Sáng kiến kinh nghiệm: Một số phương pháp giải các bài toán về modul của số phức

Sáng kiến kinh nghiệm này chứa đựng những kĩ năng cơ bản quan trọng mà học sinh cần phải nắm được nếu muốn tiến đến trình độ giải quyết tốt các bài toán số phức, đồng thời chứa đựng những kĩ thuật, kĩ xảo, ý tưởng vận dụng các năng lực toán học tương đối cao, phức tạp trong tư duy.

MỤC LỤC

I MỞ ĐẦU 2

1.1 Lí do chọn đề tài 2

1.2 Mục đích nghiên cứu 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 3

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 3

2.1.1 Những kiến thức cơ bản: 3

2.1.2 Các dạng quỹ tích thường gặp đối với điểm biểu diễn của một số phức4 2.1.2.1 Quỹ tích điểm biểu diễn là đường thẳng: 4

2.1.2.2 Quỹ tích điểm biểu diễn là đường tròn: 5

2.1.2.3 Quỹ tích điểm biểu diễn là elip: 6

2.1.3 Tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất trong đó điểm biểu diễn của số phức đó là đường tròn, đường thẳng hoặc elip 6

2.1.3.1 Dạng 1: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng (5 cách giải ) 7

2.1.3.2 Dạng 2: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn ( 5 cách giải) 9

2.1.3.3 Dạng 3: Cho số phức z thỏa mãn 𝒛 + 𝑨 = 𝒌, 𝑨, 𝑩 ∈ 𝕮, 𝒌 > 𝟎 Tìm z sao cho 𝑷 = 𝒛 + 𝑩 đạt min, max 11

2.1.3.4 Dạng 4: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường elíp (4 cách giải) 12

2.1.4 Sử dụng mối quan hệ của số phức và số phức liên hợp của nó 12

2.1.5 Một số bài toán trắc nghiệm về modul của số phức 14

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi thực hiện SKKN 19

2.3 Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề: 20

2.4 Hiệu quả sau khi áp dụng SKKN vào giảng dạy 20

III KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 20

1 Kết luận 20

2 Kiến nghị 21

I MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

Với việc đổi mới hình thức thi tốt nghiệp THPT và xét tuyển Đại học như hiện nay, môn Toán được kiểm tra đánh giá bằng hình thức thi trắc nghiệm Mảng kiến thức về số phức trước đây vốn được học và thi khá nhẹ nhàng, nhưng hiện nay đã được khai thác khá sâu trong hệ thống các câu hỏi trắc nghiệm Một trong những dạng toán được hỏi khá nhiều đó là các bài toán về modul của số phức Để giải các bài toán này nhanh chóng, chính xác nhằm lựa chọn được phương án trả lời đúng trong đề bài, chúng ta cần hướng dẫn cho học sinh có một tư duy linh

hoạt và nhạy bén Ngoài yêu cầu đòi hỏi học sinh cần hiểu sâu và rộng kiến thức, người thầy còn phải biết cách dạy học sinh các kĩ năng như loại trừ, thử đáp án, chọn lựa và đặc biệt là kĩ năng sử dụng máy tính cầm tay để giải quyết Đó là lí

do tôi chọn đề tài này

1.2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của SKKN này là nghiên cứu các phương pháp để hướng dẫn học sinh nhanh chóng giải quyết được bài toán về modul của số phức,

đặc biệt là các bài toán về “tìm modul của số phức ’’, “tìm modul lớn nhất, nhỏ

nhất của số phức ’’, “tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức z’’ Để giải quyết tốt các loại toán này, ta cần vận dụng thành thạo các kiến thức

về bất đẳng thức, hình học, lượng giác, hàm số, đánh giá Tuy nhiên phần lớn học sinh lại gặp rất nhiều khó khăn khi vận dụng Với thực trạng như vậy, tôi viết

sáng kiến kinh nghiệm “Một số phương pháp giải các bài toán về modul của số

phức” Sáng kiến kinh nghiệm này chứa đựng những kĩ năng cơ bản quan trọng

mà học sinh cần phải nắm được nếu muốn tiến đến trình độ giải quyết tốt các bài toán số phức, đồng thời chứa đựng những kĩ thuật, kĩ xảo, ý tưởng vận dụng các năng lực toán học tương đối cao, phức tạp trong tư duy

