2)Chứng minh tổng các khoảng cách từ M đến các mặt bên không đổi khi M di chuyển trên miền trong của đáy ABCD.. Điểm M thuộc miền trong đáy ABCD. 1)Tính góc giữa cạnh bên và mặt phẳng[r]
Trang 1SỞ GD&ĐT NGHỆ AN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 12 TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I Năm học 2010-2011
Thời gian làm bài :180 phút
******************************************************************
Câu I : (2 điểm)
Cho hàm số y = - 3m + ( - 1)x + 2 ,với m R
1) Với m = -1
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên
2) Tìm m để đồ thị cắt đường thẳng y = 2 tại hai điểm A,B phân biệt
Khi đó m bằng bao nhiêu thì AB có độ dài ngắn nhất ?
Câu II : (2 điểm)
1)Chứng minh: m R thì phương trình :
2sinx + msin2010x + 1 = 0 có nghiệm x R
2) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn 5a + 4b + 6c = 0
- Chứng minh rằng phương trình a + bx + c = 0 có nghiệm x R
Câu III : (2 điểm)
1) Với a,b,c là ba số dương.Chứng minh :
2) Tính đạo hàm y’ và đạo hàm bậc 10: y(10) của hàm số :
y =
Câu IV : (2 điểm)
Hình chóp tứ giác đều SABCD đỉnh S Cạnh đáy bằng a và diện tích
toàn phần bằng 3a2 Điểm M thuộc miền trong đáy ABCD
1)Tính góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy của hình chóp ?
2)Chứng minh tổng các khoảng cách từ M đến các mặt bên không đổi khi
M di chuyển trên miền trong của đáy ABCD
Câu V : (2 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho ABC có A(2;-1).Đường thẳng chứa
đường cao BH và trung tuyến CM tương ứng có phương trình là :
x +6 y - 14= 0 (d1) và x - y +2 = 0 (d2)
1- Tính tọa độ các đỉnh B ,C của ABC
2- Viết phương trình dạng tổng quát các đường thẳng chứa các cạnh ABC
******************************************************************
Tổ trưởng: Trần Đức Ngọc – ĐT 0985128747 – Yên sơn , Đô lương , Nghệ an
Trang 2ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN
THI HSG 12 MÔN TOÁN
TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I - NGHỆ AN
2010-2011 (180 phút)
****************************************************************** Câu I : (2 điểm)
Cho hàm số y = - 3m + ( - 1)x + 2 ,với m R
1) Với m = -1 ,
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên
2) Tìm m để đồ thị cắt đường thẳng y = 2 tại hai điểm A,B phân biệt
Khi đó m bằng bao nhiêu thì AB có độ dài ngắn nhất ?
Hướng dẫn:
1)Với m = -1 Hàm số y = + 3 + 2
y’ = 3x2
+ 6x = 0 x1= 0, x2= -2.So sánh f(-1) , f(0) ,f(1) để có gtln và gtnn
Có f(-1) = 4 , f(0) = 2 và f(1) = 6 Vậy trên hàm số có gtln là 6 và gtnn là 2 2)Tọa độ điểm chung của hai đường nếu có là nghiệm hpt:
Để có 2 giao điểm A,B phân biệt , pt phải có 2 nghiệm phân biệt
-Thấy: pt = 0 có = 5m2
+ 4 0 với m R -Do đó để pt (*) có 2 nghiệm phân biệt thì buộc pt : = 0 phải
có một nghiệm x1 = 0 Và một nghiệm x2 0
Suy ra phải có = 0 m1= - 1, m2 = 1
-Với m1= - 1, P/ trình trở thành x2
(x+ 3) = 0, có 2 nghiệm x1 = 0 và x2 = - 3 Hai giao điểm là : A(0;2) và B(-3;2) Có AB = 3
-Với m1= 1.P/trình trở thành x2
(x - 3) = 0 , có 2 nghiệm x1 = 0 và x2 = 3 Hai giao điểm là : A(0;2) và B(3;2) Có AB = 3
-Trả lời : có hai giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán : m1= - 1, m2 = 1
Câu II : (2 điểm)
1)Chứng minh: m R thì phương trình :
2sinx + msin2010x + 1 = 0 có nghiệm x R
2) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn 5a + 4b + 6c = 0
- Chứng minh rằng phương trình a + bx + c = 0 có nghiệm x R Hướng dẫn:
1)Hàm số y = f(x) = 2sinx + msin2010x + 1 liên tục trên R
Có : f(- ) = - 1 , f( ) = 3 f(- ) f( ) = - 3 0 Với m R
Trang 3Vậy phương trình có nghiệm x (- ) Với m R
2) Nếu a = 0 pt: a + bx + c = 0 trở thành bx + c = 0 Và 5a + 4b + 6c = 0 trở thành
2b + 3c = 0 Do đó pt có nghiệm x =
Nếu a 0 : Hàm số f(x) = a + bx + c liên tục trên R
Ta có: 5a + 4b + 6c = 0 (4a + 2b + c ) + (a + 2b + 4c) + c = 0 Tức là :
f(2) + f( + f(0) = 0 Suy ra : ba số f(2) , f( ,f(0) không thể cùng dấu hoặc cùng triệt tiêu (do pt bậc 2 có không quá 2 nghiệm).Như vậy trong 3 số đó có hai
số khác dấu.Vậy phương trình có nghiệm
Với a,b,c là các số thực thỏa mãn 5a + 4b + 6c = 0 pt: a + bx + c = 0 có nghiệm Câu III : (2 điểm)
1) Với a,b,c là ba số dương.Chứng minh :
2) Tính đạo hàm y’ và đạo hàm cấp 10 : y(10) của hàm số :
y =
Hướng dẫn:
1) Với a,b,c là ba số dương,áp dụng Bđt Co-Si : 3 (1) Cũng theo Co-si : = = 3 (2)
Từ (1) và (2) ta được điều phải chứng minh :
Với a,b,c là ba số dương thì :
2) Viết y = = y = = -
-Chứng minh được bằng phương pháp quy nạp toán học :
y = thì: y(n)
=
* Áp dụng: -Ta có y’ = + Và y(10) = -
Câu IV : (2 điểm)
Hình chóp tứ giác đều SABCD đỉnh S Cạnh đáy bằng a.và diện tích
toàn phần bằng 3a2 Điểm M thuộc miền trong đáy ABCD
1)Tính góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy của hình chóp ?
2)Chứng minh tổng các khoảng cách từ M đến các mặt bên không đổi khi
M di chuyển trên miền trong của đáy ABCD
Hướng dẫn : (Hãy tự vẽ hình nhé)
1)Tính góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy của hình chóp ?
Trang 4Đáy hình chóp tứ giác đều là hình vuông cạnh a nên đáy có diện tích bằng a2
mà
Stp= 3a2 , suy ra Sxq= 2a2 và mỗi mặt bên có diện tích Smb=
Như vậy Sxq = 2.Sđ Do đó góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy là 600 (S'=Scos )
Từ đó ta có đường cao hình chóp SH = (Vì SIK đều, trong đó I ,K tương ứng
là trung điểm của AB , CD)
Gọi là góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy thì:
tan = = .(Vì SH = , HA = )
2)Chứng minh tổng các khoảng cách từ M đến các mặt bên không đổi khi M di chuyển trên miền trong của đáy ABCD:
-Lấy một điểm M tùy ý thuộc miền trong hình vuông ABCD Nối M với các đỉnh của hình chóp Ta được 4 hình chóp chung đỉnh M ,đáy các hình chóp này là các mặt bên của hình chóp tứ giác đều SABCD.Tổng các thể tích của 4 hình chóp này đúng bằng thể tích SABCD
-Gọi d1 ,d2 ,d3 ,d4 là khoảng cách từ M đến các mặt của hình chóp SABCD
-Ta có : VSABCD= a2 = (3) -Ta lại có VSABCD= V1+ V2+V3+V4 = Smb(d1+d2+d3+d4) = (d1+d2+d3+d4) (4)
Từ (3) ,(4) suy ra: = (d1+d2+d3+d4) d1+d2+d3+d4 = a (Không đổi)
Câu V : (2 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho ABC có A(2;-1).Đường thẳng chứa đường cao BH và trung tuyến CM tương ứng có phương trình là :
x + 6 y - 14= 0 (d1) và x - y +2 = 0 (d2)
1- Tính tọa độ các đỉnh B ,C của ABC
2- Viết phương trình tổng quát các đường thẳng chứa các cạnh ABC Hướng dẫn : ( Mỗi ý 0,25 đ ) - Hãy tự vẽ hình nhé
1-Giải hpt : pt (d1) và pt (d2) được giao điểm: K( ; )
2)Xác định tọa độ A' đối xứng với A qua K : A’(- ; )
3)Viết pt (d3) qua A' song song với (d2) – pt (d3) là: x – y + 7 = 0
4)Giải hpt :pt (d1) và pt (d3) được giao điểm: B(-4;3 )
5)Viết pt (d4) qua 2 điểm A ,B Đg thẳng (d4) chứa AB : 2x + 3y -1 = 0
6)Viết pt (d5) qua A vuông góc với (d1).Đg thẳng (d5) chứa AC: 6x – y – 13 = 0 7)Giải hpt :pt (d2) và pt (d5) được giao điểm : C(3 ;5)
8)Viết pt (d6) qua 2 điểm B ,C Đg thẳng (d6) chứa BC : 2x – 7y + 29 = 0
******************************************************************
Tổ trưởng: Trần Đức Ngọc – ĐT 0985128747 – Yên sơn , Đô lương , Nghệ an