 0] và có đạo hàm

f'(x) = 1— cosx > Ö Vx € cà: 0) Do đó hàm số đồng biến trên Fi 0)

Suy ra: f(x) < f(0) Vx € cai 0) hay x - sinx < 0 Vx € ct ;0)

Hiển nhiên : x < sinx với mọi x < ae (vi sinx 2-1)

11

Vậy x < sinx với mọi x < 0

Cadch 2 Xét g(x) = cosx - 1+ = liên tục trên nửa khoảng [0; -z) và có

đạo hàm g(x) = x — sinx Theo a, g’(x) > 0 với mọi x > 0

Do đó hàm số g đồng biến trên [Ô; +)

Và ta có: g(x) > g(0), Vx >0

2

Tức là cosx — 1 + Ty > 0 Với moi x > 0 q)

Từ đó suy ra với mọi x < 0, ta có:

Suy ra sinx > x — oe với mọi x > 0 và sinx < x — a với mọi x < É

Bài 9 Chứng minh rằng: sinx + tanx > 2x với mọi x e (0; a)

Hay sinx + tanx > 2x vdi moi x € (0; 2?

Bài 10 Số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 ước tính bởi công

26t + 10 thie fit) = = (ft) được tính bằng nghìn người)

t+

a) Tính số dân của thị trấn vào đầu năm 1980 và đầu năm 1995

b) Xem f là một hàm số xác định trên nửa khoảng [0; +) Tinh f {t) và xét

chiều biến thiên của f trên nửa khoảng [0; +)

c) Đạo hàm của hàm số f biểu thị tốc độ tăng dân số của thị trấn (tính

bằng nghìn người/ năm)

- Tính tốc độ tăng dân số vào đầu năm 1990 của thị trấn

- Tính tốc độ tăng dân số được dự kiến vào đầu năm 2008

- vào năm nào thì tốc độ tăng dân số là 0,125 nghìn người / năm

Giải

a) vào đầu năm 1980, ta có t = 10 ; f(10) = 18

Vậy số dân của thị trấn vào đầu năm 1980 là 18 nghìn người

- Vào đầu năm 1995, ta có t = 25 ; 25) = 22

Số dân của thị trấn vào đầu năm 1995 là 22 nghìn người

b) f') = 120

(t +5)?

khoảng (~ð; +))

Vay ham số đồng biến trên 0; +=)

e) Tốc độ tăng dân số vào đầu năm 1990 là;

f (20) = > = 0,192 (do t = 1990 — 1970 = 20)

với mọi t > 0 ; Ất) liên tục trên [0; +œ) (vì liên tục trên

~-Tốc độ tăng dân số được dự kiến vào năm 2008 của thị trấn là:

III CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

1 Ham s6 f(x) = 2x° - 3x? + 1:

(A) Đồng biến trên (0; +œ) ; (B) Nghịch biến trên (—=; 0)

(C) Đông biến trên (0; 1) ; (D) Nghịch biến trên (0; 1)

9 Hàm số Ñx) = x' ~ 2x” + 2x + 1:

(A) Đồng biến trên R ; (B) Nghịch biến trên Fs 40) 5

(C) Đồng biến trên (—; 1) ; (Đ) Đồng biến trên (— 3 +0)

3 Hàm sé y = 2

x

(A) Đồng biến trên (0; +00) ; (B) Nghịch biến trên (—œ; 0)

(C) Đồng biến trên (—œ; 0) ; (D) Nghịch biến trên (0; +2)

4 Hàm số y = xV4 - x

(A) Đông biến trên G: 4); (B) Nghịch biến trên (—=; =) ;

(C) Đồng biến trên Cố) : (D) Nghich bién tren Gs +)

5 Hàm số y = sinx - x2:

(A) Nghịch biến trên R ;

(B) Đông biến trên R;

(C) Đồng biến trên (—œ; 0) và nghịch biến trên (0; +œ) ;

(D) Ngịch biến trên (—œ; 0) và đồng biến trên (0; +œ)

Câu 1 2 3 4 5 Đáp án | D) @) (B) (C) (A)

- Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D (D c R) và x, e D được gọi là

điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số f nếu tổn tại một khoảng (a; b) chứa x„

sao cho (a; b) c D va f(x) < f(x) (f(x) > fx¿)) với mọi x e (a; b) \ [xo]

- Khi d6 f(x,) goi 1a giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số f Diém.cyue đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị

Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị của hàm số

14

Ø Điều kiện cần để hàm số có cực trị

Dinh lí 1: Giả sử hàm số f dạt cực trị tại điểm x„ Khi đó, nếu f có đạo hàm

tai x, thi f’ (x,) = 0

3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị và quy tắc tìm cực trị

a) Định lí 2: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x„ và có

đạo hàm trên (a; xạ) và (xạ; b) Khi đó:

+ Nếu f 1x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm x, thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xụ

+ Nếu f 'x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm x„ thì hàm số đạt cực đại tại điểm xạ

b) Định lý 3 : Nếu hàm số y = Ñx) có đạo hàm cấp một trong khoảng (a; b)

chứa Xạ; f (x,) = 0 và f có đạo hàm cấp 2 khác 0 tại xạ

- Nấu f ”(¿) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm xu

- nếu f "(x,) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm xu

* Các quy tắc tìm cực trị

Quy tắc 1:

- Tim f(x)

- Tim cdc diém x; (i = 1, 2, ) tai dé dao ham cia ham s6 bing 0 ho&c ham

số liên tục nhưng không có đạo hàm

- Xét dấu f(x) Nếu f 1x) đổi đấu khi x di qua x; thì hàm số đạt cực trị tại Xo Quy tắc 2 :

- Tìm f'(x)

~ Tìm các nghiệm x/ (¡ = 1, 2, ) của phương trình f (x) = 0

- Với mỗi i, tinh f "(x)

Nếu f (x) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x,

Néu f "(x;) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x¿

II BÀI TAP CAN BAN

Bai 11 Tìm cực trị của các hàm số sau:

Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm x = -3; giá trị cực đại của hàm số là:

fon = f~3) = —1 hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = -1, fer = f(-1) = -4

Vay ham số đạt cực đại tại x # -1; fop = f(-1) = -2

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, for = Ñ1) = 2

Cach 2.6%) = 2% 2 2

x x

Vi f (x) = -2 < 0 nén ham số đạt cực đại tại x = —1, fcp = Ñ—1) = -2

f”(1) = 2 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, for = f(1) = 2

d) f(x) xác định và liên tục trên R “

x(x+2) véix 20 V 2x+2 vớix>0

=fŒœ)= -x(x+2) với x< 0 -2x-2 với x<0 Bảng biến thiên:

Ta c6: f(x) = {

16

—m -1 0 +

Ham sé dat cue dai tai x = -1, fep = fl-1

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, for = (0) = 1

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0 ; fcp = f0) = —3

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, fer = (2) = 1

Bài 12 Tìm cực trị của các hàm số sau:

18

a) Tập xác định : [-2; 2]

Hàm số đạt cực tiểu tại x = - V2, yer = y(- V2) = -2

Hằm xố đt:ep đàf tại xe 5 svacesCVS s8

r# + kor) = -3 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại các điểm

f”(1) = -6 < 0 Ham số đạt cực đại tại x = 1

Đáp số: a = -2; b= 3;c=0;d=0

Bài 14 Xác định các hệ sé a, b, c sao cho ham sé: (x) = x3 + aX? + bự + € đạt

cực trị bằng 0 tại x = -2 và đồ thị của hàm số đi qua A(1; 0)

Dé thi di qua A(1; 0) >a+b+c+1=0

Giải hệ gồm 3 phương trình (1), (2); (3) ta được a = 3, b=0,c=-4

f(1) = 0

PT f (x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm x = -2

Bai 15 Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, hàm số

III CAU HOI TRAC NGHIEM

2

1 Ham sé-y = 4x) < + 2 —5x+6

(A) Nhân điểm x = —1 làm điểm cực đại ;

(B) Nhận điểm x = 1 làm điểm cực tiểu;

(C) Nhận điểm x = ; làm điểm cực đại ;

(D) Nhan điểm x = -ễ làm điểm cực tiểu

2 Ham sé y = = x! — 2x" + 2008 :

(A) Nhận điểm x = -3 làm điểm cực tiểu;

