Cùng tham khảo Đề thi chọn HSG môn Toán 9 năm 2018-2019 có đáp án - Sở GD&ĐT Đồng Nai để các em ôn tập lại các kiến thức đã học, làm quen với cấu trúc đề thi để chuẩn bị cho kì thi sắp tới được tốt hơn với số điểm cao như mong muốn. Tài liệu đi kèm đáp án giúp các em so sánh kết quả và tự đánh giá được năng lực bản thân, từ đó đề ra phương pháp học tập hiệu quả giúp các em tự tin đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới. Chúc các em thi tốt!
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỒNG NAI
ĐỀ CHÍNH THỨC
THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2018 – 2019
Môn Toán
Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi 29/3/2019
(Đề thi này gồm 1 trang có 5 câu)
Câu 1 (4,5 điểm)
1) Cho (x, y) là nghiệm của hệ phương trình 1
x y m
�
�
� (với m là tham số thực) Tìm m để biểu thức P x 2 8 y đạt giá trị nhỏ nhất
2) Giải hệ phương trình
1 1
�
�
�
� (với x, y thuộc R).
Câu 2 (4,5 điểm)
1) Giải phương trình x4 9 x3 24 x2 27 x 9 0 (x R) �
2) Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh:
3 4
� � � � �
Câu 3 (4,5 điểm)
1) Cho a, b, c là ba số nguyên khác 0 thỏa 1 1 1
a b c Chứng minh rằng: abc chia hết cho 4
2) Tìm số các số nguyên dương không vượt quá 1000 nguyên tố cùng nhau với 999
Câu 4 (2 điểm)
số hạng và B 2 3 4 100 là tổng của 99 số hạng
Tính A + B
Câu 5 (4,5 điểm)
Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) Gọi D, E lần lượt là hai tiếp điểm của
AB, AC với đường tròn (I) Biết ba góc BAC ABC BCA � , � , � , đều là góc nhọn Gọi M
và N lần lượt là trung điểm của hai đoạn BC và AC
1) Chứng minh: 2AD = AB + AC – BC
2) Chứng minh rằng ba đường thẳng BI, DE, MN đồng quy
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỒNG NAI
THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn Toán
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1 (4,5 điểm)
1) Cho (x, y) là nghiệm của hệ phương trình 1
x y m
�
�
� (với m là tham số thực) Tìm m để biểu thức P x 2 8 y đạt giá trị nhỏ nhất
Giải:
2
( m R) 1
y m
�
� � � �
Ta có:
2
8 4 8( 1) 4 8 8
2 2 12 12
m
�
Dấu “=” xẩy ra khi 2m + 2 = 0 � m 1
Giá trị nhỏ nhất của P là -12 khi m = -1
2) Giải hệ phương trình
1 1
�
�
�
� (với x, y thuộc R).
2
2 1 1
�
Đặt x y S
xy P
�
�
�
Ta có:
2
2 2
3
1
1
2
2
S
S P
�
Trang 3
2
3
1
2
5 3 2 0
P
2
2
1
2
1 0
5 5 2 0 (vn)
S P
S
�
�
�
� � �
��
� �
�
0 1
P S
�
� �
�
0 1 1
1
x y
x y
x
� �
�
�
�
� �
�
Câu 2 (4,5 điểm)
1.Giải phương trình x4 9 x3 24 x2 27 x 9 0 (x R) �
Giải: x4 9 x3 24 x2 27 x 9 0 (*)
Với x = 0, (*) � 0x+9=0 (phương trình vô nghiệm
Với x �0, chia 2 vế của phương trình (*) cho x2
2 2
2
2
2
3
3 0
3
6 0
x x
x x
� � � �
�
�
� �� �
�
2.Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh:
3 4
� � � � �
Giải:
3 4
� � � � �
� � � � � � � �
Trang 4 2 2 2
0
0
Luôn đúng vì a, b, c là các số dương Dấu bằng xẩy ra khi a = b = c
Câu 3 (4,5 điểm)
1) Cho a, b, c là ba số nguyên khác 0 thỏa 1 1 1
a b c Chứng minh rằng: abc chia hết cho 4
Giải:
Cách 1:1 1 1
( ) (1)
bc a b c
a b c �
TH1: Nếu a là số nguyên chẵn, suy ra a b c ( ) 2 M, theo (1)Suy ra: b.c 2 M
Vậy abc chia hết cho 4
TH2: Nếu a là số nguyên lẻ Với b và c là hai số cũng lẻ thì: b c M 2 � a b c ( ) 2 M
Mà a b c không chia hết cho 2 (vì a, b, c đều lẻ) Suy ra mâu thuẫn
