Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh , nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo vi[r]
Trang 1W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 1
TRƯỜNG THCS DUY TÂN
ĐỀ THI KHẢO SÁT HSG TOÁN 7
Thời gian 120 phút Câu 1( 3 điểm)
a) Tính giá trị các biểu thức sau:
A = 3 2 3
3 2 3
6 18 6 18
5 15 5 15
B = 3
3 4
49
) 7 7 (
b) Tìm số tự nhiên n biết:
3
1
.3n = 7.32 92 – 2.3n
Câu 2 (3 điểm)
a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A =
5 ) 3
1 (
4
2
x
b) Tìm các số x; y biết: x + y = x.y =
y
x
(y 0 )
c) Cho số nguyên tố p lớn hơn 3, chứng minh p2 – 1 chia hết cho 24
Câu 3 ( 4 điểm)
1 Tìm các số a,b,c biết:
4
2 3
2 2
a
và 3a – 2b + c = 105
2
1 3
2 2
x
Câu 4 ( 2 điểm)
a) Tìm n nguyên để (2n2 + 3n +2) n + 1
20
1 1 ) (
5
1 1 )(
4
1 1 )(
3
1 1 )(
2
21 1
Câu 5( 6 điểm) Cho tam giác ABC có B C Gọi AD, AE theo thứ tự là đường phân
giác trong, phân giác ngoài của góc A ( D,E thuộc đường thẳng BC)
a Chứng minh rằng: ADC – ADB = B – C
Trang 2b Kẻ đường cao AH Chứng minh rằng: AEB = HAD =
2
1
(B C)
c Tính số đo của các góc: ADB, ADC và HAD, biết B C = 400
Câu 6 ( 2 điểm): Cho m,n là hai số chính phương lẻ liên tiếp
Chứng minh rằng: mn – m – n + 1 192
………….Hết…………
Trang 3
W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 3
ĐÁP ÁN - BIỂU CHẤM
Câu 1
(3,0đ)
a) Tính giá trị các biểu thức sau:
A = 3 2 3
3 2 3
6 18 6 18
5 15 5 15
= 3 3
6
5
B = 3
3 4
49
) 7 7 (
= 36
1,5
b) Tìm số tự nhiên n biết:
3
1
.3n = 7.32 92 – 2.3n
3-1 3n + 2.3n = 7.36 3n-1 = 36 n = 7
1,5
Câu 2
(3,0đ) a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = ) 5
3
1 (
4
2
x
Vì (x +
3
1
)2 + 5 5 với mọi x R
=>
5 ) 3
1 (
4
2
x
5
4
dấu “=” xảy ra khi x = -
3
1
Giá trị lớn nhất là
5
4
tại x = -
3
1
0,5
0,5
b) Tìm các số x; y biết: x + y = x.y =
y
x
(y 0 )
Vì x + y = x.y => x = y(x-1) => x 1
y x
Mặt khác x + y =
y
x
=> x + y = x + y => y = -1
Khi đó x – 1 = x(-1) => x =
2 1
0,5
0,5
c) Cho số nguyên tố p lớn hơn 3, chứng minh p2
– 1 chia hết cho 24
Ta có: p là số nguyên tố lẻ nên p không chia hết cho 3
p2 – 1 = (p - 1)( p + 1)
Vì p lẻ nên p-1 và p+1 là số chẵn liên tiếp nên (p - 1)( p + 1) 8 Mặt khác p-1; p; p+1 là ba số nguyên liên tiếp mà p không chia hết cho 3 nên (p - 1) hoặc ( p + 1) 3 Vì (3;8)=1 nên p2 – 124
0,5
0,5
Trang 4CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Câu 3
(3,0
đ)
1 Tìm các số a,b,c biết:
4
2 3
2 2
a
và 3a – 2b + c = 105
4
2 3
2 2
a
b =
2
) 1 (
3 a
-2 và c = 2(a+1) -2
b =
2
1
3a
và c = 2a thay vào3a – 2b + c = 105 tính được
a = 52; b =
2
155
c = 104
0,5 0,5 1,0
2
1 3
2 2
x
2
1
; 0 3
2
; 0 2
x
2
1 3
2 2
* x -
2
1
= 0 x =
2
1
; y +
3
2
= 0 => y = -
3
2
Tính được z = -
3 2
0,5
0,5 1,0
Câu 4
(2,0
đ)
a) Tìm n nguyên để (2n2 + 3n +2) n + 1
Ta có: 2n2 + 3n +2 n + 1 2n2 + 2n + n +1 + 1 n + 1
=> 1 n + 1 => n + 1 1 ; 1 => n 0 ; 2
0,5 0,5
20
1 1 ) (
5
1 1 )(
4
1 1 )(
3
1 1 )(
2
1
20
1 20
19 19
18
4
3 3
2 2
1
=> A >
21 1
0,5 0,5
5
A
E
0,5
Trang 5W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 5
a Vì AD là tia phân giác góc A nên: BAD = CAD
Vì các góc ADC và ADB theo thứ tự là các góc ngoài của tam giac ABD
và ACD nên:
ADC = B + BAD; ADB = C + CAD
Suy ra: ADC – ADB = B + BAD – C – CAD = B - C
0,5 0,5 0,5
b Ta có : AEB = HAD ( hai góc có cạnh tương ứng vuông góc) ACD + ADB = 1800 ADC = 1800 – ADB
Kết hợp với câu a Ta được (1800 - ADB) = B – C => 2ADB 1800 – (B – C)
=> ADB = 900 –
2
1
( B – C) Trong tam giác HAD, ta có: HAD = 900 – ADH = 900 – ADB
= 900 – [900 -
2
1
( B – C)] =
2
1
( B – C)
0,5 0,5
0,5 0,5
c Theo giả thiết ta có ADC – ADB = 400 ADC + ADB = 1800
=> ADB = 700 ; ADC = 1100
=> HAD = 200
0,5 0,5 0,5 0,5
Câu 6 Cho m,n là hai số chính phương lẻ liên tiếp
Chứng minh rằng: mn – m – n + 1 192
m,n là hai số chính phương lẻ liên tiếp nên chúng có dạng
m = ( 2k – 1)2 và n = ( 2k + 1)2
Do đó: mn-m-n+1= 16k2
(k-1)(k+1)
Ta có (k-1)k(k+1) 3 và (k-1)k.k(k+1) 4 nên (k-1)k2 (k+1) 12 16k2(k-1)(k+1) 16.12=192
0,5 0,5 0,5 0,5
Trang 6Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên
danh tiếng
I Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và
Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn
II Khoá Học Nâng Cao và HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp
dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc
Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí