Tài liệu hướng dẫn tự học môn toán lớp 12

https://ebooktoan.com cung cấp file word toán miễn phí Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12NewTon - Anh Tích phân... https://ebooktoan.com cung cấp file word toán miễn phí Tài liệu

Trang 1

https://ebooktoan.com cung cấp file word toán miễn phí Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12

NewTon - Anh (Tích phân)

Trang 2

CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

oOo

- CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:

1 Dấu nhị thức bậc nhất:

 Dạng f(x) = ax + b (a  0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0

 Bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b (a  0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.):

a

b

+

2 Dấu tam thức bậc hai:

* Chú ý: Có thể xét dấu tam thức bậc hai theo ' nếu hệ số b chẵn.

3 Dấu các nghiệm phương trình bậc hai:

< 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0

Phương trình (*) có hai nghiệm

0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.

a

b S a

c P a

Phương trình (*) có hai nghiệm

a

b S a

c P a

4 Điều kiện không đổi dấu của tam thức bậc hai:

a) f(x)  0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 x  R 

a

.

5 Các khái niệm liên quan đến hàm số:

Hàm số cho bởi biểu thức được kí hiệu y = f(x) với f(x) là một biểu thức chứa biến x.

x f

x

x g

x

x g x f

x x

) (

x g

x f

:

) ( lim0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.

x f

x

x g

x

x fx x

L > 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0

Trang 3

https://ebooktoan.com cung cấp file word tốn miễn phí Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Tốn lớp 12

* Chú ý: Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp x  

7 Đạo hàm:

a) Các phép tốn: Giả sử u = u(x), v = v(x), w = w(x) là các hàm số cĩ đạo hàm, khi đĩ:

2

' '

)'

(

v

u v v

u

v

)'

1 (

v

b) Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản:

Đạo hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm hàm số hợp (u = u(x))

(C)' = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.

x

2

1 )'

2

1 )'

1

(

x

u

u u

2

' )'

2

' )'

1 (

u

(sinx)' = cosx

(cosx)' = -sinx

(tanx)' =

x

2 cos

1

(cotx)' =

-x

2 sin

1

(x  k, k  Z).

(sinu)' = cosu.u' (cosu)' = -sinu.u' (tanu)' =

u

2 cos

'

(cotu)' =

-u

u

2 sin

'

(u  k, k  Z).

c) Một số công thức tính đạo hàm đặc biệt:

 (

d cx

b ax



bc ad





2 2

) (

2 )'

(

e dx

dc be aex adx

e dx

c bx ax











2 2

2

) (

2 ) (

)' (

f ex dx

ec bf x dc af x

bd ae f

ex dx

c bx ax

















d) Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

tuyến tại M(x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.; y0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.) cĩ dạng: y - y0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. = f'(x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.)(x - x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.).

 Ghi chú:

- Tài liệu lưu hành nội bộ - 3

Trang 4

§1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

I - TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:

1) Định nghĩa:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên K (K = (a; b) hoặc K = [a; b) hoặc K = (a; b] hoặc K = [a; b])

Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu

Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu

Bảng biến thiên:

x a b 

a

xlim

y 

Đồ thị hàm số đồng biến

2) Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm:

 Tính đạo hàm y', xét dấu y', quan sát đồ thị hàm số y = f(x) để hoàn thiện bảng biến thiên và rút

x

1 TXĐ: D =

Nếu y' > 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 trên K thì hàm số trên K.

Định lí: Cho hàm số y = f(x) cĩ đạo hàm trên K.

a) Nếu f'(x) > 0 x  K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.

b) Nếu f'(x) < 0 x  K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

Trang 5

* Hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) trên K gọi chung là đơn điệu trên K, K gọi chung là khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x).

