Bài giảng lý thuyết xác suất và thống kê toán học chương 3 phan văn tân

ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ3.4 Hàm phân bố • Định nghĩa: Hàm phân bố của biến ngẫu nhiên X là hàm của biến x được xác định bởi Fx = PX < x o Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc, hàm

Trang 2

Chương 3 3 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ

3.1 Khái niệm về đại lượng ngẫu nhiên

• Kết quả ngẫu nhiên của phép thử có thể đặc trưng định tính bởi sự kiện ngẫu nhiên

o Mô tả bằng lời: A={ Đồng tiền nhận mặt sấp }

• Để đặc trưng định lượng cho kết quả ngẫu nhiên của phép thử người ta dùng khái niệm đại lượng ngẫu nhiên

Trang 3

o Các giá trị có thể của đại lượng ngẫu nhiên (các giá trị mà đại lượng ngẫu nhiên có thể nhận) được ký hiệu bằng các chữ cái Latinh in thường tương ứng: x, y, z,…

Trang 4

• Phân loại:

Căn cứ vào tập giá trị có thể của đại lượng ngẫu nhiên người ta phân biệt hai loại đại lượng ngẫu nhiên

o Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc: Tập hợp các giá trị có thể có của

nó là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được

• Ví dụ: Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ số điểm nhận được khi gieo một con xúc xắc Vậy X={1,2,3,4,5,6} hay x1=1, x2=2,…, x6=6

o Đại lượng ngẫu nhiên liên tục: Tập hợp các giá trị có thể của

nó lấp đầy một khoảng nào đấy của trục số hoặc cả trục số, tức

nó là tập hợp vô hạn và không đếm được

• Ví dụ: Gọi Y là đại lượng ngẫu nhiên chỉ nhiệt độ không khí ( o C) đo được ở Hà Nội Vậy Y={y, y∈[-10; 50]}

Trang 5

3.2 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc

• Xét đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X mà các giá trị có thể của nó làtập {x1, x2,…, xn,…} với P(X=xi) = pi, i=1,2,…

o Để mô tả biến ngẫu nhiên rời rạc X ta sử dụng bảng phân bố xác suất sau

o Trong đó Σpi = 1, pi ≥ 0 ∀i=1,2,…

ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện mặt sấp Hãy lập bảng phân bố của X

o Giải: Số lần xuất hiện mặt sấp chỉ có thể là 0, 1 hoặc 2, do đó X={0,1,2}

o Gọi Ai là đồng tiền thứ i xuất hiện mặt sấp (i=1,2), P(Ai)=0.5

o Sự kiện X=0: X=1: hoặc Sự kiện X=2:

p2

p1 P

xi

x2

x1X

2

1 A

2 1

0 X

Trang 6

• Ví dụ 2: Một xạ thủ có 3 viên đạn Anh ta bắn từng phát cho tới khi hoặc trúng mục tiêu hoặc hết cả 3 viên thì thôi Hãy lập bảng phân

bố xác suất của số đạn chi phí, biết xác suất trúng đích ở mỗi phát là0.8

o Giải: Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số đạn chi phí Vậy X={ 1, 2, 3 }

o Sự kiện X = 1: Bắn phát thứ nhất trúng đích (do đó không bắn tiếp nữa), Î P(X=1) = p1= 0.8

o Sự kiện X = 2: Bắn phát thứ nhất trượt và phát thứ hai trúng,

P(X=2)= p2 = (1-0.8)0.8 = 0.16

o Sự kiện X = 3: Bắn phát thứ nhất và thứ hai đều trượt (do đó cần bắn phát thứ ba), P(X=3) = p3 = (1-0,8) 2 = 0,04

0.04 0.16

0.8 P

3 2

1 X

Trang 7

• Ví dụ 3: Tiến hành n phép thử độc lập, xác suất xuất hiện sự kiện A

ở mỗi phép thử không đổi bằng p Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ sốlần xuất hiện sự kiện A trong n phép thử Hãy lập bảng phân bố xác suất của X

n 1

0 X

n k

p p

C k

P k

X P

p k = ( = ) = n( ) = n k k( 1 − )n−k, = 0 , 1 , ,

0 0

n

b a C b

a

0

) (

ta có đẳng thức

1 )

( 0

0

= +

k

k n k k n n

k

p

Trang 8

3.3 Đại lượng ngẫu nhiên liên tục

• Xét đại lượng ngẫu nhiên X mà các giá trị có thể của nó lấp đầy một khoảng hoặc cả trục số Khi đó X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục

o Để mô tả biến ngẫu nhiên liên tục X ta sử dụng khái niệm hàm mật độ (hay hàm mật độ xác suất)

o Hàm f(x) được gọi là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X nếu

nó thỏa mãn hai điều kiện sau:

o Khi đó, xác suất để X nhận giá trị trong khoảng (a,b) được xác định bởi

( )

