Các phương pháp giải bài tập giải tích 12 nâng cao: Phần 2

Nối tiếp nội dung phần 1 tài liệu Giải bài tập giải tích 12 nâng cao, phần 2 giới thiệu tới người đọc các kiến thức căn bản, phương pháp giải các bài tập và một số bài tập trắc nghiệm nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng, số phức. Mời các bạn cùng tham khảo.

{NGUYEN HÀM, TÍCH PHAN CHUONG HI NV A UNG DUNG

Seomarearennen

AIRS

§1 NGUYEN HAM

A TOM TAT Li THUYET

1 Khai niém nguyén ham

Định nghĩa: Cho hầm số f xác định trên K hàm số F được gọi là nguyên hàm

của f trên K nếu Fˆ(x) = f(x) với mọi x thuộc K

Định tí 1: Giả sử hàm số F là một nguyên hàm của hàm số f trên K Khi đó a) Với mỗi hằng số C, hàm số y = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f

trên K

b) Ngược lại, với mỗi nguyên hàm G của f trên K thì tổn tại một hằng số C

sao cho G(x) = F(x) + C voi moi x thuéc K

2 Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

1) fodx =C, fax = fidx =x+C

att

x atl

3 Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm

Định lí 2: Nếu f, g là hai hàm số liên tục trên K thì:

a fiteo) + 200] dx = frexy dx + fa(x) dx

b) Với mọi số thực kz 0ta có [kf(x) dx =k free dx

154 Gerard ticn r2Nc

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

“Tìm nguyén hàm dựa vào bảng nguyên hàm cơ bản Áp dụng các công thức:

a™ = ape =a "i (a")"a"a™=a afm a

Kết hợp các tính chất của nguyên hàm và bảng nguyên hàm cơ bản

xứ cá Ln i

y PRS an = foedne [See fx dx + fx? dx

vx + |

3 Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây :

Nguyên hàm của hàm số y = xsinx là

(A) Xăm: “Cy (B) -xcosx + €; (C) -xcosx + sinx + C

Gjidi

Ta c6 (—xcosx + sinx + C)! = ~cosx + xsinx + cosx = xsinx Chon (C)

4 Khẳng định sau đúng hay sai: Nếu ƒ[x) = ( I-Wx ) thì ƒt x)dx =-Vx+C?

tướng SÃn

b) c) Áp dụng công thức biến tích thành tổng

§2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM TOM TAT Li THUYET

Phương pháp đổi biến số

Dinh li 1: Cho hàm số u = u(x) có đạo hầm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao cho f{u(x)] xác định trên K Khi đó nếu F là một nguyên hàm của

f, tức là jftun = F(u) + C thi Jflucxylu'Godx = Flu(x)] +C

Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần

Định lí 2: Nếu u,v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì

u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) — Jucow'@odx

Công thức trên gọi là công thức lấy nguyên hàm từng phần (gọi tắt là công

thức nguyên hàm từng phần) và được viết gọn đưới dạng

foav =uv- fodu

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dùng phương pháp đối biến số: tìm nguyên hàm của các hàm số sau :

= ƒxsinxdx = -XCOSX + Joosxdx = —xcosx + sinx + C

Thay vào (1) ta được: fe cosxdx = x’sinx + 2xcosx - 2sinx +C

jus In(2x) }

d) Dat + „295

|dv=x dx | x

Do do fx’ In(2xjdx = —x*In(2x) 4 - id frradx = 1 in(2x) - Boe 4 4 16

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :

7 a) fix) =3xV7~3x* | b) fix) = cos(3x + 4); vibÍs = mở cos’ (3x +2) 4)ffx) = sinŸ eos

Do dé [sin’ =cos—dx =3 fu’du = — +C= ~sin ( ) +€ [me J 2 2 Xã

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

Thay I; vao (2) ta duge: I, = xe" - 2e*(x — 1) = e'(x? - 2x +2) +C

Thay I, vao (1) ta được: I= xÌe*~ 3e (x- 2x +2) = eÝ(x`~ 3x? + 6x — 6) +2 d) Đặtu= V3x—9 =uˆ= 3x - 9 => Qudu = 3dx => dx = ead

Do đó feY? dx = ; fue’du = Seta 1) + C (Bai 6c)

0 (V3x-9 -1)4C

Tìm nguyên hàm của các hàm SỐ sau:

3 1 ] 1 Thay vao (1) ta duge fe cos2xdx = 7 x’sin2x + 5 XCOS2X + 1 sin2x + €

2 Tinh:

a) fox l)cosxdx b) jx?e "dx ce) frincx - dx

68T GIẢI TÍCH12Nc_ ÏÕ]

§3 TÍCH PHÂN

A TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1 Khái niệm tích phân

Định nghĩa: Cho hàm số F liên tục trên K và a, b là hai số bất kì thuộc K Nếu

F là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích

phân của f từ a đến b và kí hiệu là Jeok

“Trong trường hợp a < b, ta gọi han là tích phân của ƒ trên đoạn [a; b]

Định lí 1: Cho hàm số y = Tạ) liên tục, không âm trên đoạn [a; bỊ khi đó điện tích S của hình thang cong giới hạn hởi đỗ thị hàm số y = f(x), truc

5) [kf&)dx =k froodx voi k € R

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

10 Không tìm nguyên hàm, hãy tính các tích phân sau :

Hướng dẫn Áp dung dinh li 1

162 @aTGIẢITÍCH12NC

e) Tích phân bằng diện tích nửa đường tròn y

x+y? =9 (hình) Đây là đường tròn tâm

y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng X=a,x=b, do đó Íteo >0

b) Dat h(x) = f(x) — g(x) 20 vdi moi x € [a; b]

Theo a) ta có:

ÏIf()~g(x)ldx 20> Jfoodx - fecoux 20> Jfcoux 2 jgotx

4) Một vật chuyển động với vận tốc v(t) = ] — 2sin2t (m/s) Tính quãng

đường vật di chuyến trong khoảng thời gian từ thời điểm t = 0 (x) đến thời

a) Goi v(t) la vận tốc của viên đạn Ta có v'(t) = a(t) = -9,8

Suy ra v(t) = -9,8L+ € Vì v(0) = 25 nên suy ra C = 25,

C BAI TAP LAM THEM

Trong đó hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, hàm số y = f(u) lién tue

và sao cho hàm hợp f{u(x)] xác định trên K; a và b là hai số thuộc K

l6 @8TGIẢITícHt2NC

Trong đó các hàm số u, v có đạo hàm liền tục trên K và a, b là hai số thuộc K

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

17 Dùng phương pháp dối biến số tính các tích phân sau :

d) Dat u= x? 44-9 du=2xdx = xdx = Lau

x1 od 3 u14 s

sin) bey dl * 14 fe wile

Do đó I= —(-—xcosx2x)|? + — Joos2xdx =— + —sin2x|? =

Gjidi a) Đặtu = xÌ = du = 3x”dx = x”dx = "

X(t 2 ufl 8

fre" x“e* dx = — fe"du 3 i tovaa = —e'l, 3° =! ‘ = —(e*~ (e ‘ ~e)

Đ):Đifu<ilie 0n

Độ

x Ì 3

u| 0

c) Datu= Vi+x? > u?= 14x? = udu =xdx

“fo A ujl 2

fx 1+x°dx = fu.udu = 3

d) Datu = 3xÌ => du = 9x7dx => x7dx = stu

5 Tinh cdc tich phan sau:

a) [Sax b) fxin?xdx c) |cos(lnxxlx

§5 UNG DUNG TICH PHAN

DE TINH DIEN TICH HINH PHANG

A TOM TAT Li THUYET

1 Nếu hàm số y = f(x) lién tue trén đoạn {a; bỊ thì diện tích S của hình phẳng giới

hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), true hoành và hai đường thắng x =a, x = b là:

3 Tương tự (bằng cách coi x là hàm của biến y), diện tích S của hình phẳng giới

hạn bởi các đường cong x = g(y), x = h(y) (g và h là hai hàm liên tục trên đoạn [c: d]) và hai đường thẳng y = c, y = d là

d

S= g@)-h@w)|dy 3)

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

26 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sinx + l, trục hoành

27 Tinh dign tich hinh phẳng, giới hạn bởi :

a) Đồ thị hàm số y = cos2x, trục hoành, trục tung và đường thẳng x =

b) Đồ thị hai hàm số y = vx va y= Wx;

€) Đồ thị hai hàm số y = 23 và y = x” ~23Ý trong miễn x >0

GBT GIẢI TÍcH raNc _ Ì75

e) Trong miển x > 0 hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm phương

