[r]
Trang 1UBND Huyện Đông
Anh Phòng GD-ĐT
-Đáp án chấm thi Học Sinh giỏi lớp
9 Môn: Toán Năm học: 2010-2011
Bài 1
2điểm
Gọi A là một điểm trong 6 điểm 5 đoạn thẳng nối A với 5
điểm còn lại (B,C,D,E,F) đợc tô bởi 2 mầu nên theo nguyên lí
Đirichlê tồn tại 3 đoạn thẳng cùng mầu Không mất tính tổng
quát giả sử đó là AB, AC, AD
cùng mầu đỏ
+ Xét tam giác BCD:
- Nếu tồn tại 1 cạnh của tam giác
BCD tô mầu đỏ( chẳng hạn BC)
thì tồn tại 1 tam giác có 3 cạnh
cùng mầu đỏ(tam giác ABC)
Vậy bài toán đợc chứng minh
- Nếu không có cạnh nào của tam giác BCD tô màu đỏ thì tam
giác BCD có 3 cạnh cùng mầu xanh Vậy bài toán đợc chứng
minh
Bài 2
6điểm b) (4 đ) Ta có a2 + b2 +c2 =14 => (a2+b2 + c2)2=142
=> a4 +b4 +c4 + 2a2b2 + 2a2c2 + 2 b2c2 = 196
=>a4 + b4 + c4 = 196 – 2(a2b2+a2c2+b2c2)
Ta lại có: a + b + c= 0 => (a+ b + c)2 = 0
=> a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac + 2bc = 0
=> 14+ 2( ab+ ac + bc) = 0 ( do a2 + b2 + c2 = 14)
=> ab + ac + bc = -7
=> (ab + ac + bc)2 = 49
=> a2b2+ a2c2 + b2c2 + 2 a2bc + 2 ab2c + 2 abc2 =49
=> a2b2+ a2c2 + b2c2 + 2abc( a + b + c) = 49
=> a2b2+ a2c2 + b2c2 = 49( do a + b + c = 0)
Vậy M = a4 + b4 +c4 = 196 – 2.49 =98
B
A
D
C
Trang 2Bài 3
3điểm
Gọi x, y, z là độ dài các cạnh của một tam giác
vuông
Giả sử 1 x y z => x+ y 2
Theo định lý Pitago ta có: x2 + y2 = z2 (1)
Theo đề bài ta có: 1
2xy = x+ y + z => xy
=2( x+ y + z) (2)
Từ (1) suy ra: z2 = (x+y)2- 2 xy = (x+y)2 - 4(x+ y + z) ( theo (2))
=> z2 = (x+y)2 – 4( x + y) – 4z
=> z2 + 4z + 4 = (x+ y)2 – 4(x + y) + 4
=> (z+2)2 = ( x+ y – 2)2
=> z+ 2 = x+ y -2( do x+ y 2)
=> z = x+ y – 4
Thay z = x+ y – 4 vào (2) ta đợc: xy = 2( x + y + x + y - 4)
=> xy = 4x + 4y – 8 => xy- 4x – 4y + 16 = 8 => (x- 4)(y – 4) = 8
Mà 8 = 1.8 = 2.4 nên ta có:
4 1
4 8
x
y
4 4
x y
Suy ra 5
12
x y
8
x y
Dựa vào định lý Pitago tính đợc x=5; y=12; z=13
hoặc x= 6 ; y= 8; z= 10
Bài 4
3điểm
Gọi số học sinh của lớp 9B tham gia họp mặt là x(học sinh, x
N*, x<50)
Bạn thứ nhất của lớp 9B quen 11 = 10 + 1 bạn của lớp 9A Bạn thứ hai của lớp 9B quen 12 = 10+2 bạn của lớp 9A
Bạn thứ ba của lớp 9B quen 13 = 10+3 bạn của lớp 9A
…
Bạn thứ x của lớp 9B quen 10 + x bạn của lớp 9A
Mà bạn cuối cùng quen tất cả các bạn lớp 9A tham gia họp mặt nên số học sinh của lớp 9A tham gia họp mặt là 10 + x học sinh
Theo đề bài tổng số học sinh của cả hai lớp tham gia họp mặt
là 50 học sinh nên ta có pt: x + 10+x = 50
x = 20( TM)
Vậy số học sinh của lớp 9B tham gia họp mặt là 20 học sinh
=> số học sinh của lớp 9A tham gia họp mặt là 30 học sinh
Bài 5
4điểm
a) (2đ) Ta có 0 0
1 135 ; 1 135
HOD O OGB O HOD OGB
x
y z
a
1
M
O
B
C
A
G
Trang 3=> HOD OGB (gg)
b) (2đ) Từ câu a suy ra HD DO
OB BG
Đặt BM = a thì AD = 2a, OB = OD = a 2
Ta có HD BG OB OD a 2.a 2 2 a a AD BM
=> HD BM
AD BG
=> AHD GMB (cgc)=> AHD GBM
Do đó HAB GMB => MG // AH
Bài 6
2điểm
+ Gọi a là đờng
thẳng chứa cạnh AB
của đa giác
Gọi C là đỉnh của
đa giác cách xa AB nhất
Qua C kẻ đờng thẳng b song song với AB
+ Gọi D, E là các đỉnh của đa giác cáchiác xa AC nhất về hai phía của AC
Qua D kẻ đờng thẳng c song song với AC, qua E kẻ đờng thẳng d song song với AC
+ Gọi MNPQ là hình bình hành tạo bởi 4 đờng thẳng a,b,c,d Các đỉnh của đa giác nằm trong hoặc bên trên biên của hình bình hành
Ta có: SACD+ SACE Sđa giác
Mà SACD + SACE=1
2SMNPQ
=> 1
2SMNPQSđa giác => SMNPQ 2 Sđa giác
b c
a N
Q
M
P C
D
E