Giới thiệu các phương pháp giải toán hệ thức lượng trong tam giác: Phần 2

Nối tiếp nội dung phần 1 tài liệu Phương pháp giải toán hệ thức lượng trong tam giác, phần 2 cung cấp cho người học các kiến thức: Nhận dạng tam giác (không dùng bất đẳng thức), bất đẳng thức trong tam giác. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chong 2 NHAN DANG TAM GIAC

(không dùng bat dang thiic)

BÀI 135 Cho \ABC thea : 20084 asinA+bsinB+esinC + b-cosB + ccoSC _ 2p | 9R

Chứng minh XABC dẻu

mg Hướng dân : Sử dụng két qua bai 5 :

sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC

ve dang tong cac bình phương

BÀI 137 Cho \ABC thoa : 2(a" + b' +c") = alb* + c*) + ble? + a”) + cla” + bể)

Chứng minh \ABC déu

99

thi \ABC déu

m Hướng dẫn : Dùng định lí ham cos

ý a# -bŠ - cŠ a"=——————— (1)

BÀI 140 Cho AABC thỏa : | So Đề

BÀI 143 Cho AABC thỏa : sinB+sinC = 2sinA (1)

tanB + tanC = 2tanA (2)

Chứng minh VABC đều

100

| nà! 144 Cho AABC có b +c= V3h, + = Chứng minh AABC đều

m Hướng dẫn : Dùng định lí hàm sin biến đổi b + ¢ = V3h, + 5

ve dang : sin B) 1- sin(C + 4 + sinC| 1 - vin(B + ;) =0 6 6)|

BÀI 145 Cho AABC thỏa : 2(a.cosA + b.cosB + c.cosC) = a + b + e

m Hướng dẫn : Sứ dụng các công thức sau :

¢ sin2x = 2sinxcosx (cong thức nhân 2)

¢ sinA + sinB + sinC = 4eos cos co» (Ban doc xem lai bai 4)

¢ sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC (Ban doc xem lại bài 5)

BÀI 147 Cho AABC thỏa : = eee 3

Chứng minh AABC đều

mg Hướng dẫn : Đặt ân phụ :2x=b+c; 2y=e+a; 2z=a+b

BÀI 148 Cho AABC thỏa : 3S = 2RÝ(sin”A + sin*B + sinẺC)

vụ cay, tất R(sin2A +sin2B+sin2C) a+b+e

—(a* +b* +e) 2R

©_ 18RŸ4sinA.sinBsinC) = (a +b + e(a” + bỶ + e?)

<= 9abe=(a+b+el(a?+ bể + c?)

<= 9abe=aÏ + a(b + e”) + bÌ + b(c? + a”) + c' + c(a” + b”)

< alb* + c* — 2be) + b(c” + a”— 2ca) + c(a” + bỂ - 2ab) +

+a’ +b" +c’ ~ 3abe = 0

©_ a(b-c)”+b(e- aj + c(a— b)’ +

+ gia +b+ ©lA = bỂ + (b— e)Ÿ + (e ~ a] = 0

m Chú ý :

1 Trong lúc chứng minh, ta sứ dụng cơng thức quen thuộc :

a’ + b® +c! — 3abe = (a + b + eJ(a” + bể + e®— ab — be — ca)

= sa +b + e)[(a =b)” + (b — e)” + (e — a)?|

Bạn đọc cĩ thể chứng mỉnh lại, hoặc tìm đọc ở "Chuyên dé Bất đẳng thức" của tác giả

2 G day, ta cĩ thể dùng bất đẳng thức Cauchy trực tiếp như sau :

Theo bất đẳng thức Cauchy, ta cĩ :

a+b+ec> 3Ÿabc ; a’ +b? +c? > 3Ÿa?b?c?

102

>la+b+4 cia’ +b’ +07) > 3¥abe.3¥a7b*c?_ = Gabe

Phương trình này luôn có ngiệm (?!)