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là:

* Các quỹ tích quen thuộc của điểm biểu diễn của số phức như đường thẳng, đường tròn, đường elíp

* Cách vận dụng các phương pháp như bất đẳng thức, phương pháp hình học, phương pháp hàm số lượng giác hóa, đánh giá, mối quan hệ giữa số phức và số phức liên hợp của nó để giải quyết các bài toán về modul của số phức

* Một số phương pháp, kĩ năng, kĩ xảo dùng để giải quyết một bài toán trắc

nghiệm

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Tự giải các bài toán về số phức bằng nhiều cách, kết hợp với thực tế giảng dạy

để đúc rút nên cách thức giảng dạy phù hợp nhất

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.1.1 Những kiến thức cơ bản:

2.2.1.1 Một số phức là một biểu thức có dạng x yi, trong đó 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅, và i là số thoả mãn i2   1 Ký hiệu số phức đó là z và viết z x yi

* i được gọi là đơn vị ảo

* x được gọi là phần thực, kí hiệu là Re(z)

* y được gọi là phần ảo, kí hiệu là Im(z)

y y

x x

2.2.1.3 Biểu diễn hình học của số phức

Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(x; y) trên mặt phẳng toạ độ Oxy

Ngược lại, mỗi điểm M(x;y) biểu diễn một số phức là z = x +ybi

2.2.1.4 Modul của số phức: Cho số phức z = x + yi có điểm biểu diễn là M(x; y),

khi đó ta định nghĩa modul của số phức z là khoảng cách OM

|𝑧| = 𝑂𝑀 = √𝑎2 + 𝑏2

2.2.1.5 Phép cộng và phép trừ các số phức

Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa:

' ( ') ( ') ' ( ') ( ')

2.1.2.1 Quỹ tích điểm biểu diễn là đường thẳng:

Ta xét một ví dụ mẫu như sau:

Ví dụ 1 : Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn

|3𝑧 + 1 − 𝑖| = |−3𝑧̅ + 2 + 3𝑖|

Giải:

Cách 1: (Tự luận) Đặt z = x + yi (x, y ∈ 𝑅), ta có

(3x + 1)2 + (3y – 1)2 = (-3x + 2)2 + (3y + 3)2 18x – 24y – 11 = 0

Vậy quỹ tích điểm M là đường thẳng: 18x – 24y – 11 = 0

Nhận xét: Đây là một bài toán không khó đối với học sinh khá giỏi, nhưng với

học sinh trung bình và yếu thì nếu biến đổi theo kiểu tự luận một cách nhanh và chính xác cũng mất vài ba phút, chưa kể nhầm lẫn Bằng cách sử dụng máy tính cầm tay, thì kể cả các học sinh yếu kém cũng có thể giải quyết bài toán trong vòng trên dưới 20 giây

Chú ý: Để có dự đoán trên ta cần chứng minh cho học sinh hiểu rằng nếu số phức

z thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

2.1.2.2 Quỹ tích điểm biểu diễn là đường tròn:

Ta xét 2 ví dụ mẫu như sau:

Ví dụ 2: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn

|𝑧 − (𝑎 + 𝑏𝑖)| = 𝑅 𝑣ớ𝑖 𝑅 > 0

Giải: Dễ thấy quỹ tích điểm M là đường tròn tâm I(a; b), bán kính R

Ví dụ 3: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn

4𝑥 +5

2𝑦 +11

8 = 0

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay

Dự đoán: Quỹ tích điểm M là đường tròn có dạng x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 Ta tìm a, b, c như sau:

Vào môi trường tính toán của số phức bằng cách bấm tổ hợp phím

(|𝑋 + 1 − 𝑖|2− |−3𝑐𝑜𝑛𝑗𝑔(𝑋) + 2 + 3𝑖|2): (12− (−3)2) − |𝑋|2 CALC X = 0

→ 118 → 𝑐 = 118

(|𝑋 + 1 − 𝑖|2− |−3𝑐𝑜𝑛𝑗𝑔(𝑋) + 2 + 3𝑖|2): (12− (−3)2) − |𝑋|2 −11

8 CALC X = 1 → −74 → 𝑎 = −74

CALC X = i → 5

2 → 𝑏 = 5

2Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn: 𝑥2+ 𝑦2−7

4𝑥 +5

2𝑦 +11

8 = 0

Nhận xét: Cũng như dạng toán có quỹ tích điểm biểu diễn là đường thẳng, đây

cũng là một bài toán không khó đối với học sinh khá giỏi, nhưng với học sinh trung bình và yếu thì nếu biến đổi theo kiểu tự luận một cách nhanh và chính xác cũng mất vài ba phút, chưa kể nhầm lẫn Bằng cách sử dụng máy tính cầm tay, thì kể cả các học sinh yếu kém cũng có thể giải quyết bài toán trong vòng trên dưới 20 giây

Chú ý: Để có dự đoán trên ta cần chứng minh cho học sinh hiểu rằng với số phức

z thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

|𝑚𝑧 + 𝑎 + 𝑏𝑖| = |𝑚′ 𝑧 + 𝑎′ + 𝑏′𝑖|

|𝑚𝑧 + 𝑎 + 𝑏𝑖| =|m'.𝑧̅ + a' + b'i|

|𝑚𝑧̅ + 𝑎 + 𝑏𝑖| =|m'.𝑧̅ + a' + b'i|

Mà m ≠ m’ và m ≠ -m’ thì quỹ tích các điểm biểu diễn của z là một đường tròn

2.1.2.3 Quỹ tích điểm biểu diễn là elip:

Ta thường gặp bài toán:

Tìm quỹ tích điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa

mãn |𝑧 − 𝑐| + |𝑧 + 𝑐| = 2𝑎 với a > c > 0

Giải: Gọi F1(-c; 0), F2(c; 0) Từ điều kiện bài toán,

ta có MF1 + MF2 = 2a Dựa vào định nghĩa của elip,

ta dễ dàng nhận thấy quỹ tích của M là elip có phương trình :

Bước 1 Tìm tập hợp (G) các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện, đây

cũng là quá trình tìm biểu thức liên hệ giữa phần thực và phần ảo của số phức z

2.1.3.1 Dạng 1: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng (5 cách giải )

Ví dụ 4: Tìm z sao cho z đạt giá trị nhỏ nhất Biết số phức z thỏa mãn điều kiện

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng (d): xy 4  0

Cách 1: (Hình học) Giả sử M(x; y) là điểm biểu diễn z thì

) ( min

z    , ta được M(-2; 2)z  2  2i

Cách 2 (Phân tích thành tổng bình phương) Ta có

4 2 2 22 8 2 2 2

4 0

y

i z

y x z

y x z y

x2  2  8   2  2  2 2  min  2 2      2    2  2

Cách 5:( Dùng máy tính cầm tay CASIO Fx 570 VN Plus)

Vào môi trường khảo sát hàm số bằng cách bấm tổ hợp phím

Nhận thấy |𝑧| nhỏ nhất là = 2√2 tại x = -2, nên y = 2

hay z = -2 + 2i

Ví dụ 5: Tìm modul nhỏ nhất của số phức z – 3 + 2i Biết số phức z thỏa mãn

điều kiện |𝑧 + 1 − 3𝑖| = |−𝑧 + 1 + 𝑖|

Giải:

Tập hợp các điểm M(x; y) biểu diễn của z là đường thẳng: x - y + 2 = 0

Cách 1: (Hình học) Ta thấy |𝑧 − 3 + 2𝑖| nhỏ nhất có giá trị là khoảng cách từ điểm I(3; -2) đến đường thẳng x – y + 2 = 0 và bằng 7√2

Cách 4: (Dùng BĐT Bunhiacopxki)

) 2 ( ) 3 ( 2 )) 2 ( 3 ( 49 7 ) 2 ( ) 3 ( 0

3  



Cách 5: (Dùng máy tính cầm tay CASIO Fx 570 VN Plus)

Vào môi trường khảo sát hàm số bằng cách bấm tổ hợp phím

Nhận thấy 𝑓(𝑥) nhỏ nhất là = 49

2 tại x = -2 nên |𝑧 − 3 + 2𝑖| nhỏ nhất là 7√2

2

2.1.3.2 Dạng 2: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn ( 5

cách giải)

Ví dụ 6: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z  2 4i  5.Tìm số phức z có môđun lớn nhất, nhỏ nhất

Giải: Giả sử điểm M(x; y) biểu diễn số phức z=x+yi Khi đó tập hợp điểm M là

đường tròn I(2;4), bán kính R 5, có phương trình: 2 2

1 , 3 0

2

5 4

y y

x x y

x

y x

) 6

; 3 ( ), 2

; 1

A



Với mọi điểm M thuộc đường tròn (C) thì OA OM  OB Hay 5 z 3 5

OH AH

OI

OA

AH

2 1 1

2 2

1 5 2

5 5 2

4           

M trùng với điểm B trên (C) xa O nhất Kẻ BK Ox, theo định lý Ta lét ta có:

i z

OK BK

OB

OI

2 5 5 2

5 2

Giải: Chúng ta có thể giải bằng 5 phương pháp đã nêu trên, ở đây tôi chọn

phương pháp hình học để trình bày lời giải

Ta có

• Quỹ tích điểm biểu diễn của số phức z1 là

đường tròn tâm I(-5; 0), bán kính R = 5

• Quỹ tích điểm biểu diễn của số phức z1 là

2.1.3.3 Dạng 3: Cho số phức z thỏa mãn |𝒛 + 𝑨| = 𝒌, 𝑨, 𝑩 ∈ 𝕮, 𝒌 > 𝟎 Tìm z sao cho 𝑷 = |𝒛 + 𝑩| đạt min, max

Hướng giải: Ngoài 5 phương pháp trên, ta còn có thể áp dụng tính chất sau:

Đặt T = |𝐴 − 𝐵|, khi đó ta có |𝑇 − 𝑘| ≤ 𝑃 ≤ 𝑇 + 𝑘

Chứng minh: Gọi M là điểm biểu diễn của z, -A là

điểm biểu diễn của số phức –A, -B là điểm biểu diễn

của số phức –B Khi đó M thuộc đường tròn tâm là –

 𝑧 =2 − √2

√2

2 𝑖

Nhận xét: Từ dạng toán trên ta có ngay cách giải dạng toán sau: Cho số phức z

thỏa mãn |𝐴𝑧 + 𝐵| = 𝑘, 𝐴, 𝐵 ∈ ℭ, k > 0 Tìm z sao cho 𝑃 = |𝐶𝑧 + 𝐷| đạt min, max

2.1.3.4 Dạng 4: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường elíp (4 cách giải)

Ví dụ 12: Tìm số phức z sao cho môđun của z đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất Biết

số phức z thoả mãn điều kiện: z    1 z 1 4

Giải: Ta thấy tập hợp các điểm M là elip có phương trình là: 2 2 1

2 2

y x OM

z

Cách 2:(Đánh giá) Giả sử M(x;y) là điểm biểu diễn z 1

3 4

2 2

4 4 4 4

2 2 2

2 2

3 4

3 3 3 3

2 2 2

2 2

z

Cách 3: (Lượng giác hóa) Đặt x 2 sint, y 3 cost , t0 ; 2 

Ta có: OM2 x2 y2  4 sin2t 3 cos2t  3  sin2t

Do 0  sin2t  1 , t 3 OM2  4  3  z  2

max min  z  i z  z 

Sử dụng mối quan hệ của số phức và số phức liên hợp của nó

Với mỗi số phức z, ngoài một số mối quan hệ quen thuộc ta nêu thêm một số quan

hệ sau với số phức liên hợp của nó:

• 𝑧 + 𝑧̅ = 2 𝑅𝑒(𝑧)

• 𝑧 − 𝑧̅ = 2 𝐼𝑚(𝑧) 𝑖

- 3 3

Ví dụ 14: Cho số phức z thỏa mãn |𝑧| = 5 và i.z + 4 là số thuần ảo, tìm z?

Giải: Do i.z + 4 là số thuần ảo nên 𝑖𝑧 + 4 + 𝑖𝑧 + 4̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0  𝑖𝑧 − 𝑖𝑧̅ + 8 = 0

̅̅̅̅ +𝑧2̅̅̅̅11+1𝑧1

̅̅̅̅ 1𝑧2

̅̅̅̅

= 𝑧̅̅̅+𝑧 1 ̅̅̅21+𝑧 ̅̅̅̅̅̅1𝑧2 = 𝑤̅ Vậy w là số thực

Ví dụ 18: Cho 3 số phức a, b, c thỏa mãn |𝑎| = |𝑏| = |𝑐| = 1 , 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0 Tính w = a2 + b2 + c2

Giải: Ta có w = a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 – 2(ab + bc + ca) = -2abc(1

Giải: Ta có 𝑧7+1

𝑧+1 = 0 𝑧7 = −1 |𝑧| = 1 |𝑧|3 = 1 Mặt khác: z6 – z5 + z4 – z3 + z2 – z + 1 = 0 nên (z3 - 1)(z3 – z + 1) + 1 = 0

1−𝑧 3 Dễ thấy 𝑅𝑒(𝑤) = 1

2( 11−𝑧 3+ 1

1−𝑧̅ 3) = 1

2( 2−𝑧3−𝑧̅31−𝑧 3 −𝑧̅ 3 +𝑧 3 𝑧̅ 3) = 1

• Giá trị lớn nhất của |𝑧| là 2 + √3 , đạt được tại z = (2 + √3)𝑖

• Giá trị nhỏ nhất của |𝑧| là 2 − √3 , đạt được tại z = (2 − √3)𝑖

2.1.5 Một số bài toán trắc nghiệm về modul của số phức

Trong phần này tôi đưa ra một số bài toán trắc nghiệm để minh họa cho tính linh hoạt và đa dạng của tư duy nhằm chọn được đáp án đúng

Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn |𝑧 − 3| + |𝑧 + 3| = 10 Tổng các GTLN và GTNN của |𝑧| là

Hướng dẫn: Theo ví dụ 18 phía trên thì ta có đáp án D

Cách khác: Ta chọn 3 số a, b, c thỏa mãn 2 điều kiện trên, có thể nhận thấy các

nghiệm phức của phương trình z3 – 1 = 0 ( hoặc z3 + 1 = 0) sẽ thỏa mãn đủ 2 điều kiện đó Thay các nghiệm vào biểu thức a2 + b2 + c2 và bấm máy tính , ta sẽ có kết quả bằng 0

Bài 3: Cho số phức z thỏa mãn |𝑧2− 2𝑧 + 5|=|(𝑧 − 1 + 2𝑖)(𝑧 + 3𝑖 − 1)| Tìm giá trị nhỏ nhất của |𝑤| với w = z – 2 + 2i

