Chuyên đề 18 hàm số mũ hàm số logarit câu hỏi

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 2y thuộc tập hợp nào dưới đây?. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức logb aloga clogc b bằng Câu 12... Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM

Dạng 1 Tính toán liên quan đến logarit dùng đẳng thức

 Định nghĩa logarit:

Cho hai số thực dương ,a b với 1, log  α

a

 Các tính chất logarit: Cho ba số thực dương , ,a b c với 0a b c, , 1

log log log



 Phương trình mũ cơ bản nhất x   log 0 1; 0

a

 Cách giải phương trình mũ có dạng 2   2

α a α ab α b trong đó α i i 1, 2, 3 là hệ số,

cơ số 0a b, 1

B1: Biến đổi phương trình về dạng:  

2

2       0 *

B2: Đặt ẩn phụ    , 0

x

a

t t

b , phương trình * trở thành α t1 2α t2 α30

B3: Giải tìm t thỏa mãn t0

B4: Giải phương trình mũ cơ bản    

x

a t

b Tìm được x

Câu 1 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn

log xlog ylog 2xy Giá trị của x

y bằng

3 log 2

 

 

  D log 232

Câu 2 (Chuyên Lào Cai - 2020) các số thực a, b, c thỏa mãn 2 2 2

(a2) (b2) (c2) 8 và

2a 3b6c Khi đó a b c  bằng

Câu 3 (Chuyên Thái Nguyên - 2020) Cho 4x 4x 7 Khi đó biểu thức 5 2 2

8 4.2 4.2

a P

b





 

a

b là phân số tối giản và ,a b   Tích a b có giá trị bằng

Câu 4 (Sở Ninh Bình 2019) Cho a , b , c là các số thực khác 0 thỏa mãn 4a9b 6c Khi đó c c

ab

bằng

A 1

1

HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT

Chuyên đề 18

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 5 Biết alog 1030 , blog 15030 và 1 1 1

2000

log 15000  

x a y b z

x a y b z với x1; y ; z ;1 1 x2; y ; z2 2 là các số

nguyên, tính 1

2

 x

S

x

2



3



S D S1

Câu 6 Cho các số thực dương x y, khác 1 và thỏa mãn

log log





Giá trị của x2xyy bằng 2

Câu 7 Cho các số thực dương a, b thỏa mãn loga logblog alog b100 và log a,

log b, log a, log b đều là các số nguyên dương Tính Pab

A 10 164 B 10 100 C 10200 D 10 144

Câu 8 Cho log 59 a; log 74 b; log 32 c.Biết log 17524 





mb nac

pc q .Tính A m 2n3p4q

Câu 9 Cho x, y là các số thực lớn hơn 1 thoả mãn x26y2xy Tính

12

1 log log

2 log 3





M

x y

4



2



3



M

Câu 10 Cho f x alnx x2 1 bsinx6 với a, b  Biết flog log e  2 Tính

log ln10 

Câu 11 Cho 9 + 9 = 14 và x -x

x -x x+1 1-x

6+3(3 +3 ) a

= 2-3 -3 b với

a

b là phân số tối giản Tính Pa b

A P10 B P 45 C P 10 D P45

Câu 12 Cho hai số thực dương a b, thỏa log4alog6blog9a b  Tính a

b

A 1

2



2

 

2

 

Câu 13 Cho các số thực dương x y, thỏa mãn log6xlog9ylog42x2y Tính tỉ số x

y ?

3

x

2

3 1

x

2

3 1

x

3 2

x

y 

Câu 14 Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn log25 log15 log9

2

y

 

 , với a,

b là các số nguyên dương, tính a b

A a b 14 B a b 3 C a b 21 D a b 34

Câu 15 Cho dãy số  u n thỏa mãn log 23 u5632 log4u n8n8,   n * Đặt

S u u  u Tìm số nguyên dương lớn nhất n thỏa mãn 2

2

n n

n n

u S

u S 

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Dạng 2 Bài toán tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất mũ – loagrit (sử dụng phương pháp bất đẳng thức – biến đổi)

 Bất đẳng thức Cauchy (AM – GM)

 a b, 0, thì a b 2 ab Dấu " " xảy ra khi: ab

 a b c, , 0, thì a b c  3.3abc Dấu " " xảy ra khi abc

Nhiều trường hợp đánh giá dạng:

2

2

a b

a b   

  và

3

3

a b c

a b c    

 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (Bunhiaxcôpki)

 a b x y, , , , thì: 2 2 2 2 2

( a x b y ) (a b )(x y ) Dấu " " khi a b

x y

 a, b, c, x, y, z thì: ( a x b y c z )2(a2b2c2)(x2y2z2)

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi: a b c

x y  z

Nhiều trường hợp đánh giá dạng: a x b y   (a2b2)(x2y2)

Hệ quả Nếu , ,a b c là các số thực và , ,x y z là các số dương thì:



 và

 

  : bất đẳng thức cộng mẫu số

Câu 1 (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Xét các số thực dương a b x y, , , thoả mãn a1,b1 và

a b  ab Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 2y thuộc tập hợp nào dưới đây?

A 1; 2 B 5

2;

2





 C 3; 4 D 5

;3 2







Câu 2 (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn

 2 2

log (xy)log x y ?

Câu 3 (Mã 103 2018) Cho a0,b0 thỏa mãn  2 2   

log a b 16a b 1 log b 4a5b1 2 Giá trị của a2b bằng

20

Câu 4 (Mã 101 - 2020 Lần 1) Xét các số thực không âm x và y thỏa mãn 2x y.4x y  13 Giá trị

nhỏ nhất của biểu thức P x2 y24x6y bằng

A 33

65

49

57

8

Câu 5 Xét các số thực x y, thỏa mãn 2 2 1  2 2 

2x y   x y 2x2 4x Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4

y P

x y



  gần nhất với số nào dưới đây?

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 6 Cho các số thực x y, thỏa mãn bất đẳng thức log4x29y22x3y1 Giá trị lớn nhất của biểu

thức P x 3y là

A 3

2 10 4



4



4



Câu 7 (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Cho các số thực a b, thay đổi, thỏa mãn 1, 1

3

a b Khi

3

log a logb 9 81

P b a  a  đạt giá trị nhỏ nhất thì tổng a b bằng

Câu 8 (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Cho các số thực a b, , c thỏa mãn

      Gọi M là giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P       a

    Khẳng định nào sau đây đúng?

A 3M  2 B M 2 C 2M  3 D M  2

Câu 9 Cho các số thực a b m n, , , sao cho 2mn0 và thoả mãn điều kiện:

4

2 2

9 3 3m n m n ln 2 2 1 81

m n









Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a m 2b n 2

Câu 10 Cho các số thực a b, , c thỏa mãn 1 3

      Gọi M là giá trị nhỏ nhất của

biểu thức 3log 1 1log 3 1log

P       a

    Khẳng định nào sau đây đúng?

A 3M  2 B M 2 C 2M  3 D M  2

Câu 11 (Chuyên Lam Sơn - 2020) Xét các số thực dương , ,a b c lớn hơn 1 ( với ab) thỏa mãn

4 loga clogb c 25logab c Giá trị nhỏ nhất của biểu thức logb aloga clogc b bằng

Câu 12 (Chuyên Lương Văn Tỵ - Ninh Bình - 2020) Xét các số thực dương a , b, x,y thỏa mãn

a 1 , b 1 và 2 x 3y 6 6

a b a b Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức P4xy2xycó dạng 165

m n (với m n, là các số tự nhiên), tính Sm n

Câu 13 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Xét các số thực x y, thỏa mãn

log x1 log y1 1 Khi biểu thức P2x3y đạt giá trị nhỏ nhất thì 3x2y a b 3 với a b  , Tính Tab?

3

3

T  D T 7

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 14 (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho a0,b0 thỏa mãn

log a b 16a b 1 log b 4a5b1  Giá trị của 2 a2b bằng

A 27

3 D 9

Câu 15 (Chuyên Sơn La - 2020) Cho a b c, , là các số thực lớn hơn 1 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3

4040 1010 8080 log logac 3logab

bc

P

Câu 16 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho a b c, , là các số thực dương khác 1 thỏa mãn

loga b logb c loga c 2 logb c 3

    Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của loga logb

P b c Giá trị của biểu thức S3m M bằng

Câu 17 (Sở Hưng Yên - 2020) Cho các số thực x y , 1 và thỏa mãn điều kiện xy 4 Biểu thức

2

2

2

y

P  x  đạt giá trị nhỏ nhất tại x  x y0,  y0 Đặt T  x04  y04 mệnh đề nào

sau đây đúng

A T  131 B T  132 C T  129 D T  130

Câu 18 (Sở Hà Tĩnh - 2020) Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn abc 10 Biết giá trị lớn nhất của

biểu thức F 5 log loga b2 log logb clog logc a bằng m

n với m n nguyên dương và ,

m

n tối giản Tổng m bằng n

Giá trị biểu thức bằng?

Câu 20 (Liên trường Nghệ An - 2020) Cho các số thực dương a b c; ; khác 1 thỏa mãn

3

loga b logb c 2 logb c loga c

   Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của loga logb

P ab bc Tính giá trị biểu thức S2m29M2

A S 28 B S 25 C S 26 D S 27

Câu 21 (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Cho a0,b0 thỏa mãn

log a b (16a b  1) log ab(4a5b  Giá trị của 1) 2 a2b bằng

20

3

Câu 22 (Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2020) Xét các số thực a b x y thỏa mãn , , , a1,b và 1

b

  Giá trị lớn nhất của biểu thức Px2y thuộc tập nào dưới đây?

0, 0

a b

log ab 25a b 1 log ab 10a3b1 2 a2b

11 2

5 2

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

A 0;1

2

 

 

 

2

 

C 1;3

2

 







D 3 5;

2 2







Câu 23 (Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Cho biểu thức P3y2x3(1 4 2x y 1)22x y 1 và biểu thức

3 2 logy x3

Q   y Giá trị nhỏ nhất của y để tồn tại x đồng thời thỏa mãn P 1 và Q 1 là số y 0

Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A 4y  là số hữu tỷ B 0 1 y là số vô tỷ 0

C y là số nguyên dương 0 D 3y  là số tự nhiên chẵn 0 1

Câu 24 (Trường VINSCHOOL - 2020) Cho dãy số  u n có số hạng đầu u11 thỏa mãn

log 5u log 7u log 5 log 7 và u n17u với mọi n n1 Giá trị nhỏ nhất của n để 1111111



n

Câu 25 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Xét các số thực x y, thỏa mãn

log x1 log y1  Khi biểu thức 1 P2x3y đạt giá trị nhỏ nhất thì 3x2y a b 3 với a b  , Tính T ab

3

3

T  D T 7

Câu 26 Xét các số thực a , b , c0 thỏa mãn 3a 5b15c Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P a b c a b c thuộc tập hợp nào dưới đây?

A 1; 2 B  5; 1 C 2; 4 D 4; 6 

Câu 27 Xét các số thực dương a , b , c , x , y, z thỏa mãn a 1, b 1, c 1 và a x b y c z  abc

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1

2

P   x y z thuộc tập hợp nào dưới đây?

A 10;13 B 7;10 C 3;5 D 5;7

Câu 28 Xét các số thực dương a b x y, , , thỏa mãn a1,b1 và x2 y2

a b  a b Giá trị nhỏ nhất của biểu thức Px y là

4

2

2

9

P 

Câu 29 Xét các số thực dương , , ,a b x y thỏa mãn a1,b và 1

a b ab Giá trị nhỏ nhất của biểu thức Px y là

A P 2 B P 4 C P  3 D P 1

Câu 30 Xét các số thực dương , , , , ,a b c x y z thỏa mãn a1,b1,c1,y và 2 a x1b y2 c z1abc

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức Pxy là z

A P 13 B P 3 C P 9 D P 1

Dạng 3 Sử dụng phương pháp hàm số (hàm đặc trưng) giải các bài toán logarit

1 Định lý: Nếu hàm số y f x  đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên a b;  thì

* u v; a b; :f u  f v uv

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

* Phương trình f x kkconst có nhiều nhất 1 nghiệm trên khoảng a b; 

2 Định lý: Nếu hàm số y f x  đồng biến (hoặc nghịch biến) và liên tục trên a b; , đồng thời

 

lim lim ( ) 0

 thì phương trình f x k k const có duy nhất nghiệm trên a b; 