(B) Nhận điểm x = 0 làm điểm cực tiểu;

(C) Nhận điểm x = —-3 làm điểm cực đại;

(D) Nhan điểm x = 0 làm điểm cực đại

8 Hàm số “— ax? — 1, có:

(A) Hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại ;

(B) Hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu;

(A) Dat cuc tiéu tại điểm x = 0 ; (B) Đạt cực tiểu tai diém x = 2;

(C) Dat cuc dai tai diém x = 2; (D) Khong cé cue dai

5 Ham s6 y = V3 - 2x - x?

(A) Đạt cực trị tại điểm x = -3 ; (B) Đạt cực trị tại điểm x = 1 ; (C) Đạt cực tiểu tại điểm x = -1 ; (Đ) Đạt cực đại tại điểm x = —1

6 Hàm số y = 2sinx ~ x

(A) Nhận điểm x= ^ làm điểm cực đại ;

(B) Nhận điểm x= ~ làm điểm cực tiểu ;

(C) Nhận điểm x = "8 làm điểm cực đại;

(D) Nhận điểm x = s làm điểm cực đại

7 Hàm số f cé dao ham f (x) = x”(x - 2)(2x + L) Số điểm cực trị của hàm số là:

(B) 1; (C) 2; (D) 3

§3 ©ực trị lớn nhưất nà giá tri nhb nhét ena him 16

1.TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D (D c R)

a) Nếu tổn tại 1 điểm x„ e D sao cho ffx) < flx,), Vx ¢ D thisé M = f{x,) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f trên D, kí hiệu là M= max flx)

b) Nếu tổn tại một điểm xạ e D sao cho f(x) > f(x,), Vx e D thì số m = f(x,) được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên D, kí hiệu là m = mịn f(x)

a Tim céc diém x, X2,.- , Xm € (a; b) tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0

hoặc không có đạo hàm

b Tinh f{x;,), flx2), f(xm), f(a) và f(b)

c So sánh các giá trị tìm được

Số lớn nhất trong các giá trị trên là giá trị lớn nhất của hàm số f trên [a; b] ; số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của f trên [a; b}

II BÀI TẬP CĂN BẢN

Bài 16 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: fx) = sin‘x + cos*x

Bài 17 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

trên đoạn [0; 1]

22

Vậy min fx) = Ñ0) =2; max Ấx) = f1) = at xel0;1) xe(0;1) 3

f) f(x) = x- a f'(x)=1+ hs > 0, Vx € (0; 2), f(x) liên tục trên (O; ] nên

fx) đồng biến trên (0; 2]

Vậy max f(x) = Ñ2) = 3 Hàm số không đạt giá trị nhỏ nhất trê nửa

khoảng (0; 2]

Bài 18 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a)y= 2sin?x + 2sinx — 1 ; b)y= cosˆx — sinxcosx + 4

Giải

a) Đặt t = sinx ; —1 <t< 1

y = Ñt) = 2U + 2t — 1,t e [—1; 1]

Ta tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y = Ất) trên [—1; 1]Đó là

giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên R

max y = 3, đạt được tại sinx = 1 c xe 2 + k?m,k € Z

b) y = cos”2x — sinxcosx + 4 = 1 — sin’2x - 5 sin2x +4

Do dé min y = 2; chẳng han x = Ti max y = a

Bà 19 Cho tam giác déu ABC canh a Ngudi ta dựng một hình chữ nhật

MNP có cạnh MN nằm trên cạnh BC, hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm

trên hai cạnh AC và AB của tam giác Xác định vị trí của điểm M sao cho

hình chữ nhật có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó

Giải Đặt BM = x (0<x< ?)

vụ thu hoạch được nhiều cá nhất

Giải Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hổ có n con cá thì sau một vụ, số cá

trên mỗi đơn vị diện tích mặt hồ trung bình cân nặng:

Trén (0; +00) ham s6 f(x) đạt giá trị lớn nhất tại x = 12

Suy ra trên tập hợp N* các số nguyên dương, hàm số f đạt giá trị lớn nhất tại điểm n = 12

Vậy muốn thu hoạch được nhiều cá nhất sau một vụ thì trên mỗi đơn vị

diện tích của mặt hỗ phải thả 12 con cá

26

Hàm số đạt cực tiểu tại x = —1; fer = f-1) = =2

Hàm số đạt cực đại tại Aim x = 1; feo = 1) = 3

Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0; fep = R0) = V5

Hàm số không đạt giá trị cực tiểu

Phương trình (*) có nghiệm x z 1 khi và chỉ khi m z 1

Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (*) có hai

Ay 20 Ầ° m>0

m0

nghiệm phân biệt khác 1, nghĩa là : | om>0

m0

Vay fix) dat cue dai và cực tiểu khi và chỉ khi m > 0

Bài 23 Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức G(x) = 0,025x30 - x) Trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh

28

nhân (x lấy đơn vị là miligam) Tính liễu lượng thuốc cản tiêm cho bệnh

nhân để huyết áp giảm nhiều nhất và tính độ giảm đó

Vậy liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất

là 20mg Khi đó, độ giảm huyết áp là 100

Bài 24 Cho parabol (P)y = x? và điểm Ẵ3; 0) Xác định điểm M thuộc parabol (P)

sao cho khoảng cách AM ngắn nhất và tìm khoảng cách ngắn nhất đó

f đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x = -—1; Ñ—1) = 5 Suy ra, khoảng cách AM

đạt giá trị nhỏ nhất khi M ở vị trí điểm M,(-1; 1) Lúc đó AM, = V5

Bài 25 Một con cá hỏi bơi ngược dòng để vượt qua một khoảng cách là 300km

Vận tốc dòng nước là 6km/⁄h Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v

(km/h) thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức:

E(v) = cv?t Trong đó e là một hằng số, E được tính bằng Jun Tìm vận tốc

của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất

Năng lượng tiêu hao của cá để vượt khoảng cách đó là:

Ta có: Ev) = 600c.v? So vs ¡E(v) =0 ©v =9; v= 0 (loại do v > 6)

Bang bién thién

Bài 26 Sau khi phát hiện một bệnh dịch các chuyên gia y tế ước tính số người

nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là:

Ất) = 46t? — tỦ; t= 0, 1, 9, 2B

Nếu coi f là hàm số xác định trên đoạn (0; 25] thì f '(t) được xem là tốc độ

truyền bệnh (người/ ngày) tại thời điểm t

a) Tính tốc độ truyền bệnh vào ngày thứ 5

b) Xác định ngày mà tốc độ truyền bệnh là lớn nhất và tính tốc độ đó e) Xác định các ngày mà tốc độ truyền bệnh lớn hơn 600

đ) Xét chiều biến thiên của hàm số f trên đoạn [0; 2B]

Số người nhiễm kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t

là ft) = 4Bt? ~ tỶ, t nguyên thuộc đoạn [0; 25]

Để xét tốc độ truyền bệnh, xem Ất) là hàm số xác định trên đoạn [0; 25]

Vậy mịn fx) xe{-3} = Ñ1)=1; max Ñx) xel-3) = Ñ-3) = 3

So sánh các giá trị trên ta:được:

max f(x) = (V2) nef -2;2) = 2V2 ; mịn fx) = Ñ-9) xe(-2;2) =-

©) fx) = sin'x + 1— sin?x + 2 = sin'x — sin^x + 3 ,

Dat t = sinx; t e [0; 1) Khi đó ta có h(t) = tÊ ~— t + 3, t [0; 1]

31

NÓ) = 2t — 1; R0 = 0e t 2 € (0,1

1 11 h(0) = 3; h(—)= —; h(1) =3

2 4

Vậy max h(t0 = h(0) = h(1) = 3; min h(t) = nS) = = “

Suy ra: max f(x) = 3 ; đạt được chẳng hạn tại x = 0

min f(x) = a ; đạt được chẳng hạn tại x = x

Vậy trong tất cả các hình chữ nhật có chu vị 40cm, hình vuông có cạnh là

10cm có diện tích lớn nhất

Cách 2 Hướng dẫn : Sử dụng bất đẳng thức Cô ~ si

Hai số dương a, b có tổng không đổi thì tích của chúng là lớn nhất khi và

III CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

1 Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 4x” — 3x trên đoạn {0; 2] là:

Dap 4n | (A) (B) (C) @) (A)

§4 Dé thi eta ham s6 va phép tịnh tiến lệ tọa độ

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Dé thi cla ham sé y = f(x) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các

điểm (x; fx)), x e D của mặt phẳng tọa độ

Đồ thị của ham sé y = f(x) còn gọi là đường cong có phương trình là y = ffx)

(gọi tắt l¿ đường cong y = fx)

33

9 Phép tịnh tiến hệ tọa độ và công thức chuyển hệ tọa độ

Giả sử I(x; yo) 1A hé trục tọa y

độ mới có gốc là điểm I; hai trục Ậ a

IX, IY theo thứ tự có cùng vectơ yf X

đơn vị ¡, j với hai trục Ox, Oy

Điểm M bất kì trong mặt phẳng

Gọi (x; y) ŒX; Y) lần lượt là tọa độ Yd T

của M đối với hệ trục Oxy, IXY

(*) được gọi là công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI

8 Phương trình đường cong y = f(x) đối với hệ tọa độ mới IXY là

Y = {X + x0) - Yo

II BÀI TẬP CĂN BẢN

Bài 29 Xác định đỉnh I của mỗi parabol (P) sau đây.Viết công thức chuyển hệ

tây

tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OJ và viết phương trình của parabol

(P) đối với hệ tọa độ IXY

Công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI là :

Phương trình của Parabol đối với hệ toa dé IXY la:

2

về tha ï-2(X+3) a(x+3)+1 nay ¥ 2x ÄÌ Š = 2x?

7 Dinh I} 1;-~

9) Din! ( i)

ay

Công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI là :

Phương trình của Parabol đối với hệ tọa độ IXY là :

Piet ik 2 1

Y-z=g(X+1) -(X+1)-3 hay Y= 3*

Ld, Dinh I} =; —

a) Xác định điểm I thuộc đổ thị (@) của hàm số đã cho biết rằng hoành độ

của điểm I là nghiệm của phương trình f "(x) = 0

>

b) Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến thep vectơ OI và viết phương trình của đường @) với hệ tọa độ IXY Từ đó suy ra rằng I là tâm đối xứng của đường cong (@)

e) Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (®) tại điểm I đối với hệ tọa độ Oxy Chứng minh rằng trên khoảng (-œ ; 1) đường cong (@) nằm phía dưới tiếp tuyến tại Ia (6) và trên khoảng (1 ; +ø) đường cong (@) nằm phía

trên tiếp tuyến đó ˆ

§ =X+1

y=Y-1

Phương trình của (@) đối với hệ trục IXY là :

Y~1=(X+1)'—- 3% + 1 +1 hay Y=X?- 3X

Vì hàm số Y = X? - 3X là hàm số lẻ nên đồ thị của nó nhận gốc tọa độ I

+ Với x e (—œ ; 1) = (x - 1) < 0 nén dutng cong (@) : y = x* — 37 + 1 nằm

phía dưới tiếp tuyến y = -3x + 2

+ Với x € (1 ; +0) => (x — L)Ỷ > 0 nên đường cong (@) nằm phía trên tiếp tuyến tại I

Bài 31 Cho đường cong (@) : y = 2- a

Giải

4 y ï > Jx=X-2 Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo OI : vad

y=Y+

Phương trình (@) trong hệ tọa độ IXY :

Y+2=2- ——— hay * K-2+2 MỸ Y= -—= x

WY=-Ý là hàm số lẻ nên (C) nhận gốc tọa độ I là tâm đối xứng

Bài 32 Xác định tâm đối xứng của đồ thị mỗi hàm số sau đây :

(*) là công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI với

1 ; 1) (đối với hệ trục Oxy)

Đối với hệ trục IXY, hàm số y = š là hàm số lẻ nên đỏ thị nhận gốc tọa

độ làm tâm đối xứng

36

Phương trình của (C) đối với hệ tọa độ IXY :

Ý+axe+b<aOf+xdl+b+——T— hay Yaak e &

X+x,-x, X

Do hàm số Y = aX + š là hàm số lẻ nên đổ thị (€) của hàm số nhận gốc

tọa độ ] làm tâm đối xứng

MI CAU HOI TRAC NGHIEM

Cau 1.Cho parabol (P) : y = -2x? + 4x + 3 ; gọi I là đỉnh của (P)