Ví dụ: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số

Giải:

* Chú ý: Quan sát đồ thị hàm số y = x3 và trả lời câu hỏi: y = x 3 O x y Khẳng định sau đúng hay sai? vì sao? "Nếu hàm số y = f(x) tăng trên R thì f'(x) > 0 với mọi x  R" Trả lời:

Định lí mở rộng: Giả sử hàm số y = f(x) cĩ đạo hàm trên K Nếu f'(x)  0 (f'(x)  0), x  K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x0 thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K.  Nếu f'(x) = 0 x  K thì f(x) khơng đổi trên K (hay hàm số y = f(x) là hàm hằng y = c trên K) II QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ: 1 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x):  Trình bày bài giải:  Tìm tập xác định D của hàm số (D = {x  R  f(x) cĩ nghĩa})  Tính đạo hàm f'(x) Cho f'(x) = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0., tìm các điểm xi (i = 1, 2, , n) mà tại đĩ đạo hàm bằng 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 hoặc khơng xác định  Lập bảng biến thiên (lưu ý sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần trên bảng biến thiên). i) y' > 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0., x  (a; b) x a b y' + y  a x y lim xb y lim - Tài liệu lưu hành nội bộ - 5

Trang 6

Hàm số đồng biến (tăng) trên khoảng (a; b)

ii) y'  0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0., x  (a; b) và y' = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 tại một số hữu hạn điểm x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0., x1, , xn

x a x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 x1 xn b

y' + 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 + 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 + 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 +

y  a x y lim  b x y lim Hàm số đồng biến (tăng) trên khoảng (a; b) iii) y' < 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0., x  (a; b) x a b y' -y  a x y lim  b x y lim Hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng (a; b) iv) y'  0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0., x  (a; b) và y' = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 tại một số hữu hạn điểm x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0., x1, , xn x a x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 x1 xn b y' - - 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 - 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 - 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 -

-y xa y lim  b x y lim Hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng (a; b)  Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số Ví dụ 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x) = 2 2 2 1 3 1 3 2    x x x Giải:

Ví dụ 2: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau: a) y = 2x3 + 6x2 + 6x - 7; b) y = x4 - 2x2 3; c) y = -2 4 x - x2 + 2 3 ; d) y = 1 1   x x Giải:

Trang 7

2 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức: Ví dụ: Chứng minh rằng x > sinx trên khoảng (0;  2 ) Giải:

 Ghi chú:

Trang 8

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

1 Bài tập cơ bản:

Bài 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a) y =

3

1

Bài 2: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

3

16

Bài 3: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

a) y =

x



 1

1 3

7

2 3





x

1





x

a) y =

1

1 2







x

x x

x

x x



 1

2 2

1

3 2 2





x

x x

.

2 Bài tập nâng cao:

a) y =

9

2 2



x



 x

Bài 2: Chứng minh rằng hàm số y =

1 2



x

đồng biến trên khoảng 1; 1) và nghịch biến trên các khoảng

(-; -1) và (1; +) (HD: Chứng minh y' 0x (-1;1) và y' 0x (-(-;-1) (1; +))

Bài 4: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Trang 9

a) tanx > x (0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 < x <

2



3

x

(0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 < x <

2



).

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

§2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU: Lập bảng biến thiên của hàm số sau: y = x x x 2 5 2 3 6 1 3 2  

Đồ thị hàm số y = x x x 2 5 2 3 6 1 3 2   ) ( -1 6 64 5 -4 -6 -7 6 25 6 -5 O y x Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (có thể a là -; b là +) và điểm x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.  (a; b) a) Nếu tồn tại số h > 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 sao cho f(x) < f(x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.) với mọi x  (x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. - h; x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. + h) và x  x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. - Tài liệu lưu hành nội bộ - 9

Trang 10

* Chú ý:

f(x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là fCĐ (fCT) hay yCĐ (yCT), cịn điểm M(x0; f(x0)) gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

b) Các điểm cực đại, điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) cịn gọi là

cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

c) Nếu hàm số y = f(x) cĩ đạo hàm trên khoảng (a; b) và đạt cực trị tại x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. thì f'(x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.) = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0

II ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CĨ CỰC TRỊ: Định lí: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x0 - h; x0 + h) và cĩ đạo hàm trên K hoặc trên K \{x0}, h > 0 a) Nếu f'(x) > 0 trên khoảng (x0 - h; x0) và f'(x) < 0 trên khoảng (x0; x0 + h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x) b) Nếu f'(x) < 0 trên khoảng (x0 - h; x0) và f'(x) > 0 trên khoảng (x0; x0 + h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x). III QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ: 1 Quy tắc 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số y = f(x)  Tìm tập xác định  Tính f'(x) Tìm các điểm x sao cho tại đĩ f'(x) bằng 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 hoặc f'(x) khơng xác định  Lập bảng biến thiên  Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị x x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. - h x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. + h f'(x) + 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0

-f(x) yCĐ x x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. - h x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. + h f'(x) - 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 +

f(x)

yCT "Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm" "Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương" Ví dụ 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số y = x3 - x2 - x + 3 Giải:

Ví dụ 2: Tìm cực trị của hàm số y = 1 1 3   x x Giải :

 Áp dụng quy tắc I, hãy tìm cực trị của hàm số f(x) = x(x2 - 3)

2 Quy tắc 2:

Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng (x0 - h; x0 + h), với h > 0 Khi đó:

Trang 11

a) Neáu









 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.

) ( ''

) ( ' 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.

x f

thì x0 là điểm cực tiểu b) Nếu









 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.

) ( ''

) ( ' 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.

x f

thì x0 là điểm cực đại.

Quy tắc 2:

 Tìm tập xác định.

Ví dụ: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a) f(x) =

4

1

Giải :

 Ghi chuù:

Trang 12

BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 Bài tập cơ bản: Bài 1: Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau: a) y = 2x3 + 3x2 - 36x - 10) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.; b) y = x4 + 2x2 - 3; c) y = x + x 1 ; d) y = x3(1 - x)2; e) y = 2 1   x x Bài 2: Áp dụng quy tắc 2, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau: a) y = x4 - 2x2 + 1; b) y = sin2x - x; c) y = sinx + cosx; d) y = x5 - x3 - 2x + 1 Bài 3: Tính khoảng cách giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 2 Bài 4: Tìm các giá trị của m để x = 1 là một điểm cực tiểu của hàm số y = 1 1 2     x m mx x Bài 5: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = m x mx x    1 2 đạt cực đại tại x = 2 Bài 6: Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số y = x3 - mx2 - 2x + 1 luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu (HD: Chứng minh y' = 0 có hai nghiệm phân biệt) 2 Bài tập nâng cao: Bài 1: Cho hàm số y = x3 - 6x2 + 3(m + 1)x - m - 6 Xác định m sao cho: a) Hàm số có cực trị; b) Hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu Bài 2: Tìm a và b để các cực trị của hàm số y = 3 5 a2x3 + 2ax2 - 9x + b đều là những số dương và x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. = 9 5  là điểm cực đại CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

Trang 13

§3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

I ĐỊNH NGHĨA:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.

tại x0 D sao cho f(x0) = M Kí hiệu M = max f(x).D

tại x0 D sao cho f(x0) = m Kí hiệu m = min f(x).D

II GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT KHOẢNG:

-2 1

-5

2 -1

f x( ) = x2 + 4∙x 5

O

x y

(-; +) là: tại x =

-3 1 f x( ) = x 5 + 1 x O x y Giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x - 5 + x 1 trên (0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.; +) là: tại x =

 Bài tốn: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b)  Ta lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x) trên khoảng (a; b), từ đĩ suy ra kết luận. (Nếu bài tốn khơng chỉ ra khoảng K thì ta tìm GTLN, GTNN trên tập xác định) x a x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. b f'(x) +

-f(x) GTLN x a x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. b f'(x) - +

f(x)

GTNN Trong đĩ: f'(x) = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 hoặc khơng xác định tại x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. Ví dụ 1: Tìm GTNN và GTLN của hàm số y = x - 5 + x 1 trên khoảng (0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.; +) Giải :

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) f(x) = - 21 1  x ; b) f(x) = 1 x trên (0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.; 1) Giải :

Trang 14

III GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN: 1/ Định lí: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.  Quan sát đồ thị hàm số sau và điền vào các chỗ trống: Giá trị lớn nhất của hàm số y = x3 - x2 - x + 2 trên đoạn [0; 2] là: tại x =

Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 - x2 - x + 2 trên đoạn [0; 2] là: tại x = [ ]

2 1 4 1 2 f x ( ) = x3 x2 x + 2 O x y 2/ Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn:  Tìm các điểm x1, x2, , xn trên khoảng (a; b), tại đĩ f'(xi) = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 hoặc khơng xác định (i = 1, 2, n)  Tính f(a), f(x1), f(x2), , f(xn), f(b)  Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong {f(a), f(x1), f(x2), , f(xn), f(b)} Ta cĩ: a; b max f(x) = M, min f(x) = m a; b Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2x3 - 3x2 - 12x + 10) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 trên [-3; 1] Giải :

Trang 15

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sinx trên [ 6 7 ; 6   ] Giải :

* Chú ý:  Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên [a; b] thì: max[ ;b]y = f(b), min[a;b]y = f(a)  Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến trên [a; b] thì: [ ; ]

max b y = f(a), [ ; ] min b a y = f(b) maxy [a;b] [a;b] miny f(b) f(a) O x y b a

maxy [a;b] [a;b] miny f(a) f(b) O x y b a Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = -x3 + 1 trên [-1; 1] Giải :

IV ỨNG DỤNG: Ví dụ: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh a Người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau, rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ để được một cái hộp không nắp Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất x a Giải:

Trang 16

 Ghi chuù:

Trang 17

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

1 Bài tập cơ bản:

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

c) y =

x



 1

2

Bài 3: Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số:

1

4

x

4 (x > 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.);

4 x

x

1

x



Bài 4: Trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi 16cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất (HD:

Gọi x là cạnh thứ nhất của hình chữ nhật, tìm cạnh thứ hai và chu vi của hình chữ nhật theo x.)

nhất (HD: Gọi x là cạnh thứ nhất của hình chữ nhật, tìm cạnh thứ hai và diện tích hình chữ nhật theo x.)

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y =

2

3 2 2



x x

x

2

3

x

1 trên (0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.; 2] Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x +

1

2



Bài 4: Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số:

Bài 5: Cho số dương m Hãy phân tích m thành tổng của hai số dương sao cho tích của chúng là lớn nhất Bài 6: Tìm hai số biết hiệu của chúng là 13 sao cho tích của chúng là bé nhất.

Bài 7: Hãy tìm tam giác vuông có diện tích lớn nhất nếu tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số a (a > 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.).

Bài 8: Cho hàm số y  2 x4 3 x2  2 x  Tìm trên đồ thị hàm số điểm M sao cho khoảng cách từ M đến 1 đường thẳng (d): y = 2x - 1 là nhỏ nhất.

Bài 9: Tìm x để các hàm số sau đây đạt giá trị lớn nhất:

[-2

5

;

Trang 18

§4 ĐƯỜNG TIỆM CẬN

 Quan sát đồ thị hàm số y =

2

1



x

1

y = 1

x = 2

2

O

x

y

 Tính các giới hạn

2

1 lim





x

2

1 lim





x

 Khoảng cách từ một điểm M(x; y) trên đồ thị hàm số đến đường thẳng y = 1 càng gần số nào khi x   ? và đồ thị hàm số như thế nào với đường thẳng y = 1 khi x  ?

 Khoảng cách từ một điểm M(x; y) trên đồ thị hàm số đến đường thẳng x = 2 càng gần số

I ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG:









II – ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG

 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.

lim

x

lim

x

lim

x

lim

x

Ví dụ: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số:

a) y =

4 2

1





x

1

1 3 2





x

x x

.

Giải :

Trang 19

 Ghi chuù:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 Bài tập cơ bản: Bài 1: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số: a) y = 1 2 2 3   x x ; b) y = 3 5    x x ; c) y = x x  2 ; d) y = 1 7    x x ; e) y = 1 4   x ; f) y = 2 5 5 2   x x ; g) y = 7  1 x ; h) y = x 2 Bài 2: Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số: a) y = 2 9 2 x x   ; b) y = 2 2 5 2 3 1 x x x x     ; c) y = 1 2 3 2    x x x ; d) y = 4 3 2   x x ; e) y = 4 1 2 2     x x x ; f) y = 1 1   x x 2 Bài tập nâng cao: Bài 1: Cho hàm số y = 1 1 2   x x có đồ thị (C) Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của đồ thị (C), tìm điểm M thuộc (C) sao cho IM nhỏ nhất Bài 2: Cho hàm số y = 3 2   x x (1) Tìm điểm M trên đồ thị của hàm số (1) sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

Trang 20

§5 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

 Điểm uốn của đồ thị hàm số:

Lõm

Lồi

O

x y

Điểm uốn

phương trình y'' = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0

 Nếu hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a  0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.) cĩ hai cực trị thì điểm uốn là trung điểm hai điểm cực trị của đồ thị * Nhận xét: Phần đồ thị hai bên điểm uốn khác nhau về hình dáng: bên "lồi" lên, bên "lõm" xuống I- KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = ax3+ bx2+ cx + d (a  0)  Tập xác định: D = R  Sự biến thiên: y' = f'(x) y' = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.: giải phương trình f'(x) = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0

Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số Kết luận cực trị của hàm số Giới hạn y x lim = , y x lim = (chỉ cần kết quả, khơng cần giải thích) Vẽ bảng biến thiên  Đồ thị: Điểm đặc biệt: Điểm uốn: I(x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.; y0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.) với x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. là nghiệm phương trình y''(x) = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 Giao điểm với trục tung: x = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 tìm y Giao điểm với trục hồnh: y = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 giải phương trình f(x) = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 tìm x Đồ thị hàm số nhận điểm uốn I làm tâm đối xứng Ví dụ: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số: a) y = x3 + 3x2 - 4; b) y = -x3 + 3x2 - 4x + 2; c) y = 3 3 x - x2 + x + 1 Giải :

Trang 21

2 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = ax4 + bx2+ c (a  0)  Tập xác định: D = R  Sự biến thiên: y' = f'(x) y' = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.: giải phương trình f'(x) = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0

Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số Kết luận cực trị của hàm số Giới hạn y x lim = , y x lim = (chỉ cần kết quả, khơng cần giải thích) Vẽ bảng biến thiên  Đồ thị: - Tài liệu lưu hành nội bộ - 21

Trang 22

Điểm đặc biệt:

Giao điểm với trục tung: x = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 tìm y.

Giao điểm với trục hồnh: y = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 giải phương trình f(x) = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 tìm x.

Đồ thị hàm số nhận điểm uốn I làm tâm đối xứng.

3 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = cx ax d b



 Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Trang 23

Giao điểm với trục tung: x = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 tìm y.

Giao điểm với trục hồnh: y = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 giải phương trình f(x) = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 tìm x.

Đồ thị hàm số nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

II – SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ

1/ Tọa độ giao điểm của hai đồ thị:

Trang 24

https://ebooktoan.com cung cấp file word tốn miễn phí Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Tốn lớp 12 Giải:

2/ Biện luận bằng đồ thị số nghiệm phương trình f(x) = g(x):

 Ghi chú:

Trang 25

2 1

Trang 26

1 4

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1)

Bài 7: Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau:

Bài 8: Cho hàm số y =

m x

mx



 2

1 a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.

a) Với giá trị nào của tham số m, đồ thị hàm số đi qua điểm (-1; 1)?

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng

4

7

(m là tham số) có đồ thị là (G).

a) Xác định m để đồ thị (G) đi qua điểm (0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.; -1).

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m vừa tìm được.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (G) tại giao điểm của nó với trục tung.

2

3 ].

Trang 27

* ÔN TẬP CHƯƠNG I *

I TÓM TẮT NỘI DUNG CHƯƠNG I:

Trang 28

II CÁC DẠNG ĐỒ THỊ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN 12

nghiệm 2

nghiệm có1

'

y

(x0 là nghiệm của

y'= 0)

x - x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. +

y' + 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 +

nghiệm có1

'

y

y'= 0)

y' 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0

nghiệm vô

Trang 29

nghiệm có 3

nghiệm có1

'

y

y'= 0)

y' - 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 +

nghiệm 1

y' - 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 +

b ax

Hai đường tiệm cận



ad

x -

c

d

 +

Trang 30

3 2

c) y =

1 2

3 2





x

tại giao điểm của (C) với trục tung.

Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số:

c) y =

1 2

3 2

Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

3

1 2

x

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Giải bất phương trình f'(x - 1) > 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0

Trang 31

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm phương trình f''(x) = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0

a) Biện luận theo m số cực trị của hàm số.

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = 2x + m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M

và N.

c) Xác định m sao cho độ dài đoạn MN ngắn nhất.

d) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kì của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại P và Q Chứng minh rằng S là trung điểm của PQ.

a) Giải phương trình f'(sinx) = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.;

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f''(x) = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0

Trang 32

CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA

oOo

- CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:

1) Lũy thừa của một số hữu tỷ:

a0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. = 1 a1 = a am.an = am + n

n

ma

a

n

n nb

a b

a

 )

A

 (A0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0., B>0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.)

B A B



 (A<0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0., B0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.)

B

B A B

A

B B

B A

B A C B A

B A

B A C B A

 Ghi chú:

Trang 33

§1 LŨY THỪA

I - KHÁI NIỆM LŨY THỪA:

1/ Lũy thừa với số mũ nguyên:

Cho n nguyên dương

 Với a là một số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a (a lũy thừa n) là tích của n thừa số a.

Ví dụ:

a số thừa n

a a

a 23 =

a0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. = 1 (1,2)0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. =

n na

128 25

) 2 , 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.

( 27 ) 3

1



 Giải:

3 1

1

2 2 ) 1 (

3/ Căn bậc n

a) Khái niệm:

Cho sốâ thực b và số nguyên dương n (n  2).

Trang 34

Ta có:

n n

n a b  a b 3 2 3 4 

n n

n

b

a b

a

32

leû n khi a,

n a )  a

( (4 32)2 

nk

4/ Lũy thừa với số mũ hữu tỉ:

Đặc biệt: a n1 n a (a > 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0., n  2) a 

5/ Lũy thừa với số mũ vô tỉ:

4

3

Trang 35

1) 2

a

 )

2

2 (

6 6 3

1 3

1

b a

a b b a

3

1 ( ) 3

Ví dụ: Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:

Trang 36

 Ghi chuù:

3

9 :

5 75

, 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. ( 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 , 25 ) )

1

b b

a)

) (

4

1 4

3 4

1

3

2 3

1 3

a a a

) (

3 3 2

5 1

b b b

1 3

1 3 1

b a

b a b a

) 5 ( 

Bài 1: So sánh các cặp số:

a) 310) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 và5 20) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 ; b)4 5 và6 7 ; c) 230) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. và 320) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0..

Bài 2: Không dùng máy tính, tính giá trị các biểu thức sau:

Trang 37

Trang 38

1 1

§2 HÀM SỐ LŨY THỪA

I- KHÁI NIỆM:

II- ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LŨY THỪA:

 > 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0  < 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.

Tiệm cận đứng: Oy

* Chú ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể ta phải

xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó.

 Ghi chú:

3

2) 2

) 1

Trang 39





Bài 3: Hãy so sánh các số sau với số 1:

Bài 4: Hãy so sánh các cặp số sau:

Bài 1: Hãy viết các số sau theo thứ tự tăng dần:

a) (0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.,3), (0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.,3)0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.,5, 3

2) 3 , 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.

2) 3 , 1 (  , 3

2



2) 2 (  .

1

x trên cùng một hệ trục tọa độ Hãy so sánh giá trị của các hàm

số đó khi x = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.; 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.,5; 11;

Trang 40

§3 LÔGARIT

I- KHÁI NIỆM LÔGARIT:

của b và kí hiệu là logab.

* Mở rộng: cho n số dương b1, b2, ,bn và a  1, ta có: loga(b1.b2 bn) = logab1 + logab2+ +logabn

2) Lôgarit của một thương:

3) Lôgarit của một lũy thừa:

Định lí: Cho 2 số dương a, b, a  1 Với mọi  ta có: logab = logab

3

=

) 1 ( log

Định dạng
Số trang	151
Dung lượng	5,76 MB