để đội thứ hai làm riêng một mình hoàn thành xong công việc là 4 0 (ngày). Số mét khối nước đựng được của bồn chính là thể tích của bồn chứa.. Một đội xe vận tải được phân công chở 112[r]
Trang 1TRƯỜNG THCS VĂN ĐỨC ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT NĂM 2021
MÔN TOÁN
(Thời gian làm bài: 120 phút)
ĐỀ 1
Câu I
1) Giải phương trình 2
2) Giải hệ phương trình: 3 3
− =
+ =
x y
x y
Câu II
5 1
−
x B
, (với x 0 ;x 9 )
Rút gọn biểu thức và tìm tất cả các giá trị nguyên của x để 1
2
Câu III
Trong mặt phẳng tọa độ O x y cho parabol ( )P có phương trình 1 2
2
=
y x và đường thẳng ( )d có phương trình y = −m x + 3 − m (với m là tham số)
1) Tìm tọa độ điểm M thuộc parabol ( )P , biết điểm M có hoành độ bằng 4
2) Chứng minh đường thẳng ( )d luôn cắt parabol ( )P tại hai điểm phân biệt Gọi x1,x2 lần lượt là hoành
độ của hai điểm A B, Tìm m để 2 2
Câu IV
1) Cho nửa đường tròn (O R; ) đường kính A B Trên cùng nửa mặt phẳng bờ A B chứa nửa đường tròn
(O R; ) vẽ các tiếp tuyến A x B y, với nửa đường tròn đó Gọi M là một điểm bất kì trên nửa đường tròn
(O R; ) (với M khác A , M khác B), tiếp tuyến của nửa đường tròn tại M cắt A x B y, lần lượt tại C và
D
a) Chứng minh tứ giác A C M O nội tiếp
b) Chứng minh tam giác C O D vuông tại O
A C B D R b) Kẻ M N ⊥ A B,(N A B); B C cắt M N tại I Chứng minh I là trung điểm của M N
Câu V
Cho a , b , c là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện a b c = 1
Trang 2Chứng minh 1 1 1 1
ĐÁP ÁN Câu I
Ta có a + b + c = + − 1 ( 5)+ 4 = 0 x1 = 1;x2 = 4
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 1; 4
x y
Câu II
5 1
5 1
+
−
−
A
5 1 9 5 5 1 7 5
B
.
3
+
−
4 3
− −
x B
1
0 ; *
2 3
+
−
x x
Vì 1 + x 0 nên ( )* 3 − x 0 x 3 0 x 9
Vì x x1; 2 ; 3; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8
Câu III
2
2) Phương trình hoành độ giao điểm của ( )d và ( )P là 1 2
3 2
2
2
= −m − m − = m − m + = m − + m
Suy ra đường thẳng ( )d luôn cắt parabol ( )P tại hai điểm phân biệt
Trang 3Ta có hệ thức Vi-ét 1 2
2
+ = −
x
x x
m
x + x = x x + − m = m − +
2
m − m + = m − = m − = m = t h o a − m a n
Vậy m = 1
Câu IV
a) Chứng minh tứ giác A C M O nội tiếp
9 0
⊥
O A C
O A A C
O M C M O M C
Xét tứ giác A C M O có tổng hai góc ở vị trí đối nhau O A C + O M C = 9 0 + 9 0 = 1 8 0
Suy ra tứ giác A C M O nội tiếp
b) Chứng minh tam giác C O D vuông tại O
Tương tự ý a) ta cũng chứng minh được tứ giác B D M O nội tiếp
Ta có A M B = 9 0 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra tam giác A B M vuông tại B
Suy ra O A M +O B M = 9 0
Lại có O A M = M C O (cùng chắn cung M O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác A C M O )
=
O D M O B M (cùng chắn cung M O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác B D M O )
9 0
D C O O D C M C O O D M O A M O B M C O D vuông tại O
A C B D R
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có
=
=
D
A
C M C
Tam giác C O D vuông tại O có đường cao O M
M C M D O M A C B D R Đpcm
d) Kẻ M N ⊥ A B,(N A B); B C cắt M N tại I Chứng minh I là trung điểm của M N
Trang 4Kẻ BM cắt Ax tại E