1 (Đường) tiệm cận ngang

Định nghĩa: Đường thẳng y = yo được gọi là tiệm cận ngang của đỗ thị hàm

86 y = f(x) néu lim f(x) = y, hoặc jim f(x) = y,

2 Tiệm cận đứng

Định nghĩa: Đường thẳng x = xọ được gọi là tiệm cận đứng của dé thi ham

số y = fx) nếu một trong các điểu kiện sau đây thỏa mãn: lim f(x) = +;

lin f(x) = -00 ; lim f(x) = +00; lim f(x) = -o xe xi xx;

8 Tiệm cận xiên

Định nghĩa: Đường thẳng y = ax + b, a z 0, được gọi là tiệm cận xiên của đổ

thị hàm số y = fx) nếu lim[f(x) - (ax + b)] = 0 hoặc lim{f(x) - (ax + b)] = 0

Cách tìm: Ngoài định nghĩa ra, có thể áp dụng các công thức sau để xác

định các hệ số a, b trong phương trình của tiệm cận xiên

a = lim TS, b = lim(fG° - ax] hoặc a = tim £29; b = lim[f(o - ax]

* Lưu ý: - Nếu a = 0 thì ta có tiệm cận ngang

- Tiệm cận xiên và tiệm cận ngang loại trừ nhau: có tiệm cận xiên thì

không có tiệm cận ngang và ngược lại

IL BAI TAP CAN BAN

Bài 34 Tìm các đường tiệm cận của đổ thị các hàm số sau:

38

Vi liny =— va limy = ; nên đường thang y = là tiệm cận ngang của 8 —

dé thi (khi x +œ và khi x => —œ)

Vì lim y=+œ nên đường thẳng x = -3 là tiệm cận đứng của đô thị

Dutngthang y = x + 2 là tiệm cận xiên của đồ thị (chi x ~» —œ và khi x -> +00)

Vì lin x+2——_~œ+2) =lim|——E_ Ì=0 và lim x+2 —L ~(x+9) =0

x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị (khi x — 1!)

Cũng có: lim y= lim x* cle +o va lim y=-œ nên đường thẳng

xt) xy x? =] xe(<0"

x =~—1 cũng là tiệm cận đứng của đồ thị (khi x > (-1) và khi x = (=L)')

Vi lim — y = lim xe =0 và lim tee yg? ote y = lim = = 0 nên đường thẳng y = 0 nee? —

là tiệm cận ngang của đồ thị (khi x — —= và khi x —» +)

Kết luận: Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng

x = +1 và một tiệm cận ngang là đường thẳng y = 0

thẳng x = -—1 là tiệm cận đứng của đồ thị (khi x —> (1) và khi x —> (-1)')

Kết luận: Đồ thị có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 0 và tiệm cận đứng

là đường thẳng x = —1

=-= nén đường

40

Bai 35 Tim các đường tiệm cận của đỏ thị các hàm số sau:

tim| 2 x-a-(x-2)] = tim =~ 0 — me X

nên đường thẳng y = x — 3 là tiệm cận xiên của đồ thị (khi x —> —œ và khi x + +00)

Vì limy Kat” = lim x re =+œ; lim x92" x? — Ox wor? y = lim x+2 =-s nên đường thẳng rot x2 — Ox

xe 2 cũng là tiệm cận đứng của đồ thị (khi x — 2ˆ và khi x -> 2°)

3

Ta có TC Ey xr x were yd Oy?

b = lim [f(o Rete - ax] = in| xa -x|- lim 2% +2 _ 9 avon] -9x .¬ y 2x

nên đường thẳng y = x + 2 là đường tiệm cận xiên của đồ thị (khi x > +0)

Tương tự, y = x + 2 cũng là tiệm cận xiên của đồ thị (khi x —» -©)

Rết luận: Đồ thị hàm số đã cho có các đường tiệm cận đứng là x = 0; x = 2

và đường tiệm cận xiên là y = x + 2

ec) TXD: R \ {+1}

nên đường thẳng x = -1 là tiệm cận đứng cia dé thi (khi x > (-1) và khi x7(-)’)

Tương tự, đường thẳng x = 1 cũng là tiệm cận đứng của đổ thị (khi x -> 1”