- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn[r]
Trang 1TRƯỜNG THCS VĂN TỰ ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT NĂM 2021
MÔN TOÁN
(Thời gian làm bài: 120 phút)
ĐỀ 1
Câu 1: Tính gọn biểu thức:
1) A = 20 - 45 + 3 18 + 72
a + 1 1- a
Câu 2:
1) Cho hàm số y = ax2, biết đồ thị hàm số đi qua điểm A (- 2 ; -12) Tìm a
2) Cho phương trình: x2 + 2 (m + 1)x + m2 = 0 (1)
a) Giải phương trình với m = 5
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng - 2
Câu 3: Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu tăng chiều dài thêm 2m, chiều rộng thêm 3m thì diện tích tăng
thêm 100m2 Nếu giảm cả chiều dài và chiều rộng đi 2m thì diện tích giảm đi 68m2 Tính diện tích thửa
ruộng đó
Câu 4: Cho tam giác ABC vuông ở A Trên cạnh AC lấy 1 điểm M, dựng đường tròn tâm (O) có đường
kính MC Đường thẳng BM cắt đường tròn tâm (O) tại D, đường thẳng AD cắt đường tròn tâm (O) tại S a) Chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp và CA là tia phân giác của góc BCS
b) Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn (O) Chứng minh các đường thẳng BA, EM, CD đồng quy
c) Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE
Câu 5: Giải hệ phương trình:
ĐÁP ÁN Câu 1: Rút gọn biểu thức
1) A = 20 - 45 + 3 18 + 72
= 5 4 - 9 5 + 3 9 2 + 36 2
= 2 5 - 3 5 + 9 2 + 6 2 = 15 2 - 5
Trang 2= a ( a + 1) a ( a - 1)
= (1 + a) (1 - a) = 1 – a
Câu 2:
1) Đồ thị hàm số đi qua điểm M (- 2; -12) nên ta có:
- 12 = a (- 2)2
4a = -12
a = - 3 Khi đó hàm số là y = - 3x2
2)
a) Với m = 5 ta có phương trình: x2 + 12x + 25 =0
∆’ = 62 -25 = 36 - 25 = 11
x1 = - 6 - 11; x2 = - 6 + 11
Vậy với m = 5 thì pt có hai nghiệm là : x1 = - 6 - 11; x2 = - 6 + 11
b) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi:
∆’ > 0 (m + 1)2 - m2 > 0
2m + 1 > 0
m > - 1
2 (*)
Phương trình có nghiệm x = - 2 4 - 4 (m + 1) + m2 = 0
m2 - 4m = 0 m = 0
m = 4
(thoả mãn điều kiện (*))
Vậy m = 0 hoặc m = 4 là các giá trị cần tìm
Câu 3: (1.0 đ)
Gọi chiều dài của thửa ruộng là x, chiều rộng là y (m; x, y > 0)
Diện tích thửa ruộng là x.y (m2)
Nếu tăng chiều dài thêm 2m, chiều rộng thêm 3 m thì diện tích thửa ruộng lúc này là: (x + 2) (y + 3) (m2) Nếu giảm cả chiều dài và chiều rộng 2m thì diện tích thửa ruộng còn lại là: (x - 2 ) (y - 2) (m2)
Theo bài ra ta có hệ phương trình:
Trang 3(x + 2) (y + 3) = xy + 100
(x - 2) (y - 2) = xy - 68
xy + 3x + 2y + 6 = xy + 100
xy - 2x - 2y + 4 = xy - 68
3x + 2y = 94
2x + 2y = 72
x = 22
x + y = 36
x = 22
y = 14
Vậy diện tích thửa ruộng là: S = 22 14= 308 (m2)
Câu 4:
Hình vẽ đúng: (0.5 đ)
a) Ta có BAC = 90 (gt)0
0 MDC = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
A, D nhìn BC dưới góc 900, tứ giác ABCD nội tiếp
Vì tứ giác ABCD nội tiếp ADB = ACB 1
2
Ta có tứ giác DMCS nội tiếp ADB = ACS (cùng bù với MDS) (2)
Từ (1) và (2) BCA = ACS
Trang 4b) Gọi giao điểm của BA và CD là K Ta có BD CK, CA ⊥BK