2(a” + bŸ + e?) = atbŸ + e”) + b(e? + a”) + cla? + b*)

<= = 2a" + b® + c*) = abla + b) + be(b + e) + ca(e + a)

©_ [a® + b®- ab(a + b)| + (b® +c’ — be(b + c)] + [c* + a® — ca(c + a)] = 0

= (a+ bab)? + (b+ ellb—c)? + (e + a)(e — a)? = 0

103

=> (a—by? , tb-ey? | te-a)? =0 œ6 a=b=c & AABC đều

m Chú ý: Xét (1) Ta có thê dùng BĐT Cauchy trực tiếp, như sau :

lá+b+xel[ va + | > 3Wabe SÍ—— =9 Dấu"=" cs AAB€ đều,

=> BI DI TIENG TRE LH DU TY?

c€O+a?-bŸ a?+bf°-c? bể+c?°-a?

© ab? + ¢? =a") = a‘ = (b’ — c*)*

Vậy : ee € om ae i € se «© b =¢ < AABC déu

m Chú ý:

1 Trong tam giác không vuông :

tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC (xem bài 9)

2 Ta có thể chứng minh tanB.tanC = 3, theo cách khác :

That vay: tanB + tanC = 2tanA = 3tan|[x - (B + €)|

tanB + tanC

<> tanB + tanC = -2tan(B + C) = -2————_—

1- tanB.tanC (vi trong AABC, tanA luôn z 0 = tanB + tanC = 2tanA z 0)

1- tanB.tanC

Theo dinh li ham sin :

a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC,

va h, = b.sinC = 2R.sinB.sinC

© tanB.tanC = 3

© — 2(sinB + sinC) = 23 sinB.sinC + sinA

= sinB + sinC = V3 sinB.sinC + = sin(B +C)

107

1 "

— sinB + sinC = v3 sinB.sinC + 5 (GUNE;6080 + sinC.cosB)

= sinB}1- [Leosc + 38 nc) +sinC|1~ a cosB + X ng =0

e Cdch 1 : Theo dinh li ham sin :

2(a.cosA + b.cosB + c.cosC)=a+b+c

© sin2A + sin2B + sin2C = sinA + sinB + sinC

= (a.cosA + b.cosB — a.cosB — b.cosA) +

+ (c.cosC + a.cosA — c.cosA — a.cosC) = 0

= (a — bl(€eosA — cosB) + (b — e)(eosH — cosC) + (e — a)(cosC — cosA) = 0

Ta nhận thấy 3 biểu thức của vế trái đều nhỏ hơn hay bằng không (ban đọc tự kiểm tra điều nay)

(ta ~ bl(eosA - cosB) = 0

Vì vậy; {(b—e)teosB -eosC)=0 < XABC đều

|(e = a)teosC - eosA) = 0

Chimg minh tuong tu :

b > ¢.cosC + a.cosA Dau "=" = c=a

œ> a.cosA + b.cosB Dau "=" = a=b

Vay : a + b + c 2 2(a.cosA + b.cosB + c.cosC)

Dau "=" <> a=b=c «œ AABC déu = (dpem)

Dau "=" œ6 cos(B- C)=1 ©B=C

b.cosB + c.cosC

109

Vậy : a > b.cosB + c.cosC Dấu "=” = B=C

(Sau đó tiếp tục như cách 3)

© Cách õ : Theo định lí ham cos :

Dau "=" ©b=ec (tiếp tục như cách 3)

HÃI 140 Giá thiết có SỐ ,1-90EE 1-0480 „ ưy sinA sinB sinC

TA 2sin—.cos— CA cò 2sin—.cos— B '—c 2sin—.eos— gw

= — - ran (ang 2 + (tant = tan” | + [tang - tan= 20° 2) / 2 "9 =0

eo tan = tan = tan = A=B=C = AABC déu

110

BÀI 148 Giả thiết : 38 = 2Rf(sin'A + sin'A + sin'C)

Sabe op%sin“A + sin"B + sin2C)

Dau "=" a =b'=c'o a=b=c © AABC déu

2 Ban doc cing cé thé ding truc tiép hang dang tht :

a® + b* +c! — 3abe = ma +b+e)[(a - b” + (b— e} + (e — a}”I

B NHAN DANG TAM GIAC CAN VA TAM GIAC VUONG

BAI TAP CO LOI GIAI

cosB_ cosC sinB.sinC

BÀI 150 Cho VABC thỏa :

m Hướng dẫn : Chi y rang:

2sinB.cosA = sin(B + A) + sin(B — A) = sinC + sin(B - A)

112

BAI 153 Cho \ABC thoa : a.cosB — b.cosA = a.sinA — b.sinB

Chứng mình VABC vuông hoặc cần

BÀI 159 Cho \ABC thoa : sin2A + sin2B = 4sinA.sinB

m Hướng dẫn : Biến dối đẳng thức da cho :

sin2A + sin2B = 4sinA.sinB

<= sinAtcosA — sinB) + sinBicosB — sinA) = 0

BÀI 160 Cho VABC có : rạ = r + rị + rụ Chứng mình rằng AABC vuông tai A

m Hướng dẫn :

ø«Ẳ Cách 1: Sư dụng các công thức :

;A B r= 4Rsin—.sin—.sin—

¢ Cdch 2 : Sử dụng các công thie vé dién tich cua \ABC :

S = pr =(p - aw, = (p — bir, = (p - er,

BAI 161 Cho AABC cé : (a — b*)sin(A + B) = (a* + b*)sin(A - B)

Chứng mình AABC vudng hoac can tại C

BÀI 166 Cho \ABC co : h, = op Bsin= sin,

= ~teos2A + cos2B) — cos“C = 0

-cos(A + B).cos(A — B) = cos*C = 0

«Chet: ` Cadi, SOB sme sina _- cosB cosC sinB.sinC

¬ sinB.eos€ +sinŒ.eosB - sinA

cosB.cosC — sinB.sinC ~ cosB.cosC sinB.sinC

<= cosB.cosC = sinB.sinC (vi sinA > 0)

<> AABC vuông tại A

«Cabo: Giả thiết @ cosB Z2 BC, KHẢ _ cosC sinB.sinC

<= tanB +tanC = sin + ©) = cotB + cotC

sinB.sinC

<= (tanB — cotB) + (tanC — cotC) =

2 cot2B + cot2C =0 = (vi: cotx — tanx = 2cot2x)

© SRB H2C) sin2B.sin2C = sin(2x - 2A) =0

BAI 152

sinC = sin(B + A) + sin(B — A) SinC = sinC + sintB - A)

so simB-Ar=0 & B-A=0 (vi |B-Al <x)

=> A=B & AABC can tai C

BÀI 153 Theo dinh li ham sin: acosB — beosA = asinA — bsinB

<> sinA.cosB — sinB.cosA = sin*A — sin*B

= sin\A — B)= Fil = eos2a) - 5 (1 = c0s2B)

ụ sin(A - B)= 5 (cose — cos2A)

= sin(\A = Bì = sin(A - B).sin(A + B)

sin\A — BxsinC - 1) = 0

[sintA Bì=0 | {A= B=0 (vila -Bl<m

jsinC = 1 7 ic=2 2 (vid<C<n)

<> .XABC cân hoặc vuông tại C

BÀI 154

bie

a

e Cach 1: cosB + cosC =

<2 sinA(cosB + cosC) = sinB + sinC

<= ~~ ble* + a” — b*) + cla” + bÝ— e”) = 9be(b + e)

= (be* + b’e) + (ta b + ca”) — (b" +c") — 2be(b + c) = 0

= (b+ ofa’ — (b* + c* — be) — be] = 0

© a =bf+cT” o& \ABC vuông tại A

BÀI 155

Ta có: S= ligt + bY oi { sbainG = dia? +b’)

<= QabsinC=a°+b* = (a* +b’ - 2ab) + 2ab— 2absinC =0

<= (a—b) + 23ab(1 - sinC) = 0

(a-by =0 a=b

1-sinC=0_ (vì0<sinC <1) C =90°

<> AABC vuông cân tai C

m Chú ý: Tacó: S= Labsine «tap <2 Lae y b*) = dia +bŸ)

¬.- ˆ

4 Dau "=" = {sinc = d © _ ABC vuông cân tại C { a=

Vay: S= fa’ +b*) <= AABC vudng can tai C

= ceo(B-Œ)=1 @œ B-C=0 6ì |B-C| <n)