2

) ,

( ,

0 ) ( ) 1

dx x f

x x

X a

Trang 9

3.3 Đại lượng ngẫu nhiên liên tục

• Ví dụ: Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X có dạng

Hãy xác định giá trị của c

o Giải: Theo định nghĩa,

x

b x a khi

c x

f

0

) (

1 )

x f dx

x

a b

c

−

Trang 10

3.4 Hàm phân bố

• Định nghĩa: Hàm phân bố của biến ngẫu nhiên X là hàm của biến x được xác định bởi F(x) = P(X < x)

o Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc, hàm phân bố F(x) có dạng

o Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục, F(x) có thể được xem như xác suất để khi gieo một điểm ngẫu nhiên thì điểm này rơi vào nửa bên trái trên trục số của x (hình vẽ)

p x

X P x

x

Trang 11

Î P(X<x2)=P(X<x1)+P(x1≤X<x2) (*)

Hay F(x2) = F(x1) + P(x1≤X<x2) Î F(x1) ≤ F(x2)

o Tính chất 4): Thay vai trò của x1 và x2 trong (*) bởi a và b ta được

P(a ≤ X < b) = F(b) – F(a)

Trang 12

• Ví dụ 1 Tiến hành bắn 3 phát súng độc lập vào bia; xác suất trúng

đích của mỗi phát bằng 0.4 Lập hàm phân bố của số lần bắn trúng bia

o Giải: Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ số lần bắn trúng bia, X có thể lấy các giá trị: x1=0, x2=1, x3=2, x4=3 Khi đó:

0.432 P

3 2

1 X

288 0 432 0 216 0

2 1

432 0 216 0

1 0

216 0

0 0

) (

x khi

x F

∑

<

=

x x

i i

p x

F ( )

Trang 13

+ +

≤

<

+ +

064 0 288 0 432 0 216 0

3 2

288 0 432 0 216 0

2 1

432 0 216 0

1 0

216 0

0 0

) (

x khi

x F

Trang 14

• Ví dụ 2 Hàm phân bố của biến ngẫu nhiên X được cho dưới dạng

a) Giả thiết F(x) liên tục, tìm hệ số a và vẽ đồ thị của F(x);

3 1

) 1 (

1 0

)

x khi

x khi x

a

x khi x

3 1

) 1 ( 25 0

1 0

)

x khi

x khi x

F

Trang 15

3.4 Liên hệ giữa hàm phân bố và mật độ xác suất

• Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc

o Các pi lập thành bảng phân bố xác suất

• Đối với biến ngẫu nhiên liên tục

o P(x≤X<x+Δx) = F(x+Δx)-F(x)

o Lập tỷ số

o Nếu hàm F(x) khả vi, lấy giới hạn đẳng thức trên khi Δx→0

o Giới hạn này, nếu tồn tại, được gọi là hàm mật độ xác suất

∑

=

i i

p x

F( )

)(

)(x P X x

x

x F x

x x

X x P

Δ

− Δ +

= Δ

Δ +

<

( Được gọi là xác suất trung

bình để X nhận giá trị trên một đơn vị độ dài của khoảng Δx

) ( )

( ) (

lim )

( lim

0

x

x F x x F x

x x X x P

x x

′

= Δ

− Δ +

= Δ

Δ +

<

→ Δ

dx

x

dF x

) ( )

Trang 16

X a

x f dx

x f a

F b

X a

Trang 17

• Ví dụ: Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X có dạng

x

b x a khi

c x

f

0

) (

a b c cdx dx

x f dx

x

a b

khi a

b

a x

a x khi dx

x f x

F

0 )

( )

x

b x

a

khi a

b x

f

0

1 )

(

Trang 18

b x a

khi a

b

a x

a x khi dx

x f x

F

1

0 )

( )

x

b x

a

khi a

b x

f

0

1 )

(

Biến ngẫu nhiên X trên được gọi là có phân bố đều

Trang 19

3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế

• Phân bố nhị thức:

o Tiến hành n phép thử Bernoulli, xác suất xuất hiện sự kiện A trong mỗi phép thử không đổi bằng P(A)=p Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện A trong n phép thử Phân bố của X được gọi là phân bố nhị thức

• Phân bố Poisson

o Trong phân bố nhị thức, nếu giả thiết rằng, xác suất xuất hiện sự kiện A phụ

thuộc vào số lần thử n sao cho khi n→∞ mà P(A)=p→0 và np→λ=const, thì

phân bố nhị thức sẽ tiệm cận đến phân bố Poisson:

n k

p p

C k

X P k

P n( ) = ( = ) = n k k( 1 − )n−k, = 0 , 1 , ,

2 , 1 , 0

,

!