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có CO là đường phân giác trong của tam giác cân ACM Suy ra
OC vừa phân giác vừa là đường cao của tam giác ACM
Suy ra O C ⊥ A M , mà E B ⊥ A M O C //E B
Lại có O là trung điểm của AB suy ra OC là đường trung bình tam giác ABE
Suy ra C là trung điểm của AE
Ta có AE //M N (vì cùng vuông góc với AB)
Áp dụng hệ quả định lý Ta Lét vào tam giác ABE ta có B A = AE
B N N M
Áp dụng hệ quả định lý Ta Lét vào tam giác ABC ta có B A = A C
B N N I
2
là trung điểm của M N
Câu V
( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2)
b+ c + + a + c + + a + b + a + b + c +
a b+ b c+ c a + a + b+ c + a b c + a b + b c + c a + a + b + c +
a b+ b c + c a + a + b + c + + a b + b c + c a + a + b + c +
3
a b+ b c + c a
Thật vậy áp dụng bất đẳng thức CauChy cho 3 số dương ta có ( )2
3
a b+ b c + c a a b c Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1
ĐỀ 2
Bài I: Cho hai biểu thức 4( 1)
2 5
+
=
−
x A
x
B
với x 0 ;x 2 5
1) Tìm giá trị của biểu thức A khi x = 9
2) Rút gọn biểu thức B
3) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức P = A B. đạt giá trị nguyên lớn nhât
Bài II
1) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình :
Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì sau 1 5 ngày làm xong Nếu đội thứ nhất làm riêng
trong 3 ngày rồi dừng lại và đội thứ hai làm tiếp công việc đó trong 5 ngày thì cả hai đội hoàn thành
được 2 5 % công việc Hỏi mỗi đội làm riêng thì bao nhiêu ngày mới hoàn thành xong công việc trên?
2) Một bồn nước inox có dạng một hình trụ với chiều cao 1 7 5, m và diện tích đáy là 2
0 3 2, m Hỏi bồn nước này đựng đầy được bao nhiêu mét khối nước ? (Bỏ qua bề dày của bồn nước)
Trang 5Bài III
1) Giải phương trình: 4 2
2) Trong mặt phẳng tọa độ O x y, cho đường thẳng 2
(d) :y = 2m x −m + 1 và parabol 2
(P) :y = x
a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
b) Tìm tất cả giá trị của m để (d)cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1,x2
thỏa mãn 1 2 1 2
1
−
Bài IV
Cho tam giác A B C có ba góc nhọn (A B A C ) nội tiếp đường tròn ( )O Hai đường cao B E và
C F của tam giác A B C cắt nhau tại điểm H
1) Chứng minh bốn điểm B , C , E , F cùng thuộc một đường tròn
2) Chứng minh đường thẳng O A vuông góc với đường thẳng E F
3) Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng B C Đường thẳng A O cắt đường thẳng B C tại điểm I ,
đường thẳng E F cắt đường thẳng A H tại điểm P Chứng minh tam giác A P E đồng dạng với tam giác
A IB và đường thẳng K H song song với đường thẳng I P
Bài V
P = a + b − a b với a b, là các số thực thỏa mãn 2 2
3
a + b + a b = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P
ĐÁP ÁN Bài 1
1) Với x = 9
Thay vào A ta có : 4( 1) 4( 9 1) 4 3( 1)
1
x A
x
2) Rút gọn biểu thức B
Với x 0, x 2 5, ta có
:
B
:
B
: 5
=
−
B
x
: 5
=
−
B
x
Trang 6
( ) ( )
1
+
B
x
1
1
=
+
B
x
3) Tìm tất cả giá trị nguyên của x để biểu thức P = A B. đạt giá giá trị nguyên lớn nhất
.
+
x
P A B
Để P nhận giá trị nguyên khi x thì 4 (2 5 − x) hay 2 5 − xU( )4 = − 4 ; − 2 ; − 1; 1; 2 ; 4
Khi đó, ta có bảng giá trị sau:
.