3 Tính chất của logarit:

1.1 So sánh hai logarit cũng cơ số:

Cho số dương a  và các số dương 1 b c,

 Khi a  thì 1 loga bloga c b c

 Khi 0a1 thì loga bloga c b c

1.2 Hệ quả:

Cho số dương a  và các số dương 1 b c,

 Khi a  thì 1 loga b  0 b 1

 Khi 0a1 thì loga b  0 b 1

 loga bloga c b c

2 Logarit của một tích:

Cho 3 số dương a b b, 1, 2 với a  , ta 1

cólog ( )a b b1 2 loga b1loga b2

3 Logarit của một thương:

Cho 3 số dương a b b, 1, 2 với a  , ta 1

2

loga b loga b loga b

Đặc biệt: với a b, 0,a1 loga1 loga b

b 

4 Logarit của lũy thừa:

Cho a b, 0,a1, với mọi , ta có

loga b loga b Đặc biệt: 1

log n log

n

 ( n nguyên dương)

5 Công thức đổi cơ số:

Cho 3 số dương a b c, , với a1,c1, ta có

log log

log

c a

c

b b

a

Đặc biệt: log 1

log

a

c

c

a

loga b loga b



0



Câu 1 (Mã 102 - 2020 Lần 1) Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 242 số

nguyên y thỏa mãn  2   

log x y log xy ?

Câu 2 (Mã 101 - 2020 Lần 1) Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 728 số

nguyên y thỏa mãn  2 

log x y log (xy)?

Câu 3 (Mã 103 - 2020 Lần 1) Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 127 số

nguyên y thỏa mãn  2   

log x y log xy ?

Câu 4 (Mã 102 - 2020 Lần 1) Xét các số thực không âm x và y thỏa mãn 2xy.4x y 1 Giá trị nhỏ 3

nhất của biểu thức Px2y26x4y bằng

A 65

33

49

57

8

Câu 5 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Có bao nhiêu cặp số nguyên x y;  thỏa mãn 0 x 2020 và

3

log 3x  3 x 2y9y?

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 6 (Mã 103 - 2020 Lần 1) Xét các số thực không âm x và y thỏa mãn 2xy.4x y  1 Giá trị 3

nhỏ nhất của biểu thức Px2y22x4y bằng

A 33

9

21

41

8

Câu 7 (Mã 104 - 2020 Lần 1) Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 255 số

nguyên y thỏa mãn  2   

log x  y log xy ?

Câu 8 (Mã 104 - 2020 Lần 1) Xét các số thực không âm x và y thỏa mãn 2xy.4x y  13 Giá trị

nhỏ nhất của biểu thức 2 2

4 2

P x y x y bằng

A 33

9

21

41

8

Câu 9 (Mã 102 - 2020 Lần 2) Có bao nhiêu cặp số nguyên dương m n,  sao cho mn16 và ứng với

mỗi cặp m n,  tồn tại đúng 3 số thực a   1;1 thỏa mãn  2 

2a mnln a a 1 ?

Câu 10 (Mã 102 - 2020 Lần 2) Xét các số thực thỏa mãn 2 2 1  2 2 

2x y   x y 2x2 4x Giá trị lớn nhất

của biểu thức 8 4

x P

x y





  gần với giá trị nào sau đây nhất?

Câu 11 (Mã 103 - 2020 Lần 2) Có bao nhiêu cặp số nguyên dương m n sao cho ;  mn10 và ứng với

mỗi cặp m n tồn tại đúng 3 số thực ;  a   1;1 thỏa mãn 2a mnlna a21?

Câu 12 (Mã 103 - 2020 Lần 2) Xét các số thực ,x y thỏa mãn 2 2 1  2 2 

2x y   x  y 2x2 4x Giá trị nhỏ

nhất của biểu thức 8 4

x P

x y





  gần nhất với số nào dưới đây

Câu 13 Có bao nhiêu cắp số nguyên dương m n,  sao cho mn14 và ứng với mỗi cặp m n,  tồn tại

đúng ba số thực a   1;1 thỏa mãn 2a m nlna a21?

