Một phòng họp có 320 ghế ngồi (loại ghế một người ngồi) được xếp thành nhiều hàng ghế và số lượng ghế ở mỗi hàng là như nhau. Người ta tổ chức một buổi hội thảo dành cho 429 người tại ph[r]
Trang 1ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2020 – 2021
Môn học: Toán Thời gian làm bài thi: 120 phút
(Đề thi có 02 trang, học sinh làm bài vào giấy thi)
Bài I (2,0 điểm) Cho haibiểu thức A= √ x +1
x + √ x+1 và B=
√ x
x √ x−1 +
1
√ x−1 với x ≥ 0, x ≠ 1.
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x=4.
2 ¿ Rút gọn biểuthức C= A
B .
3) Tìm các giá trị của x để biểu thức C đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài II (2,5 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Một phòng họp có 320 ghế ngồi (loại ghế một người ngồi) được xếp thành nhiều hàng ghế
và số lượng ghế ở mỗi hàng là như nhau Người ta tổ chức một buổi hội thảo dành cho 429 người tại phòng họp đó nên phải xếp thêm 1 hàng ghế và mỗi hàng ghế phải xếp nhiều hơn số lượng ban đầu 3 ghế Hỏi lúc đầu phòng họp có bao nhiêu hàng ghế và mỗi hàng ghế có bao nhiêu ghế?
Bài III (2,0 điểm)
1) Giải hệ phương trình:
{ √ x−3− 4
y =5
y =−1
a) Tìm giá trị của m để parabol (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt.
Trang 2Bài IV (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O) tại A Lấy điểm M bất kì
trên đường thẳng d (M khác A) Qua điểm M kẻ tiếp tuyến MB với đường tròn (B là tiếp điểm, B
khác A).
1) Chứng minh tứ giác OAMB nội tiếp.
3) Gọi H là trực tâm của tam giác MAB.Tính chu vi tứ giác OAHB theo R.
4) Khi điểm M chuyển động trên đường thẳng d thì điểm H chuyển động trên đường nào?
Bài V (0,5 điểm)
Cho x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x + y=5 Chứng minh rằng:
25
x2+ y2+
12,5
xy ≥ 4.
Hết
Chúc các con làm bài tốt!
Họ và tên học sinh:……….…….Lớp:………
ĐÁP ÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2020 – 2021
Môn học: Toán Thời gian làm bài thi: 120 phút
I
Bài I (2,0 điểm) Cho haibiểu thức A= √ x +1
x + √ x+1 và B=
√ x
x √ x−1 +
1
√ x−1 với x ≥ 0, x ≠ 1.
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x=4.
2 ¿ Rút gọn biểuthức C= A
B .
3) Tìm các giá trị của x để biểu thức C đạt giá trị nhỏ nhất
2,0
Trang 31) Tính giá trị của biểu thức B khi x=4. 0,5
Thay x = 4 (TMĐK) vào A ta được:
A= √ 4+1
3
Vậy khi x=4 thì A= 3
0,25
0,25
2) Rút gọnbiểu thức C= A
C= A
B =
√ x +1
x + √ x+ 1 : ( x √ √ x−1 x +
1
√ x−1 )
¿ √ x +1 x+ √ x +1 :
x+2 √ x+1
( √ x−1)(x+ √ x +1)
¿ √ x +1 x+ √ x +1 :
( √ x−1 )( x + √ x+1 ) ( √ x+1 )2
¿ √ x−1
√ x +1
0,25
0,25
0,25
0,25
3) Tìm các giá trị của x để biểu thức C đạt giá trị nhỏ nhất 0,5
x ≥ 0, x ≠ 1.
C= √ x−1
√ x+1 =1−
2
√ x +1 Tacó C ≥−1.
Dấu bằng xảy ra khi x=0 (TM) Vậy giá trị nhỏ nhất của C là −1 khi x = 0
0,25
0,25
II Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. 2,5
Trang 4Gọi số dãy và số ghế của mỗi dãy trong phòng họp lúc đầu lần lượt là x (dãy), y(ghế) ( x , y ∈ N¿
, x , y< 320)
0,25 0,25
Vì ban đầu phòng họp có 320 ghế nên ta có phương trình: x.y = 320 (1) 0,25 Khi tăng thêm 1 dãy và thêm 3 ghế vào mỗi dãy thì đủ chỗ cho 429 người nên ta có phương trình:
(x+1)(y+3)=429 <=> 3x + y = 106 (2)
0,25
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
{ 3 x + y =106(2) x y=320(1)
0,25
¿> { x (106−3 x )=320 y=106−3 x
0,25
Xét phương trình :
0,25
Giải phương trình này được:
x1= 10
0,25
0,25 Vậy lúc đầu phòng họp có 32 dãy và mỗi dãy có 10 ghế 0,25
1) 3) Gi i h ph ải hệ phương trình: ệ phương trình: ương trình: ng trình:
{ √ x−3− 4
y =5
y =−1
1,0
ĐKXĐ: x ≥ 3 ; y ≠ 0.
Đặt a= √ x−3 ( a≥ 0 ) và 1
y = b , ta có hệ phương trình:
0,25
Giải hệ phương trình ta được { a=1(TM)
b=−1
0,25
Trang 5{ x=4 (TM )
y=−1(TM )
2)
Cho parabol (P): y=x2 và đường thẳng (d): y=3 x−2 m+1trong mặt phẳng tọa độ Oxy
c) Tìm giá tr c a m ị của m để parabol (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm ủa m để parabol (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm để parabol (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm parabol (P) c t ắt đường thẳng (d) tại hai điểm đường thẳng (d) tại hai điểm ng th ng (d) t i hai i m ẳng (d) tại hai điểm ại hai điểm đ ể parabol (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm
phân bi t ệ phương trình:
d) G i x ọi x 1 v x à x 2 l ho nh à x à x độ giao điểm của parabol (P) và đường giao i m c a parabol (P) v đ ể parabol (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm ủa m để parabol (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm à x đường thẳng (d) tại hai điểm ng
th ng (d) Tìm giá tr c a m sao cho ẳng (d) tại hai điểm ị của m để parabol (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm ủa m để parabol (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm | x1| =2 | x2| .
1,0
a) Xét ph ương trình: ng trình ho nh à x độ giao điểm của parabol (P) và đường giao i m c a đ ể parabol (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm ủa m để parabol (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm parabol (P) v à x đường thẳng (d) tại hai điểm ng th ng ẳng (d) tại hai điểm (d):
Parabol (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao
điểm có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
∆=9−4 (2 m−1)=13−8 m>0 hay m< 13
0,25
0,25
b) Khi ó, theo h th c Viet ta có: đ ệ phương trình: ức Viet ta có:
Có | x1| =2 | x2|
¿> x1= ± 2 x2
Xét TH: x1=2 x2
¿> x2=1 và x1=2
¿>2=2 m−1
¿> m= 3
Xét TH : x1=−2 x2
¿> x2=−3 và x1=6
¿>−18=2 m−1
¿> m= −17
0,25
Trang 6Vậy m ∈ { 3 2 ;−
17
IV
Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O) tại A Lấy điểm M bất kì trên đường thẳng d (M khác A) Qua điểm M kẻ tiếp tuyến MB với đường tròn (B là tiếp điểm, B khác A)
1) Chứng minh tứ giác OAMB nội tiếp
2) Gọi I là giao điểm của AB và OM Chứng minh rằng OI.OM = R2 3) Gọi H là trực tâm của tam giác MAB.Tính chu vi tứ giác OAHB theo R
4) Khi điểm M chuyển động trên đường thẳng d thì điểm H chuyển động trên đường nào?
3,0
Vẽ hình đúng
d H
I
B
A
0.25
1) Xét tứ giác OAMB có:
^
MAO+^ MBO=1800.
Mà hai góc này là hai góc đối
=> tứ giác OAMB nội tiếp (DHNB) (ĐPCM)
0,25 0,25 0,25 2) Ta có đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O) tại A => ^ MAO=900 => tam giác OAM vuộng
tại A
Ta có OA = OM (A, M thuộc đường tròn (O)) và MA = MB (tiếp tuyến tại A cắt tiếp tuyến tại B ở M) => OM là trung trực của AB => OM vuộng góc AB tại I => AI là đường cao của tam giác vuộng OAM
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: OI.OM = OA2
Mà OA = R (A thuộc đường tròn (O; R) => OI.OM = R2 (đpcm)
0,25
0,25
0,25 0,25
Trang 73) Ta có AH // OB (vì cùng vuông góc với BM); BH // OA (vì cùng vuông góc với MA)
=> tứ giác OABH là hình bình hành (DHNB)
Mà OH vuông góc với AB
Từ đó ta có hình bình hành OABH là hình thoi (DHNB)
=> OA=AB=BH=HO=R
=> Chu vi tứ giác OABH là 4R
0,25
0,25
4)
Vì tứ giác OABH là hinh thoi nên AH = AO = R
=> H luôn cách điểm A cố định một khoảng bằng R
Do đó, điểm H luôn chuyển động trên đường tròn tâm (A; R) khi M chuyển động trên d 0,25
0,25 V
Cho x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x + y=5. Chứng minh rằng:
25
x2+ y2+
12,5
xy ≥ 4.
0,5
Với a>0, b>0, ta có:
1
a +
1
b ≥
4
a+b (1)
Áp dụng bất đẳng thức (1) ta có:
1
x2
4
¿> 1
x2
4 25
¿> 25
x2
xy ≥ 4
Dấu bằng xảy ra khi x= y =2,5(TM)
0,25
0,25
*Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
Trang 8MA TRẬN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2020 – 2021
Môn học: Toán Thời gian làm bài thi: 120 phút
A Ki n th c: ến thức: ức:
1) Ph n ần đại số: đại số: ố: i s :
Bi n ến đổi biểu thức chứa căn đổi biểu thức chứa căn i bi u th c ch a c n ể parabol (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm ức Viet ta có: ức Viet ta có: ăn.
H m s v à x ố và đồ thị à x đồ thị ị của m để parabol (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm th
Ph ương trình: ng trình v h ph à x ệ phương trình: ương trình: ng trình.
B t ất đẳng thức và cực trị đẳng (d) tại hai điểm ng th c v c c tr ức Viet ta có: à x ực trị ị của m để parabol (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm
2) Ph n hình h c: ần đại số: ọc:
H th c l ệ phương trình: ức Viet ta có: ượng trong tam giác vuông ng trong tam giác vuông.
ng tròn v các y u t liên quan.
Đường thẳng (d) tại hai điểm à x ến đổi biểu thức chứa căn ố và đồ thị.
Hình tr - ụ - hình nón - hình c u ầu.
B K n ng: ĩ năng: ăng:
- K n ng bi n ĩ năng biến đổi biểu thức chứa căn ăn ến đổi biểu thức chứa căn đổi biểu thức chứa căn i bi u th c ch a c n ể parabol (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm ức Viet ta có: ức Viet ta có: ăn.
- K n ng gi i ph ĩ năng biến đổi biểu thức chứa căn ăn ải hệ phương trình: ương trình: ng trình v h ph à x ệ phương trình: ương trình: ng trình
- K n ng gi i b i toán b ng cách l p ph ĩ năng biến đổi biểu thức chứa căn ăn ải hệ phương trình: à x ằng cách lập phương trình hoặc hệ phương ập phương trình hoặc hệ phương ương trình: ng trình ho c h ph ặc hệ phương ệ phương trình: ương trình: ng
trình.
- K n ng gi i b i toán có liên quan ĩ năng biến đổi biểu thức chứa căn ăn ải hệ phương trình: à x đến đổi biểu thức chứa căn n h m s v à x ố và đồ thị à x đồ thị ị của m để parabol (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm th
- K n ng gi i b i toán hình h c có n i dung ch ng minh v tính toán. ĩ năng biến đổi biểu thức chứa căn ăn ải hệ phương trình: à x ọi x ộ giao điểm của parabol (P) và đường ức Viet ta có: à x
C Thái độ
- Nghiêm túc khi l m b i ki m tra. à x à x ể parabol (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm
MA TRẬN ĐỀ THI
Cấp độ
Tên
chủ đề
Cấp độ thấp Cấp độ cao Biến đổi biểu thức
chứa căn
Tính giá trị của biểu thức
Rút gọn biểu thức chứa căn
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Số câu
Số điểm
Số câu 1
Số điểm 0,5
Số câu 1
Số điểm 1
Số câu 1
Số điểm 0,5
Số câu
Số điểm
Số câu 3
2 điểm
Trang 9Tỉ lệ % (5%) (10%) (5%) (20%)
Phương trình và hệ
phương trình
Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc lập hệ phương trình
Giải hệ phương trình quy về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Số câu
Số điểm
Tỉ lệ %
Số câu
Số điểm
Số câu 1
Số điểm 2,5 (25%)
Số câu 1
Số điểm 1 (10%)
Số câu
Số điểm
Số câu 2 3,5 điểm (35%)
m để parabol (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt
Tìm giá trị của m sao cho |x1| = 2|x2| với x1 và x2 là hoành độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d)
Số câu
Số điểm
Tỉ lệ %
Số câu
Số điểm
Số câu 1
Số điểm 0,5 (5%)
Số câu 1
Số điểm 0,5 (5%)
Số câu
Số điểm
Số câu 2
1 điểm (10%)
Đường tròn và các
yếu tố liên quan
Vẽ hình và chứng minh tứ giác nội tiếp
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và các yếu tố liên quan đến đường tròn để chứng minh hệ thức và tính chu vi tứ giác
Bài toán có yếu tố quỹ tích
Số câu
Số điểm
Tỉ lệ %
Số câu 1
Số điểm 1 (10%)
Số câu 2
Số điểm 1,5 (15%)
Số câu
Số điểm
Số câu 1
Số điểm 0,5 (5%)
Số câu 4 3,0 điểm (30%)
bất đẳng thức
Số câu
Số điểm Tỉ lệ %
Số câu
Số điểm
Số câu
Số điểm
Số câu
Số điểm
Số câu 1
Số điểm 0,5 (5%)
Số câu 1 0,5 điểm (5%)
Trang 10Tổng số câu
Tổng số điểm
Tỉ lệ %
Số câu 2
Số điểm 1,5 (15%)
Số câu 5
Số điểm 5,5 (55%)
Số câu 3
Số điểm 2,0 (20%)
Số câu 2
Số điểm 1,0 (10%)
Số câu 12
Số điểm 10
10 điểm=100%