C BAI TAP LAM THEM

1 Tính diện tích cúa hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

Đáp số: a)Š b) a c) é a) — e)l ay:

2 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol: y = x` - 2x + 2; tiếp tuyến

với nó tại điểm M(3; 5) và trực tưng

Š Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = -x` + 4x - 3 và các tiếp

tuyến của nó tại các điểm M(0; 3) và M:(3; 0)

Đáp số: =

4

@BT GIẢI TÍeHtaNC 177

§6 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

DE TINH THE TICH VAT THE

A TOM TAT Li THUYET

1 Cho hàm số y = f(x) lién tuc, khong 4m trén [a; b]

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục

hoành và hai đường thẳng x = b quay quanh

trục hoành tạo nên một khối tròn xoay Thể tích V

của nó được tính theo công thức

h

V=n[f?()dx

4

2 Tương tự, cho đường cong có phương trình x = g(y),

trong đó g là hàm số liên tục và không âm trên đoạn

(c: d] Hình phẳng giới hạn bởi đường cong

x = g(y), truc tung và hai đường thẳng y = c, y = d,

quay quanh trục tung tạo nên một khối tròn xoay

Thể tích V của nó được tính theo công thức

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

29 Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = -1 và x = 1, biết rằng

thiết điện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Óx tại đểm có

Gidi Tacó S(x) = (2Vsinx ae = V3 sinx

178 Gerardi rich 12Nc

š

=2

33 Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường

Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tang

Diện tich can tim la S = S, ~ S) = = =3

a 6 b) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

¢) Phương trình hoành độ giao

điểm của hai đồ thị là:

37 Cho hìmh phẳng A giú: hạn bởi

của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành

@8T GIẢITÍcH12Nc_ TÑ]

Cho hình phẳng A giới hạn bởi cde duéing y = cosx, y = 0, x = Ö và x = Ze

Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành

Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = xe?, v=0.x=0yàx= Í

Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành

2 Tinh thé tich của khối tròn xoay tạo nên do ta quay hình (H) quay quanh trục

Ox với (H) là hình được giới hạn bởi các đường:

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG III

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau (từ bài 41 đến bài 43) :

cos’ (2x +1) 2 “ur 2u 2cos(2x + 1)

I(b) đạt giá trị lớn nhất khi b = I

Cho biết jts)& =¬l, j6) =5, b)k =4 Hãy tìm:

v(t) = (5 —1) (m/s) Tìm quãng đường vật đi được cho tới khi nó dừng lại

Giai t=0

GBT GIẢI TÍCH taNC 187

Quãng đường mà A đi được (s = vU là

diện tích hình thang OMNG

Sowng= z0 + 12).6=96

Vậy lúc gặp B, A đi được 96 m

Dé thị vận tốc của B là đường thẳng HP Vì B xuất phát cùng vị trí với A nên B cùng đi được 96 m Quãng đường B đi được bằng diện tích tam giác HPQ

—2x + 2, tiếp tuyến của nó tại điểm M(3 ; Š) và trục tưng ;

aV + 4x = 3 tà các tiếp tuyến của nó tại các điểm A(0: ~3)

Giao điểm của hai tiếp tuyến là c(ša] Kí

hiệu A; va A; là tam giác cong ACD và

4,x= 0 Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng

de quanh truc tung

G@8T GIẢI TÍcHtzNc 191

Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đường cong có phương trình

x—y” = 0 và các đường thẳng y = 2, x = 0 Tính thể tích khối tròn xoay tao

thành khi quay A

Gidi a) Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay A quanh Ox là:

Vậy thể tích cẩn tìm là: V =

Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đường cong có phương trình y = x20?

tà các đường thẳng x = 1, x = 2, y = 0 Tính thế tích khối tròn xoay tạo thành khi quay A quanh trực hoành

Cho hình phẳng A dược giới hạn bởi đường cong có phương trình y` = x` và

các đường thẳng y = 0, x = 1 Tính thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay A a) Quanh trục hoành ; b) Quanh trục tung,

Gidi a) Ta có y= ve (y 20)

GBT GIẢI TÍCH 12 NC.