M là trực tâm ∆KBC Mặt khác MEC = 900 (⊥góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
K, M, E thẳng hàng, hay BA, EM, CD đồng quy tại K
c) Vì tứ giác ABCD nội tiếp DAC = DBC (cùng chắn DC) (3)
Mặt khác tứ giác BAME nội tiếp MAE = MBE (cùng chắn ME) (4)
Từ (3) và (4) DAM = MAE hay AM là tia phân giác DAE
Chứng minh tương tự: ADM = MDE hay DM là tia phân giác ADE
Vậy M là tâm đường tròn nội tiếp ∆ADE
Câu 5:
Từ (1) suy ra: x4 1 x 1 Tương tự y 1 (3)
(2) x (1 x) − + y (1 y) − = 0 (4),
Từ (3) suy ra vế trái của (4) không âm, nên:
(4)
2
2
y (1 y) 0
Thử lại thì hệ chỉ có 2 nghiệm là: x 0 x 1
;
ĐỀ 2
Câu 1
a) Rút gọn biểu thức P = 5( 5+2)− 20
b) Tìm giá trị của m để đường thẳng (d): y = mx + 3 đi qua điểm A(1;5)
c) Giải hệ phương trình 3 7
5
x y
x y
− =
+ =
Câu 2 Cho phương trình x2−4x+ − =m 1 0(m là tham số)
a) Giải phương trình với m = 4
Trang 5b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện:
x x + +x x + =
Câu 3 Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O) Vẽ các đường cao BD, CE của tam
giác ABC (DAC E, AB)
a) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn
b) Gọi giao điểm của AO với BD và ED lần lượt là K, M
Chứng minh: 1 2 1 2 12
MD = KD + AD
Câu 4 Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: x2+y2+z2 =3xyz
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P
x yz y xz z xy
ĐÁP ÁN Câu 1
a) Rút gọn biểu thức P = 5( 5+2)− 20
Vậy P = 5
b) Tìm giá trị của m để đường thẳng (d): y = mx + 3 đi qua điểm A(1;5)
Đường thẳng (d): y = mx +3 đi qua điểm A(1;5) nên ta có:
5 = m.1 + 3 m = 2
Vậy với m = 2 thì đường thẳng (d): y = mx + 3 đi qua điểm A(1;5)
c) Giải hệ phương trình 3 7
5
x y
x y
− =
+ =
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (x;y) = (3;2)
Câu 2
a) Giải phương trình với m = 4
Với m = 4 ta có phương trình:
x − x+ − = x − x+ =
Phương trình (1) có hệ số a = 1; b = -4; c = 3 => a + b + c = 0
Nên phương trình (1) có hai nghiệm là: x1 1;x2 c 3
a
Vậy với m = 4 thì tập nghiệm của phương trình là: S = 1;3
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện:
Trang 61( 1 2) 2( 2 2) 20
x x + +x x + =
Phương trình: 2
x − x m+ − =
Có = −' ( 2)2−1(m− = − 1) 5 m
Để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x x thì 1; 2 '
−
Theo hệ thức Vi-et ta có:
4
b
x x
a c
a
−
+ = =
Ta có:
2
2
16 2( 1) 8 20
1 2
3( )
x x x x
m m m
m tm
− =
=
Vậy m = 3 là giá trị cần tìm
Bài 3
a) Vì BD, CE là hai đường cao của tam giác ABC nên BEC =BDC=900
Xét tứ giác BCDE có BEC=BDC=900 (cmt) nên hai đỉnh E, D kề nhau cùng nhìn cạnh BC dưới các
góc 900, suy ra tứ giác BCDE là tứ giác nội tiếp (dhnb)
b) Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn (O)
Suy ra: OA⊥Ax
+ Vì tứ giác BCDE là tứ giác nội tiếp (theo câu a) nên BCD=AED (1) (cùng bù với BED )
+ Xét đường tròn (O) có BAx=BCA(2) (Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn
cung AB)
x
M K E
D O B
C A