=
Đánh giá Thỏa
mãn
Thỏa mãn
Thỏa mãn
Thỏa mãn
Thỏa mãn
Thỏa mãn
Do P đạt giá trị nguyên lớn nhất nên ta có P = 4 Khi đó giá trị cần tìm của x là x = 2 4
Bài II
1) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình :
- Gọi thời gian để đội thứ nhất và đội thứ hai làm riêng một mình hoàn thành xong công việc lần lượt là x
và y (x 1 5, y 1 5 ), đơn vị (ngày)
Một ngày đội thứ nhất làm được 1
x
(công việc)
Một ngày đội thứ hai làm được 1
y
(công việc)
-Vì hai đội cùng làm trong 1 5 ngày thì hoàn thành xong công việc Như vậy trong một ngày cả hai đội
làm được 1
1 5
(công việc) Suy ra, ta có phương trình : 1 1 1
1 5
+ = (1)
-Ba ngày đội đội thứ nhất làm được 3
x
(công việc)
-Năm ngày đội thứ hai làm được 5
y
(công việc)
-Vì đội thứ nhất làm trong 3 ngày rồi dừng lại đội thứ hai làm tiếp trong 5 ngày thì cả hai đội hoàn
thành xong 2 5 1
4
% = (công việc) Suy ra, ta có phương trình : 3 5 1
4
-Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :
2 4
4 0 4
x
y y
=
=
(TMĐK)
-Vậy thời gian để đội thứ nhất làm riêng một mình hoàn thành xong công việc là 2 4 (ngày) và thời gian
để đội thứ hai làm riêng một mình hoàn thành xong công việc là 4 0 (ngày)
2 Số mét khối nước đựng được của bồn chính là thể tích của bồn chứa Như vậy số mét khối đựng được
0 3 2 1 7 5 0 5 6
V = , , = , m
Trang 7Bài III
1) Đặt 2( ) ( )
0 *
t = x t
*Phương trình ( )1 trở thành : 2 ( )
7 1 8 0 2
t − t− =
7 4 1 1 8 1 2 1 1 1 1 1
Suy ra :Phương trình ( )2 có hai nghiệm phân biệt là:
1
7 1 1
9 / 2
2
Thay t = 9 vào ( )* ta có : 2
x = x =
Vậy nghiệm của phương trình là : x = 3
2) Trong mặt phẳng tọa độ O x y, cho đường thẳng 2
(d) :y = 2m x−m + 1 và parabol 2
(P) :y = x
a) Xét phương trình hoành độ giao điểm 2 2 ( )
Để (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình ( )1 có hai nghiệm phân biệt với m
Ta có :
( )2 ' '
1 0
0
=
= −
a
1 1 1 0 ,
= m − m − = m −m + = m
Vậy (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
b) Tìm tất cả giá trị của m để (d)cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1,x2 thỏa mãn
( )
1 2
−
Hai nghiệm của phương trình : x1 = m − 1;x2 = m + 1
+ = + x x = x x x + x = − + x x
Thay x1 = m − 1;x2 = m + 1 vào biểu thức x1+ x2 = − + 2 x x1 2 ta có :
- 1 + + = 1 -2 + - 1 + 1 - 1 - 2 = 2
2
m − m − = m − m + =
( )
3
3 0
1
1 0
=
− =
= − + =
m m
m
Kết Luận : Với m = 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán
Bài IV
Trang 81) Chứng minh bốn điểmB , C , E , F cùng thuộc một đường tròn
Xét tứ giác B C E F ta có :
9 0
=
B E C (B E là đường cao)
9 0
=
B F C (C F là đường cao)
B C E F là tứ giác nội tiếp (đỉnh E , F cùng nhìn cạnh B C dưới một góc vuông)
2) Chứng minh đường thẳng O A vuông góc với đường thẳng E F.
Vẽ tiếp tuyến A x như hình vẽ B A F = A C B (tính chất giữa đường tiếp tuyến và dây cung)
Do tứ giác B C E F nội tiếp A F E = A C B.
Ta suy ra B A F = A F E E F / /A x (do hai góc so le trong)
Lại có A x ⊥ O A O A ⊥ E F (đpcm)
3) Chứng minh A P E∽ A B I
Ta có : A E B = A B I ( Vì A E B + E F C = A B I +E F C = 1 8 0 )
Mặt khác A P E +P A I = 9 0 (vì A I ⊥ P E )
9 0
A I B + P A I = ( Vì A H ⊥ B C ) A P E = A I B
Vậy A P E ∽ A B I ( g-g)
* Chứng minh K H / /P I
Gọi M là giao điểm của A O và E F , dung đường kính A S
Ta có B E / /C S cùng vuông góc A C
/ /
B S C F cùng vuông góc A B
B H C S
là hình bình hành nên H ,K,S thẳng hàng
Ta có A E A C = A H A D. và A E A C = A M A S.