BAL TAP TRAC NGHIEM KHACH QUAN

Trong mỗi bài tập đưới đây, hãy chọn một phương án trong các phương án cho đế được khẳng định đúng

Inc = In3 = c = 3 Chon (B)

61 Giá trị của [2e“dx là

) (A'€”; (Bet -1; (C) 4e”; (D) 3e” —1

Dién tich hinh phdng ndm trong goe phan tự

thứ nhất được giới hạn bởi hai đường thẳng

đai Í[6=x nếu x>0

Đối với các số phức, ta hãy xét mặt phẳng tọa độ Oxy Mỗi sé phức

2=a + bi (a, b ER) được biểu diễn bởi điểm M có tọa độ (a; b) Ngược lại, rõ

ràng mỗi điểm Mía; b) biểu diễn một số phức là z = a + bi

Ta con viét M(a +bi) hay M(z)

Các điểm trên trục hoành Ox biểu diễn các số thực, do đó trục Ox còa được gọi là trực thực

Các điểm trên trục Oy biểu diễn các số ảo, do đó trục Oy còn được gọi là trực

— Tính chất kếthợp: (Z+z')+z”=z+Œ'+z”) với mọi z,z,ze €,

— Tính chất giao hoán: Z +z=z' +z với mọi z,z' C

— Cộng với 0: z+0=0+z=z với mọi z e Œ

L9 @BrGiẢITÍCHtaNC

Với mỗi số phức z = a + bi (a,b € 8), nếu kí hiệu số phức -a - bị là —z

4) Tích của hai số phức

Định nghĩa Š: Tích của hai số phức z = a + bì và z' = a' + bi(a,b, a', bổ 6 R)

lh số phức 2z' = aa’ — bb’ + (ab' + a'bìi

b) Tính chất của phép nhân số phức

- Tinh chat giao hoan: zz’ = z'z với mọi z,z' 6 €

- Tinh chat kéthop: — (zz')z" = 2(2'z"") vdi moi z, 2’, 2" € C

- Nhân với 1: 1⁄z=z.l=z với mọi z eC

~_ Tính chất phân phối (của phép nhân đối với phép cộng):

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

1 Cho các số phức : 2 + 3i; l + 2i; 2 —i

b) Các số phức liên hợp của 2 + 3i; B, B

1+ 2i va 2 ¡ lần lượt là 2 - 3i;

A(2-3i); BUI - 2i); C(2 +i)

©) Các số đối của 2 + 3i; I + 2i và 2 - ¡ lần lượt là -2 - 3i; -l - 2i

và ~2 + ¡ được biểu diễn bởi A'(~2 -3i): B'(~1 -2i); C'(-2 + i)

2 Xác định phân thực và phần ảo của các sổ sau :

a) i+ (2 ~4i) -(3 -2i); b) (v3+3i) :

Gidt

a) Ta c6 i+ (2 - 4Ù) - 3 - 20) =i+2-~ đi - 3+ 21= —I - ¡ có nghiệm thực

bằng 1; phân ảo bằng - l

b) (V2 +3i)? = 2 + 6 V2 i + 97 = -7 + 6 V2 ¡ có phần thực bằng ~7, phẩn ảo bằng 6⁄2

c) (2 + 3i)(2 = 3i) = 4 ~ 9iˆ = 4+ 9= 13 có phần thực bằng 13, phần ảo bằng 0

phần ảo bằng 7

3 Xác định các số phúc biếu diễn bdi các đính cúa một lực giác đều có tâm là tóc toa độ O trong mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnh biếu diễn xố

Gidi Điểm A biểu diễn số i

E có tọa độ [costs sin? | = Bd nén

€ đối xứng với F qua O nên C biểu diễn số phức —- - i Ầ

D đối xứng với A qua O nên D biểu diễn số phức -i

4 Thực hiện phép tính : ——- : 2-31' 1 V3.0 VỆ 2g 2E ¡ ` 4i” ảI

b) z là số ủo cs phẫn thu cba z bing 0 & > (2 + Z)=0€Ằz=-Z

€) Giả siz =a + bi, z'=a' + b’i(a, b, a’, b! e R)

Tacó Z+Z =(a+a)+(b+bội =a+a“=(b+bội

=a-bi+a'-bi= Z +7”

zz’ = (aa’—bb’) + (ab’ +a’b)i = aa’ — bb! — (ab’ + a’b)i

=(a— bia’ - bi) = Z.Z!

200 ar aidr tick 12NC