) (

)

( = = = − k =

k

e k

X P k

Trang 20

• Đồ thị của hân bố nhị thức và phân bố Poisson:

Trang 21

o Trường hợp riêng, X∈N(0,1), khi đó hàm mật có dạng

o và biến X được gọi là có phân bố chuẩn chuẩn hóa

2

2 1 2

1 )

x

e x

Trang 22

Chương 3 3 ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ

o Đồ thị

Trang 23

• Phân bố chuNn:

o Hàm phân bố của biến ngẫu nhiên X có phân bố chuNn được xác định bởi

o Với phân bố chuNn chuNn hóa ta có:

x F

2

2 1 2

1 )

μ

π σ

2

1 )

(

πφ

Trang 24

( 0

0

0 )

x

khi x

0

0)

(

x khi e

x

khi x

λ

Trang 25

• Phân bố χ2 (Khi bình phương)

o N ếu Xi∈N (0,1), i=1 n, khi đó biến ngẫu nhiên

được gọi là có phân bố χ2

o Hàm mật độ và hàm phân bố xác suất của phân bố χ2 có dạng

≤

0 2

2

0 0

)

2

1 2

x khi

e n x

x khi

2

2 2

1 )

=Γ

Γ

=+

Γ

21

1)

1(

)()

1(x x x

Trang 26

• Đồ thị hàm mật độ của phân bố χ2

Phụ thuộc vào số bậc tự do n

Trang 27

• Phân bố Student (phân bố t):

o N ếu

o thì biến ngẫu nhiên

được gọi là có phân bố Student hay phân bố t

o Hàm mật độ của phân bố t có dạng

2

1 2

2

1 )

=

n

x n

n

n x

N

), 1 , 0

X =

Trang 28

o Đồ thị hàm mật độ của phân bố t

- Đối xứng qua trục tung

Trang 29

• Phân bố F (Fisher)

o N ếu

o thì biến ngẫu nhiên

o được gọi là có phân bố F (hay phân bố Fisher)

(

) (

) 2

(

) 2 (

) 2

( )

(

2 1 ,

2 2 1

1 2 2

1

2 1

2 2 2 1

2 1

1 2

1

n n x f x

f

n x n

x n

n

n n

n

n x

f

n n

Γ

2

2 2 2

1

1 2 1

) ( ,

) (

n

n X

2

1 1

2 2

1

/ ) (

n n

X

X X

χ

=

Trang 30

• Đồ thị hàm mật độ của phân bố F (Fisher)

Phụ thuộc vào hai tham số n 1 , n 2

Trang 31

Một số khả năng ứng dụng các phân bố lý thuyết

Dùng làm phân bốmẫu trong các bài toán kiểm nghiệm giả thiết thống kê

Trang 32

Sử dụng EXCEL để xác định các phân bố

o Phân bố nhị thức: BINOMDIST(k, n, p, Cumulative)

o Phân bố Poisson: POISSON(k, Lamda, Cumulative)

o Phân bố chuNn: NORMDIST(x, μ, σ, Cumulative)

o Phân bố chuNn chuNn hóa: NORMDIST(x, 0, 1, Cumulative)

o Phân bố mũ: EXPONDIST(x, Lamda, Cumulative)

o Phân bố χ2 (Khi bình phương): CHIDIST(x, n)

o Phân bố Student (t): TDIST(x, n, Tails) (Tails=1 hoặc 2)

o Phân bố F (Fisher): FDIST(x, n 1 , n 2 )

Đối với các phân bố χ2 , t và F, để nhận được đồ thị phân bố

Trang 33

Ghi chú:

o Đối với các hàm trên đây, tham số Cumulative nhận giá trị

TRUE hoặc FALSE

• Khi Cumulative=TRUE, kết quả trả về là hàm phân bố

• Khi Cumulative=FALSE, kết quả trả về là hàm mật độ

o Các hàm CHIDIST(x, n) và FDIST(x, n 1 , n 2 ) đều trả về kết

quả là xác suất P(X≥x) = 1–F(x)

o Hàm TDIST(x, n, Tails) có tham số Tails=1 hoặc 2

• N ếu Tails=2, kết quả trả về là xác suất P(|X|>x), x≥0

• N ếu Tails=1, kết quả trả về là xác suất P(X>x), x≥0

Vì hàm mật độ đối xứng qua trục tung Î suy ra nhánh x<0

Trang 34

3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên

• Tại sao lại phải xét các đặc trưng số?

