Mời các bạn tham khảo Đề thi chọn HSG môn Toán lớp 11 năm 2018-2019 có đáp án - Trường THPT thị xã Quảng Trị sau đây để hệ thống lại kiến thức đã học và biết được cấu trúc đề thi cũng như những nội dung chủ yếu được đề cập trong đề thi để từ đó có thể đề ra kế hoạch học tập và ôn thi một cách hiệu quả hơn. Chúc các bạn ôn tập thật tốt!
Trang 1SỞ GD&ĐT QUẢNG TRỊ KỲ THI CHỌN HSG VĂN HÓA LỚP 10, 11
TRƯỜNG THPT THỊ XÃ QUẢNG TRỊ Khóa thi ngày 03 tháng 4 năm 2019
Môn thi: Toán lớp 11
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu I (5,0 điểm)
1 Giải phương trình: sin 3 cos 22 x xsin2x 0
2 Cho x1 và x2là hai nghiệm của phương trình: x23x a , 0 x3 và x4là hai nghiệm của phương trình: x212x b Biết rằng 0 x x x x1, , ,2 3 4 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân Hãy tìm ,a b
Câu II (3,0 điểm)
1 Cho k là số tự nhiên thỏa mãn: 5 k 2014
5 2014k 5 2014k 5 2014k 2019k
C C C C C C C
2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực:
m 1x2 1x2 22 1x4 1x2 1x2
Câu III (3,0 điểm)
Cho dãy số u n được xác định bởi: u1 sin1; u n u n 1 sin2n
n
, với n ,n2
Chứng minh rằng dãy số u n xác định như trên là một dãy số bị chặn
Câu IV (3,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC đều cạnh bằng a và tam giác BCD cân
tại D với 5
2
a
DC
1 Chứng minh rằng: ADBC
2 Gọi G là trọng tâm tam giác BCD , tính cosin góc giữa hai đường thẳng AG và CD , biết
góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) bằng 300
Câu V (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC với (2;1) A , (1; 2)B , trọng
tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng x y Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác 2 0
ABC bằng 27
2
Câu VI (3,0 điểm) Cho các số dương , ,a b c thỏa mãn: a2b2c2 Chứng minh rằng: 3
-HẾT -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu và MTCT
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh:……….Số báo danh:………
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề có 01 trang)
Trang 2Huớng dẫn chấm – Toán 11
Câu I
(5đ) Giải phương trình:
sin 3 cos 2x xsin x0
1 (3đ) sin 3 cos 2 2 x x sin 2x 0 (1)
Ta có: sin 3x (1 2 cos 2 )sinx.x
1.0đ 1.0đ 1.0đ
2 (2đ) Cho x1 và x2là hai nghiệm của phương trình: x23x a 0, x3 và x4là hai
nghiệm của phương trình: x2 12x b 0 Biết rằng x x x x1, , ,2 3 4 theo thứ tự lập
thành một cấp số nhân Hãy tìm a b,
2 1 ; 3 1 ; 4 1
Theo viet ta có:
1
1 2
1 2
1 2
2
3
Suy ra q2 4
+ q = 2 x1 1 , giải ra được a = 2, b = 32
+q = -2 x1 3, giải ra được a = -18, b = -288
1.0đ
1.0đ
Câu II
(3đ)
1 (1.5đ) Cho k là số tự nhiên thỏa mãn: 5 k 2014
5 2014k 5 2014k 5 2014k 2019k
Ta có: (1 x) (1 5 x) 2014 (1 x) 2019
5 0 1 2 2 3 3 4 4 5 5
2014 0 1 2013 2013 2014 2014
2014 2014 2014 2014 2014
2019 0 1 2018 2018 2019 2019
2019 2019 2019 2019 2019
(1 )
k k
k k
Ta có hệ số của xk trong P là C2019k , P = M.N
Mà số hạng chứa xk trong M.N là :
5 2014 5 2014 5 2014 5 2014 5 2014 5 2014
5 2014k 5 2014k 5 2014k 2019k
0.5đ
0.5đ
0.5đ
2 (1.5đ) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực:
m 1 x2 1 x2 2 2 1 x4 1 x2 1 x2 ĐK: 1 x 1 , Đặt t 1 x2 1 x2 , t liên tục trên 1;1 và t 0
2
t
Xét ( ) 2 2; 0; 2
2
t
, f t( ) liên tục trên 0; 2
2 2
4
( 2)
t
0.5đ
0.5đ
Trang 3( )
f t
nghịch biến trên 0; 2
Vậy pt đã cho có nghiệm thực khi f( 2) 2 1 m 1 f(0)
0.5đ
Câu III
(3đ) Cho dãy số u n được xác định bởi: u1 sin1; u n u n 1 sin2n
n
n n Chứng minh rằng dãy số u n xác định như trên là một dãy số bị chặn
1 2 n n N , vì
Bằng qui nạp ta CM được: sin1 sin 22 2 sin2
n
n u
n
Vậy dãy số u n xác định như trên là một dãy số bị chặn
1.0đ
1.0đ
1.0đ
Câu IV
(3đ)
Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC đều cạnh bằng a và tam giác BCD cân tại
2
a
1 (1đ) Chứng minh rằng: ADBC
Gọi M là trung điểm BC, ta có:ABCđều nên AM BC, DBCcân nên
2 (2đ) Gọi G là trọng tâm tam giác BCD, tính cosin góc giữa hai đường thẳng AG và
CD, biết góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) bằng 30 0
Theo gt ta có góc giữa MA và MD bằng 300 Kẻ GN//CD, nối AN
+TH1: góc DAM bằng 300, ta có: ,
3
a
MD a MG ABCđều nên 3
2
a
Áp dụng định lí cosin cho AMG
3
a
AN Trong ANG
có cos(AGN)= 5
65
.Gọi góc (AG CD; )thì cos = 5
65
+TH2: Góc AMD bằng 1500 Tính tương tự ta có: thì cos = 13
7 5
0.5đ
0.5đ
0.5đ
Trang 40.5đ Câu V
(3đ)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A(2; 1), B(1;-2), trọng tâm
G của tam giác nằm trên đường thẳng x + y – 2 = 0 Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng 27
2 Gọi M là trung điểm AB, ta có : 3; 1
2 2
Gọi C(a ; b),
10
a b
a b
Từ (1) và (2) ta có hệ:
9
9; 5
;
2
a
C
a b
a
a b
C
1.0đ
1.0đ
1.0đ
Câu VI
(3đ) Cho các số dương a b c, , thỏa mãn: a2b2c2 3 Chứng minh rằng:
Từ giả thiết ta có 0 a b c2 , , 2 2 3 Áp dụng BĐT Cauchy ta có :
3 a a 3 a a
3 b b 3 c c
Áp dụng BĐT Bun… ta có:
2
=3(( )2 2) ( 2 2)( 2 2)( 2 2) 3(( )2 2)( 2 2)
2 a b a b c 2 a b c
Từ (1) và (2) ta được BĐT cần chứng minh Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1
1.0đ
1.0đ
1.0đ