Câu 14 (Mã 104 - 2020 Lần 2) Có bao nhiêu cặp số nguyên dương ( , )m n sao cho m n 12và ứng với

mỗi cặp ( , )m n tồn tại đúng 3 số thực a  ( 1,1) thỏa mãn 2

2a m nln(a a 1)?

Câu 15 (Mã 104 - 2020 Lần 2) Xét các số thực x và y thỏa mãn 2 2  

2x y   x  y 2x2 4x Giá trị

lớn nhất của biểu thức 4

y P

x y



  gần nhất với số nào dưới đây?

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 16 (Mã 123 2017) Xét các số thực dương x y thỏa mãn ,     



3

1

2

xy

xy x y

nhỏ nhất Pmin của Px y 

A min 2 11 3

3

9

P

C min 18 11 29

21

9

P

Câu 17 (Mã 110 2017) Xét các số thực dương a b, thỏa mãn 21

log ab 2ab a b 3

a b



 Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của Pa2b

A min 3 10 7

2

2

2

2

Câu 18 (Chuyên Lê Thánh Tông 2019) Cho hai số thực dương x y, thỏa mãn 2ln 2 5ln  2ln 5

x y

x y



   Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P(x1) lnx(y1) lny

A Pmax 10 B Pmax 0 C Pmax 1 D Pmax ln 2

Câu 19 (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Cho các số thực x y, thỏa mãn 0x y, 1 và

3

1

x y

xy



 Tìm giá trị nhỏ nhất của P2xy

Câu 20 (Chuyên Hạ Long 2019) Cho các số thực a b, thỏa mãn ab1 Biết rằng biểu thức

1

log logab a

a P

  đạt giá trị lớn nhất khi k

ba Khẳng định nào sau đây là sai

A k 2;3 B k 0;1 C k 0;1 D 3

0;

2

k  

 

Câu 21 Cho hai số thực a b, thỏa mãn loga24b212a8b1 Tính Pa

b khi biểu thức S4a6b5

đạt giá trị lớn nhất

A 8

13 2



C 13 4



D 17 44

Câu 22 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho a , b là các số dương thỏa mãn b 1 và a ba Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức loga 2 log

b b

a

b

 

 

Câu 23 (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương 2019) Cho a , b là hai số thực dương thỏa mãn

5

a b



  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

T a b

A 1

3

5

2

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 24 (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Với hai số thực a b, bất kì, ta kí

hiệu fa b,  x  x a  x b  x2  x Biết rằng luôn tồn tại duy nhất số thực3 x 0

đểmin a b,   a b,  0

  với mọi số thực a b, thỏa mãna bb a và 0a Sốb x bằng 0

Câu 25 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hai số thực a1,b1 Biết phương trình

2

x x

a b   có hai nghiệm phân biệt x x Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1, 2

2

1 2

4

x x

x x



A 3 4 3 B 4 C 3 2 3 D 34

Câu 26 (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Cho x y, là các số thực lớn hơn 1 sao cho x x e y y y e x

y e x e Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Plogx xylogy x

A 2

1 2 2 2



D 1 2

2



Câu 27 Xét các số thực dương x y, thỏa mãn 3 1

3

y

xy x y

x xy



 Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của P x y

A min 4 3 4

3

P   B min 4 3 4

3

P   C min 4 3 4

9

P   D min 4 3 4

9

Câu 28 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Xét các số thực dương x, y thỏa mãn

log xlog ylog x y Tìm giá trị nhỏ nhất P của biểu thức min P x3y

A Pmin  9 B Pmin 8 C min 25 2

4

2

P 

Câu 29 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn

2

log xlog ylog x y Gọi Tmin là giá trị nhỏ nhất của biểu thức T 2xy Mệnh

đề nào dưới đây đúng?

A Tmin7;8 B Tmin6; 7 C Tmin5; 6 D Tmin8;9

Câu 30 (Mã 105 2017) Xét hàm số  

 2

9 9

t t

f t

m với m là tham số thực Gọi S là tập hợp tất cả các

giá trị của m sao cho f x  f y 1 với mọi số thực x y thỏa mãn ,   

x y

e e x y Tìm số phần tử của S

Câu 31 (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho hàm số y f x  liên tục trên , có bảng biến

thiên như hình vẽ và có đạo hàm cấp hai f x 0,   x