A H A D. A M A S. A H A M A H M A S D A H M A S D
A S A D
H M S D
Nội tiếp đường tròn
Kết hợp P M ID nội tiếp đường tròn P I M = P D M = H S M H S/ /P I
Bài V
D
S I P
K H
E
F
O
A
Trang 9Ta có 2 2 2 2
a +b + a b = a +b = − a b thay vào P ta được
2
P = a +b −a b = a +b − a b −a b ( )2 2 2
3 a b 2a b a b
2 2
9 7 a b a b
a b a b
2
7 8 5
a b
= − + +
Vì 2 2
3
a +b a +b − a b − a b − a b a b − ( )1
a −b a + b a b − a b a b a b ( )2
2
a b
+
2
a b
− − + −
2
a b
− + − + + − +
2
7 8 5
a b
− + +
Vậy M a x P = 2 1 Dấu = xảy ra khi
3 6
a b
= −
+ =
v
M i nP = 1 Dấu = xảy ra khi
1 2
a b
=
+ =
1 1
=
=
a b
1
= −
= −
a b
Đề 3
Câu 1
a) Rút gọn các biểu thức sau: A = 5 0 − 1 8
b) Giải hệ phương trình: 3 5
Câu 2
a) Tìm các giá trị của a và b để đường thẳng ( )d : y = a x + b đi qua hai điểm M 1; 5( ) và N (2 ; 8)
b) Cho phương trình 2
x − 6 x + m − 3 = 0 (m là tham số) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x , x1 2 thỏa mãn ( ) ( 2 )
x − 1 x − 5 x + m − 4 = 2
Câu 3 Một đội xe vận tải được phân công chở 112 tấn hàng Trước giờ khởi hành có 2 xe phải đi làm
nhiệm vụ khác nên mỗi xe còn lại phải chở thêm 1 tấn hàng so với dự tính Tính số xe ban đầu của đội xe, biết rằng mỗi xe đều chở khối lượng hàng như nhau
Câu 4 Cho đường tròn tâm O và điểm M nằm ngoài đường tròn đó Qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB
với đường tròn (A, B là tiếp điểm) Đường thẳng (d) thay đổi đi qua M, không đi qua O và luôn cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt C và D (C nằm giữa M và D)
a) Chứng minh AMBO là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh M C M D = M A 2
c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác O C D luôn đi qua điểm cố định khác O
Trang 10Câu 5 Cho hai số thực dương a b, thỏa mãn: a + b + 3a b = 1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức = 6 − 2 − 2
+
a b
ĐÁP ÁN Câu 1
a) A = 2 5 2 − 9 2 = 2 5 2 − 9 2
= 5 2 −3 2 = 2 2
Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( ;x y) = ( 2 ;1)
Câu 2:
a) Do đường thẳng (d) qua điểm M 1; 5( ) nên ta có: a + b = 5
(d) qua điểm N(2 ; 8) ta có: 2 a + b = 8
a, b là nghiệm của hệ a b 5
2 a b 8
+ =
+ =
a 3
b 2
=
=
b) Ta có = ' 1 2− m
Để phương trình có nghiệm phân biệt thì ' 0 m 1 2
Theo định lí Viet ta có 1 2
.
x x m 3
+ =
= −
Vì x2 là nghiệm phương trình 2
x − 6 x + m − 3 = 0 nên
x − 6 x + m − 3 = 0 x − 5 x + m − 4 = x − 1
x − 1 x − 5 x + m − 4 = 2 ( x 1 − 1 ) ( x 2 − 1 ) = 2 x x1 2 − ( x1+ x )2 − = 1 0
m 3 6 1 0 m 1 0
Câu 3:
Gọi x là số xe ban đầu, với x Z ; x 2, theo dự kiến mỗi xe phải chở 1 1 2
x
(tấn)
Khi khởi hành số xe còn lại x − 2 và mỗi xe phải chở 1 1 2
x − 2 (tấn)
Theo bài toán ta có phương trình: 1 1 2 1 1 2 1
−
1 1 2 ( x 2 ) 1 1 2 x x ( x 2 ) x 2 x 2 2 4 0
x 1 4
=
Đối chiếu điều kiện và kết luận số xe ban đầu là 16 (xe)
Trang 11Câu 4
a) Theo tính chất tiếp tuyến có 0
9 0
=
M A O
0
9 0
=
M B O suy ra tứ giác AMBO nội tiếp đường tròn (đpcm)
b) Xét MCA và MAD có góc M chung,
