Chuyên đề 4 HHKG khoảng cách trong không gian đáp án

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Bài toán 1: Tính khoảng cách từ hình chiếu vuông góc của đỉnh đến một mặt bên Phương pháp xác định khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh đến một mặt phẳ

Trang 1

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – GIỎI MỨC ĐỘ 7+

Dạng 1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Bài toán 1: Tính khoảng cách từ hình chiếu vuông góc của đỉnh đến một mặt bên

Phương pháp xác định khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh đến một mặt phẳng bên

Bước 1: Xác định giao tuyến d

Bước 2: Từ hình chiếu vuông góc của đỉnh, DỰNG AH d ( H ) d

Bước 3: Dựng AI SH I SH.Khoảng cách cần tìm là AI

Với S là đỉnh, A là hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mặt đáy

Ví dụ điển hình: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy (ABC) Hãy xác khoảng cách từ điểm A

đến mặt bên (SBC)

Ta có BC là giao tuyến của mp (SBC) và (ABC)

Từ hình chiếu của đỉnh là điểm A, dựng AH BC tại H Dựng AI SHtại I

Bài toán 2: Tính khoảng cách từ một đểm bất kỳ đến một mặt phẳng

Thường sử dụng công thức sau:

Công thức tính tỉ lệ khoảng cách:    

 

,,

d M mp P MO

AO

d A mp P 

Ở công thức trên cần tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P)

Câu 1 (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và

Trang 2

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Gọi H K, lần lượt là hình chiếu của A lên BC và A H

Câu 2 (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC là tam giác đều cạnh

a và A A 2a Gọi M là trung điểm của A A  (tham khảo hình vẽ bên) Khoảng cách từ M đến

Gọi I BMAB và K là trung điểm AC

Trang 3

Câu 3 (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có tất cả các cạnh bằng a Gọi M

là trung điểm của AA (tham khảo hình vẽ)

Trong ABB A   , gọi E là giao điểm của BM và  AB Khi đó hai tam giác EAM và EB B đồng

Trang 4

274

,

77

Câu 5 (Mã 101 2018) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B, ABa, SA vuông góc

với mặt phẳng đáy và SA2a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng

Trang 5

Câu 6 (Mã 102 2018) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B , ABa , SA vuông góc

với mặt phẳng đáy và SAa Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC bằng

Câu 7 (Mã 103 - 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam

giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên)

a

2a

B S

H

Trang 6

* Gọi OACBD và G là trọng tâm tam giác ABD , I là trung điểm của AB ta có

Câu 8 (Mã 101 -2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,mặt bên SAB là tam

giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBD  bằng

Trang 7

a

Lời giải

Chọn B

Gọi H là trung điểm của AB Khi đó, SH   ABCD 

Gọi O là giao điểm của AC và BD suy ra AC  BD Kẻ HK BD tại K(Klà trung điểm

BO)

Kẻ HI  SH tại I Khi đó: d A SBD ,  2d H SBD ,  2HI

Xét tam giác SHK,có: 3

, 2

Câu 9 (Đề Tham Khảo 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, BAD 60o,

SAa và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách tứ B đến SCD bằng?

A 21a B 15a C 21a D 15a

Trang 8

Câu 10 (Mã 102 - 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác

đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy ( minh họa như hình vẽ bên) Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) bằng

A 21

14

a

B 2 2

a

C 21 7

a

D 21 28

a

Lời giải Chọn C

Trang 9

Gọi H là trung điểm của ABSH ABSH (ABCD)

Từ H kẻ HM BD , M là trung điểm của BI và I là tâm của hình vuông

Trang 10

Gọi E F G, , lần lượt là trung điểm của BD CD, và trọng tâm tam giác BCD

Lời giải Chọn C

Trang 11

Gọi H là hình chiếu của A lên SD ta chứng minh được AH SCD

Câu 14 (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Cho hình chop S ABC có đáy là tam giác vuông tại A ,

ABa, ACa 3, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA2a Khoảng cách từ điểm A đến

Câu 15 (Hùng Vương Bình Phước 2019) Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a và

chiều cao bằng a 2 Tính khoảng cách d từ tâm O của đáy ABCD đến một mặt bên theo a

A d  2a 5 B d  a 3 C d  a 5 D d  a 2

Trang 12

.