A |𝑤|𝑚𝑖𝑛 = 3

2 B |𝑤|𝑚𝑖𝑛 = 2 C |𝑤|𝑚𝑖𝑛 = 1 D |𝑤|𝑚𝑖𝑛 =1

2

𝑃 = √(𝑥 + 1)2+ 𝑦2+ √(2𝑥2− 𝑥)2+ 𝑦2(2𝑥 − 1)2 =√2𝑥 + 2 + |2𝑥 − 1|

Sử dụng máy tính cầm tay: chức năng

Ta thấy:

f(x) lớn nhất có giá trị xấp xỉ như hình bên

f(x) nhỏ nhất có giá trị xấp xỉ như hình bên

Nhân 2 giá trị này ta được đáp án A

Bài 7: Cho số phức z thỏa mãn |𝑧 − 3 − 4𝑖| = √5 Gọi M và m lần lượt là GTLN

Hướng dẫn: Ở bài này do bậc của z khá cao nên ta khéo léo giảm bậc của z bằng

biến đổi sau:

𝑇ừ |𝑧| = 1 |𝑧̅| = 1 Ta có 𝑃 = |𝑧3+ 3𝑧 + 𝑧̅| − |𝑧 + 𝑧̅| = |𝑧̅||𝑧3+ 3𝑧 +𝑧̅| − |𝑧 + 𝑧̅|= |𝑧2+ 3 + 𝑧̅2| − |𝑧 + 𝑧̅| = 4x2 - 2|𝑥| + 1

Dùng máy tính cầm tay , ta thấy

A Pmin = 1 ` B Pmin = 2 C Pmin = 3 D Pmin = 4

Bài 12: Gọi z là số phức có phần thực lớn hơn 1 và thỏa mãn

|𝑧 + 1 + 𝑖| = |2𝑧 + 𝑧̅ − 5 − 3𝑖| sao cho biểu thức P = |𝑧 − 2 − 2𝑖| đạt GTNN Tìm phần thực của z

Bài 13: Giả sử z z1, 2 là các số phức khác không, thỏa mãn z12z z1 2z22 0 gọi

A, B là các điểm biểu diễn tương ứng của z z1, 2 Khẳng định nào sau đây đúng

z z z z  OA = OB = AB = 1 nên ∆OAB đều Đáp án C

Bài 14: Cho số phức z 0 thỏa mãn 3

3

8 9.

z z

  Khẳng định nào sau đây đúng

Bài 15: Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn |𝑧 − 𝑖| ≥ 3 và |𝑧 − 2 − 2𝑖| ≤ 5

Kí hiệu z1, z2 là hai số phức thuộc S và là những số phức có modul lần lượt nhỏ nhất và lớn nhất Tính giá trị của biểu thức P = |𝑧2+ 2√2𝑧1|

A P = √66 B P = √33 C P = 3√2 D P = 8

Hướng dẫn:

Tập hợp các điểm biểu diễn của z thỏa mãn |𝑧 − 𝑖| ≥ 3 là

phần bên ngoài (kể cả biên) của đường tròn tâm I1(0; 1)

bán kính R1 = 3

Tập hợp các điểm biểu diễn của z thỏa mãn |𝑧 − 2 − 2𝑖| ≤

5 là phần bên trong (kể cả biên) đường tròn tâm I2(2; 2)

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi thực hiện SKKN

Tháng 3/2017, trước khi thực hiện việc giảng dạy các phương pháp này tại

lớp 12A1, tôi đã cho học sinh thử làm một đề trắc nghiệm với nội dung sau:

Câu 1: Tập hợp điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn |𝑧 − 2| + |𝑧 + 2| = 6 là đường nào sau đây:

A Đường thẳng B Đường tròn C.Đường parabol D Đường elip

Câu 2: Trong các số phức z thỏa mãn |𝑧 − 2 − 4𝑖| = |𝑧 − 2𝑖| Số phức z có modul nhỏ nhất có dạng a + bi, khi đó a + b bằng:

A Trục hoành C Đường phân giác y = x

B Trục tung D Đường phân giác y = x

Câu 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn

của các số phức z z z1, 2, 3 biết z1z2z3. Đẳng thức nào sau đây đúng ?