có M A C = M D A (cùng bằng 1
2
sđ A C) Suy ra MCA và MAD đồng dạng
Suy raM C M A
= (đpcm)
2
M C M D M A
c) Gọi H là giao điểm OM và AB suy ra H cố định
Xét trong tam giác M A O vuông tại A có đường cao A H suy ra có 2
M H M O M A
M C M D = M A nên có M H M O = M C M D
Từ đó có M C M H
= và góc M chung M C H và M O D đồng dạng C H M = M D O nên tứ giác
OHCD nội tiếp đường tròn
Từ đó có đường tròn ngoại tiếp tam giác O C D luôn đi qua điểm H cố định
Câu 5
( a −b) 0 a +b 2a b ( a +b) 4a b;
2
2
+
4
a+ b = − a b − a+ b
3
a +b + a + b − a +b + a +b − a +b (vì a, b 0)
− +
2
+
D C
H O M
A
B
Trang 12( )
9 9
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 7
9
=
a b
a b
a b a b
Đề 4
Câu 1 Rút gọn các biểu thức:
a) A = 7 2 − 8
b)
−
Câu 2
a) Tìm các giá trị của m và n để đường thẳng ( d ) : y = m x + n đi qua hai điểm A (2 ; 7) và B 1; 3( )
b) Cho phương trình 2
x − 4 x + m − 4 = 0 (m là tham số) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x , x1 2 thỏa mãn ( ) ( 2 )
x − 1 x − 3 x + m − 5 = − 2
Câu 3 Một đội xe vận tải được phân công chở 144 tấn hàng Trước giờ khởi hành có 2 xe phải đi làm
nhiệm vụ khác nên mỗi xe còn lại phải chở thêm 1 tấn hàng so với dự tính Tính số xe ban đầu của đội xe, biết rằng mỗi xe đều chở khối lượng hàng như nhau
Câu 4 Cho đường tròn tâm O và điểm M nằm ngoài đường tròn đó Qua M
kẻ các tiếp tuyến ME, MF với đường tròn (E, F là tiếp điểm) Đường thẳng (d) thay đổi đi qua M, không
đi qua O và luôn cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt P và Q (P nằm giữa M và Q)
a) Chứng minh EMFO là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh M P M Q = M E 2
c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác O P Q luôn đi qua điểm cố định khác O
Câu 5 Cho hai số thực dương a b, thỏa mãn a + b + 3a b = 1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 1 2 a b a2 b2
ĐÁP ÁN Câu 1
a) A = 3 6 2 − 4 2 = 3 6 2 − 4 2
= 6 2 − 2 2 = 4 2
a a a 1 a 2 a 1
−
:
=
( )2
1 1
( 1) 1
a a
+
−
1
+
= a
a
Trang 13Câu 2
a) Do đường thẳng (d) qua điểm A (2 ; 7) nên ta có: 2 m + n = 7
(d) qua điểm B 1; 3( ) ta có: m + n = 3
m, n là nghiệm của hệ 2 m n 7
m n 3
+ =
+ =
m 4
=
= −
b) Ta có = ' 8− m
Để phương trình có nghiệm phân biệt thì ' 0 m 8
Theo định lí Viet ta có 1 2
.
x x m 4
+ =
= −
Vì x2 là nghiệm phương trình 2
x − 4 x + m − 4 = 0 nên
x − 4 x + m − 4 = 0 x − 3 x + m − 5 = x − 1
x − 1 x − 3 x + m − 5 = − 2 (x 1 − 1) (x 2 − 1) = − 2 x x1 2 − ( x1+ x )2 + 3 = 0
Câu 3
Gọi x là số xe ban đầu, với x Z ; x 2, theo dự kiến mỗi xe phải chở 1 4 4
x
(tấn)
Khi khởi hành số xe còn lại x − 2 và mỗi xe phải chở 1 4 4
x − 2 (tấn)
Theo bài toán ta có phương trình: 1 4 4
x
1 4 4 1
−
1 4 4 ( x 2 ) 1 4 4 x x ( x 2 ) x 2 x 2 8 8 0
x 1 6
=
Đối chiếu điều kiện và kết luận số xe ban đầu là 18 (xe)
Câu 4
a) Theo tính chất tiếp tuyến có 0
9 0
=
M E O
9 0
=
M F O suy ra tứ giác EMFO nội tiếp đường tròn (đpcm)
b) Xét MPE và MEQ có góc M chung,
K
Q P
O M
(d)
E
F