S ABCD là hình chóp tứ giác đều nên ABCD là hình vuông và SOABCD

Vẽ OH vuông góc với CD tại H thì H là trung điểm CD,

4

a a

Câu 16 (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông

cạnh a, SAABCD và SAa 2 Gọi M là trung điểm cạnh SC Khoảng cách từ điểm M

D S

B

C

Trang 13

Gọi H là hình chiếu của A lên mp SBD d A SBD ;   AH

Lại có AS AB AD đôi một vuông góc nên , ,

 2

22

Câu 17 (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông

tại A , ABa, ACa 3; SA vuông góc với đáy, SA2a Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC bằng 

Trong ABC, kẻ AH BC, mà BCSABCSAHBCSH

Trong SAH, kẻ AK SH , mà SH BC AKSBC hay d A SBC ;  AK

Vì ABC vuông tại Anên BC  AB2 AC2 2a

2

AB AC a AH

Nhận xét Trong thực hành làm toán trắc nghiệm ta nên áp dụng bài toán sau:

Cho tứ diện OABC có OA OB OC, , đôi một vuông góc với nhau và H là hình chiếu của O lên

mặt phẳng ABC Khi đó 12 12 12 12

OH OA OB OC

Câu 18 (Chuyên Sơn La 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SAa và

SA vuông góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC bằng:

B

S

H K

Trang 14

Gọi M là trung điểm BC Kẻ AHSM tại H

a a

Câu 19 (Thpt Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp đều S ABCD , cạnh đáy bằng a, góc giữa

mặt bên và mặt đáy là 60 Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SCD

chiếu vuông góc của O lên SCD

* Gọi I là trung điểm của CD ta có:

Trang 15

Câu 20 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy là nửa lục giác đều ABCD nội tiếp

trong đường tròn đường kính AD2a và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy

ABCD với SAa 6 Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD

Từ giả thiết suy ra:

2

AD

ABBCCD a, ACa 3 Gọi EABCD , suy ra tam giác ADE đều

Khi đó C là trung điểm của ED và ACED

Câu 21 (THPT Minh Châu Hưng Yên 2019) Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang

vuông tại A và B , ABBC a, AD2 a Hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy trùng với trung

Trang 16

Gọi M là trung điểm của CD , K là hình chiếu của H lên SM

Tam giác HCD vuông tại H có CDa 2 và 2

Câu 22 (Chuyên Quang Trung Bình Phước 2019) Cho tứ diện O ABC có OA OB OC đôi một vuông , ,

góc với nhau OAOBOC 3 Khoảng cách từ O đến mp ABC là ( )

Lời giải Chọn B

Gọi A' là chân đường cao kẻ từ A lên BC,C' là chân đường cao kẻ từ C lên AB

Gọi H là giao của AA’ với CC’ suy ra H là trực tâm của tam giácABC Ta dễ dàng chứng

minh được OH (ABC )

Trang 17

ABCD là hình thoi cạnh a, ABC 60 ABC, ACD là các tam giác đều cạnh a

Xét SAC vuông tại A có: SA SC2AC2  4a2a2 a 3

Cách 2: Tính khoảng cách thông qua tính thể tích

ABCD là hình thoi cạnh a, ABC 60 ABC, ACD là các tam giác đều cạnh a

Xét SAC vuông tại A có: SA SC2AC2  4a2a2 a 3

Trang 18

Gọi H là trung điểm CD SHCD

Xét SHC vuông ở H : SH  SC2CH2

2 244

a a

SCD

a a



2

154

Câu 24 (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang

vuông tại A và D; AB AD2 ;a DCa Điểm I là trung điểm đoạnAD hai mặt phẳng ,

SIB và SIC cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD Mặt phẳng SBC tạo với mặt phẳng

ABCD một góc 60 Tính khoảng cách từ D đến SBC theo a

Theo đề ta có SIABCD.Gọi K là hình chiếu vuông góc của Itrên BC Suy ra: Góc giữa hai mặt phẳng SBC , ABCDSKI60 Gọi E là trung điểm của AB , MIKDE

Trang 19

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 25 (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An -2020) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông tại

A ACa I là trung điểm SC Hình chiếu vuông góc của S lên ABC là trung điểm H của

BC Mặt phẳng SAB tạo với ABC một góc 60 Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng

Mặt khác, do SH ABC nên SMHBC Suy ra góc giữa SAB và ABC là góc giữa

SM và MH ; lại có SH MH nên góc này bằng góc SMH Từ giả thiết suy ra  SMH 60

Gọi K là hình chiếu của H lên SM thì HKSAB

Câu 26 (Chuyên Hưng Yên - 2020) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác cân, BABCa

và BAC 30 Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SAa Gọi D là điểm đối xứng với B qua AC Khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD bằng

Trang 20

Chọn D

Tam giác ABC cân tại B có  BAC 30 và D đối xứng với B qua AC nên tứ giác ABCD là hình thoi có ADC 120ABC 

Trong mặt phẳng ABC, kẻ AH vuông góc với đường thẳng CD tại H Khi đó CDAH và

CDSA nên CDSAH Do đó SCD  SAH

Trong mặt phẳng SAH, kẻ AKSH tại K Khi đó, AKSCD và AK d A SCD , 

Câu 27 (Chuyên Lam Sơn - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a Tam

giác ABC là tam giác đều, hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng ABCDtrùng với

trọng tâm tam giác ABC Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng ABCD bằng 30 Tính

khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SCD theo a

Trang 21

Vậy khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SCD : 

77

Câu 28 (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2020) Cho hình chópS ABCD có đáy là hình

vuông,ABa, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA2a(minh họa như hình vẽ bên dưới ) Gọi M là trung điểm của CD, khoảng cách giữa điểm M và mặt phẳng(SBD) bằng

Trang 22

Gọi I là giao điểm của AM và BD, O là tâm hình vuông ABCD

( , ( ) ( , ( ))

2

d M SBD  d A SBD Dựng AH vuông góc với SO tại H Ta có

Câu 29 (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình

thoi tâm O cạnh a và có góc BAD 600 Đường thẳng SO vuông góc với mặt đáy ABCD và 3

Trang 23

Ta có: tứ giác ABCD là hình thoi cạnh a có BAD 600 suy ra tam giác BCD là tam giác đều cạnh a

Gọi M là trung điểm cạnh BC Suy ra DMBC và 3

Trang 24

Gọi I là trung điểm AD và H là trung điểm SD suy ra HI SA// HI ABCD

Do ABCD là nửa lục giác đều và I là trung điểm AD nên BI CD//

Suy ra d B SCD ,  d I SCD ,  

Do ABCD là nửa lục giác đểu nên dễ thấy ICD là tam giác đều

Gọi M là trung điểm CD suy ra CDHIM

a IK

Gọi I là trung điểm của SA

Tam giác SAB và SAC là các tam giác vuông tại B C, IS IAIBIC

Trang 25

Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC  IG   ABC 

Trong SAG kẻ SH / / IG H   CG   SH   ABC 

Dễ thấy khi đó IG là đường trung bình của tam giác SAH  SH  2 IG

     là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABHC

 AH là đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABHC  0

,

5

2 15 3

Câu 32 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA

vuông góc với mặt phẳng ABC ; góc giữa đường thẳng  SB và mặt phẳngABC bằng 60 Gọi

M là trung điểm cạnh AB Khoảng cách từ B đến SMC bằng 

Trang 26

Ta có SB ABC,  SBA60 SAtan 60  a a 3

Vì M là trung điểm của AB  d B SMC ,  d A SMC ,  

Dựng AH vuông góc với SM tại H d A SMC ,  AH mà 1

Gọi H là trung điểm AO, ta có SH ABCD

Trang 27

Câu 34 (Sở Ninh Bình) Cho hình chóp S ABC có SAa, tam giác ABC đều, tam giác SAB vuông cân

tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách từ B đến mặt phẳng

Gọi H M N, , lần lượt là trung điểm của các cạnh AB AC AM, ,

Do tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy

AB a a SH





Trang 28

Xét tam giác vuông SHN, ta có

Câu 35 (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2020) Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật,

Tam giác cân tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng Gọi là trung điểm của , hãy tính theo khoảng cách từ đến mặt phẳng

Lời giải Chọn D

Vì , nên hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng là , suy ra

vuông tại , có vuông cân tại , suy ra

Trang 29

Câu 36 (Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáyABCD là hình thang vuông

tạiA và B, AD2AB2BC2a, SA vuông góc với đáy, góc giữa SBvà mặt phẳng đáy bằng

2

1

Trang 30

Câu 37 (THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Cho hình hộp ABCD A B C D     có đáy ABCD là hình vuông

cạnh a, tâm O Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ABCD trùng với O Biết tam giác AA C vuông cân tại A Tính khoảng cách h từ điểm D đến mặt phẳng ABB A 

62

Trang 31

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 38 (Yên Lạc 2 - Vĩnh Phúc - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với

AD AB a Cạnh bên SA2a và vuông góc với đáy Gọi M N, lần lượt là trung điểm của

SB và SD Tính khoảng cách d từ điểm S đến mặt phẳng AMN

Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại H, ta có:

Mặt khác AMN  SAHSE, suy ra: d S AMN ;  d S AE ; 

Xét tam giác vuông SAH có:

54

Câu 39 (Kìm Thành - Hải Dương - 2020) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại

A, biết SAABC và AB2a, AC3a,SA4a Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng

Trang 32

Trong ABC, kẻ AH BC, mà BCSABCSAHBCSH

Trong SAH, kẻ AK SH , mà SH BC AK SBC hay d A SBC ;  AK

Vì ABC vuông tại Anên BC AB2AC2  13a

Mặt khác có AH là đường cao nên . 6 13

Gọi H là trung điểm của AB Từ giả thiết suy ra SH ABCD

Trang 33

Trang 34

Gọi SH là đường cao của khối chóp SH là đường cao của tam giác SAB

2 .cos

BC AB AC  AB AC BAC a22a22 .2 cos120a a 07a2 Đặt CC2xCM MCx

Vì ABC A B C    là hình lăng trụ đứng nên ta có tam giác BCM vuông tại C và tam giác A C M 

Trang 35

Dạng 2 Khoảng cách của đường thẳng với đường thẳng

Ta có các trường hợp sau đây:

a) Giả sử a và b là hai đường thẳng chéo nhau và ab

- Ta dựng mặt phẳng ( ) chứa a và vuông góc với b tại B

- Trong ( ) dựng BAa tại A, ta được độ dài đoạn AB là

khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b

b) Giả sử a và b là hai đường thẳng chéo nhau nhưng không vuông góc với nhau

Cách 1:

- Ta dựng mặt phẳng ( ) chứ a và song song với b

- Lấy một điểm M tùy ý trên b dựng MM'( ) tại M'

- Từ M' dựng '/ /b b cắt a tại A

- Từ A dựng AB/ /MM cắt b tại ' B, độ dài đoạn AB là

khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b

Cách 2:

- Ta dựng mặt phẳng ( ) a tại O , ( ) cắt b tại I

- Dựng hình chiếu vuông góc của b là ' b trên ( )

- Trong mặt phẳng ( ) , vẽ OH b', Hb'

- Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B

- Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A

- Độ dài đoạn thẳng AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b

Câu 1 (Đề Tham Khảo 2018) Cho lập phương ABCD A B C D     có cạnh bằng a ( tham khảo hình vẽ

bên ).Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A C  bằng

Ta có khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và A C  bằng khoảng cách giữa mặt phẳng song song ABCD và A B C D    thứ tự chứa BD và A C  Do đó khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A C  bằng a

Câu 2 (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB2a,

B

M' b' b

O

I H

Trang 36

Gọi N là trung điểm của AC, ta có: MN//BC nên ta được BC//SMN

AD DC CB a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA3a (minh họa như hình bên) Gọi

M là trung điểm của AB Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và DM bằng

Trang 37

Ta có M là trung điểm của AB

Theo giả thiết suy ra ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB

Trang 38

Cách 1 (Phương pháp hình học cổ điển):

Gọi N là trung điểm của AB , khi đó MN AC//

Gọi H là hình chiếu của A lên SN Dễ dàng chứng minh được AHSMN

Suy ra d AC SM , d AC SMN ,  d A SMN ,  AH

Trong tam giác SAN vuông tại A có: 1 2 12 12

AH  AS  AN , trong đó ASa 3, 1

Cách 2 (Phương pháp tọa độ hóa):

Chọn a 1, gắn bài toán vào hệ trục tọa độ Axyz , trong đó A0;0;0, B1;0;0, C0;1;0,

Trang 39

Câu 5 (Mã 101 - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy là ình chữ nhật, ABa BC, 2 ,a SA vuông

góc với mặt phẳng đáy và SAa Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng

Câu 6 (Mã 103 2018) Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau, và

OAOBa, OC2a Gọi M là trung điểm của AB Khoảng cách giữa hai đường thẳng OM

C D

B A

S

K H

Trang 40

Câu 7 (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Cho lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông

tại A với ACa 3 Biết BC hợp với mặt phẳng AA C C   một góc 30o và hợp với mặt

phẳng đáy góc  sao cho sin 6

Định dạng
Số trang	82
Dung lượng	4,16 MB