Vậy trong hai số, b, c tồn tại ít nhất 1 số chẵn
+ Với b chẵn, mà a lẻ nên c chẵn (vì b.c chẵn nên a(b+c) chẵn suy ra c chẵn, vì a lẻ)
Suy ra abc chia hết cho 4
+ Với c chẵn, tương tự abc chia hết cho 4
( ) abc=a (b+c) (2)
bc a b c
Ta thấy a, b, c không thể đều là số lẻ vì nếu vây thì abc là số lẻ, còn b+c là số chẵn Vậy trong 3 số tồn tại ít nhất 1 số chẵn
Nếu a chẵn thì a2 chia hết cho 4, từ (2) suy ra abc chia hết cho 2
Nếu b chẵn, do a lẻ nên b + c chẵn (vì abc chẵn) suy ra c chẵn Vậy abc chia hết cho 2 Tương tự cho trường hợp c chẵn
2.Tìm số các số nguyên dương không vượt quá 1000 nguyên tố cùng nhau với 999
Giải:
Cách 1: Dùng hàm Ơle:
Phân tích số m ra thừa số nguyên tố: 1x 2y 3z
Số các số nguyên dương không vượt quá m và nguyên tố cùng nhau với m là
( ) m m 1 1 1
� � �� �� � � � � � �
Trang 5Ta có: 3 1 1
999 3 37 (999) 999 1 1 648
3 37
Có 648 số nguyên tố cùng nhau với 999 và không vượt quá 999
Vây có 649 số nguyên tố cùng nhau với 999 và không vượt quá 1000
Cách 2:
Gọi A là số các số nguyên dương không vượt quá 1000 Suy ra A = 1000
B là số các số nguyên dương không vượt quá 1000 mà không nguyên tố cùng nhau với 999
C là số các số nguyên dương không vượt quá 1000 nguyên tố cùng nhau với 999
Ta có: 999 3 37 3
B = (Số các số nguyên dương không vượt quá 1000 và chia hết cho 3) – (Số các số
nguyên dương không vượt quá 1000 và chia hết cho 37 mà không chia hết cho 3)
+ Số các số nguyên dương không vượt quá 1000 và chia hết cho 3 là:999 3
1 333
3 + Số các số nguyên dương không vượt quá 1000 và chia hết cho 37 là:
999 37
1 27 37
+ Số các số nguyên dương không vượt quá 1000 và chia hết cho cả 37 và 3 (chia hết cho 111) là:999 111
1 9 111
+ Số các số nguyên dương không vượt quá 1000 và chia hết cho 37 mà không chia hết cho 3 là:27 9 18
Suy ra B = 333+ 18 = 351 Vậy C= A – B = 1000 – 351 = 649
Câu 4 (2 điểm)
số hạng và B 2 3 4 100 là tổng của 99 số hạng
Tính A + B
Giải:
2 1 2 3 2 3 4 3 98 99 98 99 100 99
1 2 3 4 99 99 100
và B 2 3 4 100
Trang 6Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) Gọi D, E lần lượt là hai tiếp điểm của
AB, AC với đường tròn (I) Biết ba góc BAC ABC BCA � , � , � , đều là góc nhọn Gọi M
và N lần lượt là trung điểm của hai đoạn BC và AC
1)Chứng minh: 2AD = AB + AC – BC
2)Chứng minh rằng ba đường thẳng BI, DE, MN đồng quy
Giải:
a) Gọi F là tiếp điểm của BC với đường tròn (I)
Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có:
AD = AE; BD = BF; CE = CF
Suy ra: AB + AC – BC = (AD + DB) + (AE+ CE)
– (BF + CF)
= AD + AE = 2AD
b) Gọi S là giao điểm của BI và MN Ta cần chứng minh: D, E, S thẳng hàng
Thật vậy:
Do MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN//AB
1
(hai goc so le trong);
�
�
Suy ra tam giác MBS cân tại M nên MB = MS = MC
Tam giác BSC có đường trung tuyến SM=1/2BC nên tam giác BSC vuông tại S
Ta có:
Tứ giác IECF và IESC là các tứ giác nội tiếp (đường tròn đường kính IC)
Nên 5 điểm I, E, S, C, F cùng thuộc đường tròn đường kính IC
Ta có:
; ( cua tam giac) (1)
�
�
Lại có tam giác ADE cân tại A
nên: � � 0 � 0 � � �
180
90
AED ADE B C (2)
Từ (1) và (2) suy ra SEC � =� AED mà A, E, C thẳng hàng nên
D, E, S thẳng hàng
Vậy ba đường thẳng BI, DE, MN đồng quy
Cách khác: Gọi P là giao điểm của DE và BI Đi chứng minh M, N, P thẳng hàng.