Trang 7Từ (1) và (2) suy ra: BAx=AED mà hai góc ở vị trí so le trong nên Ax// ED
Mà Ax⊥AO cmt( )ED⊥AO= M
Xét tam giác ADK vuông tại D có DM là đường cao
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: 1 2 1 2 12
DM = DK +DA (đpcm)
Bài 4
x y z xyz
yz xz xy
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương x ; y
yz xzta có:
2
yz+xz yz x = z
Tương tự ta cũng có: y z 2; z x 2
xz+xy x xy+ yz y
yz xz xz xy xy yz z x y
3
yz zx xy x y z x y z
Lại có:
2
4
2
x
x yz x yz x yz
+
Tương tự
y xz x+z z xy x+ y
Suy ra
3
2
P
P
=
Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 3/2 khi x = y = z = 1
Đề 3
Bài 1:
B
b 9
−
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức B
b) Tìm các giá trị của b để B ≥ 1
Trang 8Bài 2:
a) Giải hệ phương trình: x 2y 6
b) Trong cùng mặt phẳng tọa độ cho các đường thẳng (d): y = 3x + m và đường thẳng (d’):
y = m 5 1 x + − + 3 (với m -5) Xác định m để (d) song song với (d’)
Bài 3:
Cho phương trình : x2 – 2mx + m2 – m + 1 = 0
a) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x + 2mx = 912 2
Bài 4:
Cho nửa đường tròn (O) đường kính PQ = 2R Điểm N cố định trên nửa đường tròn Điểm M thuộc cung PN (M P; N) Hạ MH ⊥ PQ tại H, tia MQ cắt PN tại E, kẻ EI ⊥ PQ tại I Gọi K là giao điểm của PN và MH Chứng minh rằng:
a) Tứ giác QHKN là tứ giác nội tiếp;
b) PK.PN = PM2;
c) PE.PN + QE.QM không phụ thuộc vị trí của điểm M trên cung PN;
d) Khi M chuyển động trên cung PN thì đường tròn ngoại tiếp tam giác MIN đi qua hai điểm cố định
Bài 5:
Với x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện x + + = y z 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = 2x + yz + 2y + zx + 2z + xy
ĐÁP ÁN Bài 1:
a) ĐKXĐ: b 0 và b 9
B
=
Trang 9( b b 3 ) ( 3 b b 3 )
+
=
b b 3
b 3 b 3
+
=
b
b 3
=
−
b 3
−
b
1 0
b 3
− 3
b 3
− Kết hợp với điều kiện b 0 và b 9 ta có: b > 9
Vậy: b > 9
Bài 2:
=
Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất là x 4
=
=
b) (d) // (d’) m 5 1 3
m 11
m 11
=
= (thỏa mãn điều kiện m - 5)
Trang 10Bài 3:
a) Với phương trình : x2 – 2mx + m2 – m + 1 = 0
Ta có: / = m2 – m2 + m - 1 = m – 1
Phương trình có nghiệm kép / = 0 m – 1= 0 m = 1
khi đó nghiệm kép là:
/
a
−
b) Phương trình có 2 nghiệm x1, x2 / ≥0 m –1 ≥ 0 m ≥ 1
theo hệ thức Vi –ét ta có: 1 2
2
1 2
x x
Mà theo bài cho, thì x + 2mx = 912 2 (3)
Thay (1) vào (3) ta được:
2
2
1 x2) x x1 2 9 (4)
(x
4m − m + − = m 1 9 3 m + − m 10 = 0
Giải phương trình ta được: m1= - 2 (loại) ; m2 = 5
3(TMĐK)
Vậy m = 5
3 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 x2 :
2
x + 2mx = 9
Bài 4:
a) Ta có góc PNQ = 900(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
O
K
E
N M
Q P
Trang 11Hay KNQ = 900
Xét tứ giác QHKN, có:
0 90
0 90
180
KNQ + KHQ = , mà hai góc này là hai góc đối diện
b) Chứng minh được PHK PNQ (g-g)
Suy ra PK.PN = PM2 (1)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam vuông AMB ta có:
PH.PQ = PM2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra PK.PN = PM2
c) C/minh được PEI PQN (g-g) PE.PN = PI.PQ (3)
C/minh được QEI QPM (g-g) QE.QM = QI.PQ (4)
Từ (3) và (4) suy ra :
= PQ (PI + QI) = PQ = 4R d) CM được tứ giác QNEI nội tiếp đường tròn EIN = EQN
CM được tứ giác PMEI nội tiếp đường tròn EIM = EPM
2
Do đó MIN = MON, mà O và I là hai đỉnh kề nhau của tứ giác MOIN => Tứ giác MOIN nội tiếp =>
Đường tròn ngoại tiếp tam giác MIN đi qua hai điểm O và N cố định
Bài 5:
Với x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện x + + = y z 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = 2x + yz + 2y + zx + 2z + xy
Ta có x + y + z = 2 nên 2x + yz = (x + y + z)x + yz = (x + y)(x + z)
Áp dụng bất đẳng thức Cosi với 2 số dương u = + x y và, v = x + z, ta có:
Trang 12x + yz = x + y x + z + + + = + +
(1)
2
2
2
(3) Cộng các bđt (1), (2), (3) ta được:
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z =2
3
Vậy Max P = 4 khi x = y = z =2
3
ĐỀ 4
Bài 1: Giải phương trình và hệ phương trình sau (không dùng máy tính cầm tay)
a x + x − =
)
x y
b
x y
− = −
Bài 2: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm T − −( 2; 2), parabol ( )P có phương trình y= −8x2 và
đường thẳng d có phương trình y= − −2x 6
a) Điểm T có thuộc đường thẳng d không?
b) Xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng d và parabol ( )P
Bài 3: Cho biểu thức P 4x 9x 2 x
x
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P biết x = +6 2 5 (không dùng máy tính cầm tay)
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH Vẽ đường tròn ( )A bán kính AH Từ đỉnh
B kẻ tiếp tuyến BI với ( )A cắt đường thẳng AC tại D (điểm I là tiếp điểm, I và H không trùng
nhau)
a) Chứng minh AHBI là tứ giác nội tiếp
b) Cho AB=4cm AC, =3cm Tính AI
c) Gọi HK là đường kính của ( )A Chứng minh rằng BC=BI+DK
Bài 5
Trang 13a) Cho phương trình 2
2x −6x+3m+ =1 0 (với m là tham số) Tìm các giá trị của m để phương trình đã
cho có hai nghiệm x x thỏa mãn: 1, 2 3 3
x +x = b) Trung tâm thương mại VC của thành phố NT có 100 gian hàng Nếu mỗi gian hàng của Trung tâm
thương mại VC cho thuê với giá 100.000.000 đồng (một trăm triệu đồng) một năm thì tất cả các gian
hàng đều được thuê hết Biết rằng, cứ mỗi lần tăng giá 5% tiền thuê mỗi gian hàng một năm thì Trung
tâm thương mại VC có thêm 2 gian hàng trống Hỏi người quản lý phải quyết định giá thuê mỗi gian hàng
là bao nhiêu một năm để doanh thu của Trung tâm thương mại VC từ tiền cho thuê gian hàng trong năm
là lớn nhất?
ĐÁP ÁN Bài 1:
a) Đặt 2 ( )
x =t t , phương trình trở thành 0 2
Nhận xét: Phương trình có các hệ số a=1,b=2,c= −4 và a+ + = + + − =b c 1 3 ( 4) 0
Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt
1
2
1( )
t tm
=
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = − 1;1
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ) ( )x y =; 1; 2
Bài 2:
a) Điểm T có thuộc đường thẳng d không?