• Mô tả biến ngẫu nhiên đầy đủ nhất là các hàm phân bố hoặc hàm mật độ

o Biểu thị được dáng điệu

o Mức độ tập trung, mức độ phân tán,…

o Tính xác suất các sự kiện

• N hiều trường hợp trong thực tế việc xác định các hàm này rất khó

và hầu như không thể

• Thay cho các hàm này ta sẽ xét một số đặc điểm quan trọng của nóthông qua những đặc trưng số

• Các đặc trưng số có thể được sử dụng để mô tả những nét khái quát nhất của biến ngẫu nhiên

Trang 35

1 Kỳ vọng toán học

• Định nghĩa: Kỳ vọng toán học của đại lượng ngẫu nhiên X là một

số có cùng thứ nguyên với X, được ký hiệu bởi mx và được xác định bởi mx = M[X], trong đó M là ký hiệu toán tử lấy kỳ vọng

• N ếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc

với pi = P(X=xi)

• N ếu X là biến ngẫu nhiên liên tục

với f(x) là hàm mật độ xác suất của X

Trang 36

• Ví dụ: Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có phân bố xác suất được

cho như trong bảng dưới đây Hãy xác định kỳ vọng của X

7.25

.10.12.0

3.055.022.01

]

1

=+

+

=

⇒

×+

m

p x X

M m

0.30.5

0.2p

52

1X

Giải:

0 1 2 3 4 5

Trang 37

xdx a

b

dx a b

x dx

x xf X

M

2

11

1

1)

(]

x f

−

= 1)

(

2

)

( 2

1

a

b a

Trang 38

4) N ếu X và Y độc lập với nhau thì M[XY] = M[X].M[Y]

5) N ếu Y=g(X) thì M[Y] = M[g(X)], trong đó

∞

−

tôc n liª n nhiª ngÉu

biÕn

lµ X NÕu

r¹c rêi n nhiª ngÉu

biÕn

lµ X NÕu

dx x f x g

p x g Y

M

i

i i

) ( ) (

) ( ]

[

Trang 39

) ( )

( ]

M

i

i i i

Trang 40

i j

ij i ij

i j

j i

j

ij

z Z

][]

[]

M

j j i

i i i

ij j

j

ij

Trang 41

• Chứng minh:

Để đơn giản, ta xét X, Y là rời rạc có phân bố tương ứng:

pi = P(X=xi), qj = P(Y=yj)

Đặt Z=XY Î zij = xiyj

Î Phân bố của Z: rij = P(Z=zij) = P(X=xi, Y=yj)

Vì X và Y độc lập nên P(X=xi, Y=yj) = P(X=xi).P(Y=yj)= pi.qj

=

j i j i ij

i j

j i j

ij

z Z

M [ ]

][]

[]

[Z x p y q M X M Y

M = ∑ ∑i i j j =

Trang 42

• Chứng minh:

5) N ếu Y=g(X) thì M[Y] = M[g(X)]

o N ếu X là rời rạc: pi = P(X=xi) Î P(Y=yi)=P(Y=g(xi))=pi

Trang 43

Kỳ vọng của tổng (hiệu) bằng tổng (hiệu) các kỳ vọng

Kỳ vọng của tích hai biến ngẫu nhiên độc lập bằng tích các

kỳ vọng của chúng

5) N ếu Y=g(X) thì M[Y] = M[g(X)]

Trang 44

2 Trung vị (Median)

• Định nghĩa: Trung vị của đại lượng ngẫu nhiên X là một số có

cùng thứ nguyên với X, ký hiệu là Mex và được xác định bởi:

• N hận thấy

• Do đó

• N ói cách khác: Trung vị của đại lượng ngẫu nhiên X chính là

nghiệm của phương trình

) (

) ( X Mex P X Mex

1 )

( )

( X < Me + P X ≥ Me = F ∞ =

5 0 )

( Mex =

F

5 0 )

( x =

F

Như vậy, Trung vị là điểm phân đôi khối lượng

Trang 45

2 Trung vị (Median)

x

Me

Trang 46

3 Mốt (Mode)

• Định nghĩa: Mốt của đại lượng ngẫu nhiên X là số có cùng thứ

nguyên với X, tại đó hàm mật độ xác suất đạt cực đại

(

0 )

(

2 2

x

Mo x

dx

x f d dx

x df

X có thể có một mốt, nhiều mốt,

hoặc có thể không có mốt

Tiêu đề	Đại lượng ngẫu nhiên và hàm phân bố
Tác giả	Phan Văn Tân
Trường học	Trường Đại Học
Chuyên ngành	Xác suất và thống kê toán học
Thể loại	Bài giảng

Định dạng
Số trang	89
Dung lượng	766,29 KB