\ABC ean tai A

m Chú ý: Cách giải khác, dùng BĐT Cauchy :

2 5 (082 — cos2B) + 5 (cosa — cos2C) =

l1—cos2A _ 1~-cos2B

<= sin’A = sin’B <> sinA = sinB

= A=B = _ AABC can tai C

BAI 158

© Cách 1: Giả thiết = (c+a- byeotS =(a+b+ otans

<> (sinC + sinA - sinB)eot S = (sinA + sinB + sinC) tan

<= cos—| cos — cos cot— = cos—| cos + COS tan—

1

=© tan tan cotC = tanB > tan = tan oA=B

<= AABC cân tại C

© (sinA.cosA — sinA.sinB) + (sinB.cosB — sinA.sinB) =

< sinA(cosA — sinB) + sinB(eosB — sinA) = 0

o sin( es ; =) sin—— tin -sinB)+ cose —(sinA +sinB) =

in(® 2 8l A-B A+B A-B

+ cos—— asin AZ eos AB = 0

= sin| 5 sin sin + cos” ———.cos— | = 0

120

= cos’ 5 sin? = 0 @cosA=0 © A=

<> \ABC vuông tại A

121

= (p -— b\ip - elp — p+ a) = p(p— a(p=b+p-—e€)

<> (p — biip — cla = ap(p— a) = (p — biip-c) = p(p- a)

oa’ -tb-c) = (b+ ce -—a* © 2a* = (b+ c+ (b-c)*

<> a’ = b* + c* = AABC vuong tai A

BAI 161 Ta cé : (a* — b*)sin(A + B) = (a” + b*).sin(A — B)

< sinA.cosA = sinB = cosB_ (vì sinA, sinB > 0)

c sin2A - sin2B =0 6 sin(A - B).cos(A + B) =0

Vậy : VABC vuông hoặc cân tại C

`, ‡ tanB =—— => sin?B tanBsinfC =sinBtanC ey +

ẹ s”A + cos”B) il 1

BAL 163 Gia thiet +———-

(sinA sinB ~ =0 _ sinA - sinB

| sinH sinA/ — ~ sinB_ sinA SinA =sinB = A=B AABC cân tại C

m Chu y: Tacé thé dung BDT Cauchy true tiép :

sin’ A + sin’ B > 2sinA.sinB > 0|

sin°A sin*B_— sinA.sinB |

Dau “=" <> sinA=sinB = A=B + VABC cảntạiC © (dpem)

BÀI 164

¢ Cach 1; Theo dinh li ham sin :

l+cosB ða+c +eosBỞ (2a+cj” đa+c

¬ (L+cosB)* 2a+c ss 1+cosB _ 2sinA +sinC

« 2sinA — sinC + 2sinA.cosB — sinC.cosB =

= 2sinA + sinC - 2sinA.cosB — sinC.cosB

<> 4sinA.cosB = 2sinC <> 2|sin(A + B) + sin(A - B)| = 2sinC

« — 9|lsinC + sin(A - B)|=2sinC © sin(A-B)=0

= A=Bii|A-Bl| <a) <> AABC can tai C

" 1 J2arc _ tan? 2a-c _ (p-c(p-a) 2a-c

= 2ac +c = ¢* + a” + 2ca - b

= be =a @& a=b @ AABCcan tai C BAI 165 Ta co: cos2A + cos2B + cus2C = -1

<> 2cos(A + B).cos(A — B) + 2cos*C — 1 = -1

= ~2eosŒ.eos(A — B) + 2eos”C = 0

<< cosC|—cos(A — B) + cosC| =0

cosCl|costA + B) + cos(A + B)| = 0 cosC.2cosA.cosB = 0

1 Ban doe xem lại bài 7

2 Tacó: sin°A + sin*B + sin*C = 2 <> cos*A + cos*B + cos*C = 1

<> cos2A + cos2B + cos2C = -1

BAI 166

e Cach 1; Taco: h, = ¢.sinB = 2RsinB.sinC

p = R(sinA + sinB + sinC) = 4Reos cos cos

(Ban doc xem lai bai 4)