Thay x= −2;y= −2 vào phương trình đường thẳng d y = −: 2x−6 ta được
− = − − −
− = − (luôn đúng) nên điểm T thuộc đường thẳng d
b) Xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng d và parabol ( )P
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và parabol ( )P , ta có:
( )
Phương trình ( )* có a=8;b= −2;c= − + + = + − + − = nên có hai nghiệm 6 a b c 8 ( ) ( )2 6 0
3 1;
4
c
a
−
+Với x= = −1 y 8.12 = − 8
+ Với
2
8
x= − = −y − = −
Trang 14Vậy tọa độ giao điểm của đường thẳng d và parabol ( )P là ( ) 3 9
Bài 3:
a) Rút gọn P
Với x thì: 0
x
x
x
=
Vậy P= x với x 0
b) Tính giá trị của P biết x = +6 2 5
Ta có:
2
x= + tm vào P= x ta được ( )2
P = + = + = + Vậy P = 5 1.+
Bài 4:
a) Chứng minh tứ giác AHBI là tứ giác nội tiếp
Do BI là tiếp tuyến của ( )A BI ⊥ AIAIB=900
Xét tứ giác AHBI có:
0
0
90
IB
AIB AHB
Tứ giác AHBI là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AB (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800 )
b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính AH, suy ra AI
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC, đường cao AH ta có:
K D
I
H
A
Trang 152 2 2 2 2
2
5
AI =AH = =R
c) Gọi HK là đường kính của ( )A Chứng minh rằng BC=BI+DK
+) Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: BI BH( )1
BAI BAH
=
BAI =BAH −BAI = −BAH IAD=HAC
Mà HAC=KADIAD=KAD
+) Xét ADI vàADK có:
AD chung
IAD=KAD cmt
( )
AI = AK =R
Suy ra ADI = AKI c g c( )
0 90
AKD AID
= = (hai góc tương ứng) AKD vuông tại K
+) Xét tam giác vuông AKD và tam giác vuông AHC có:
( )
AK= AH =R ;
KAD=HAC (đối đỉnh);
AKD AHC
= (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)
( )2
DK HC
= (hai cạnh tương ứng)
Từ ( )1 và ( )2 suy ra BC=BH+HC=BI+DK dpcm( )
Bài 5
a) 2x2−6x+3m+ =1 0
Phương trình đã cho có hai nghiệm ' 0
2
7
6
m m
m
m
Khi đó phương trình có hai nghiệm x x : 1; 2
Trang 16Theo đinh lí Vi-et ta có:
3
2
b
x x
a
c m
x x
a
Ta có :
( )
3
3
27 27
m
m
+
Vậy m = thỏa mãn bài toán 1
b) Gọi giá tiền mỗi gian hàng tăng lên x (triệu đồng) (ĐK: x ) 0
Khi đó giá mỗi gian hàng sau khi tăng lên là 100 x+ (triệu đồng)
Cứ mỗi lần tăng 5% tiền thuê mỗi gian hàng (tăng 5%.100 5= triệu đồng) thì có thêm 2 gian hàng trống nên khi tăng x triệu đồng thì có thêm 2x
5 gia hàng trống
Khi đó số gian hàng được thuê sau khi tăng giá là 100 2x
5
− (gian)
Số tiền thu được là: ( ) 2x
5
(triệu đồng)
Yêu cầu bài toán trở thành tìm x để ( ) 2x
5
P= +x −
đạt giá trị lớn nhất
Ta có:
2
2
2
5
x
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x =75
Vậy người quản lí phải cho thuê mỗi gian hàng với giá 100 75 175+ = triệu đồng thì doanh thu của trung tâm thương mại VC trong năm là lớn nhất
Trang 17
Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi
về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh
tiếng
I.Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây
dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn
II.Khoá Học Nâng Cao và HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành
cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III.Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu
tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí