Phương pháp đổi biến và phương pháp giảm biến trong chứng minh bất đẳng thức

Đại học Đà NẵngTrường Đại học sư phạmNguyễn Đức Tuấn Phương pháp đổi biến và phương pháp giảm biến trong chứng minh bất đẳng thức Luận văn Thạc sĩ Khoa họcChuyên ngành: Phương pháp Toán

Đại học Đà NẵngTrường Đại học sư phạm

Nguyễn Đức Tuấn

Phương pháp đổi biến và phương pháp giảm biến trong chứng minh bất đẳng thức

Luận văn Thạc sĩ Khoa họcChuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Đà Nẵng, Năm 2020

Đại học Đà NẵngTrường Đại học sư phạm

Nguyễn Đức Tuấn

Phương pháp đổi biến và phương pháp giảm biến trong chứng minh bất đẳng thức

Luận văn Thạc sĩ Khoa họcChuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8.46.01.13

Cán bộ hướng dẫn khoa họcPGS TS Trần Văn Ân

Đà Nẵng, Năm 2020

Danh sách Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ khoa học (Theo Quyết định số 627/QĐ-ĐHSP ngày 04 tháng 5 năm 2020

của Hiệu trưởng Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng)

Học hàm, học vị, Họ và tên Cơ quan công tác Chức danh trong Hội đồng

Xác của nhận của Người hướng dẫn

Học viên đã chỉnh sửa Luận văn theo ý kiến của Hội đồng chấm Luận văn

Ngày 05 tháng 6 năm 2020

PGS.TS Trần Văn Ân

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các kết quảtrong luận văn được sử dụng và trích dẫn chính xác, rõ ràng

Đà Nẵng, ngày 05 tháng 6 năm 2020

Người cam đoan

Nguyễn Đức Tuấn

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵngdưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS Trần Văn Ân Tác giảxin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến Thầy Nhân dịp này tác giả xin chânthành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, Phòng đào tạo Đại học-Sau đại học,quý thầy, cô giáo trong khoa khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm, Đại học

Đà Nẵng đã giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.Cuối cùng xin cảm ơn, gia đình, cơ quan, các đồng nghiệp, bạn bè đặc biệt làcác học viên cao học khóa 36 Phương pháp Toán sơ cấp tại Trường Đại học Sưphạm, Đại học Đà Nẵng đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thànhnhiệm vụ trong suốt quá trình học tập

Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những sai sót.Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quí Thầy Cô và bạn

đọc để luận văn được hoàn thiện

Đà Nẵng, ngày 05 tháng 6 năm 2020

Học viênNguyễn Đức Tuấn

TRANG THÔNG TIN LUẬN VĂN THẠC SĨ Tên đề tài: Phương pháp đổi biến và phương pháp giảm biến trong chứng minh bất đẳng thức

Ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Họ và tên học viên: Nguyễn Đức Tuấn

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Trần Văn Ân

Cơ sở đào tạo: Trường ĐHSP- Đại học Đà Nẵng

Tóm tắt:

Luận văn “Phương pháp đổi biến và phương pháp giảm biến trong chứng minh bất đẳng thức” đã đạt được mục đích và nhiệm vụ đề ra, cụ thể luận văn đã đạt được các vấn đề sau:

1) Phân tích được các trường hợp sử dụng phương pháp đổi biến trong chứng minh bất đẳng thức, trong đó chúng tôi đã đi sâu phân tích phép thế Ravi, phép thế đại số, phép thế lượng giác Đối với các phép thế nêu trên, chúng tôi đã làm rõ được từng trường hợp cụ thể và cách đổi biến tương ứng Mỗi trường hợp đều có ví dụ minh họa Đặc biệt đối với phép thế Ravi, chúng tôi đã tổng quát hóa các trường hợp

có thể xảy ra

2) Phân tích được các trường hợp sử dụng phương pháp giảm biến trong chứng minh bất đẳng thức Đây là một phương pháp mới và khó nhưng hầu như chưa được đưa vào chương trình giáo dục phổ thông Với phương pháp này, chúng tôi đã đi sâu phân tích các cách giảm biến gồm: Giảm biến theo trung bình cộng, giảm biến theo trung bình nhân, chuẩn hóa và giảm biến, đưa về một biến; đối với từng trường hợp đều có các ví dụ minh họa

3) Phân chia bất đẳng thức thành 4 dạng cơ bản: Bất đẳng thuần nhất, bất đẳng không thuần nhất, bất đẳng thức về độ dài ba cạnh của một tam giác, bất đẳng thức có điều kiện Trong mỗi loại bất đẳng thức nêu trên, chúng tôi đều làm rõ khái niệm và nhắc lại một số kiến thức có liên quan sau đó áp dụng Phương pháp đổi biến và phương pháp giảm biến để chứng minh một số ví dụ về từng dạng bất thức nêu trên

Tuy nhiên, phương pháp giảm biến mới chỉ xét đến trường hợp giảm biến về hai biến bằng nhau và lấy ví dụ đối với bất đẳng thức 3 biến Vì vậy, hướng phát triển của luận văn là tiếp tục nghiên cứu về các trường hợp giảm biến ra biên và mở rộng việc áp dụng các phương pháp này cho các dạng bất đẳng nhiều hơn 3 biến

Từ khóa: Đổi biến, giảm biến, dồn biến, phép thế

Cán bộ hướng dẫn xác nhận

PGS TS Trần Văn Ân

Học viên

Nguyễn Đức Tuấn

INFORMATION PAGE OF MASTER THESIS

Name of thesis: Equation infinitive solution

Major: Elementary Mathematics Methods

Full name of Master student: Nguyen Duc Tuan

Supervisors: PGS TS Tran Van An

Training institution: The University of Education-University of Da Nang

Abstract:

The thesis "The method of changing variables and the method of reducing variables in proving the inequality" has achieved the objectives and tasks, specifically, the thesis has achieved the following issues:

1) Analyze the cases of using the variable method in proving the inequality, in which we have in-depth analysis of the change of the Ravi variable, algebraic change, trigonometric change For the above changes, we have clarified each specific case and how to change the corresponding variable Each case has an example Especially for the Ravi modification, we have generalized the possible cases

2) Analyze the cases using the method of reducing variables in the proof of inequality This is a new and difficult method, but has not been included in the general education curriculum yet With this method, we have deeply analyzed the ways of reducing variables including: Decreasing the variable by the average, reducing the variable by the mean, normalizing and reducing the variable, bringing about a variable; For each case, there are illustrative examples

3) Divide the inequality into 4 basic forms: homogeneous inequalities, inhomogeneous inequalities, inequalities of the three sides of a triangle, and conditional inequalities In each of the above inequalities, we clarify the concept and recall some relevant knowledge then apply the Variable method and the variable reduction method to prove some examples of each unconscious form above

However, the method of reducing variables only considers the case of reducing the variables to two equal variables and taking the example of the 3 variable inequality Therefore, the development direction of the thesis is to continue researching the cases of reducing variables to the boundary and extending the application of these methods to the inequalities form more than 3 variables

Keywords: Change variables, reduce variables, multiply variables, surrogates

Mục Lục

Trang

1.1 Sử dụng phép thế Ravi 1

1.2 Sử dụng phép thế lượng giác 9

1.3 Sử dụng phép thế đại số 14

Chương 2 Phương pháp giảm biến 21 2.1 Giảm biến theo trung bình cộng 21

2.2 Giảm biến theo trung bình nhân 25

2.3 Chuẩn hóa và giảm biến 29

2.4 Đưa về một biến 33

Chương 3 Sử dụng phương pháp đổi biến và phương pháp giảm biến chứng minh một số dạng bất đẳng thức thường gặp 38 3.1 Bất đẳng thức thuần nhất 38

3.2 Bất đẳng thức không thuần nhất 41

3.3 Bất đẳng thức về ba cạnh của tam giác 44

3.4 Bất đẳng thức có điều kiện 49

Danh mục các kí hiệu và chữ viết tắt

R :Tập hợp các số thực

[a, b] :Đoạn[a, b],hay tập hợp {x ∈ R|a ≤ x ≤ b};

[a, b) :Nửa khoảng [a, b),hay tập hợp{x ∈ R : a ≤ x < b};

(a, b] :Nửa khoảng (a, b],hay tập hợp{x ∈ R : a < x ≤ b};

BĐT :Bất đẳng thức;

AM-GM :Bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân;CBS :Bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là một bộ môn khoa học rất trừu tượng, được suy luận một cáchlôgic và là nền tảng cho việc nghiên cứu các bộ môn khoa học khác Toánhọc còn là một môn học có ý nghĩa đặc biệt với học sinh phổ thông Nó giúphọc sinh phát triển tư duy lôgic, phát triển năng lực trí tuệ và hình thànhcác phẩm chất đạo đức, hơn nữa môn Toán là một môn học công cụ nên việchọc tốt môn Toán sẽ giúp học sinh học tốt các môn học khác Tuy nhiên, mônToán cũng là môn học mang tính trừu tượng cao nên học sinh thường gặp khókhăn khi học Toán, song không vì vậy mà Toán học thiếu đi sự hấp dẫn đốivới người học Một trong những khối kiến thức rất quan trọng trong Toán học

và hấp dẫn với học sinh giỏi là chủ đề Bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, giá trịnhỏ nhất Nhưng đây cũng là phần rất khó của bộ môn Toán Bất đẳng thức

là một vấn đề cổ điển của Toán học sơ cấp nhưng ngày càng được quan tâm vàphát triển,đây cũng là một phần toán học sơ cấp đẹp và thú vị nhất vì thế nóluôn cuốn hút rất nhiều sự quan tâm của học sinh, đặc biệt là học sinh giỏi,học sinh có năng khiếu học Toán Điểm đặc biệt, ấn tượng nhất của bất đẳngthức trong toán sơ cấp đó là có rất nhiều bài toán hay và khó, thậm chí là rấtkhó Tuy nhiên, cái khó ở đây không nằm ở gánh nặng về lượng kiến thức mà

ở yêu cầu óc quan sát, sự tinh tế, sức sáng tạo và kinh nghiệm của người học.Vì thế người học luôn có thể giải được bằng những kiến thức rất cơ bản vàviệc hoàn thành được những chứng minh như vậy là một niềm vui thực sự.Trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán thì bài toán bất đẳng thức,giá trị nhỏ nhất, lớn nhất là một bài toán có khả năng rèn luyện cho học sinh

óc phán đoán và tư duy lôgic, song phần lớn học sinh thường gặp khó khănkhi giải quyết dạng toán này Đối với học sinh phổ thông, việc chứng minhmột bất đẳng thức thường có rất ít công cụ, học sinh chủ yếu sử dụng địnhnghĩa, biến đổi tương đương hoặc sử dụng các bất đẳng thức cổ điển để chứngminh Tuy nhiên, việc sử dụng các bất đẳng thức cổ điển để chứng minh bất

đẳng thức yêu cầu học sinh phải biết cách biến đổi một cách hợp lý, thậm chí

là phải rất tinh tế Vì vậy, nếu các em có cái nhìn tổng quan và lôgic thì bằngviệc đổi biến hoặc giảm biến thích hợp lại là cách làm hữu hiệu và thiết thựcnhằm tìm ra các cách chứng minh hay và đầy bất ngờ Vì vậy chúng tôi chọn

đề tài “Phương pháp đổi biến và phương pháp giảm biến trong chứngminh bất đẳng thức” để làm đề tài luận văn tốt nghiệp, với hy vọng đề tàinày sẽ giúp các em có thêm nhãn quan, thêm một cách tiếp cận hay một công

cụ hữu hiệu khi đứng trước những bài chứng minh bất đẳng thức

2 Mục tiêu nghiên cứu

Nhằm cung cấp cho học sinh, đồng nghiệp có cái nhìn tổng quan hơn vềphương pháp đổi biến, phương pháp giảm biến và vận dụng linh hoạt cácphương pháp này trong bài toán chứng minh bất đẳng thức

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu Bất đẳng thức, phương pháp đổi biến vàphương pháp giảm biến trong bài toán chứng minh bất đẳng thức

3.2 Phạm vi nghiên cứu.Nghiên cứu các phương pháp đổi biến, phươngpháp giảm biến và áp dụng vào bài toán chứng minh bất đẳng thức trongchương trình giảng dạy bộ môn Toán ở trường THCS và THPT

4 Phương pháp nghiên cứu

- Dùng các phương pháp nghiên cứu trong Đại số, Giải tích, Hình học,

- Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến việc chứng minh bất đẳng thứctrong các sách tham khảo, trên mạng internet Sử dụng những kiến thức đã

được học tại Khoa Toán, Trường ĐHSP Đà Nẵng, chọn lọc và sắp xếp nhữngkiến thức phù hợp đưa vào luận văn; phân tích, phát triển và đưa ra các dạngtoán cũng như phương pháp chứng minh phù hợp

5.ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài nhằm mang lại cách nhìn tổng quan hơn về phương pháp đổi biến

và phương pháp giảm biến trong bài toán chứng minh bất đẳng, thức giúpcác em học sinh THCS, THPT có thêm nhãn quan khi giải những bài toánchứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp này Nó là tài liệu tham khảohữu ích cho giáo viên và học sinh trong việc nâng cao chất lượng dạy và họctại trường THCS, THPT

6 Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm 3 chương

Chương 1 Phương pháp đổi biến Trong chương này, chúng tôi trình bàymột số phương pháp đổi biến số và các ví dụ minh họa Mục 1 chúng tôi giớithiệu phương pháp sử dụng phép thế Ravi và một số ví dụ minh họa Mục

2 giới thiệu phương pháp sử dụng phép thế lượng giác và một số ví dụ minhhọa Mục 3 trình bày phương pháp sử dụng phép thế đại số và một số ví dụminh họa

Chương 2.Phương pháp giảm biến Trong chương này, chúng tôi trình bàymột số phương pháp giảm biến và các ví dụ minh họa Mục 1 chúng tôi trìnhbày phương pháp giảm biến theo trung bình cộng và một số ví dụ minh họa.Mục 2 chúng tôi trình bày phương pháp giảm biến theo trung bình nhân vàmột số ví dụ minh họa Mục 3 chúng tôi trình bày phương pháp chuẩn hóa

và giảm biến theo trung bình cộng và một số ví dụ minh họa Mục 4 chúngtôi trình bày phương pháp chuẩn hóa và giảm biến theo trung bình nhân vàmột số ví dụ minh họa Mục 5 chúng tôi trình bày phương pháp đưa về mộtbiến và một số ví dụ minh họa

Chương 3 áp dụng phương pháp đổi biến và phương pháp giảm biến đểchứng minh một số dạng bất đẳng thức thường gặp Trong chương này, mục

1 chúng tôi sử dụng phương pháp đổi biến và phương pháp giảm biến chứngminh một số bất đẳng thức thuần nhất Mục 2 trình bày việc sử dụng phươngpháp đổi biến và phương pháp giảm biến chứng minh một số bất đẳng thứckhông thuần nhất Mục 3 trình bày việc sử dụng phương pháp đổi biến vàphương pháp giảm biến chứng minh một số bất đẳng thức về ba cạnh củatam giác Mục 4 trình bày việc sử dụng phương pháp đổi biến và phươngpháp giảm biến chứng minh một số bất đẳng thức có điều kiện

Đà Nẵng, ngày 28 tháng 02 năm 2020

Học viênNguyễn Đức Tuấn

chương 1

Phương pháp đổi biếnPhần này chúng tôi trình bày một số phương pháp đổi biến số và các ví

dụ minh họa

1.1 Sử dụng phép thế Ravi

Trong mục này chúng tôi giới thiệu về phép thế Ravi, cách áp dụng và một

số ví dụ minh họa Các nội dung này được tham khảo trong các tài liệu ([1],[4])

Cách đặt ẩn phụ như trên được gọi làphép thế Ravi(tên nhà toán học ngườiCanada)

Trong mục này, chúng ta nghiên cứu phép thế Ravi trong một số trườnghợp sau:

Trường hợp 1.Khi mà n = mtrong công thức (1.1), nghĩa là phép đặt ẩnphụ có dạng

k m m

m m k

= 2m3+ k3 − 3km 2 = (m − k)2.(2m + k);

D1 =

a m m

b k m

c m k

= a + bn2+ cm2− cn − bm − anm;

D2 =

1 a n

n b m

m c 1

= b + cn2+ am2− an − cm − bnm;

D3 =

... 15

Trường hợp Khi màk = mtrong công thức (1.1), nghĩa phép đặt ẩnphụ có dạng

m m n