Nên: h,= epvZsin& sin

`

= 8Rsin B ais” cos” cos’ = BRyBcosScos® cox’ sin Bn c

124

A 1 Ag A ot cos— = — c —= => Vi ỦU«—<—]

1l+cosA sinB+sinC

sinB + sinC = sinB + sinB.cosA

= sin(A + B) = sinB.cosA

<= sinA.cosB + sinB.cosA = sinB.cosA

<> sinA.cosB = 0 = cosB=0 @° Be 5 (vi sinA > 0)

2 VABC vuông tại B,

« Cúch 2: Ta có : tan = vee = tp bXp= cy _ bre

C NHAN DANG MOI SO TAM GIÁC KHÁC

BAI TAP CO LOI GIAI

BÀI 168 Cho \ABC thoa : siniB + C) + sin(C + A) +cos(A + B) = >

Nhan dang tam giac

m Hướng dân : Biến doi dang thức đã cho về dang

coxB 2 2} allege "| 3 | al sina 2

BÀI 170 Cho \ABC thoa : sin?A + sin*B + 2sinA.sinB = : + 3.cosC + cos”C

M Hướng dẫn : Biến đổi đẳng thức đã cho về dang :

sinA + sin B= cosC re

S081 "4, Nhan dang tam giác này

| BAI 174 Cho \ABC thoa : bta* - b*) = cle? —

m Hướng dân : Dùng dinh li ham cos

126

“ARB jsin =0 I2 8E lp-lap (A=B c

m Chú ý: Ta có thể dùng tinh chat tam thức bậc 2 để nhận dang tam giác này

BAI 169 Gia thiét <=

Et

4

=)

<= cosAlcos(B — C) — cosiB + C)| + v3 (sinA + cosB + cosC) =

<= -cos(B + C)cos(B — C) + cos*A + V3 (sinA + cosB + cosC) = —

= 5 (cose + cos2C) + cos?A + V3 (sinA + cosB + cosC) = :

= 5 (2e0s'B ~ 1+ 2cus*C - 11+ cos“A + V3 (sinA + cosB + cosC) = 7

© cos”A — cos”B — cos°C + 1+ V3 (sinA + cosB + cosC) = ~

to 30 qd)

2 dca? cos°™ cos?” = 6 <> |cos— =0 (2)

m Chú ý: Bạn dọc xem lại bài 4, ta có ngay :

sin5A + sin5B + sin5C = cả

BAI 172 Theo bài 4: sin3A + sin3B + sin3C = "“- => cos

wo 2 =0 (2)

2 Nén (1) => legge? =0 (3)

| 2 epee =0 (4)

Tương tự : (3) B= cu (42)©C=<

Vậy AABC có ít nhất một góc 5 (tức là góc 60")

BÀI 173

(1)© sinA + sinB + sinC = V3 (cosA + eosB + cosC)

© đụng - 8 cosa + Lin — 3 cosB + Linc - cose =0

BÀI 174

z Cách 1: bla* — b*) = ee? = a®) ss ba?-bf=cÌ- ca?

ba* 4 ca? = b+ = a‘(b + ¢) = (b + e)(b* — be + c7)

= a =b -be+ c7 <> bÝ+cˆ- Øbc.cosA = -bc

= cosA = 5 © A=60'

Vay \ABC co goc A la 60"

¢ Cach 2: Ctng tit: bla — b*) = ete* - a*)

= — btb* + ce — 2be.cosA — b*) = ele - (b* + ce” — 2be(cosA)|

bie? — 2be.cosA) = e(2be.cosA — b*)

<= be + b*e = 2cosA\be* + b*c) < cosA= £ = A=60" Vay \ABC co A = 60"

BÀI 175 cos2A + cos2B - cos2C= :

2cos(A + B).cos(A — B) - (2cos*C - 1) =

[eos + s005IA nl : saint -B)=0

|cosc = — eog(A -B) |eosc = _* C = 120°

|simcA -B) = 0 |A=B A=B =30

m Chú ý : Giải tương tự bài 168 ta cùng có kết quả cần tìm

Qua vay: Dat: t = cosC © (-1: 1), taco:

= (1)< fit) = 2t? + 2costA - Bit + 5 =0 (có nghiệm)

cos(A - B)- 1 = ~sin({A- B) <0

Nên:V=0 <= A=B

131

Vay > } =

\C = 120° |C = 120°

BAI TAP TU GIAI

Cho \ABC thoa aS visti ~ ese

: {eosA + cosB = 2cosC Chứng minh VABC đều

Cho \ABC nhọn, thỏa : tanA + tan*B = 2tan? Be Bo

Ching minh VABC cân tại C

Cho \ABC co : sin(B — Ad.sinC + sinA + cosB = 3

Nhan dang tam giác nay

- Chứng minh VABC vuông

Cho VABC thoa : cot =

|sinC = (V2 - cosB)sinA Chung minh \ABC can tai A

p.t ear =p

Cho \ABC thoa:

» au—.tan—=p-b ta 9 tại 2

Ching minh \ABC déu

Cho AABC thoa : sinA = cosB + cosC Chung minh AABC vung

Cho VABC có S= zo +c —a‘) Nhan dang tam gide nay

Nhân dang tam giác nay

Nhan dang \ABC, biết :

S.sinA.sinB.sinC = (sinA + sinB + sinC)

- Nhan đang tam giác VABC, biết :

Cho VABC thỏa :

Chung minh \ABC déu

(2A +8B=a

|4ta + b) - 5C”

Nhân dạng tam giác trên

Cho AABC thoa :

5sin* A = sin? B + sin’C Cho XABC thỏa: ¿-

Cho \ABC thoa : abe(sinA + cosA) = a*(p — a) + b*(p — b) + e*(p — e), Chứng mình VABC vuông

AABC thoa : abe.eosB = 2[(a + b)(p — a).(p — b)|

Nhân dạng tam giác này

\ABC thoa : sinB + sinC = sinA.cosB.cosC| ` + =]

\ cos cos Chung minh \ABC vudng

133

Chuwsug 3 BAT DANG THUC TRONG TAM GIAC

MOT SO BAT DANG THỨC CẦN NHỚ

1 BAT DANG THUC CAUCHY

Nếu : ay, d›, , Gy, 0), by, b, ER = (2sne8 thi:

(a;b; + doby + G0.) < (az +3 + + a7 Mb? +03 + +b?) Ddu ”=” œ a =kb; (i= 1, 2, -., nN

3 BAT DANG THUC TREBUSEP

4, BAT BANG THUC BERNOULLI

e Dang nguyén thiy:

Néwa>-1,1 <n € 4 thi: (1+a)" >1+na

¢ Dạng mở rộng :

+ g>-1,ư2]1 thi: (1+) >TI1+ ưa

+ d>—1,0<ưzx1thì: !t1+a sTl+ứuú

a<0 A<0

7 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG GẶP TRONG AABC

cos A cosÖ— cosC

>6 thêu thêm điều hiện ABC nhọn) tanA + tanB + tanC@ = tanA.tanB.tanC > 3V3

(néu thém diéu kién AABC nhon)

cotA + cotB + cot > V3

18 worth + wat: + cot— = böI 2 80FE- sotE > 3J5

19 sin?A + sin®B + sin?C s

20 cos*A + cos*B + cos*C >

21 tan*A + tan ”B + tan °C >9 (néu thêm điều kién AABC nhon)

22 cot"A + cot"B + cot?C >1

26 cot" = + cot” 37 cot” s 29

|m = sin? A+ sin” B+ sin? C

n= cos’ A +cos” B+ cos”C

e AABCnhon = cosA.cosB.cosC>O 2 m>2 cô nel

*® AABCtuông = cosA.cosB.cosC =O = m=2 cv n=l

e ABC tu = cosA.cosB.cosC <0 2 m<2 cv nol

m Chú ý: + BDT(1 > 26)c6 dau"=" <= AABC déu

+ Cac BBT nay "đi thi" phải chứng minh lại

cosA + cosB; cosB + cosC; cusC + cosA > 0

cotA + cotB; cotB + cotC; cotC + cotA >0

138